Figura 1: 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli.

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1 ESERCIZIO 1 Sia dato il grafo orientato in Figura 1. Si consideri il problema di flusso a Figura 1: costo minimo su tale grafo con b 1 = 4 b 2 = 2 b = b 4 = e c 12 = 2 c 1 = 4 c 14 = 1 c 2 = 1 c 4 = 8 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si consideri la base formata dagli archi (1, ), (2, ) e (, 4) e si dimostri che è ammissibile. ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE La formulazione del problema come problema di PLI è la seguente: min 2x x 1 + x 14 + x 2 + 8x 4 x 12 + x 1 + x 14 = 4 (1) x 2 x 12 = 2 (2) 1

2 x 4 x 1 x 2 = () x 14 x 4 = (4) x 12, x 1, x 14, x 2, x 4 0 interi 1) Per ottenere la formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli basta omettere un vincolo, ad esempio quello relativo al nodo 4: min 2x x 1 + x 14 + x 2 + 8x 4 x 12 + x 1 + x 14 = 4 x 2 x 12 = 2 x 4 x 1 x 2 = x 12, x 1, x 14, x 2, x 4 0 interi La matrice dei vincoli (a meno di permutazioni delle colonne) è la seguente: (5) ) La base formata dagli archi (1, ), (2, ) e (, 4) corrisponde all albero di supporto in Figura 2. Per verificare se è ammissibile fisso a 0 i valori delle Figura 2: variabili fuori base (x 12 e x 14 ). I nodi foglia dell albero sono i nodi 1,2 e 4. Per poter soddisfare i vincoli relativi a ciascuno di essi dovrò avere x 1 = 4 (vedi vincolo (1)), x 2 = 2 (vedi vincolo (2)), x 4 = (vedi vincolo (4)). Quindi la soluzione di base corrispondente è: x 12 = x 14 = 0 x 1 = 4 x 2 = 2 x 4 = 2

3 che è ammissibile. ) Partendo da tale base ne calcolo i coefficienti di costo ridotto. c 12 = c 12 + c 2 c 1 = = 1 c 14 = c 14 c 4 c 1 = = 11 La base non è ottima (ci sono coefficienti di costo ridotto negativi). Prendo la variabile fuori base con coefficiente di costo ridotto più piccolo (quindi la x 14 ) e aggiungo il relativo arco all albero di suppporto (vedi Figura ). Si forma un Figura : ciclo ma non è orientato e quindi non possiamo concludere che il problema è illimitato. Faccio crescere a il valore di x 14. Per continuare a rispettare i vincoli dovrò avere x 14 = x 4 = x 1 = 4 x 2 = 2 e, per mantenere le variabili non negative, posso far crescere fino a. A questo punto si annulla x 4 e tolgo l arco relativo. L albero di supporto che mi rimane è la nuova base (vedi Figura 4) con soluzione di base corrispondente x 12 = x 4 = 0 x 1 = 1 x 2 = 2 x 14 =. Rifaccio la verifica di ottimalità calcolando i coefficienti di costo ridotto. c 12 = c 12 + c 2 c 1 = = 1 c 4 = c 4 c 14 + c 1 = = 11 Non posso ancora concludere che la soluzione è ottima. Ripeto il procedimento aggiungendo l arco (1, 2) relativo alla variabile con coefficiente di costo ridotto

4 1 2 4 Figura 4: Figura 5: più piccolo come in Figura 5. Non si forma un ciclo orientato e quindi non posso concludere che il problema è illimitato. Faccio crescere a il valore di x 12. Per continuare a rispettare i vincoli dovrò avere x 12 = x 2 = 2 + x 1 = 1 x 14 = e, per mantenere le variabili non negative, posso far crescere fino a 1. A questo punto si annulla x 1 e tolgo l arco relativo. L albero di supporto che mi rimane è la nuova base (vedi Figura 6) con soluzione di base corrispondente x 1 = x 4 = 0 x 12 = 1 x 2 = x 14 =. Rifaccio la verifica di ottimalità calcolando i coefficienti di costo ridotto. c 1 = c 1 c 2 c 12 = = 1 4

5 1 2 4 Figura 6: c 4 = c 4 c 14 + c 12 + c 2 = = 10 Tutti i coefficienti di costo ridotto sono non negativi (in particolare sono positivi) e quindi la soluzione è ottima, con valore ottimo pari a c 14 + c 12 + c 2 = = 8 4) Ricordando le regole viste per generare un generico problema di PL, avremo che il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo) è il seguente: max 4w 1 + 2w 2 w w 1 w 2 2 w 1, w 2, w w 1 w 4 w 1 1 w 2 w 1 w 8 libere in segno Per determinare la soluzione ottima del duale prendiamo la matrice dei vincoli (5) e consideriamo la matrice B con le sole colonne relative agli archi dell albero di supporto ottimo e il vettore c B con i soli costi di tali archi B = Si risolva quindi il sistema c B = [w 1 w 2 w ]B = c B

