Finanza delle Assicurazioni e della Previdenza

Transcript

1 Finanza delle Assicurazioni e della Previdenza Francesco Menoncin Le zi one 24 /04/2006 Sommario Si presentano le principali problematiche di gestione dei fondi pensione nei due sistemi Pay-As-You-Go e Fully-Funded. Con particolare riferimento, poi, al caso Fully-Funded si analizza la condizione di equilibrio del fondo e si studia come gestire i rischi implicati da tale condizione. 1 Come funziona un fondo pensione Nella definizione più generale possibile l attività di un fondo pensione consiste nel raccogliere risparmio dai lavoratori ad esso iscritti per poi restituire loro tali risparmi sotto forma di pensioni quando questi terminano la loro vita lavorativa. La gestione del risparmio che viene raccolto può essere effettuata su base collettiva o su base individuale. Si distinguono, a questo proposito, due diverse categorie di fondi che vengono definiti, con termine anglosassone: 1. Pay-As-You-Go (PAYG): in ogni istante di vita del fondo il risparmio raccolto viene utilizzato per pagare le pensioni di coloro che terminano il lavoro; questo sistema ha, dunque, base collettiva; 2. Fully-Funded (FF): il risparmio viene sempre gestito collettivamente ma il fondo opera come se avesse un conto specifico per ogni sottoscrittore il quale riceve, alla fine della vita lavorativa, il montante di ciò che ha versato sotto forma di contributi; questo sistema ha dunque base individuale. Il sistema PAYG può consentire un livello di pensione molto alto quando la popolazione attiva eccede la popolazione pensionata. Solo in questo modo, infatti, i contributi raccolti in ogni periodo dal fondo possono essere superiori alle pensioni da pagare. Il sistema PAYG, dunque, appare difficile da finanziare quando la popolazione in pensione cresce ad un tasso più elevato di quello a cui cresce la popolazione attiva (questo è il caso tipico di molti paesi sviluppati tra cui l Italia). Dipartimento di Scienze Economiche, Università degli Studi di Brescia, Via S. Faustino, 74/B, Brescia. Tel: , fa: , menoncin@eco.unibs.it 1

2 Il sistema FF, invece, non presenta problemi di questo tipo poiché la gestione dei contributi avviene a livello individuale ed ogni lavoratore riceve semplicemente il montante dei contributi versati. Tuttavia, questo tipo di gestione presenta l inconveniente di dover investire i contributi per un periodo anche lungo (la vita lavorativa di un soggetto può arrivare anche fino a 40 anni - dall età di 25 anni all età di 65 anni) durante il quale bisogna ottenere un rendimento sufficientemente elevato per poter pagare le pensioni future ma senza incorrere in rischi troppo alti. Osserviamo più da vicino i due sistemi. 2 Il sistema PAYG Il sistema PAYG si basa sull idea di pagare le pensioni di tutti i pensionati utilizzando i contributi versati da tutti i lavoratori. Assumiamo i seguenti dati: n (t) =numero di lavoratori al tempo t; m (t) =numero di pensionati al tempo t; c (t) =contributo pagato da ogni lavoratore al tempo t; p (t) =pensione ricevuta da ogni pensionato al tempo t. Il fondo è in grado di finanziare le pensioni tramite i contributi se, in ogni istante, vale c (t) n (t) p (t) m (t). (1) Il rischio che grava su questa gestione di un fondo pensione è, dunque, essenzialmente un rischio demografico. Affinché il fondo fosse trasparente al rischio sarebbe necessario che rivedesse le pensioni pagate, di periodo in periodo, per adeguarsi all andamento demografico. In questo modo, tuttavia, tutto il rischio demografico graverebbe sul sottoscrittore del fondo il quale non avrebbe più convenienza a sottoscrivere. Il sistema pensionistico pubblico si basa proprio su un principio PAYG ed, infatti, ne abbiamo osservato il lento deterioramento negli ultimi anni in cui la crescita della popolazione attiva (nel nostro caso n) è stata di molto inferiore rispetto alla crescita della popolazione dei pensionati (nel nostro caso m). Per mantenere la condizione (1), dunque, diviene necessario o aumentare i contributi(nelmodelloc) oppure ridurre le pensioni (nel modello p). Il governo italiano ha deciso, per esempio, di ridurre le pensioni. Poiché il sistema italiano prevedeva una pensione pari ad una certa percentuale dell ultimo salario percepito da lavoratore attivo, la riduzione delle pensioni è avvenuta riducendo tale percentuale. I rischi demografici sono difficili (impossibili) da immunizzare sui mercati finanziari. Per questo scopo, infatti, dovrebbero esistere dei titoli deriva- 2

