Corso di Teoria delle Strutture Dispense - parte #1 Richiami di Elasticità Lineare

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1 Corso di Toria dll Struttur Dispns - part # Richiami di Elasticità Linar A.A Vrsion.. Indic Sistma di Rifrimnto 3. Cambio di bas Cambio dlla bas di Lin Esmpio 2D Richiami di cinmatica 6 2. Moto traittoria Vlocità di saggio & spostamnto virtual I funzionali potnza lavoro Elasticità Linar 3D 9 3. Equazioni di Congrunza Rlazion Costitutiva Dformazion Elastica Matrial Elastico Linar Enrgia Elastica Equazioni di Bilancio 4 4. Il Principio di Bilancio Equazioni locali di Bilancio La Formulazion dl Problma Elastico Linar 5 6 Matriali Isotropi Anisotropi Dcomposizion Sfrica-Dviatorica Risposta Isotropa Risposta Anisotropa Risposta Ortotropa Risposta Trasvrsalmnt Isotropa Cambio di Bas Esmpio: Cambio di Bas Matriali Incomprssibili

2 7 Matriali Viscolastici 24 2

3 Sistma di Rifrimnto Un sistma di rifrimnto pr uno spazio ambint 3D è costituito da un punto privilgiato dllo spazio E, dtto origin indicato con o, da una bas dllo spazio vttorial V ch indichrmo con = { i }; la bas è formata da una trna di vrsori i ortogonali tra loro: vrsor: i =, ortogonalità: i j = δ ij. Tal sistma vin indicato con {o ; i, i =, 2, 3}; nl sguito, omttrmo di scrivr ogni volta i =, 2, 3. Una volta fissato un sistma di rifrimnto, possiamo:. Rapprsntar ogni vttor v V tramit l su componnti, ossia, tramit l proizioni di v sui vttori dlla bas i : Componnti di v nlla bas { i }: v i = v i, v = v i i. 2. Rapprsntar i punti dllo spazio tramit il vttor posizion r = x o, ovvro, tramit l coordinat: x o = x + x x 3 3 x (x, x 2, x 3 ). 3. Costruir una bas pr Lin, l applicazioni linari ch agiscono su V: Bas di V: { i } Bas di Lin: { i j } I tnsori smplici i j agiscono sui vttori v nl sgunt modo: ( i j ) v = ( j v) i. () 4. Rapprsntar ogni tnsor A Lin tramit l su componnti, ossia, tramit l proizioni di A sui tnsori dlla bas i j Componnti di A nlla bas { i j }: A ij = A i j, A = A ij i j. 5. Rapprsntar l azion di un tnsor A sul vttor v tramit prodotti tra l loro componnti: v = v h h, A = A ij i j, A v = (A ij i j ) v h h = A ij v h ( j h ) i = A ij v j i. In brv, possiamo scrivr: u = A v u i = A ij v j. Vttori tnsori si possono anch rapprsntar tramit matrici; in qusto caso, la bas prsclta vin indicata con il pdic. Pr i vttori abbiamo: =, 2 =, 3 = ; v = v i i v v = v 2 v 3. Una cosa analoga avvin pr i tnsori; ad smpio: 2 =, A = 3 A A A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33.

4 Attnzion: la bas prsclta andrbb smpr dichiarata quando si usa la rapprsntazion matricial; spsso qusta indicazion vin omssa (ad smpio quando si usa smpr una stssa bas), ma bisogna ricordar ch quando si cambia bas, cambia anch la matric ch rapprsnta i vttori o i tnsori. La rapprsntazion matricial è scomoda dal punto di vista tipografico, ma può ssr comoda pr altri motivi; in particolar, l azion di un tnsor A sul vttor v si rapprsnta tramit prodotto righ pr colonn A v = A A A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 v v 2 v 3 = A v + A v 2 + A 3 v 3 A 2 v + A 22 v 2 + A 23 v 3 A 3 v + A 32 v 2 + A 33 v 3 Si noti ch è proprio la dfinizion () a far si ch l azion di A su v sia sprimibil com un prodotto righ pr colonn tra l matrici ch rapprsntano il tnsor d il vttor dato.. Cambio di bas Considriamo du basi di V: = { i } = {b i }; l du basi sono rlat da un applicazion linar Q, dtta cambiamnto di bas. Poiché l basi hanno vttori unitari ortogonali tra loro, l applicazion Q dv ssr una rotazion, ossia, un applicazion ch mantin invariata la lunghzza di vttori, prsrva gli angoli tra du vttori qualsiasi, mantin l orintamnto (una bas dstrorsa vin trasformata in una bas dstrorsa). Dunqu Q = Q T, dt Q =, possiamo scrivr: b i = Q i, i = Q T b i. (2) Usiamo ora la rapprsntazion matricial pr scrivr l rlazioni (2), ricordando una proprità important dl cambio di bas: l applicazion Q ch manda la bas nlla bas è rapprsntata da una matric Q ch non cambia al cambiar dlla bas o, ossia: Q = Q = Q, pr qualunqu bas.. Allora, pr il primo vttor b dlla bas, abbiamo: b =, Q b = Q = Q 2 Q 3 Q Q 22 Q 32 Q 3 Q 23 Q 33 = Q Q 2 Q 3. Dunqu, la prima colonna di Q è composta dall componnti dl primo vrsor b risptto la bas, così via pr l altr colonn: in forma compatta, possiamo scrivr: Q = [ b b 2 b 3 ] ; (3) b i = Q i + Q 2i 2 + Q 3i 3 = Q ji j. (4) Analogamnt, pr il cambio di bas b i i, possiamo scrivr: Q Q 2 Q 3 Q = Q T b = Q Q 22 Q 32 = Q Q 3 Q 23 Q 33 Q 3 i = Q ij b j = (Q ji ) T b j. 4

5 Dato un vttor v, è important sapr com cambiano l su componnti a sguito di un cambio di bas; usando la (4), abbiamo: v = ˆv i b i = ˆv i Q ji j = v j j v j = Q ji ˆv i. In notazion matricial, possiamo scrivr ˆv v = ˆv 2 ˆv 3, v v = v 2 v 3 v =.2 Cambio dlla bas di Lin v v 2 v 3 = Q Q Q 3 Q 2 Q 22 Q 23 Q 3 Q 32 Q 33 Abbiamo visto com la bas pr Lin si costruisca a partir dalla bas di V; allo stsso modo, la rlazion ch dfinisc il cambio di bas pr i tnsori vin ddotta da qulla utilizzata pr i vttori. Considriamo du basi di Lin: a = { i j } b = {b i b j }; utilizzando la (2), abbiamo la sgunt formula pr il cambio di bas b i b j = (Q i ) (Q j ) = Q ( i j ) Q T, i j = Q T (b i b j ) Q ; (5) ovvro, in forma matricial b i b j = Q i j Q T, i j = Q T b i b j Q. (6) Dato un tnsor A, è important sapr com cambiano l su componnti a sguito di un cambio di bas; usando la (5), abbiamo: A = Âij b i b j = Âij (Q hi h ) (Q kj k ) = A hk h k A hk = Q hi  ij Q T kj. In notazion matricial possiamo scrivr: A = Q A Q T, A = Q T A Q. ˆv ˆv 2 ˆv 3 = Q v. Riassumndo il tutto, abbiamo: b i = Q i, i = Q T b i, Q : bas bas v = Q v, v = Q T v, (7) A = Q A Q T, A = Q T A Q..3 Esmpio 2D Considriamo il cambio di bas da una bas cartsiana = { 2 } ad una polar = {b, b 2 }; la bas è ruotata risptto ad di un angolo ϕ (positivo s antiorario). 5