6 ovvero w 1 w 2 = 2 w 1 = 1 w 2 w = 1 da cui si ottiene la soluzione ottima del duale w 1 = 1 w 2 = 1 w = 2 con valore ottimo pari a 4w 1 + 2w 2 w = = 8 ESERCIZIO 2 Sia dato il grafo orientato in Figura 7. Si consideri il problema di flusso a Figura 7: costo minimo su tale grafo con b 1 = 2 b 2 = 2 b = 4 b 4 = 6 b 5 = 2 e c 12 = c 1 = c 42 = 2 c 4 = 1 c 45 = 6 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Perché la base ottima contiene certamente la variabile relativa all arco (4, 5)? 6

7 ) Si consideri la base formata dagli archi (1, ), (4, 2), (4, ) e (4, 5) e si dimostri che è ammissibile. 4) Si determini una soluzione ottima del problema. 5) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min x 12 + x 1 + 2x 42 + x 4 + 6x 45 x 12 + x 1 = 2 x 12 x 42 = 2 x 1 x 4 = 4 x 42 + x 4 + x 45 = 6 x 12, x 1, x 42, x 4, x 45 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: ) Ogni base (e quindi anche quella ottima) corrisponde ad un albero di supporto. Un albero di supporto è connesso ma l unico modo per avere il nodo 5 connesso al resto del grafo è includere l arco (4, 5). ) Soluzione di base corrispondente alla base formata dagli archi (1, ), (4, 2), (4, ) e (4, 5): che è ammissibile. x 12 = 0 x 1 = 2 x 4 = 2 x 42 = 2 x 45 = 2 4) Un albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, 2), (4, 2), (4, ) e (4, 5), con soluzione di base corrispondente x 1 = 0 x 12 = 2 x 4 = 4 x 45 = 2 x 42 = 0 con valore ottimo pari a 22. 5) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il 7

8 seguente): La soluzione ottima del duale è max 2w 1 2w 2 4w + 6w 4 w 1 w 2 w 1, w 2, w, w 4 w 1 w w 2 + w 4 2 w + w 4 1 w 4 6 libere in segno w 1 = 7 w 2 = 4 w = 5 w 4 = 6 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè 22. ESERCIZIO Sia dato il grafo orientato in Figura 8. Si consideri il problema di flusso a costo minimo su tale grafo con e 1 2 Figura 8: b 1 = 6 b 2 = 2 b = 4 c 12 = 2 c 1 = 4 c 2 = 1 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si consideri la base formata dagli archi (1, 2) e (1, ) e si dimostri che è ammissibile. 8

9 ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 2x x 1 + x 2 x 12 + x 1 = 6 x 2 x 12 = 2 x 12, x 1, x 2 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: [ ) Soluzione di base corrispondente alla base formata dagli archi (1, 2) e (1, ): che è ammissibile. x 12 = 2 x 1 = 4 x 2 = 0 ) L albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, 2) e (2, ), con soluzione di base corrispondente x 1 = 0 x 12 = 6 x 2 = 4 con valore ottimo pari a 16. 4) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): La soluzione ottima del duale è max 6w 1 2w 2 w 1 w 2 2 w 1, w 2 w 1 6 w 2 1 ] libere in segno w 1 = w 2 = 1 9

10 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè 16. ESERCIZIO 4 Sia dato il grafo orientato in Figura 9. Si consideri il problema di flusso a Figura 9: costo minimo su tale grafo con e b 1 = 6 b 2 = 5 b = 2 b 4 = 4 b 5 = 5 c 21 = 2 c 2 = 2 c 1 = 6 c 25 = 2 c 42 = 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Perché la base ottima contiene certamente le variabili relative agli archi (2, 5) e (4, 2)? ) Si consideri la base formata dagli archi (2, ), (4, 2), (, 1) e (2, 5) e si dimostri che è ammissibile. 4) Si determini una soluzione ottima del problema. 5) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. 10

