#2 Esercitazioni MATLAB: MAT-ES2 % % [1] Guadagno, Poli e Zeri della F.d.T

Transcript

1 #2 Esercitazioni MATLAB: MAT-ES2 [] Guadagno, Poli e Zeri della F.d.T» n=[2 ]; d=[,5,]; pro=tf(n,d) definisce il processo Transfer function: 2 s + - s^2 + 5 s +» [poles,zeros]=pzmap(pro) calcola poli e zeri poles = i i zeros = -.5 SCPC Matlab Es #2» [zero,gain]=tzero(pro) calcola zeri e guadagno (K ) zero = -.5 gain =.2 Nota: Il gain (K ) è la costante nell espressione G PZ (s), non il guadagno del sistema comunemente inteso; questo può ottenersi con il comando: dcgain La conversione della FdT dalla espressione in forma di costanti di tempo alla forma Poli/Zeri e viceversa, è immediata con il comando: tf (da G TC a G PZ ) e zpk (da G PZ a G TC )» pro=tf([-2 ],[ 5 ]) definisce la Fdt come Polinomiale Gpol=N(s)/D(s) Transfer function: -2 s + - s^2 + 5 s +» pro=zpk(pro) Conversione da Gtc a Gpz; -.2 (s-.5) --- (s^2 +.5s +.) notare: ) K < in questo caso; 2) poli complessi non fattorizzati» pro=tf(pro) Conversione da Gpz a Gtc Transfer function: -.2 s s^2 +.5 s +. notare: è l espressione precedente, con a2=» dcgain(pro) ans = il guadagno del sistema è lo stesso nei 3 casi (ovvio) Es #2-

2 [2] Residui ed Espansioni in Frazioni Parziali» help residue RESIDUE Partial-fraction expansion (residues). [R,P,K] = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B(s)/A(s).» n=[2 ]; d=[,,]; pro=tf(n,d) definisce il processo Transfer function: 2 s + -- s^2 + s +» pro=zpk(pro) Zero/pole/gain:.2 (s+.5) (s+) (s+.)» [r,p,k]=residue(n,d) calcola residui, poli, costante di EFP r =..889 p = k = [] Nota: In questo caso k è il termine costante dell espansione in frazioni parziali (k=, dato che m<n). Es #2-2

3 [3] Poli, Zeri e Risposta nel tempo Poli Poli reali e negativi.» n=;d=[2 3 ];g=tf(n,d) Transfer function: 2 s^2 + 3 s +» [r,p,k]=residue(n,d) r = [ - ] p = [ ] k = []» step(g) ) Poli complessi con parte reale negativa» n2=;d2=[4 ];g2=tf(n2,d2) Transfer function: s^2 + s +» [r,p,k]=residue(n2,d2) r = [ i i] p = [ i i] k = []» step(g2) 3) Poli complessi con parte reale nulla» n3=;d3=[ ];g3=tf(n3,d3) Transfer function: s^2 +» [r,p,k]=residue(n3,d3) r = [ -.5i +.5i] p = [ +.i -.i] k = []» step(g3) gtext('g');gtext('g2');gtext('g3')» title('risposta al gradino dei sistemi g,g2,g3') g2 Step Response risposta al gradino dei sistemi g,g2,g3 g3 e d p l itu m A g Time (sec.) Es #2-3

4 4) Poli nell origine» t=linspace(,75,)» n4=;d4=[ ];g4=tf(n4,d4) Transfer function: /s» step(g4,t)» hold 5) Poli reali positivi» n5=.;d5=[ -.3.2];g5=tf(n5,d5) Transfer function: s^2 -.3 s +.2» [r,p,k]=residue(n5,d5) r = [. -.] p = [.2.] k = []» step(g5,t) 6) Poli complessi con parte reale positiva» n6=;d6=[ -. ];g6=tf(n6,d6) Transfer function: s^2 -. s +» [r,p,k]=residue(n5,d5) r = [ -.56i +.56i] p = [ i i] k = []» step(g6,t)» gtext('g4'),gtext('g5'),gtext('g6')» title('risposta al gradino dei sistemi g4,g5,g6') Step Response risposta al gradino dei sistemi g4,g5,g6 6 4 g4 A mp litu de 2 g5 g Time (sec.) Es #2-4