6 La matric ch dscriv un tal cambio di bas è data da (ricordiamo ch in 2D l rotazioni hanno un solo paramtro invc di tr ncssari in 3D) [ ] cos ϕ sin ϕ Q : bas bas Q =. sin ϕ cos ϕ Il problma tipico ch si prsnta è il sgunt: not l componnti cartsian di v A, quali sono l loro componnti polari? Pr quanto riguarda il vttor, posto v = v i i = ˆv j b j, abbiamo v = [ v v 2 ] [ ] [ ] [ ] [ ] ˆv cos ϕ sin ϕ v cos ϕ v + sin ϕ v v = = = 2. ˆv 2 sin ϕ cos ϕ v 2 sin ϕ v + cos ϕ v 2 Pr quanto riguarda il tnsor, posto A = A hk h k = Âij b i b j, abbiamo [ ] Â Â A = Â 2 Â 22 [ ] [ ] cos ϕ sin ϕ A A = sin ϕ cos ϕ A 2 A 22 [ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ]. 2 Richiami di cinmatica 2. Moto traittoria Il moto dl corpo è dscritto da un applicazion ch associa ad ogni punto sostanzial s B ad ogni istant τ T dll intrvallo tmporal, una posizion x E nllo spazio ambint p : B T E (s, τ) x = p(s, τ). (8) Dato un moto p si considrano l sgunti applicazioni: u(s, τ) := p(s, τ) s : B T V, spostamnto dl punto s, p(s, ) : T E, lgg oraria dl punto s, p(, τ) : B E, configurazion al tmpo τ. (9) Inoltr, dato il moto p, si considrano i sgunti sottoinsimi di E: p(s, T ) E traittoria dl punto s, p(b, τ) E forma al tmpo τ. () Oss. Con una fotografia (fisso l istant) vdo la forma dl corpo, con un film (fisso un punto sostanzial) sguo la traittoria dl punto. L applicazion ch dscriv il moto può ssr drivata sia risptto al paramtro tmporal ch risptto al punto sostanzial; il primo tipo di drivata sarà indicata con un puntino, il scondo con il simbolo (gradint). Entramb i du tipi di drivat dl moto sono (limiti di) diffrnz di posizioni di E, ossia, l drivat dl moto sono rapprsntat da vttori di V. Abbiamo ṗ(s, τ) = u(s, τ) vlocità dl punto s al tmpo τ, p(s, τ) = ü(s, τ) acclrazion dl punto s al tmpo τ. () 6

7 T p( s, ) Traittoria dl punto s p( s, τ + ε) τ B { τ} ṗ( s, τ) p(, τ) p ( s, τ) B s Configurazion al tmpo τ Figura : Il dominio dlla funzion moto, il prodotto B T, può ssr visualizzato com il rttangolo a dstra. Fissar un istant significa considrar il sgmnto orizzontal B { τ}; fissar un punto matrial quival a considrar il sgmnto vrtical { s} T. L immagin di tali sgmnti sotto il moto fornisc rispttivamnt la configurazion al tmpo τ o la traittoria dl punto s. Il vttor ṗ è tangnt alla traittoria, il vttor p = p/ s è tangnt alla configurazion. Considriamo inoltr la drivata sostanzial prima p(s, τ), ch dà informazioni sullo spazio tangnt alla forma di B in p(s, τ), la la drivata sostanzial sconda 2 p(s, τ), ch dà informazioni sulla curvatura dlla forma di B. Possiamo infin considrar l drivat scond mist (ch, ovviamnt, commutano) (ṗ(s, τ)) = ( p(s, τ)) () Bada! Non confondr il corpo B con lo spazio ambint E: si tratta di spazi divrsi, non solo dal punto di vista mccanico (gli lmnti di B sono punti sostanziali, qulli di E posizioni) ma anch da qullo topologico, ossia, possono avr ad smpio dimnsioni divrs. 2.2 Vlocità di saggio & spostamnto virtual Introduciamo ora l important nozion di vlocità di saggio. Il campo dlla vlocità di saggio associa ad ogni punto sostanzial una dll vlocità vntualmnt ralizzabili da qul punto, a partir dalla posizion ch occupa. La nozion di vlocità di saggio non va assolutamnt confusa con qulla di vlocità, ossia con l unica vlocità ffttivamnt ralizzata durant il moto. Dunqu, assumndo ch il corpo B sia libro di muovrsi in E, ch la sua mobilità sia dscritta dalla funzion p(s, τ) = s + u(s, τ), abbiamo u : B T VE vlocità ffttiva; (s, τ) u(s, τ) ũ : B T VE vlocità di saggio. (s, τ) ũ(s, τ) (3) Chiariamo con un smpio qusta important distinzion. S considriamo un corpo puntiform vincolato a muovrsi lungo una curva, una vlocità di saggio in una dtrminata posizion è data da un qualsiasi vttor tangnt alla curva nlla posizion considrata, mntr la vlocità 7

8 ffttivamnt ralizzata è un bn prciso vttor tangnt alla curva. Dunqu, l insim dll vlocità di saggio è costituito dalla rtta tangnt alla traittoria (nlla posizion considrata); ovviamnt, su tal rtta vi sarà anch la vlocità ffttiva. Pr un corpo puntiform vincolato a muovrsi su di una suprfic, una vlocità di saggio in una dtrminata posizion sarà data da un qualsiasi vttor tangnt alla suprfic nlla posizion considrata; in tal caso, l insim dll vlocità di saggio è costituito dal piano tangnt alla suprfici, mntr la vlocità ffttivamnt ralizzata sarà un bn prciso vttor dl piano tangnt. L insim costituito da tutti i campi di vlocità di saggio (3) dotati di opportun ũ x u ũ ũ x u ũ ũ Figura 2: A dstra abbiamo un punto x vincolato a muovrsi su una curva; nll istant considrato, la vlocità è il vttor u tangnt alla curva in x, mntr la vlocità di saggio è un qualsiasi vttor ũ dlla rtta tangnt alla curva in x. A sinistra abbiamo un punto x vincolato a muovrsi nl piano; in qusto caso la vlocità di saggio è un qualsiasi vttor ũ tangnt al piano in x. proprità di rgolarità vin dtto Spazio dll vlocità di saggio Ũ. A partir dalla dfinizion di vlocità di saggio, introduciamo anch il campo dgli spostamnti virtuali, da non confondr con il campo dgli spostamnti lmntari: du = u dτ dũ = ũ dτ 2.3 I funzionali potnza lavoro spostamnto lmntar; spostamnto virtual. Tra l nozioni fondamntali dlla mccanica vi è qulla di potnza. Tal nozion è una nozion istantana, ossia, considra il corpo ad un dato istant, coinvolg simultanamnt sia il moto dl corpo ch l azioni ch agiscono su di sso. (4) INGRESSO: funzioni Campo dll azioni dinamich Campo dlla vlocità USCITA: scalari potnza Figura 3: Il computo dlla potnza richid la conoscnza dl campo dlla vlocità dl campo dll azioni dinamich; la potnza è una grandzza scalar. È util ricordar a qusto punto la nozion di funzional. Snza ntrar ni dttagli, dfiniamo funzional un applicazion il cui dominio è costituito da uno spazio di applicazioni, d a valor nll insim di rali: 8