11 SOLUZIONE 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 2x x 2 + 2x x 1 + x 42 x 21 x 1 = 6 x 21 + x 2 + x 25 x 42 = 5 x 1 x 2 = 2 x 42 = 4 x 21, x 1, x 2, x 42, x 25 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: ) Ogni base (e quindi anche quella ottima) corrisponde ad un albero di supporto. Un albero di supporto è connesso ma l unico modo per avere il nodo 5 connesso al resto del grafo è includere l arco (2, 5) e l unico modo per avere il nodo 4 connesso al resto del grafo è includere l arco (4, 2). ) Soluzione di base corrispondente alla base formata dagli archi (2, ), (, 1), (2, 5) e (4, 2): che è ammissibile. x 2 = 4 x 21 = 0 x 1 = 6 x 42 = 4 x 25 = 5 4) Un albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (2, 1), (, 1), (2, 5) e (4, 2): x 2 = 0 x 21 = 4 x 1 = 2 x 42 = 4 x 25 = 5 con valore ottimo pari a 26. 5) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): max 6w 1 + 5w 2 + 2w + 4w 4 w 1 + w 2 2 w 2 w 2 w

12 w 1 + w 6 w 2 + w 4 w 1, w 2, w, w 4 libere in segno La soluzione ottima del duale è w 1 = 4 w 2 = 2 w = 10 w 4 = 5 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè 26. ESERCIZIO 5 Sia dato il grafo orientato in Figura 10. Si consideri il problema di flusso a costo minimo su tale grafo con 1 2 Figura 10: b 1 = 8 b 2 = 2 b = 6 e c 12 = 4 c 1 = 8 c 2 = 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si determini con il metodo due fasi una base ammissibile. ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. 12

13 SOLUZIONE 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 4x x 1 + x 2 x 12 + x 1 = 8 x 2 x 12 = 2 x 12, x 1, x 2 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: [ ) Per ottenere una base ammissibile con il metodo due fasi, dobbiamo prima risolvere un problema di I fase in cui aggiungiamo il nodo q e un arco che collega q come in Figura 11 con ognuno degli altri nodi e con e b q = 0 b 1 = 8 b 2 = 2 b = 6 c 12 = 0 c 1 = 0 c 2 = 0 c 1q = 1 c q2 = 1 c q = 1 La risoluzione di questo problema di I fase restituisce un albero di supporto ottimo formato dagli archi (1, 2), (1, ) e (1, q) che è quello indicato in Figura 12 con soluzione di base corrispondente x 12 = 2 x 1 = 6 x 1q = 0 x 2 = 0 x q2 = 0 x q = 0 e valore ottimo 0 (si noti che, dal momento che durante la risoluzione del problema di I fase si possono fare in alcuni punti delle scelte arbitrarie, può accadere che l albero di supporto ottimo ottenuto sia diverso). Rimuovendo l unico arco della base incidente sul nodo q si ottiene l albero di supporto ammissibile per il problema di II fase (il problema originario) formato dagli archi (1, 2) e (1, ) con soluzione di base corrispondente: x 12 = 2 x 1 = 6 x 2 = 0. ] ) L albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, 2) e (2, ), con soluzione di base corrispondente x 1 = 0 x 12 = 8 x 2 = 6 1

14 1 2 q Figura 11: con valore ottimo pari a 50. 4) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): La soluzione ottima del duale è max 8w 1 2w 2 w 1 w 2 4 w 1, w 2 w 1 8 w 2 libere in segno w 1 = 7 w 2 = con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè 50. ESERCIZIO 6 Sia dato il grafo orientato in Figura 1. costo minimo su tale grafo con b 1 = 2 b 2 = 5 b = 5 b 4 = 8 Si consideri il problema di flusso a 14

15 1 2 q Figura 12: e c 12 = 2 c 1 = 1 c 42 = 2 c 4 = 7 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si determini con il metodo due fasi una base ammissibile. ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 2x 12 + x 1 + 2x x 4 x 12 + x 1 = 2 15

16 1 2 4 Figura 1: x 12 x 42 = 5 x 1 x 4 = 5 x 12, x 1, x 42, x 4 0 La matrice dei vincoli è la seguente: interi 2) Per ottenere una base ammissibile con il metodo due fasi, dobbiamo prima risolvere un problema di I fase in cui aggiungiamo il nodo q e un arco che collega q come in Figura 14 con ognuno degli altri nodi e con e b q = 0 b 1 = 2 b 2 = 5 b = 5 b 4 = 8 c 12 = 0 c 1 = 0 c 42 = 0 c 4 = 0 c 1q = 1 c q2 = 1 c q = 1 c 4q = 1 La risoluzione di questo problema di I fase restituisce un albero di supporto ottimo formato dagli archi (1, 2), (4, 2), (4, ) e (q, 2) con soluzione di base corrispondente x 12 = 2 x 42 = x 4 = 5 x q2 = 0 x 1 = 0 x 1q = 0 x q = 0 x 4q = 0 e valore ottimo 0 (si noti che, dal momento che durante la risoluzione del problema di I fase si possono fare in alcuni punti delle scelte arbitrarie, può accadere che l albero di supporto ottimo ottenuto sia diverso). Rimuovendo l unico arco della base incidente sul nodo q e la relativa variabile si ottiene l albero di supporto ammissibile per il problema di II fase (il problema originario) formato dagli archi (1, 2), (4, 2), (4, ) con soluzione di base corrispondente: x 12 = 2 x 42 = x 4 = 5 x 1 = 0 16

