1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4

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1 1 POLINOMIO DI TAYLOR 1 Formula di Taylor Indice 1 Polinomio di Taylor 1 Formula di Taylor 3 Alcuni sviluppi notevoli 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei iti 4 5 Soluzioni degli esercizi 6 La formula di Taylor è uno dei risultati più importanti dell analisi matematica. Detto in modo molto approssimativo, il teorema dice che una funzione derivabile un certo numero di volte può essere approssimata con un polinomio, cioè con una funzione particolarmente semplice. Che cosa si debba intendere con può essere approssimata viene precisato appunto nel teorema detto Formula di Taylor. 1 Polinomio di Taylor Definizione Siano I un intervallo aperto, x 0 I e f : I R una funzione derivabile n volte in x 0. Si chiama polinomio di Taylor di f di grado n centrato in x 0 il polinomio p n,x0 x) = fx 0 )+Dfx 0 )x x 0 )+ D fx 0 ) x x 0 ) Dn fx 0 ) x x 0 ) n! n! n D k fx 0 ) = x x 0 ) k 1. k! k=0 Osserviamo che il polinomio di Taylor di primo grado è E osserviamo anche che p 1,x0 x) = fx 0 )+x x 0 )Dfx 0 ). y = p 1,x0 x), cioè y = fx 0 )+f x 0 )x x 0 ), è l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x 0,fx 0 ) ). Esempio Se consideriamo la funzione fx) = e x e il punto x 0 = 1, possiamo osservare che la funzione è certamente derivabile almeno due volte in x 0 è derivabile infinite volte in qualunque punto) e quindi possiamo ad esempio scrivere il suo polinomio di Taylor di terzo grado cioè con n = 3) centrato in x 0 : p 3,x0 = e+ex 1)+ e x 1) + e 6 x 1)3. Vedremo in seguito con il teorema che il polinomio di Taylor di grado n centrato in x 0 è il polinomio di grado n che meglio approssima f in un intorno di x 0. Si potrebbero dimostrare ora due interessanti proprietà del polinomio di Taylor di grado n centrato in x 0 : i) p n,x0 è l unico polinomio di grado n tale che D k p n,x0 x 0 ) = D k fx 0 ) per ogni k = 0,1,...,n; ii) se f è un polinomio di grado n, allora p n,x0 = f. 1 Ricordo che abbiamo in precedenza posto per comodità D 0 f = f.

2 3 ALCUNI SVILUPPI NOTEVOLI Osservazioni La i) afferma che c è un solo polinomio di grado n il cui valore in x 0 e le cui derivate in x 0 fino all ordine n coincidono rispettivamente con il valore di f in x 0 e con le derivate di f in x 0 fino all ordine n: si tratta del polinomio di Taylor di f di grado n centrato in x 0. Dato che un polinomio è una funzione derivabile, ovviamente si può scrivere il polinomio di Taylor di un certo grado, centrato in un dato punto, di un polinomio. La ii) afferma che se scrivo il polinomio di Taylor di grado n di un polinomio di grado n, centrato in un qualunque punto, ottengo il polinomio stesso da cui sono partito. Facciamo una semplice verifica in un caso particolare. Prendiamo il polinomio Px) = x 3 +x+1 e costruiamo il suo polinomio di Taylor di grado 3 centrato ad esempio in x 0 = 1. Abbiamo da cui Px) = x 3 +x+1, P x) = 3x +1, P x) = 6x, P x) = 6, P1) = 3, P 1) = 4, P 1) = 6, P 1) = 6. Quindi il polinomio di Taylor di P di grado 3 centrato in x 0 = 1 è p 3,1 x) = 3+4x 1)+ 6 x 1) x 1)3 = 3+4x 1)+3x 1) +x 1) 3. Si verifica subito che, fatti i conti, si tratta dello stesso Px). È del tutto ovvio che, se scrivo invece il polinomio di Taylor di Px) di grado minore di 