9 Spazio funzional funzioni funzional scalari R Figura 4: Un funzional è una particolar funzion ch ha com ingrsso intr funzioni com uscita dgli scalari; un intgral è un smpio prototipo di funzional. La potnza è un funzional linar dfinito sullo spazio di campi di vlocità di saggio Ũ: P : Ũ R w P(w) = B w f dv ; (5) infatti, il funzional potnza P associa linarmnt ad ogni campo di vlocità w Ũ una quantità scalar: la potnza spsa dall azioni dinamich sull atto di moto; una cosa analoga si ha ovviamnt pr il lavoro, dfinito sugli spostamnti virtuali dw = w dτ, con w Ũ L : Ũ R w L(w) = B dw f dv ; (6) Ossrvazion. Con la notazion P(w) intndiamo anch mttr in risalto il fatto ch la potnza P snt il campo di vlocità w, non smplicmnt i valori w(s) di tal campo. w 2 w (ŝ, τ) = w 2 (ŝ, τ) w (ŝ, τ) = w 2 (ŝ, τ) ŝ w B Figura 5: La potnza può sntir la diffrnza tra du campi anch attravrso un solo punto: in ŝ, sia i du campi w w 2, ch l loro drivat prim hanno lo stsso valor; l drivat scond sono invc divrs. 3 Elasticità Linar 3D La toria dll lasticità linar è basata sull ipotsi ch sia lo spostamnto u ch il suo gradint u siano piccoli; in tal caso, non si fa più distinzion tra la configurazion di rifrimnto qulla assunta durant il moto: p(b, τ) B. Il corpo B è una rgion 3D dllo spazio ambint E, i suoi punti saranno indicati con il simbolo X; lo stato dl corpo è dscritto dal moto x = p(x, t), ovvro dal campo di spostamnto u(x, t) = p(x, t) X u : B T V (X, τ) u = u(x, τ). (7) 9

10 La frontira B dl corpo vin divisa in du parti: B = u B t B; su u B sono assgnat condizioni cinmatich, su t B sono assgnat condizioni dinamich. La toria dlla lasticità ha com variabil di stato il campo vttorial dllo spostamnto u (3 componnti), coinvolg altri du campi, ntramb tnsoriali simmtrici (6 componnti): la dformazion E la tnsion S. Fissata una bas ortonormal = { i }, abbiamo u = u u 2 u 3 = u v w, E = E E E 3 E E 22 E 23 E 3 E 23 E 33 I tr campi suddtti sono lgati tra loro da tr gruppi di quazioni:, S = S S S 3 S S 23 S 3 S 23. Equazioni di congrunza: sono una rlazion tra 3 spostamnti 6 dformazioni; 2. Equazioni costitutiv: sono una rlazion tra 6 tnsioni 6 dformazioni; 3. Equazioni di bilancio: sono una rlazion tra 3 forz 6 tnsioni. Nll szioni sgunti saranno brvmnt illustrati qusti tr gruppi di quazioni. Ossrvazion. La dformazion la tnsion pur avndo la stssa struttura (sono ntramb tnsori simmtrici), hanno una natura molto divrsa: la dformazion E(X) ci dic com si dforma un cubo lmntar con vrtic in X; la tnsion S(X) ci dic qual è la forza agnt su una suprfici passant pr X di normal n. 3. Equazioni di Congrunza L quazioni di congrunza sono du, una valida nl corpo, l altra sul bordo, riguardano il campo di spostamnto u la dformazion E E = sym ( u), su B T ; u = ū, su u B T. (8) Attnzion: in tali quazioni l incognita è il campo di spostamnto, pr tal motivo non sono in gnr risolvibili: sono tropp! Abbiamo si quazioni, l si componnti di E, pr sol tr incognit, l componnti di u. La dfinizion (8) dlla dformazion E ha la sgunt motivazion. Si voglia confrontar lo spostamnto di punti vicini X X + ε, sparati dal vttor ε ; lo sviluppo in sri al primo ordin dl campo di spostamnto fornisc u(x + ε ) u(x) = ε u(x) + o(ε). (9) Dunqu ε u(x) misura la diffrnza tra i du spostamnti u(x + ε ) u(x). Il gradint u può ssr dcomposto nlla somma dlla sua part simmtrica anti-simmtrica u = sym u + skw u = E + W La part anti-simmtrica W rapprsnta una rotazion infinitsima; volndo misurar l dformazioni, si usa solo la part simmtrica di u. L ingrsso di E(X) sono i tr spigoli dl cubo ch partono da X; la sua uscita sono i vttori da aggiungr agli spigoli originali pr dtrminar il nuovo spigolo. Ad smpio, con solo E = ɛ, abbiamo ɛ = ɛ, ɛ OR =..

