Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE.

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1 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) Prova di giovedi febbraio 2005 (tempo a disposizione: 3 ore). consegna compiti e inizio orale Lunedì 2 ore 9,30 Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. Esercizio. A e B si sfidano in una serie di 2 partite a scacchi. Supponiamo che in ogni partita vi sia una probabilità del 60% che vinca A, del 35% che vinca B e del 5% che la partita venga chiusa in pareggio; si suppone inoltre che i risultati delle diverse partite siano completamente indipendenti fra di loro. (Attenzione: il quesito e) può essere svolto prima dei quesiti con l asterisco) a) a-i Qual è la probabilità che A non vinca nella a partita? a-ii E quella che A perda nella a partita? a-iii Infine, sapendo che A non ha vinto nella a partita, qual è la probabilità che A perda nella a partita? b) b-i Qual è la probabilità che A vinca tutte le 2 partite? b-ii E quella che A perda almeno una delle partite? b-iii Infine qual è la probabilità che A vinca esattamente k partite?(specificare per quali valori di k tale probabilità risulta positiva) c)* Qual è la probabilità di {A vince esattamente partite e B vince esattamente 3 partite}? d)* Sapendo che A ha vinto esattamente partite, qual è la probabilità che vi sia stata esattamente una partita terminata in pareggio? e) Supponiamo ora che, nel corso del tempo, vengano giocate 400 partite fra A e B (sempre sotto le condizioni enunciate sopra). In termini del Teorema Centrale del Limite trovare un approssimazione per la probabilità che il numero delle partite vinte da A sia compreso fra 220 e 260. Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità di probabilità data da 0 per x f(x) = k x per < x < 4 0 per x 4 a) Calcolare il valore di k. b) Mostrare che E(X) = 93/35. c) Calcolare la funzione di distribuzione di X. d) FACOLTATIVO Calcolare P ( X 3/2). Esercizio 3. X ed Y sono due variabili aleatorie discrete con distribuzione di probabilità descritta nella seguente tabella a) Calcolare il valore di c. b) Calcolare E(Y ) ed E(XY ). c) Calcolare P (Y = 0 X = 3). d) Calcolare P (X + Y 2). Y \X c 2c 2c c

2 FOGLIO RISPOSTE della prova di giovedì febbraio 2005 NOME e COGNOME... canale NAPPO canale SPIZZICHINO Esercizio. a-i) P(A non vinca nella a partita)=... a-ii) P(A perde nella a partita)=... a-iii) sapendo che A non ha vinto nella a partita, la probabilità che A perda nella a partita=... b-i) P(A vince tutte le 2 partite)=... b-ii)p(a perde almeno una delle partite)=... b-iii) P(A vince esattamente k partite)=... c)* P(A vince esattamente partite e B vince esattamente 3 partite)=... d)* Sapendo che A ha vinto esattamente partite, la probabilità che vi sia stata esattamente una partita terminata in pareggio=... e) La probabilità che su 400 partite il numero delle partite vinte da A sia compreso fra 220 e Esercizio 2. a) k=... b) Mostrare che E(X) = 93/35 svolto... non svolto... c) La funzione di distribuzione di X vale... per... F (x) =... per per... d) FACOLTATIVO P ( X 3/2)=... Esercizio 3. a) c=... b) E(Y )=... ed E(XY )=... c) P (Y = 0 X = 3)=... d) P (X + Y 2)=... 2