3 ti il cui sottostante sia la percentuale di popolazione pensionata rispetto alla popolazione attiva (nel nostro modello m/n). Proprio a causa dell assenza di questi titoli i fondi pensione privati preferiscono adottare il sistema FF le cui caratteristiche osserviamo nel paragrafo seguente. 3 Il sistema FF La gestione del fondo, in questo caso, avviene in due periodi distinti che vengono delimitati da due date: 1. il momento in cui un soggetto decide di (o è obbligato ad) andare in pensione (diciamo all età T );dalmomentoincuisisottoscriveilfondo pensione e fino al momento in cui si decide di andare in pensione vengono pagati dei contributi (in genere proporzionali al salario) che accrescono la ricchezza gestita dal fondo in una fase che viene detta di accumulazione; 2. il momento in cui un soggetto muore (diciamo all età τ ): dal momento della pensione e fino alla morte il fondo utilizza la ricchezza accumulata per pagare la pensione del lavoratore; poiché le pensioni fanno decrescere la ricchezza gestita dal fondo mentre essa viene distribuita al pensionato questa fase viene chiamata di distribuzione. I due momenti di accumulazione e distribuzione appena descritti sono rappresentati nella Figura 1. Appare evidente che deve esistere una relazione di equilibrio tra i contributi pagati dai lavoratori e le pensioni pagate dal fondo pensione. All istante, infatti, nessun lavoratore avrebbe convenienza a sottoscrivere il fondo se il valore atteso delle pensioni future a cui avrà diritto risulta più piccolo del valore atteso dei contributi che dovrà versare al fondo. D altra parte, nessun fondo pensione offrirebbe un contratto nel quale il valore attuale delle pensioni che dovrà pagare sia maggiore del valore attuale dei contributi che riceverà dal lavoratore. Questo implica che, in equilibrio, deve valere il segno di uguaglianza tra il valore attuale di tutte le pensioni ed il valore attuale di tutti i contributi. Algebricamente osserviamo quanto segue: c (t) =contributo pagato da ogni lavoratore a partire dal tempo e fino al tempo T ; p (t) =pensione ricevuta da ogni pensionato a partire dal tempo T e fino alla data di morte τ (che, per ora, consideriamo conosciuta con certezza); r = tasso di interesse (costante) di un titolo privo di rischio. Il fondo è in grado di finanziare le pensioni tramite i contributi se, in ogni istante, vale Z T Z τ c (t) e r(t ) dt = p (t) e r(t ) dt. (2) T 3

4 Figura 1: Schema temporale di gestione di un fondo pensione FF Pagamento dei contributi c(t) accumulazione Pagamento delle pensioni p(t) distribuzione sottoscrizione del fondo pensione T pensionsamento τ morte tempo Un caso particolare che può essere d aiuto per semplificare la trattazione si ha quando un fondo pensione riceve contributi costanti e si impegna a pagare pensioni costanti. In questo caso (in cui c (t) e p (t) non dipendono più dal tempo e divengono costanti c e p) laformula(2)sipuòsemplificare come segue: Z T Z τ c e r(t ) dt = p e r(t ) dt, T che porge immediatamente ) 1 e r(t c r che può essere infine scritta nel modo seguente = p e r(t ) e r(τ ), r p c = er(t ) 1. (3) 1 e r(τ T ) Un esempio numerico ci sarà di immediato conforto per capire gli importi in gioco. Esercizio 1 Il tasso di interesse privo di rischio sia r =0.02. Un soggetto sta decidendo se sottoscrivere un fondo pensione all età di =25anni. Egli andrà in pensione all età di T =65anni e sa che sopravviverà fino all età di 4