11 Dunqu, il cubo costruito sugli spigoli (,, ), (,, ), (,, ) vin trasformato nl cubo di spigoli ( + ɛ,, ), (,, ), (,, ). Con solo E = γ, abbiamo γ γ = γ, γ γ In qusto caso, il cubo costruito sugli spigoli (,, ), (,, ), (,, ) vin trasformato nl cubo di spigoli (, γ, ), (γ,, ), (,, ). Pr mglio illustrar quanto dtto, considriamo un quadrato (una faccia di un cubo) dfinito dai suoi 4 vrtici X i ; il moto trasforma il quadrato nl paralllogramma di vrtici x i = f(x i ); una volta piazzato il primo vrtic x, possiamo individuar gli altri usando la rlazion = f(x i + ) = f(x i ) + f(x i ) + o( ) = f(x i ) + [I + u(x i )] + o( ). (2) Ad smpio, la posizion dl vrtic x 2 è data dalla formula, vdi Fig. (6) x 2 = f(x 2 ) = f(x + ) =f(x ) + [I + u(x )] = x + + u(x ). (2) dov il simbolo = indica gual a mno di infinitsimi, ossia, ch è stato troncato il trmin. γ. X + 2 = X 3 X 4 = X x + f 2 =x 3 v x 4 =x 2 + f 2 v X X 2 = X + v 2 v x 2 =x + f x u x = f(x ) Figura 6: Il quadrato di sinistra vin trasformato nl paralllogramma di dstra: ogni vrtic X i vin piazzato in x i = f(x i ). Una volta posizionato il vrtic x, il gradint dl moto f dà indicazioni su com posizionar gli altri vrtici. 3.2 Rlazion Costitutiva La rlazion costitutiva dscriv la rlazion tra l 6 componnti dll dformazion l 6 dlla tnsion. Prima di spcificar l rlazioni costitutiv tipich dll lasticità linar, introduciamo l important nozion di distorsion, dscritta dal campo tnsorial simmtrico E o : il campo dlla distorsion dscriv lo stato rilassato local, ossia, E o (X) dscriv la dformazion ch l lmnto di volum attorno ad X vorrbb avr. L smpio più noto smplic di distorsion è qulla trmica: quando scaldiamo un pzzo di mtallo, il suo volum vorrbb aumntar. In qusto caso abbiamo E o = (T ) I, ossia, la distorsion trmica è sfrica, l unico paramtro scalar, dtto cofficint di dilatazion trmica, dipnd dalla tmpratura = (T ).

12 3.2. Dformazion Elastica La dformazion lastica E è la diffrnza tra la dformazion E la distorsion E o : E = E E o. (22) La dformazion lastica si annulla quando E = E o, ossia, solo quando sist un campo di spostamnto u ch soddisfa l condizioni al contorno tal ch sym ( u) = E o. Qusta condizion è analoga alla quazion di congrunza (8): data una qualsiasi distorsion (si componnti), ci si chid s sista uno spostamnto (tr componnti) l cui drivat consntano di ricostruir la distorsion data. Abbiamo dunqu: E o è ralizzabil sist u tal ch: sym ( u) = E o, su B ; u = ū, su u B. Una distorsion non ralizzabil produc uno stato tnsional ch può ssr molto lvato: molti componnti strutturali si rompono a causa dll distorsioni non a causa di carichi. Si noti ch una distorsion può non ssr ralizzata sia prché sym u E o, oppur, prché u ū su u B, ovvro, pr ntramb i motivi Matrial Elastico Linar La rlazion costitutiva pr i matriali lastici linari prscriv una rlazion linar tra la tnsion S la dformazion lastica E : S = C E = C (E E o ). (23) Il tnsor dl quarto ordin C è chiamato tnsor lastico, ovvro, rigidzza; tal tnsor è invrtibil, la sua invrsa F = C si chiama flssibilità: E = E E o = F S. (24) Dalla rlazion costitutiva (23) discnd immdiatamnt il fatto ch una distorsion ralizzabil produc una tnsion nulla: E o = sym ( u) = E E = E E o = S = C E = ; al contrario, s E o sym ( u) la tnsion sarà divrsa da zro, a prscindr dai carichi. Il tnsor lastico opra sui tnsori dl scondo ordin (la dformazion) rstituisc tnsori dl scondo ordin (la tnsion): è dunqu un tnsor dl quarto ordin, al qual si richid di ssr simmtrico in modo da garantir l sistnza dll nrgia lastica. E important ricordar ch la nozion di rigidzza è una nozion local, ossia, la rigidzza varia da punto a punto; quando la rigidzza è la stssa in ogni punto il matrial vin dtto omogno. Fissata una bas = {a i }, la rlazion (23) si rapprsnta com sgu S ij (X) = C ijhk (X) Ehk (X) ; (25) Notiamo ch C è dfinito solo sui tnsori simmtrici (la dformazion lastica è simmtrica) rstituisc solo tnsori simmtrici (la tnsion è simmtrica); inoltr è simmtrico lui stsso: pr tali motivi valgono l sgunti guaglianz: C ijhk = C hkij, simmtri maggiori; C ijhk = C jihk, C ijhk = C jikh, simmtri minori.

13 La rlazion costitutiva ammtt una rapprsntazion smplificata ch coinvolg solo l 6 componnti strtt di S E. Dalla rlazion original (25) risulta ch ad ogni componnt dlla tnsion contribuiscono tutt l componnti dlla dformazion dunqu, in virtù dll simmtri minori di C, l dformazioni mist vanno considrat du volt con lo stsso cofficint: ad smpio S ij = C ij E + C ij22 E 22 + C ij33 E 33 + C ij E + C ij2 E 2 + C ij3 E 3 + C ij3 E 3 + C ij23 E 23 + C ij32 E 32 = C ij E + C ij22 E 22 + C ij33 E 33 + C ij 2 E + C ij3 2 E 3 + C ij23 2 E 23. (26) In qusto modo, ogni componnt dlla tnsion risulta combinazion linar dll sol 6 componnti strtt dlla dformazion: possiamo allora rapprsntar tnsion dformazion con vttori colonn a 6 componnti, la matric di rigidzza con una matric 6x6 ch indichrmo con il simbolo D: S D D D 3 D 4 D 5 D 6 E D D 22 D 23 D 24 D 25 D 26 E 22 D 3 D 23 D 33 D 34 D 35 D 36 E S = 33 D 4 D 24 D 34 D 44 D 45 D 46 2 E ; (27) S 23 D 5 D 25 D 35 D 45 D 55 D 56 2 E 23 S 3 D 6 D 26 D 36 D 46 D 56 D 66 2 E3 BADA: si noti il fattor 2 nll componnti mist dlla dformazion, spigato dll prcdnti considrazioni. Esaminando la (27), si può notar ch la rapprsntazion dlla matric di rigidzza pr il tramit dlla D coinvolg 2 componnti indipndnti, dtt rigidzz, ch sono l componnti strtt dlla matric simmtrica 6x6: abbiamo la sgunt corrispondnza: } Tnsor dl quarto ordin C D Tnsor simmtrico dl scondo ordin con simmtri minori maggiori Si ha una corrispondnza analoga pr l matrici di flssibilità Tnsor di Flssibilità F = C G = D Matric di flssibilità. La rapprsntazion (27) è dtta standard ; una rapprsntazion altrnativa, dtta alla Voigt, prvd una divrsa ordinazion dll componnti di S E, quindi un divrso significato di alcun componnti D ij S D D D 3 D 4 D 5 D 6 E D D 22 D 23 D 24 D 25 D 26 E 22 D 3 D 23 D 33 D 34 D 35 D 36 E S = D 4 D 24 D 34 D 44 D 45 D 46 2 E ; (28) S 3 D 5 D 25 D 35 D 45 D 55 D 56 2 E 3 S 23 D 6 D 26 D 36 D 46 D 56 D 66 2 E23 Nl sguito sguirmo smpr la rapprsntazion (27). 3