3, non si ottiene Px). Esercizio 1.1 Scrivere il polinomio di Taylor indicato delle seguenti funzioni. a) p 3,1 x) di fx) = x 4 x +1 b) p,e x) di fx) = lnx c) p, x) di fx) = 1 x Formula di Taylor Il teorema seguente contiene una delle formule più importanti dell Analisi matematica. Teorema formula di Taylor). Siano I un intervallo aperto, n N e x 0 I. Sia poi f : I R derivabile n volte in x 0. Allora fx) p n,x0 x) = o x x 0 ) n) per x x 0. Osservazione Nella formula di Taylor n è detto l ordine della formula. Osservazione La tesi dice che lo scarto tra la funzione f ed il suo polinomio di Taylor di grado n, centrato in un certo punto x 0, è una quantità trascurabile rispetto allo scarto x x 0 elevato alla n, quando x tende a x 0. Vuol dire che lo scarto tra la f ed il suo polinomio di Taylor va a zero più rapidamente di quanto non faccia x x 0 ) n, sempre per x x 0. In questo aspetto sta la capacità del polinomio di Taylor di approssimare la funzione. E ancora, dato che compare la potenza n-esima dello scarto x x 0, significa in qualche modo che, tanto più elevato è il grado del polinomio e tanto migliore sarà questa approssimazione. 3 Osservazione Si faccia attenzione a non dare a quanto appena detto una validità troppo generale. Mi spiego: lo scarto tra la funzione f ed il suo polinomio di Taylor è sì trascurabile rispetto all altra quantità, ma questo vale per x x 0, non vale in generale. In altre parole l approssimazione può essere buona in prossimità di x 0, ma non possiamo pretendere che sia sempre buona, anche quando siamo lontani da x 0. D altro canto p n,x0 è un polinomio, mentre f può essere qualcosa di molto più complicato, e non possiamo pensare che lo stesso polinomio sia in grado di approssimare bene al funzione in tutto il suo dominio. 3 Alcuni sviluppi notevoli Vediamo alcuni esempi di calcolo del polinomio di Taylor di funzioni elementari e di scrittura delle relative formule di Taylor. Per ovvi motivi, il caso più semplice è quello della funzione esponenziale fx) = e x. Calcoliamo il suo polinomio di Taylor di grado n centrato in x 0 = 0. Dato che D n e x = e x, le derivate, calcolate in x 0 = 0, sono tutte uguali a 1. Quindi, per la funzione esponenziale si ha p n,0 x) = 1+x+ x! + x3 xn n ! n! = x k k!. k=0 Abbiamo visto che i polinomi appartengono alla classe C R). 3 Si ricordi che, parlando di quantità infinitesime, cioè tendenti a zero, più la potenza è elevata e più rapidamente queste vanno a zero.

3 3 ALCUNI SVILUPPI NOTEVOLI 3 La formula di Taylor è allora e x = 1+x+ x! + x3 xn ! n! +oxn ), per x 0. Tale formula, essendo valida per ogni n, può essere utilizzata di volta in volta con l ordine n più opportuno. 4 Vediamo un altro esempio, relativo alla funzione logaritmica. Con fx) = ln x, non possiamo calcolare il polinomio centrato in x 0 = 0 cosa che sarebbe ovviamente comoda). Allora sono possibili due alternative: mantenere la funzione fx) = lnxecentrarelaformulainun puntodiversodazeroadesempioprenderex 0 = 1), oppurecambiarelafunzione per poterla centrare in x 0 = 0. Solitamente si preferisce la seconda e si considera la funzione fx) = ln1+x). Quindi funzione logaritmica fx) = ln1+x). Calcoliamo il suo polinomio di Taylor di grado n centrato in x 0 = 0. Le prime derivate di f sono Dfx) = 1+x) 1, D fx) = 1+x), D 3 fx) = 1+x) 3, D 4 