5 τ =85anni. Ammesso che un fondo pensione accetti solo contributi costanti e paghi pensioni costanti, quele deve essere il rapporto di equilibrio tra pensione e contributi? Se i contributi sono pari al 10% del salario il quale è pari a Euro,quantosiotterràdipensione? Soluzione 1 Ci basta sostituire banalmente i valori nella relazione di equilibrio (3) per ottenere p c = e0.02(65 25) 1 = e 0.02(85 65) Dunque, un soggetto che paga contributi costanti durante un periodo di 40 anni (con un tasso di interesse costante del 2%) può avere una pensione per un periodo di 20 anni le cui rate sono pari a 3.72 volte il contributo fisso. Nel caso del lavoratore con Euro di salario, il contributo del 10% èpariac = 100 mentre la pensione è pari a p = 372. Questocifaconcluderechelapensioneè poco più di un terzo del salario. Osserviamo immediatamente che dalla condizione di equilibrio (2) siamo in grado di determinare, una volta conosciute tutte le variabili necessarie, il rapporto equo tra contributi e pensioni. Tuttavia non si possono determinare congiuntamente sia le pensioni sia i contributi. A questo proposito, infatti, esistono due diverse categorie di fondi pensione che vengono classificati nel modo seguente: 1. Fondi Pensione a Contributi Definiti: il contributo c (t) viene scelto dal sottoscrittore del fondo mentre il livello della pensione è stabilito in base ad una regola simile alla (2). 2. Fondi Pensione a Benefici Definiti: la pensione p (t) è scelta dal sottoscrittore del fondo mentre il livello dei contributi è stabilito in base ad una regola simile alla (2). 4 L aleatorietà della data di morte Quando la data di morte τ è incerta allora l Equazione (2) deve essere riformulata in modo da tenere conto che τ è una variabile aleatoria. Il problema è quello di valutare un qualsiasi flusso di cassa che si interrompa nel momento della morte di un soggetto. Vale quanto segue. 5

6 = età attuale di colui a cui vengono corrisposti i flussi di cassa; f (t) =flusso di cassa che viene corrisposto fino alla data di morte τ (si assume di conoscere questi flussi); r = tasso di interesse (costante) di un titolo privo di rischio. Il valore attuale dei flussi di cassa che verranno corrisposti è dato da Z τ f (t) e r(t ) dt. E τ Usando una funzione indicatrice I ε (che vale 1 se l evento ε si verifica e 0 se l evento ε non si verifica) si può riscrivere il valore atteso precedente come f (t) I t<τ e r(t ) dt. E τ Poiché il valore atteso è un operatore lineare esso «attraversa» l integrale e si può scrivere f (t) E τ [I t<τ ] e r(t ) dt. A questo punto occorre ricordare che il valore atteso della funzione indicatrice di un evento è la probabilità dell evento stesso. In questo modo si può scrivere,ancora, f (t) P {t <τ } e r(t ) dt. Nella prassi attuariale la probabilità che un soggetto, di età, sia ancora vivo in t si usa scrivere come ( t p ) P {t <τ }. Ecco, infine, che si può scrivere il valore attuale di flussi di cassa che sono corrisposti fino alla forme di un soggetto come Z τ f (t) e r(t ) dt = f (t)( t p ) e r(t ) dt. E τ Tale valore è dato da una somma ponderata dei flussi di cassa scontati. I pesi della ponderazione sono pari alla probabilità che, in ogni istante t, il soggetto che riceve detti flussi sia ancora in vita. 6