14 3.2.3 Enrgia Elastica La rlazion costitutiva (23) sotto intnd l sistnza dlla nrgia lastica, ossia, di una funzion scalar φ, la cui drivata risptto al tmpo guaglia l opposto dlla potnza intrna P i spsa dalla tnsion sulla vlocità di dformazion: Enrgia lastica: φ = 2 C E E φ = C E Ė = S Ė = Pi ( u) : Potnza intrna. (29) Dalla (29) consgu ch S = φ E = C E. 4 Equazioni di Bilancio Nlla dfinizion di un modllo mccanico è util considrar tr distint catgori di azioni dinamich: l azioni intrn, dtt tnsioni o sollcitazioni; l azioni strn, ad smpio, l forz applicat; l azioni d inrzia. Consguntmnt, si considrano tr tipi di potnza: P i (w) := P (w) := P in (w) := B B B S w dv, potnza intrna, (3) f w dv + t w da, potnza strna, (3) B ρ ü w dv, potnza d inrzia, (32) dov: w è il campo dlla vlocità di saggio; S è il tnsor dll tnsioni; f t sono i vttori di carichi applicati all intrno sul bordo dl corpo; ρ è la dnsità dl corpo ρ ü è la forza d inrzia. 4. Il Principio di Bilancio Il principio di bilancio richid ch, in ogni istant pr ogni vlocità di saggio, la potnza spsa dall forz d inriza dbba ssr ugual alla somma dlla potnza intrna di qulla strna: P in (w) = P i (w) + P (w), w. (33) In tsti più antichi il principio di bilancio vin formulato in trmini di lavoro anzichè di potnza: il lavoro compiuto dall azioni d inrzia L in (dw) dv guagliar la somma di qullo intrno L i (dw) di qullo strno L (dw), pr ogni spostamnto virtual dw pr ogni istant tmporal: L in (dw) = L i (dw) + L (dw), dw. (34) La (34) vin comunmnt dtta Principio di Lavori Virtuali. Si noti ch l du formulazioni dl principio di bilancio sono formalmnt idntich: la (33) divnta la (34) s valutiamo il funzional P sugli spostamnti virtuali invc ch sugli atti di moto di saggio, 4

15 4.2 Equazioni locali di Bilancio L quazioni locali di bilancio sono du, una valida nl corpo, l altra sul bordo, sono una dirtta consgunza dl principio di bilancio. Pr ddurr tali quazioni a partir dalla (33) facciamo uso di du rlazioni, valid pr ogni campo vttorial dl tipo A T v, costruito moltiplicando il tnsor A con il vttor v. La prima rlazion è la formula pr la drivazion dl prodotto di funzioni: div (A T v) = div (A) v + A v ; la sconda rlazion è il torma dlla divrgnza pr un campo vttorial: div (A T v) dv = A m v da, B con m la normal al bordo di B. Allora, la potnza intrna si riscriv com sgu: P i (w) = S w dv = [ div (S) w div (S T w) ] dv = div (S) w dv B B B B B S m w da. Usando la rapprsntazion appna trovata dlla potnza intrna, il principio di bilancio si può riscrivr mttndo a fattor comun il campo dlla vlocità di saggio w: [ ρ ü + div (S) + f ] w dv + [ t S m ] w da =, w. (35) B Dovndo valr pr ogni w, l somm tra parntsi quadr dvono ssr null, sia qull nl corpo, sia qull sul bordo, dunqu: B ρ ü = div (S) + f, su B T ; S m = t, su t B T. (36) Attnzion: tali quazioni riguardano S, ossia, l incognita è il campo di tnsion, pr tal motivo non sono in gnr risolvibili: sono poch! Abbiamo tr quazioni scalari, ognuna pr l tr componnti di carichi, ma bn si incognit, l componnti di S. E important ricordar ch l ingrsso di S(X) è un vrsor n ch individua la suprfici pr X di normal n; la sua uscita è la forza ch agisc su tal suprfici. Ad smpio, usando una rapprsntazion matricial, abbiamo: S S S 3 S S 23 S 3 S 23 = S S S 3 5 La Formulazion dl Problma Elastico Linar Il tipico problma lastico linar vin formulato in trmini di spostamnti utilizzando tutti tr i gruppi di quazioni ch abbiamo appna introdotti ni paragrafi prcdnti, si basa sulla riscrittura in trmini di spostamnto dll quazioni di bilancio. Il problma vin così formulato: dati i carichi f(x, τ) i carichi al bordo t(x, τ), trovar il campo di spostamnto u(x, τ) ch vrifica l quazioni di bilancio ngli spostamnti, l condizioni al contorno (c.c) dinamich cinmatich, l condizioni iniziali: ρ ü(x, τ) = div [C(X)(sym ( u(x, τ)) E o (X)] + f(x, τ), bilancio su B T ;, C(X)(sym ( u(x, τ)) E o (X)) m = t(x, τ), bilancio su t B T, c.c. dinamich; u = ū, su u B T, c.c. cinmatich; (37) u(s, ) = u o, u(s, ) = v o, su B {}, condizioni iniziali. 5

16 Attnzion: l quazioni di bilancio riscritt in qusta forma sono risolvibili: abbiamo tr quazioni in tr incognit. Nlla maggior part di casi prò, il problma lastico non è risolvibil in forma splicita, ma solo attravrso tcnich numrich. La trna (u, E, S) ch soddisfa l quazioni di bilancio, congrunza costitutiv è dtta stato lastico dl sistma. 6 Matriali Isotropi Anisotropi. La risposta lastica vin classificata scondo du importanti catgori: anisotropa. risposta isotropa 6. Dcomposizion Sfrica-Dviatorica Ogni tnsor A può ssr dcomposto nlla somma di du componnti, la part sfrica A s, ossia, proporzional ad I, la part dviatorica A d, ossia, a traccia nulla, ch risultano ortogonali tra loro: A = A d + A s, A s = 3 tr(a) I ; A d = A A s, tr(a d ) =, A s A d =. (38) Tal dcomposizion è molto important sia pr la dformazion ch pr la tnsion, in quanto part sfrica dviatorica hanno un notvol significato mccanico. Pr quanto riguarda la dformazion E, la part dviatorica E d misura l variazioni di forma, la part sfrica E s, misura l variazioni di volum: E = E d + E s = E d + 3 ε v I, E s = 3 tr(e ) I ; ε v = tr(e ) ; (39) In particolar, è proprio la traccia ch misura la variazion di volum pr tal motivo è chiamata dformazion volumtrica d indicata con il simbolo ε v. Pr quanto riguarda la tnsion S, la part sfrica S s misura la prssion, dfinita com l opposto dlla componnt sfrica dlla tnsion: S = S d + S s = S d p I, S s = 3 tr(s) I ; p = tr(s) ; (4) 3 Com vdrmo, la rlazion costitutiva pr i matriali isotropi si rapprsnta in modo smplic usando la dcomposizion sfrica-dviatorica pr tnsion dformazion. 6.2 Risposta Isotropa Un matrial è dtto isotropo quando la rlazion tnsion-dformazion è la stssa in ogni dirzion. In qusto caso la risposta lastica è rapprsntata da du soli paramtri lastici. Fra l molt coppi di paramtri in uso, scgliamo l sgunti: costanti di Lamé (µ, λ); modulo di Young di Poisson (Y, ν); modulo di taglio di comprssion (G, k). Tali paramtri sono lgati tra loro dall sgunti rlazioni: µ = Y 2 ( + ν), λ = ν Y ( + ν) ( 2 ν), k = λ µ = Y 3 ( 2 ν), (4) ν = λ µ (2 µ + 3 λ), Y =. (42) 2 (µ + λ) (µ + λ) L rlazioni S = C E E = F S si scrivono in trmini di (µ, λ) nl sgunt modo: S = 2 µ E + λ tr(e ) I, E = ( λ S 2 µ 2 µ + 3 λ tr(s) I). (43) 6