3 Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) SOLUZIONI della prova di giovedì Febbraio 2005 Esercizio. A e B si sfidano in una serie di 2 partite a scacchi. Supponiamo che in ogni partita vi sia una probabilità del 60% che vinca A, del 35% che vinca B e del 5% che la partita venga chiusa in pareggio; si suppone inoltre che i risultati delle diverse partite siano completamente indipendenti fra di loro. (Attenzione: il quesito e) può essere svolto prima dei quesiti con l asterisco) a-i) Qual è la probabilità che A non vinca nella a partita? soluzione di a-i): La probabilità vale 40/00 = 2/5 posto A = {A vince nella a partita} si ha p A = P (A ) = 60/00 = 3/5 e si cerca P (A c ) = P (A ) = 60/00 = 40/00 = 2/5. a-ii) E quella che A perda nella a partita? soluzione di a-ii): La probabilità vale 35/00 = /20 posto B = {B vince nella a partita} = {A perde nella a partita} e si ha p B = P (B ) = 35/00 = /20. a-iii) Infine, sapendo che A non ha vinto nella a partita, qual è la probabilità che A perda nella a partita? soluzione di a-iii): La probabilità vale 35/40 = /8 si cerca P (B A c ) = P (B A c ) P (A c ) = P (B ) P (A c ) = = 8. b-i) Qual è la probabilità che A vinca tutte le 2 partite? soluzione di b-i): La probabilità vale (3/5) 2 posto A i = {A vince nella i sima partita} si ha che gli eventi A i sono indipendenti, con P (A i ) = p A = 60/00 = 3/5, e si cerca P ( 2 i= A i ) = 2 i= P (A i ) = ( ) b-ii) E quella che A perda almeno una delle partite? soluzione di b-ii): La probabilità vale (3/20) 2, posto B i = {B vince nella i sima partita} = {A perde nella i sima partita}, gli eventi B i sono indipendenti, con P (B i ) = p B == 35/00 = /20, e si cerca ( ( 2 P i= Bi c ) c 2 ) = P Bi c = i= 2 i= ( P (Bi ) = 20) 2 = ( )

4 b-iii) Infine qual è la probabilità che A vinca esattamente k partite? (specificare per quali valori di k tale probabilità risulta positiva) soluzione di b-iii): La probabilità vale ( ) 2 k (3/5) k (2/5) 2 k, per k = 0,,..., 2, mentre vale 0 per tutti gli altri valori di k si tratta di calcolare la probabilità che il numero di successi su n prove ripetute (cioè indipendenti e con la stessa probabilità p) sia uguale a k. Tale probabilità è data dalla distribuzione binomiale e vale ( n k) p k ( p) n k. In questo caso successo all i sima prova significa che si verificato l evento A i, n = 2 e p = p A = P (A i ) = 3/5. In altre parole posto X A = S 2 = 2 i=0 A i la variabile aleatoria X A = S 2 ha distribuzione bin(2, 3/5). c)* Qual è la probabilità di {A vince esattamente partite e B vince esattamente 3 partite}? soluzione di c): La probabilità cercata vale 2!/(! 3! 2!3/5) (/20) 3 (/20) 2. si tratta di 2 prove indipendenti a 3 esiti (vince A, vince B e pareggio) con probabilità p A = 3/5(= 2/20), p B = /20 e p C = (p A + p B ) = /20. Posto, come sopra, X A il numero delle vittorie di A, X B il numero delle vittorie di B ed X C = 2 (X A + X B ) il numero dei pareggi, si cerca P (X A =, X B = 3) = P (X A =, X B = 3, X C = 2) = 2!! 3! 2! p A p 3 Bp 2 C. d)* Sapendo che A ha vinto esattamente partite, qual è la probabilità che vi sia stata esattamente una partita terminata in pareggio? soluzione di d): La probabilità cercata vale 5 ( ) 4 ( ) 2 2 condizionatamente a sapere che X A = si tratta della probabilità che sulle rimanenti 5 prove ci siano 4 vittorie di B ed un pareggio. Dalla teoria, e in accordo con l intuizione, si ha che la distribuzione di X B e di X C condizionata all evento A ha vinto si ottiene attraverso le probabilità binomiali, tenendo conto che, per ciascuna delle 5 partite rimaste (in cui A non ha vinto), vanno considerate la probabilità di vittoria di B, condizionata all evento A non ha vinto e la probabilità di pareggio condizionata all evento A non ha vinto, ossia P (X B = 4, X C = X A = ) = 5! ( ) 4 ( ) pb pc. 4!! p A p A Allo stesso risultato si può arrivare per calcolo diretto utilizzando P (X B = 4, X C = X A = ) = P (X A = X B = 4, X C = ) P (X A = ) P (X A = X B = 4, X C = ) = 2!! 4!! p A p 4 Bp C P (X A = ) = 2!! 5! p A ( p A ) 5. e) Supponiamo ora che, nel corso del tempo, vengano giocate 400 partite fra A e B (sempre sotto le condizioni enunciate sopra). In termini del Teorema Centrale del Limite trovare un approssimazione per la probabilità che il numero delle partite vinte da A sia compreso fra 220 e 260. soluzione di e): La probabilità cercata vale circa 0, 9586., per il Teorema Centrale del Limite si ha che, posto S n = n i=0 A i, p = P (A i ) = 3/5, e Φ(x) la funzione di distribuzione di una v.a. gaussiana standard, P ( a Sn np np( p) b ) Φ(b) Φ(a) 4