7 5 La condizione di equilibrio Nel caso in cui la data di morte sia aleatoria, la condizione di equilibrio del sistema FF si può scrivere come Z τ (c (t) I t<t p (t) I t T ) e r(t ) dt =0. E τ In questa versione si sono utilizzate due funzioni indicatrici in modo da poter calcolare il valore attuale della somma (l integrale) tra e τ di tutti i flussi di cassa: dei contributi finché t èminoredit e delle pensioni (con segno opposto) quando t è maggiore di T. Adesso si scrive il valore atteso nella stessa forma che si è mostrata nel paragrafo precedente (c (t) I t<t p (t) I t T ) I t<τ e r(t ) dt =0. E τ Visto che il valore atteso di una differenza è la differenza tra i valori attesi, la condizione di equilibrio, così, si può scrivere come E τ c (t) I t<t I t<τ e r(t ) dt = E τ p (t) I t T I t<τ e r(t ) dt. Se i contributi e le pensioni non sono aleatori, allora il valore atteso vi «passa attraverso» e si «ferma» sulla funzione indicatrice c (t) I t<t E τ [I t<τ ] e r(t ) dt = p (t) I t T E τ [I t<τ ] e r(t ) dt. Sappiamo già che il valore atteso della funzione indicatrice è pari alla probabilità e, dunque, si ha c (t) I t<t ( t p ) e r(t ) dt = p (t) I t T ( t p ) e r(t ) dt. Poiché l integrale a sinistra dell uguale vale zero quando t è maggiore di T mentre l integrale a destra dell uguale vale zero quando t èminoredit allora si può semplificare ancora l equazione avendo Z T c (t)( t p ) e r(t ) dt = T p (t)( t p ) e r(t ) dt. (4) Invito il lettore a confrontare la differenza tra la condizione di equilibrio (2) con la data di morte τ conosciuta e quest ultima condizione. Il fatto che la data di morte sia aleatoria ha influenzato anche la fase di accumulazione del fondo pensione. Nulla ci garantisce, infatti, che tutti i contributi siano versati; il sottoscrittore del fondo potrebbe anche morire prima di aver completato il pagamento di tutti i contributi. 7

8 Figura 2: Probabilità di sopravvivenza esponenziale ( t p ) 6 1 O - t 6 La probabilità di spravvivenza Avendo già indicato con ( t p ) la probabilità che un soggetto avente età sopravviva fiono a t (maggiore di ), dobbiamo capire come questa probabilità si evolva nel tempo. Conosciamo due proprietà che devono valere sicuramente. La prima è: ( p )=1, ovvero, dato che un soggetto ha l età, la probabilità che esso raggiunga l età è uguale a 1 (ovvero è certo che esso ha già raggiunto l età ). La seconda proprietà è lim ( tp )=0, t ovvero nessuno può vivere all infinito. Una delle funzioni più semplice (forse la più semplice) che soddisfa queste condizioni è l esponenziale nella forma seguente: ( t p )=e λ(t ), dove λ viene chiamata forza di mortalità. Se λ =0la probabilità di sopravvivere è sempre pari a 1 (infatti la forza, o l intensità, con cui si muore è nulla). Quando la forza di mortalità tende a infinito la probabilità si sopravvivere tende a zero. La funzione esponenziale di sopravvivenza è disegnata nella Figura 2. 8

9 Non è verosimile che la forza di mortalità sia costante nel tempo. In particolare, sarebbe più verosimile avere una forza di mortalità che cresce nel tempo. Con la funzione esponenziale, per esempio, dato λ =0.01, la probabilità, per un soggetto che ha 20 anni (cioè =20)disopravviverefino a 25 anni (cioè t =25)èparia ( 25 p 20 )=e 0.01(25 20) = = %. La probabilità, invece, di un soggetto che ha 90 anni (cioè = 90) di sopravvivere fino a 95 anni (cioè t =95)èparia ( 95 p 90 )=e 0.01(95 90) = = %. Invito il lettore a meditare sulla ragionevolezza di questo risultato! Ovviamente questo modello semplice viene spesso utilizzao perché permette di ottenere risultato semplici che possono essere sfruttati come punti di riferimento. Dato questo andamento della probabilità il valore dei flussi di cassa f (t) si può scrivere come Z τ f (t) e r(t ) dt = f (t)( t p ) e r(t ) dt E τ = = f (t) e λ(t ) e r(t ) dt f (t) e (r+λ)(t ) dt. Osserviamo, così, una proprietà importante. Flussi di cassa che sono pagabili solo in caso di sopravvivenza di un individuo, sono scontati al tasso r aumentato della forza di mortalità. 7 Il caso più semplice Osservo qui quale relazione deve esistere tra i contributi e le pensioni sotto le seguenti ipotesi semplificatrici: 1. i contributi c (t) sono costanti nel tempo e pari a c; 2. le pensioni p (t) sono costanti nel tempo e pari a p; 3. la forza di mortalità è costante (pari a λ); 4. il tasso di interesse è costante. 9