17 L stss rlazioni si riscrivono in trmini di (Y, ν) nl sgunt modo: S = Y ν Y + ν E + ( + ν) ( 2 ν) tr(e ) I, E = Y ( ) ( + ν) S ν tr(s) I. (44) Pr scrivr la trza rapprsntazion dlla risposta isotropa, qulla in trmini di (G, k), occorr utilizzar la dcomposizion sfrico-dviatorico nlla (43), ch vidnzia un altro trmin proporzional alla traccia, la part sfrica di E s: ( ) 2 µ S = 2 µ (E d + E s) + λ tr(e ) I = 2 µ E d λ tr(e ) I = G E d + k tr(e ) I. (45) Qusta ultima sprssion mtt in luc il fatto ch il paramtro G psa solo l dformazioni dviatorich, ossia, l variazioni di forma; pr tal motivo è chiamato modulo di taglio. Il paramtro k = 2 µ/3 + λ psa solo l variazioni di volum, d è dtto modulo di comprssion volumtrica. La rlazion (45) va notata anch prché mostra ch la part dviatorica dlla tnsion dipnd solo dalla part dviatorica dlla dformazion, analogamnt la part sfrica di S dipnd solo dalla part sfrica di E : S d = G E d, S s = k tr(e ) I = 3 k E s, ossia p = k ε v. (46) L nrgia lastica isotropa ha la sgunt smplic sprssion: φ = µ E E + 2 λ tr(e ) 2 = µ E d E d + 2 k tr(e ) 2. (47) Si noti ch nllo scrivr la sconda uguaglianza dlla (47) abbiamo usato la sgunt rlazion, consgunza dlla ortogonalità tra part sfrica dviatorica: E E = (E d + E s) (E d + E s) = E d E d + E s E s = E d E d + 3 tr(e ) 2. I paramtri lastici µ, λ k non possono assumr un valor qualsiasi, in quanto l nrgia lastica φ dv ssr smpr positiva, qualunqu sia la dformazion lastica E = E d + E s. La sconda dll rapprsntazioni (47) contin du contributi dformativi tra loro ortogonali, ntrambi al quadrato, ossia, positivi; n consgu ch l nrgia è positiva solo s µ > k >. Qusta richista, insrita nlla (4), limita anch i valori di λ, Y ν: µ >, k >, λ > 2 µ, Y >, < ν < /2. (48) 3 Diamo anch una rapprsntazion matricial dlla rlazion costitutiva, ossia, una rapprsntazion mdiata dalla sclta di una bas. Ricordiamo ch la risposta isotropa è la stssa in tutt l dirzioni, dunqu la sua rapprsntazion matricial sarà la stssa in tutt l basi; nonostant qusto, scrivr qusta rapprsntazion è util pr almno du motivi: ) mtt in luc a colpo d occhio l dipndnz tra l vari componnti di tnsion dformazion; 2) mtt in vidnza l diffrnz profond risptto alla risposta anisotropa ch vdrmo nlla prossima szion. Fissata una bas qualsiasi, abbiamo in componnti: S = S ij i j = 2 µ E ij i j + λ (E + E 22 + E 33 ) δ ij. 7

18 La corrispondnt rapprsntazion matricial in trmini dlla matric 6x6 D è: S S S 23 S 3 2 µ + λ λ λ E λ 2 µ + λ λ E 22 λ λ 2 µ + λ E = 33 µ 2 E. (49) µ 2 E23 µ 2 E3 L lin vrticali d orizzontali vidnziano gli accoppiamnti: l componnti S ii dlla tnsion dipndono solo dall componnti E ii dll dformazion; analogamnt, l componnti mist S ij, con i j, dipndono solo dall E ij. Scriviamo anch la rlazion invrsa, E = F S, in trmini di moduli (Y, ν), smpr usando la rapprsntazion matricial standard in trmini di D : E E 22 E 33 2 E = Y 2 E23 2 E3 ν ν ν ν ν ν 2 ( + ν) 2 ( + ν) 2 ( + ν) S S S 23 S 3. (5) La (5) mostra chiaramnt cosa si intnd pr risposta isotropa, ossia, ugual in ogni dirzion. Ad smpio, nl caso di sollcitazion uniassial, con una sola componnt di tnsion divrsa da zro, qualunqu sia la dirzion di sollcitazion, la risposta in trmini di dformazion ha smpr la stssa forma: S = σ }{{} tnsion E = σ Y }{{} dformazion σ ν (I ), dirzion. } Y {{} dformazion Analogamnt, qualunqu sollcitazion di taglio di assi a, b, con a = b =, a b = gnra una dformazion di taglio lungo gli stssi assi: S = σ a b E = σ ( + ν) Y a b, coppia a, b. Riscriviamo pr comodità la rlazion (49) in trmini di moduli di Young Poisson: con S S S 23 S 3 ν ν ν E ν ν ν E22 = Ȳ ν ν ν E 33 ( 2 ν)/2 2 E ( 2 ν)/2 2 E23 ( 2 ν)/2 2 E3 Ȳ = Y ( + ν) ( 2 ν)., (5) 8