5 uniformemente in a e b, e quindi anche che P (α S n β) = P ( α np Sn np β np Φ β np Φ α np ). np( p) np( p) np( p) np( p) np( p) In particolare per n = 400, α = 80 e β = 300 si ha P (220 S ) Φ ( (3/5) Φ (3/5) = Φ (3/52/5) 400 (3/52/5)) Φ ) ovvero P (220 S ) Φ ( Φ = Φ 6 5 ) Φ 6 5. Tenendo conto che / 6 0, 408, e quindi 5/ 6 2, 04, e che Φ(x) Φ( x) = Φ(x) ( Φ(x) ) = 2 Φ(x), ed infine che dalle tavole della gaussiana si ha si ha Φ(2, 04) P (220 S ) 2 Φ(2, 04) = 0, Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità di probabilità data da 0 per x f(x) = k x per < x < 4 0 per x 4 a) Calcolare il valore di k. soluzione di a): k = 3/4 e quindi = ( 4 ) k = y dy = 3 2 La seconda uguaglianza deriva dal fatto che b b) Mostrare che E(X) = 93/35. soluzione di b): E(X) = a f(y) dy = 4 k y dy 4 3/2 = 3 2 y dy = x 3/2 b a (3/2) = 2 3 (b3/2 a 3/2 ) y f(y) dy = 3 2 = 3 4 5/2 5/2 2 (5/2) 4 c) Calcolare la funzione di distribuzione di X. soluzione di c): La funzione di distribuzione di X è 2 3 = 3 2. y y dy = 3 2 y 5/2 4 (5/2) = 3 5 (25 ) = =

6 x F (x) = f(y) dy 0 per x < (x3/2 ) per x < 4 per x 4 i casi x < ed x 4 sono ovvi. Per x < 4 si ha F (x) = x 3 3 y dy = 2 2 y 3/2 x (3/2) = ( x 3/2 ). d) FACOLTATIVO Calcolare P ( X 3/2). soluzione di d): P ( X 3/2) = 9/56. P ( X 3/2) = P ( X (3/2) 2) = F ( (3/2) 2) = [(3/2)2 ] 3/2 = (3/2)3 = (2/8) = 2 8 = Esercizio 3. X ed Y sono due variabili aleatorie discrete con distribuzione di probabilità descritta nella seguente tabella a) Calcolare il valore di c. soluzione di a): c = 0. = /0 = j {,0,} Y \X i {,2,3,4} c 2c 2c c P (X = i, Y = j) = c + 2c + 2c + c = 6 c = 6 c da cui immediatamente c = 6 ( 4/0) = = 0, e quindi Y \X b) Calcolare E(Y ) ed E(XY ). soluzione di b): E(Y ) = 0.4 = 4/0 ed E(XY ) =. = (/0) E(Y ) = ( ) + 0 ( ) + ( ) = 6 c = = 0.4 6

7 E(XY ) = j {,0,} i {,2,3,4} i j P (X = i, Y = j) = ( ) 0. + ( ) ( ) ( ) ) = ( ) ( ) = =. c) Calcolare P (Y = 0 X = 3). soluzione di c): P (Y = 0 X = 3) = / P (Y = 0 X = 3) = = P (Y = 0, X = 3) P (X = 3) = = P (Y = 0, X = 3) P (Y =, X = 3) + P (Y = 0, X = 3) + P (Y =, X = 3) = 5 35 =. d) Calcolare P (X + Y 2). soluzione di b): P (X + Y 2) = 0. = /0 P (X + Y 2) = da cui i {,2,3,4} j {,0,} i+j 2 P (X = i, Y = j), P (X + Y 2) = P (X =, Y = ) + P (X =, Y = 0) + P (X =, Y = ) + P (X = 2, Y = ) + P (X = 2, Y = 0) + P (X = 3, Y = ) = = 0.