17 1 2 4 q Figura 14: ) L albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, ), (4, 2), (4, ), con soluzione di base corrispondente x 1 = 2 x 42 = 5 x 4 = x 12 = 0 con valore ottimo pari a. 4) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): La soluzione ottima del duale è max 2w 1 5w 2 5w w 1 w 2 2 w 1, w 2, w w 1 w 1 w 2 2 w 7 libere in segno w 1 = 6 w 2 = 2 w = 7 17

18 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè. ESERCIZIO 7 Sia dato il grafo orientato in Figura 15. Si consideri il problema di flusso a 1 2 costo minimo su tale grafo con Figura 15: 4 b 1 = 2 b 2 = b = 11 b 4 = 4 b 5 = 8 5 e c 12 = 2 c 2 = c 4 = 11 c 51 = 5 c 54 = 4 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si consideri la base formata dagli archi (1, 2), (4, ), (5, 1) e (5, 4) e si dimostri che è ammissibile. ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE 18

19 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 2x 12 + x x 4 + 5x x 54 x 12 x 51 = 2 x 2 x 12 = x 2 x 4 = 11 x 4 x 54 = 4 x 12, x 2, x 4, x 51, x 54 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: ) Soluzione di base corrispondente alla base formata dagli archi (1, 2), (4, ), (5, 1) e (5, 4): che è ammissibile. x 12 = x 4 = 11 x 51 = 1 x 54 = 7 x 2 = 0 ) L albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, 2), (2, ), (4, ) e (5, 1): x 12 = 10 x 4 = 4 x 51 = 8 x 54 = 0 x 2 = 7 con valore ottimo pari a ) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): La soluzione ottima del duale è max 2w 1 w 2 11w + 4w 4 w 1 w 2 2 w 1, w 2, w, w 4 w 2 w w + w 4 11 w 1 5 w 4 4 libere in segno w 1 = 5 w 2 = 7 w = 10 w 4 = 1 19

20 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè 125. ESERCIZIO 8 Sia dato il grafo orientato in Figura 16. Si consideri il problema di flusso a costo minimo su tale grafo con Figura 16: b 1 = 14 b 2 = 4 b = 12 b 4 = 2 e c 12 = 4 c 1 = 20 c 14 = 0 c 2 = 1 c 24 = 4 c 4 = 4 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli. 2) Si consideri la base formata dagli archi (1, 2), (2, 4) e (4, ) e si dimostri che è ammissibile. ) Si determini una soluzione ottima del problema. 4) Si scriva il duale del rilassamento lineare di tale problema (espresso con un numero minimo di vincoli) e se ne determini una soluzione. SOLUZIONE 20

21 1) Formulazione del problema come problema di PLI con un numero minimo di vincoli : min 4x x 1 + 0x 14 + x 2 + 4x x 4 x 12 + x 1 + x 14 = 14 x 2 + x 24 x 12 = 4 x 1 x 2 x 4 = 12 x 12, x 1, x 14, x 2, x 24, x 4 0 interi La matrice dei vincoli è la seguente: ) Soluzione di base corrispondente alla base formata dagli archi (1, 2), (2, 4) e (4, ): x 12 = 14 x 24 = 10 x 4 = 12 x 1 = x 14 = x 2 = 0 che è ammissibile. ) L albero di supporto ottimo è quello formato dagli archi (1, 2), (2, ) e (4, ): x 12 = 14 x 2 = 10 x 4 = 2 x 1 = x 14 = x 24 = 0 con valore ottimo pari a 74. 4) Il duale del nostro problema (si ricordi l omissione dell ultimo vincolo è il seguente): La soluzione ottima del duale è max 14w 1 4w 2 12w w 1 w 2 4 w 1, w 2, w w 1 w 20 w 1 0 w 2 w 1 w 2 4 w 4 libere in segno w 1 = 1 w 2 = w = 4 con valore ottimo pari a quello del primale (come deve sempre accadere), cioè