19 6.3 Risposta Anisotropa Un matrial è dtto anisotropo quando la rlazion tnsion-dformazion cambia a sconda dlla dirzion. In qusto caso la risposta lastica è rapprsntata da molti paramtri lastici; qui considriamo solo du classi di rispost anisotrop Risposta Ortotropa La prima class è qulla di matriali ortotropi, matriali ch prsntano tr piani di simmtria fra loro ortogonali, la cui risposta lastica è dscritta da 9 paramtri. Pr ottnr una rapprsntazion smplic dl tnsor lastico occorr scglir una bas i cui tr vrsori siano ortogonali ai tr piani di simmtria: sia = {b i } la bas prsclta, dtta bas local o di laboratorio, ch dscriv la risposta local, ossia, in un punto. In qusta bas la matric di rigidzza D ha comunqu una rapprsntazion poco intuitiva, mntr la matric di flssibilità G = D ha una intrprtazion immdiata; in particolar, i 9 moduli lastici ch carattrizzano G pr i matriali ortotropi sono: 3 moduli di Young Y i, lungo l tr dirzioni b i ; 3 moduli di Poisson ν, ν 3, ν 23 ; 3 moduli di taglio G, G 3, G 23, rlativi agli scorrimnti ni tr piani coordinati span(b i, b j ). In forma matricial standard la rlazion in trmini di flssibilità G si scriv: E /Y ν /Y ν 3 /Y E22 ν /Y /Y 2 ν 23 /Y 2 E33 ν 3 /Y ν 23 /Y 2 /Y 3 = 2 E /G 2 E23 /G 23 S S S 23. (52) 2 E 3 /G 3 S 3 Si ossrvi ch la matric di flssibilità è composta da du blocchi 3x3 simmtrici altri du blocchi 3x3 nulli: tal fatto smplifica molto il calcolo dlla sua invrsa, ossia, dlla matric di rigidzza D = G ; dfiniamo (liminando il pdic pr smplificar la notazion): /Y ν /Y ν 3 /Y /G G Y = ν /Y /Y 2 ν 23 /Y 2, G G = /G 23, (53) ν 3 /Y ν 23 /Y 2 /Y 3 /G 3 allora G = [ GY G G ], D = G = [ G Y G G ] ; (54) inoltr, il calcolo di G G è immdiato in quanto G G è diagonal. Si noti anch ch la sotto matric di flssibilità G Y può ssr scritta facndo comparir altri tr moduli di Poisson (ν 2, ν 3, ν 32 ) 9

20 nl sgunt modo /Y ν 2 /Y 2 ν 3 /Y 3 G Y = ν /Y /Y 2 ν 32 /Y 3. (55) ν 3 /Y ν 23 /Y 2 /Y 3 I tr nuovi moduli di Poisson non aggiungono ultriori paramtri lastici, ma sono dtrminati da gli altri: poiché G Y è simmtrica, dv ssr ν /Y = ν 2 /Y 2, ν 3 /Y = ν 3 /Y 3, ν 23 /Y 2 = ν 32 /Y 3. La matric di rigidzza D si ricava a partir dall (53,54); abbiamo: S D D D 3 E D D 22 D 23 E 22 D 3 D 23 D 33 E S = 33 G 2 E ; (56) S 23 G 23 2 E23 S 3 G 3 2 E3 il pdic all componnti dl tnsor lastico allud al fatto ch tali componnti sono rlativ alla bas local indicata con ; tali componnti possono ssr riscritt in trmini di tr moduli di Young Y i, 3 moduli di Poisson ν, ν 3, ν 23 D = Y 2 (Y 3 ν 2 23 Y 2) D, D = Y Y 2 (Y 3 ν 23 ν 3 + Y 2 ν D, D 3 = Y Y 2 Y 3 (ν ν 23 + ν 3 D, D 22 = Y 2 2 (Y 3 ν 2 3 Y ) D, (57) dov D 23 = Y 2 Y 3 (Y 2 ν ν 3 + Y ν 23 D, D 33 = Y 2 Y 3 (Y 2 ν 2 Y ) D, D = Y 2 Y 3 ν 2 3 Y Y ν ν 23 ν 3 Y 2 Y 3 + Y Y 3 ν Y 2 2 ν Risposta Trasvrsalmnt Isotropa La sconda class considrata è qulla di matriali trasvrsalmnt isotropi, matriali ch prsntano un ass di simmtria, dtto ass di simmtria trasvrsa, d hanno una risposta isotropa nl piano ortogonal a tal ass; in qusto caso, la risposta lastica è dscritta da 5 paramtri ch indichrmo con l lttr: a, b, c, d,. Pr ottnr una rapprsntazion smplic dl tnsor lastico occorr scglir una bas avnt uno di vrsori paralllo all ass di simmtria trasvrsa; indicata con = {b i } la bas prsclta, considriamo i tr casi di figura 6: b ass di simmtria, span(b 2, b 3 ) piano di isotropia: S a c c c b d c d b S = S 23 (b d)/2 S 3 E E 22 E 33 2 E 2 E23 2 E3. (58) 2

21 b 3 b 3 b 3 b 2 b 2 b 2 b b b Figura 7: La risposta trasvrsalmnt isotropa è individuata da un ass simmtria dal piano ortogonal ad sso; nlla figura sono indicati tr smpi in cui l ass di simmtria coincid con una dll tr dirzioni coordinat. b 2 ass di simmtria; span(b, b 3 ) piano di isotropia: S b c d c a c d c b S = S 23 (b d)/2 S 3 E E22 E33 2 E 2 E23 2 E3. (59) b 3 ass di simmtria; span(b, b 2 ) piano di isotropia: S b d c d b c c c a S = (b d)/2 S 23 S 3 E E22 E33 2 E 2 E23 2 E3. (6) Anch in qusto caso il pdic allud al fatto ch tal rapprsntazion è rlativa alla bas local ; l componnti dlla flssibilità D assumono una sprssion smplic in trmini di: du moduli di Young Y a, Y p, rlativi all ass al piano di simmtria, du moduli di Poisson ν p, ν ap rlativi ai rapporti di stnsion nl piano di isotropia tra l dirzioni ass-piano, un modulo di taglio G ap : 2

22 Scriviamo la matric G = D nl caso in cui b sia l ass di simmtria:, E /Y a ν ap /Y a ν ap /Y a S E22 ν ap /Y a /Y p ν p /Y p E33 ν ap /Y a ν p /Y p /Y p =. 2 E /G ap S 2 E23 2 ( + ν p )/Y p S 23 2 E3 /G ap S 3 (6) L cinqu rigidzz a, b, c, d, dlla matric D si possono ricavar in trmini di moduli lastici invrtndo la (6); si ottin: a = ( + ν p) Ya 2 δ c = ν ap Y a Y p δ Cambio di Bas = G ap, (b d)/2 =, b = Y p ( Y a + ν 2 ap Y p ) δ ( + ν p ), d = Y p (ν p Y a + ν 2 ap Y p ) δ ( + ν p ), (62), (63) Y p 2 ( + ν p ), δ = ( + ν p) Y a + 2 ν 2 ap Y p. (64) L rapprsntazioni di laboratorio, o locali, dlla matric di rigidzza C sono mdiat dalla bas, vanno adattat al problma in sam; ad smpio, nl caso di matrial non omogno, i cui piani di simmtria variano da punto a punto, è ncssario rapprsntar il lgam lastico in una bas global ch sia valida pr tutto il corpo. Sia = { i } la bas global (X) = {b i } qulla local; l du basi sono rlat da un applicazion linar Q = Q(X), dtta cambiamnto di bas ch agisc com visto in (2) ch riscriviamo pr comodità: b i = Q i, i = Q T b i. (65) Abbiamo visto com pr Lin, sia la bas, ch la rgola pr il cambiamnto di bas, si costruiscano a partir dall rgol mss a punto pr i vttori; allo stsso modo, pr Sym sia la bas ch la rlazion ch dfinisc il cambio di bas vngono ddotti dalla rgol utilizzat pr Lin. Ricordiamo com agisc il cambio di bas su A Lin; in notazion matricial possiamo scrivr: Allora, unndo l tr rlazioni possiamo scrivr A = Q A Q T, A = Q T A Q. S = Q S Q T, S = C E, E = Q T E Q, S = Q [ ] C ( Q T E Q ) Q T, S = C E. Si noti com pr dtrminar C il cambio di bas Q agisca quattro volt. 22