10 Sotto queste ipotesi la condizione di equilibrio (4) si semplifica come Z T c e (r+λ)(t ) dt = p e (r+λ)(t ) dt. T Calcolando i valori degli integrali si ottiene c 1 t=t r + λ e (r+λ)(t ) = p 1 t= t= r + λ e (r+λ)(t ), t=t µ c 1 r + λ e (r+λ)(t ) + 1 r + λ e (r+λ)( ) µ = p 1 r + λ lim t e (r+λ)(t ) + 1 ) e (r+λ)(t, r + λ µ c 1 r + λ e (r+λ)(t ) = p r + λ r + λ e (r+λ)(t ), ³ c e (r+λ)(t ) +1 = pe (r+λ)(t ), p c = e(r+λ)(t ) 1. Osserviamo quanto segue: 1. quando la data di pensionamento (T ) aumenta il rapporto p/c aumenta poiché, avendo pagato i contributi per un periodo più lungo, si ottengono pensioni più alte; 2. quando la data di sottoscrizione al fondo () aumenta,il rapporto p/c diminuisce poiché si pagano contributi per un periodo di tempo più breve (da fino a T ); 3. quando la forza di mortalità (λ) aumenta,il rapporto p/c aumenta poiché, essendo maggiore la probabilità di morte (ovvero minore la probabilità di sopravvivere), il fondo pensione può permettersi di pagare pensioni più elevate (sarà, infatti, per un periodo di tempo più breve); 4. quando il tasso di interesse (r) aumenta,il rapporto p/c aumenta poiché le cifre future hanno un valore minore e, dunque, le pensioni, che saranno pagate in futuro, devono avere ammontare maggiore per uguagliare il valore attuale dei contributi (che sono più vicini nel tempo). Osserviamo con un esempio numerico come si comporta il rapporto p/c rispetto alle variabili in gioco partendo dal seguente esempio. 10

11 Assumendo che valga: 1. r =0.02; 2. λ =0.01; 3. T =65; 4. =25; in questo caso il rapporto ottimo tra ogni rata di pensione (costante) ricevuta e ogni contributo (costante) pagato è p c = e0.03(65 25) 1= Lasciando fisse tutte le altre variabili e facendo variare T si ottiene la Figura Figura 3: Variazione del rapporto p c rispetto alla data di pensionamento T p/c T 4. Lasciando fisse tutte le altre variabili e facendo variare si ottiene la Figura Lasciando fisse tutte le altre variabili e facendo variare r si ottiene la Figura 11

12 Figura 4: Variazione del rapporto p c rispetto alla data di ingresso nel fondo p/c Ovviamente il comportamento della funzione rispetto alla forza di mortalità (λ) assumelastessaformachesiharispettoaltassodiinteresse. Dai grafici appena riportati si osserva che la variazione dei tassi di interesse può influenzare anche di molto il rapporto di equilibrio tra contibuti e pensioni. La possibilità, dunque, che il tasso di interesse vari nel tempo, può rappresentare un rischio notevole per la gestione del fondo. 8 I rischi del sistema FF La condizione di equilibrio (4) è stata imposta sotto condizioni molto restrittive! Cerchiamo di capire quali sono. 1. Il tasso di interesse senza rischio r è stato mantenuto costante durante un periodo che va da fino a τ. Poiché un soggetto può aderire ad un fondo pensione anche molto giovane (nell esempio precedente = 25) e può decedere anche molto anziano (nell esempio precedente τ =85), tenere il tasso di interesse costante per un periodo di molti anni appare un ipotesi del tutto inverosimile! 2. Si è supposto di conoscere la forza di mortalità la quale, invece, potrebbe subire variazioni imprevedibili nel tempo a causa, per esempio, della scoperta di una nuova medicina. 12