fx) = 61+x) 4... quindi, calcolando le derivate in x 0 = 0, abbiamo Df0) = 1, D f0) = 1, D 3 f0) =, D 4 f0) = 6... Il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in x 0 = 0 è allora p 4,0 x) = x 1! x + 3! x3 6 4! x4 = x x + x3 3 x4 4. Si capisce facilmente che l espressione generale del polinomio di grado n si può scrivere con La formula di Taylor di ordine 4 è allora e quella di ordine n è p n,0 x) = x x + x3 3 x4 4 1)n x n. n ln1+x) = x x + x3 3 x4 4 +ox4 ), per x 0 ln1+x) = x x + x3 3 x4 4 1)n x n +ox n ), per x 0. 5 n Lo studente per esercizio può ricavare la formula della funzione fx) = lnx centrata in x 0 = 1. Altra funzione elementare importante è la funzione potenza x x α. Qui si presenta lo stesso problema della funzione logaritmica: per alcuni valori di α la funzione può non essere definita in zero α negativo o irrazionale) e per altri può non essere derivabile in zero ad esempio α = 1/3). Allora come prima manteniamo il punto centrale x 0 = 0 ma cambiamo la funzione considerando la funzione potenza fx) = 1 + x) α. Scriviamo la formula di Taylor di ordine n centrata in x 0 = 0. Le prime derivate di f sono Dfx) = α1+x) α 1, D fx) = αα 1)1+x) α, D 3 fx) = αα 1)α )1+x) α 3... da cui, calcolando in x 0 = 0, si ha Df0) = α, D f0) = αα 1), D 3 f0) = αα 1)α )... 4 Significa che potremo scrivere e x = 1+x+ox), oppure e x = 1+x+ x! +ox ), e così via, a seconda delle necessità. 5 Si può scrivere in forma compatta, con il simbolo di sommatoria, n 1) k 1 ln1+x) = x k +ox n ), per x 0. k k=0 Casi notevoli sono: al primo ordine lnx = x+ox), al secondo ordine lnx = x x +ox ), x 0.

4 4 USO DELLA FORMULA DI TAYLOR NEL CALCOLO DEI LIMITI 4 La formula di Taylor di ordine 3 è allora 1+x) α = 1+αx+ αα 1)! La formula di Taylor di ordine n è 1+x) α = 1+αx+ αα 1) x + αα 1)α ) x 3 +ox 3 ), per x 0. 3! x αα 1) α n+1) x n +ox n ), per x 0. 6 n! Riassumo qui di seguito gli sviluppi di Taylor trovati: e x = 1+x+ x! + x3 xn ! n! +o x n), per x 0. ln1+x) = x x + x3 3 1+x) α = 1+αx+ αα 1) 1)n x n +o x n), per x 0. n x αα 1) α n+1) x n +ox n ), per x 0. n! Esercizio 3.1 Scrivere la formula di Taylor del secondo ordine delle seguenti funzioni, centrata nel punto x 0 indicato. a) fx) = x+1/x, in x 0 = 1 b) fx) = lnx+), in x 0 = 1 c) fx) = e 1/x, in x 0 = 1 d) fx) = x, in x 0 = 4 Esercizio 3. Scrivere la formula di Taylor di almeno il terzo ordine delle seguenti funzioni, centrata nel punto x 0 indicato, ricavandola dagli sviluppi noti con sviluppi noti intendo quelli di e x, ln1+x) e 1+x) α, per x 0). a) fx) = e x, in x 0 = 0 b) fx) = e x, in x 0 = 0 c) fx) = xln1 x), in x 0 = 0 d) fx) = ln1+x ), in x 0 = 0 e) fx) = 1+x, in x 0 = 0 f) fx) = ln 1+x), in x 0 = 0 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei iti La formula di Taylor può essere molto utile nel calcolo dei iti. Vediamo un po di esempi in merito. Esempi e x 1 Consideriamo il ite notevole. Per la formula di Taylor, e x = 1+x+ox), per x 0. Quindi x 0 x e x 1 1+x+ox) 1 x+ox) = = = 1. x 0 x x 0 x x 0 x ln1+x) Consideriamo l altro ite notevole. Per la formula di Taylor abbiamo che ln1+x) = x+ox), x 0 x per x 0. Quindi ln1+x) x+ox) = = 1. x 0 x x 0 x 6 Un caso notevole è per la funzione fx) = 1+x, per la quale si ha, al primo ordine 1+x = x + 1 x + ox), x 0, e al secondo ordine 1+x = x+ 1 x 1 8 x +ox ), x 0.