23 6.3.4 Esmpio: Cambio di Bas Data la bas global = { }, considriamo un provino trasvrsalmnt isotropo il cui ass di isotropia trasvrsa b sia ottnuto ruotando attorno ad 3 di un angolo ϕ; pr un caso com qusto occorr adattar la rapprsntazion di C alla bas global utilizzando la rlazion [ ] S = Q C ( Q T E Q ) Q T, con Q = cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ). (66) b 2 b 2 σ bas local σ bas global Figura 8: Provino sottoposto a trazion uniassial parallla al lato orizzontal; la dirzion dll ass di isotropia trasvrsa è indicata con l lin trattgiat dunqu parallla a b. La rlazion costitutiva nlla bas local è data da: S a c c c b d c d b S = S 23 (b d)/2 S 3 E E 22 E 33 2 E 2 E23 2 E3. (67) La stssa rlazion costitutiva, rapprsntata nlla bas global pr mzzo dlla (66), prsnta alcuni accoppiamnti in più: S D D D 3 D 4 E D D 22 D 23 D 24 E 22 D 3 D 23 D 33 D 34 E S = 33 D 4 D 24 D 34 D 44 2 E. (68) S 23 D 44 D 56 2 E23 S 3 D 56 D 44 2 E3 6.4 Matriali Incomprssibili La variazion di volum rlativa, dfinita com il rapporto tra lmnto di volum dformato (dv) lmnto di volum di rifrimnto (dv), è misurata dal dtrminant dl gradint dllo 23

24 spostamnto: dv = dt (I + u) = + tr( u) + o( u ). (69) dv Quindi, nl rgim di piccol dformazioni, la variazion di volum è misurata dalla traccia dl gradint tr( u) = tr(e); qusto risultato vin usato pr carattrizzar i moti isocori, ossia, i moti a volum costant. Un corpo soggtto solo a moti isocori è dtto incomprssibil, pr tali corpi la rlazion costitutiva va rivista; si noti ch, dalla (44) sgu: tr(e) = 2 ν Y tr(s) ; (7) quindi, a parità di tnsion, la variazion di volum divnta smpr più piccola al tndr di ν vrso /2; inoltr, dato il lgam tra k ν, anch il modulo k tnd all infinito: lim ν /2 tr(e) tr(s) =, lim k =. (7) ν /2 N risulta ch pr ν = /2, l rlazioni costitutiv (43, 44, 45), così com l nrgia lastica (47), sono mal dfinit. L nrgia lastica isotropa di un matrial incomprssibil è data da φ = µ E d E d, & tr(e ) =. (72) In qusto caso la tnsion è composta da du trmini, uno è un trmin lastico ch si dduc dall nrgia, l altro è una razion vincolar, si dduc dal vincolo cinmatico tr(e ) = nl sgunt modo: calcoliamo la drivata tmporal dlla (69) dv/dv = u I, Volum = costant u I = Ė I = div ( u) =. (73) t Tal risultato ci dic ch ni moti isocori la vlocità di dformazion Ė ha traccia nulla, ossia, è ortogonal ai tnsori sfrici; com consqunza, la potnza dlla tnsion pr i matriali incomprssibili è dfinita a mno di un contributo sfrico indtrminato, la tnsion rattiva: tr(e) = S Ė = (S + S ract) Ė, pr ogni S ract I. (74) La part rattiva dlla tnsion ha il ruolo di una prssion a vin dnotata con S ract = p I, part rattiva dlla tnsion. Sgu ch pr un matrial incomprssibil, la rlazion costitutiva pr la tnsion è data da: S = φ E + S ract = 2 µ E d p I, & tr(e ) = ; (75) inoltr, la rlazion ch lga prssion variazion di volum divnta indfinita: 7 Matriali Viscolastici p = k tr(e ) =. Pr alcuni matriali la rlazion tnsion-dformazion varia nl tmpo; pr modllar tal comportamnto vin modificata la rlazion costitutiva: 24

25 . si assum ch la distorsion E o dipnda dal tmpo; indichrmo tal tipo di distorsion con il simbolo E v, dov l apic v allud a viscosità; 2. la distorsion viscosa E v va considrata com una nuova variabil di stato, corrdata di una lgg di voluzion; 3. si assum ch la tnsion sia la somma di una part lastica d una viscosa, indicata con S v, ch dipnd dalla diffrnza tra dformazion lastica distorsion viscosa: S = C E + S v, S v = C v (E E v ). Matriali di qusto tipo vngono dtti visco-lastici; la rlazion costitutiva pr tali matriali, nl smplic caso di risposta isotropa, è rapprsntata da S = C E + C v (E E v ) = 2 µ E d + k tr (E ) + 2 µ v (E d Ev ). (76) L cos importanti da notar sono du: ) appar un modulo lsatico in più, µ v, ch dscriv la risposta viscosa; 2) la distorsion viscosa è assunta dviatorica, dunqu anch la componnt viscosa dllo sforzo sarà dviatorica. Pr quanto riguarda l quazioni di bilancio, abbiamo l quazion di bilancio dll forz l quazion ch rgola l voluzion dlla distorsion viscosa: div [C E + C v (E E v ) ] + f =, più condizioni al contorno, (77) τ Ėv = E E v, [τ] = T, più condizioni iniziali (78) Il paramtro τ rapprsnta un tmpo carattristico rgola la scal di tmpi dl fnomno viscoso. Pr illustrar i fnomni ch tal modllo è in grado di dscrivr considriamo una prova di trazion uniassial; indichiamo con σ la tnsion, con ε la dformazion nlla dirzion dlla trazion, assumiamo nulla la distorsion viscosa inizial; la rlazion costitutiva (76) l quazion di voluzion dlla distorsion forniscono σ(t) = Y ε + Y v (ε ε v (t)) = (Y + Y v ) ε Y v ε v (t), τ ε v (t) = ε ε v (t), ε v () =. (79) All istant inizial la dformazion lastica è positiva ε > dunqu ε v > : la distorsion viscosa crscrà fino ad guagliar ε ; abbiamo t =, ε v = σ = (Y + Y v ) ε, (8) t =, ε v = ε σ = Y ε, (8) Dall prcdnti rlazioni si vd ch il modulo lastico Y dscriv la rigidzza asintotica, mntr la somma Y + Y v qulla istantana. La dformazion dl provino sarà data da ε () = ε o = σ Y + Y v, ε ( ) = ε = σ Y, ε ε = + Y v Y. (82) 25