13 Figura 5: Variazione del rapporto p c rispetto al tasso di interesse r p/c r 3. I flussi di cassa analizzati sono tutti nominali e si potrebbero svalutare a causa del variare dell inflazione. Ecco, dunque, che un fondo pensione è soggetto a tre grandi categorie di rischio: 1. Rischio di tasso di interesse: è il rischio che il tasso di interesse si modifichi durante il periodo considerato determinando uno sbilanciamento della condizione di equilibrio data nella (2). 2. Rischio di longevità: è il rischio che, durante il periodo di gestione del fondo, l età media della popolazione aumenti determinando il dovere, per il fondo pensione, di pagare le pensioni per un periodo di tempo più lungo di quello previsto inizialmente. 3. Rischio di inflazione: è il rischio che, durante la fase di accumulazione vi sia un inflazione molto alta la quale diminuisca durante la fase di distribuzione; in questo modo il fondo pensione si ritrova a ricevere denaro svalutato dovendo poi pagare denaro meno svalutato. Come possono essere gestiti questi rischi? 13

14 1. Rieschio di tasso di interesse: per coprire questo rischio ci serve un titolo che sia correlato (in qualsiasi modo - positivamente o negativamente) con il tassodiinteresse. Questotipodititoloesisteesitrattadelleobbligazioni. In particolare, ricordiamo che il valore di un obbligazione con cedola fissa (BTP) aumenta quando il tasso di interesse sul mercato diminuisce. Nel caso delle obbligazioni a cedola variabile (CCT) il loro valore quasi non risente delle oscillazioni dei tassi di interesse. Ricordiamo, ancora, che quando il tasso di interesse aumenta le pensioni che si devono pagare aumentano. La strategia di copertura di questo rischio può essere, dunque, una delle seguenti: (a) acquisto di un obbligazione a cedola variabile: quando i tassi salgono si devono pagare più pensioni ma si hanno anche cedole maggiori che coprono il rischio; (b) emissione di un obbligazione a tasso fisso: quando il tasso di interesse sale e si devono pagare più pensioni, l obbligazione diminuisce di valori e dunque il proprio debito si riduce comportando una plusvalenza che riduce il rischio. 2. Rischio di longevità: per coprire questo rischio ci occorre un titolo che sia correlato con il tasso di mortalità della popolazione. Questo tipo di titolo non esisteva fino a poco tempo fa ma oggi vi sono delle società finanziarie (come Banque National de Paris - BNP) che sono interessate ad emettere tali titoli. In particolare il longevity bond di BNP è fatto nel modo seguente: il titolo ha una scadenza di 25 anni e paga una cedola annuale data da una somma fissa moltiplicata per il tasso di sopravvivenza di una data popolazione. Supposto pari a il numero di soggetti appartenenti a questa popolazione e supposto che l anno successivo la popolazione sia diventata di 985 soggetti (con un tasso di sopravvivenza del 98.5%) il titolo paga una cedola pari a volte la somma investita (per esempio, se la cedola fissa è stabilita in 200 euro si ricevono = 197 euro). L anno successivo, se la popolazione passa a 967 soggetti (con un tasso di sopravvivenza pari a 967/985 = ) allora il titolo in questione, con cedola base fissa a 200 euro, pagherà una cedola di = euro. La strategia ottima è la seguente: visto che all aumentare della longevità si devono pagare pensioni più a lungo, si può acquistare un longevity bond in modo da avere, nel caso di aumento della longevità, anche un aumento delle cedole di questo bond tale da coprire il rischio. 3. Rischio di inflazione: per coprire questo rischio ci occorre un titolo che sia correlato con l inflazione. Per esempio ci occorre un titolo derivato sull indice dei prezzi al consumo. Quando l inflazione è discendente, il fondo 14

15 riceve denaro che si sta svalutando e paga denaro che si svaluta sempre meno; per coprirsi da questo rischio bisogna acquistare un titolo il cui valore sia negativamente correlato all indice di inflazione oppure vendere un titolo il cui valore sia positivamente correlato all indice di inflazione. 15