5 4 USO DELLA FORMULA DI TAYLOR NEL CALCOLO DEI LIMITI 5 1+x) α 1 Consideriamo il terzo ite notevole:. Per la formula di Taylor abbiamo che 1 + x) α = x 0 x 1+αx+ox), per x 0. Quindi 1+x) α 1 1+αx+ox) 1 αx+ox) = = = α. x 0 x x 0 x x 0 x Negli esempi fin qui visti sono sempre stati sufficienti gli sviluppi al primo ordine, ma può succedere che non sia così, come nel seguente esempio: e x 1 x Consideriamo il. Se usiamo la formula del primo ordine abbiamo x 0 x e x 1 x 1+x+ox) 1 x ox) x 0 x = x 0 x = x 0 x e qui non possiamo stabilire il risultato. Se invece usiamo la formula del secondo ordine abbiamo e x 1 x 1+x+ x x 0 x = +ox x ) 1 x x 0 x = +ox ) x 0 x = 1. ln1+x) x Consideriamo il. Se usiamo la formula del primo ordine abbiamo x 0 x ln1+x) x x+ox) x ox) x 0 x = x 0 x = x 0 x e non possiamo stabilire il risultato. Se invece usiamo la formula del secondo ordine abbiamo ln1+x) x x x x 0 x = +ox ) x x x 0 x = +ox ) x 0 x = 1. x ln1+x) Consideriamo il x 0 1. Qui in realtà basta la formula del primo ordine. Infatti abbiamo 1+x x ln1+x) x x = x 0 x x+ox) 1 1 x = +ox) x 0 Lo studente, per esercizio, provi a risolverlo usando la formula al secondo ordine. x ox) = 0. +ox) Osservazione È chiaro che a priori non possiamo sapere se basterà la formula del primo ordine o sarà necessaria quella di un ordine più elevato. Si può provare con il primo e, se ci si accorge che non basta, si prova con il secondo. Dagli sviluppi notevoli si ricavano immediatamente gli equivalenti sviluppi a +. Chiarisco il significato. Consideriamo ad esempio la funzione fx) = ln 1+ x) 1. La quantità 1 x tende a zero per x +. Quindi, usando la formula di Taylor del primo ordine possiamo scrivere ln 1+ 1 ) = 1 ) 1 x x +o, per x +. x Analogamente abbiamo e 1/x = 1+ 1 x +o 1 x ), per x +. E ancora 1+ 1 ) α = 1+ α ) 1 x x +o, per x +. x Possiamo generalizzare quanto appena visto. Se f è una funzione che tende a zero per x c qualunque, anche infinito), allora valgono i seguenti sviluppi del primo ordine: ln 1+fx) ) = fx)+o fx) ), per x c e fx) = 1+fx)+o fx) ), per x c

6 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 1+fx) ) α = 1+αfx)+o fx) ), per x c Lo studente per esercizio scriva le corrispondenti formule del secondo ordine. Esempi Possiamo scrivere ad esempio ln 1+x ) = x +o x ), per x 0 e x = 1+ x+o x ), per x 0 1 x = 1 x +o x ), per x 0. La formula quindi può essere utilmente applicata anche in situazioni che apparentemente non sembrano adatte, ad esempio quelle di calcolo di iti con x che tende all infinito. Esempio Consideriamo il x e 1/x 1 )). Si tratta di una f.i. del tipo + 0. Usando uno degli sviluppi visti sopra si può scrivere x e 1/x 1 )) = x 1+1/x+o1/x) 1 )) = Si poteva però anche utilizzare il cambio di variabile 1/x = y e ottenere 5 Soluzioni degli esercizi x e 1/x 1 )) e y 1 = y 0 + y per la formula di Taylor) = y 0 + y +oy) y = y = +. y x+o1/x) ) = +. Esercizio 1.1 a) Le derivate di f sono f x) = 4x 3 x, f x) = 1x, f x) = 4x e quindi si ha f1) = 1, f 1) =, f 1) = 10, f 1) = 4. Pertanto il polinomio è p 3,1 x) = 1+x 1)+ 10! x 1) + 4 3! x 1)3 = 1+x 1)+5x 1) +4x 1) 3. b) Le derivate di f sono e quindi si ha fe) = 1, f e) = 1 e, f e) = 1 e. f x) = 1 x, f x) = 1 x Pertanto il polinomio è p,e x) = 1+ 1 e x e) 1 e x e). c) Le derivate di f sono e quindi si ha f) = 1, f ) = 1 4, f ) = 1 4. f x) = 1 x, f x) = x 3 Pertanto il polinomio è p, x) = x )+ 1 8 x ).

7 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 7 Esercizio 3.1 a) La funzione è derivabile almeno due volte in un intorno di x 0 = 1 e si ha f x) = 1 1/x e f x) = /x 3, da cui f 1) = 0 e f 1) =. Pertanto la formula di Taylor è x+1/x = +0 x 1)+ x 1) +o x 1) ) = +x 1) +o x 1) ), per x 1. b) La funzione è derivabile almeno due volte in un intorno di x 0 = 1 e si ha f x) = 1/x+) e f x) = 1/x+), da cui f 1) = 1 e f 1) = 1. Pertanto la formula di Taylor è lnx+) = 0+1 x+1) 1 x+1) +o x+1) ) = x+1 1 x+1) +o x+1) ), per x 1. c) La funzione è derivabile almeno due volte in un intorno di x 0 = 1 e si ha f x) = e 1/x 1/x ) e f x) = e 1/x 1/x 4 +e 1/x /x 3. Pertanto la formula di Taylor è e 1/x = e ex 1)+ 3 ex 1) +o x 1) ), per x 1. d) La funzione è derivabile almeno due volte in un intorno di x 0 = 4 e si ha Pertanto la formula di Taylor è f x) = 1 x e f x) = 1 4 x 3. 1 x = + 4 x 4) x 4) +o x 4) ) = x 4) 1 64 x 4) +o x 4) ), per x 4. Esercizio 3. a) fx) = e x, con x 0 = 0. Dallo sviluppo di e y = 1+y+y /+oy ), per y 0, sostituendo ad y la quantità x, si ottiene e x = 1+x)+ x) +o x) ), per x 0 e cioè e x = 1+x+x +o x ), per x 0. b) fx) = e x, con x 0 = 0. Dallo sviluppo di e y = 1+y +y /+oy ), per y 0, sostituendo ad y la quantità x, si ottiene e x = 1+ x )+ x ) +o x ) ), per x 0 e cioè e x = 1 x + x4 +o x 4), per x 0.

8 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 8 c) fx) = xln1 x), con x 0 = 0. Dallo sviluppo di ln1+y) = y y /+oy ), per y 0, sostituendo ad y la quantità x, si ottiene e quindi ln1 x) = x x +o x ), per x 0 xln1 x) = x x3 +o x 3), per x 0. d) fx) = ln1+x ), con x 0 = 0. Ancora dallo sviluppo di ln1+y) = y y /+oy ), per y 0, sostituendo ad y la quantità x, si ottiene ln1+x ) = x x4 +o x 4), per x 0. e) fx) = 1+x, con x 0 = 0. Dallo sviluppo di 1+x = 1+ 1 x 1 8 x +ox ) si ottiene 1+x = 1+ 1 x 1 8 x4 +o x 4), per x 0. f) fx) = ln 1+x), con x 0 = 0. Partiamo dallo sviluppo del secondo ordine di ln1+x) = x x /+ox ), per x 0. Allora possiamo scrivere ) ln 1+x) = x x +ox ). Procedendo formalmente e sviluppando il quadrato del trinomio potenze notevoli della prima lezione del corso) possiamo scrivere ) x x +ox ) = x + x4 4 +ox4 ) x 3 +ox 3 )+ox 4 ). 7 Si faccia attenzione ora. La scrittura ottenuta è corretta, ma volendo semplificarla riunendo le quantità trascurabili, ci permette di scrivere solo x x 3 +ox 3 ). In altre parole, non possiamo tenere per buone le quarte potenze, data la presenza di quantità ox 3 ) si consideri che x 4 è ox 3 )). Abbiamo ottenuto quindi lo sviluppo del terzo ordine, e non del quarto come forse si poteva sperare. Ora vediamo che cosa avremmo ottenuto partendo dallo sviluppo del primo ordine ln1 + x) = x + ox), per x 0. Elevando al quadrato x+ox)) = x +ox )+ox ) = x +ox ). Non possiamo avere nessuna informazione in più oltre a quella fornita dall unico termine non trascurabile. 7 Si ricordi, lo abbiamo visto in una precedente lezione, che sono del tutto leciti passaggi formali del tipo x ox) = ox ) oppure ox)) = ox ). Non valgono per le proprietà delle potenze, ma valgono in conseguenza della definizione del simbolo o.