5 [4] Zeri e Risposta nel tempo )sistema p:no zeri >> s=tf('s'); p=/((5*s+)*(*s+)) Transfer function: -- 5 s^2 + 5 s + >> p=zpk(p) Zero/pole/gain:.2 (s+.2) (s+.) 2)sistema p2:zero negativo >> s=tf('s'); p2=(s+)/((5*s+)*(*s+)) Transfer function: s s^2 + 5 s + >> p2=zpk(p2) Zero/pole/gain:.2 (s+) (s+.2) (s+.) 3)sistema p3:zero positivo >> s=tf('s'); p3=(-s+)/((5*s+)*(*s+)) Transfer function: -s s^2 + 5 s + >> p3=zpk(p3) Zero/pole/gain: -.2 (s-) (s+.2) (s+.) 3)sistema p3:zero positivo >> s=tf('s'); p4=(-*s+)/((5*s+)*(*s+)) Transfer function: - s + --; 5 s^2 + 5 s + >> p4=zpk(p4) Zero/pole/gain: -.2 (s-.) (s+.2) (s+.) Es #2-5

6 Si riportano le risposte nel tempo per un ingresso a gradino >> clf >> step(p;hold on >> step(p2); step(p3);step(p4); >> grid >> title('effetto dello zero sulla risposta del sistema') Si osserva che la presenza di uno zero positivo (più in generale di un numero dispari di zeri positivi), fa comparire la risposta inversa: l effetto è tanto più pronunciato, tanto più lo zero è vicino all origine. Effetto dello zero sulla risposta del sistema.8 p2.6 e p ud l it m A.4.2 p3 p p Time (sec) Es #2-6

7 [5] Risposta di un sistema in Circuito Chiuso (CL) Risposta in circuito chiuso; Processo: FOPTD, T=D=; Regolatori PID al variare del guadagno del regolatore comandi Matlab:num,den,tf,pade,feedback,step;plot Definizione del processo np=;dp=[,];p=tf(np,dp) processo ordine, T=; [nd,dd]=pade(,3);del=tf(nd,dd); ritardo D=; pade, n=3 pro=p*del processo FOPTD t=linspace(,,); definizione dell'intervallo di tempo Regolatore PI: CPI=Kc*(+/Ti*s)= (Kc*Ti*s+)/(Ti*s+); Ti=; Kc=; definizione parametri del regolatore altenativa: Kc=input('dare il valore di Kc= ') Kc:variabile dato da tastiera, (Ti costante=) nc=[kc*ti,kc]; dc=[ti,]; cpi=tf(nc,dc); g=pro*cpi g: OL Function eta=feedback(g,); Yr=g/(+g)*r step(eta,t) grafico y=step(eta,t); file la risposta può essere salvata con y n =y e graficata (Vedi esempio..) ripetuto per (Ti=), Kc=,.25,.75,.5 risultati salvati in y,y25,y75,y5; e riportati in grafico con plot; vedi istruzioni di seguito» plot(t,y)» hold» plot(t,y25,'--')» grid» plot(t,y75,'-.')» plot(t,y5,':')» gtext('kc=')» gtext('kc=.25')» gtext('kc=.25')» gtext('kc=.75')» gtext('kc=.5')» title('risposte Yr; regolatore PI; Processo:FOPTD')» gtext('processo:t=d=; Regolatore:Taui=')» xlabel('tempo')» ylabel('yr') Vedere grafico allegato per il caso PI; Osservazioni: - si ha instabilità per Kc>.5 - la risposta dipende da Kc e Ti; - risposta di tipo sottosmorzato: (parametri per specifiche: Se, ta, ts) - approccio sistematico: tuning dei regolatori - analoghe considerazioni per la risposta Yd - " " per regolatori diversi Es #2-7

8 Y r Risposte Yr; regolatore PI; Processo:FOPTD Kc=.25 Kc= Kc=.75 Kc= tempo La risposta ad un disturbo a gradino che entra nel processo (per Pd=P), si ottiene dalla procedura illustrata precedentemente con piccole modifiche ed è illustrata in figura: g=pro*cpi; pd=pro; epsid=pd/(+g); d P d eta=feedback(g,); step(epsid,t) r C P y yd=step(epsid,t); Risposte Yd; regolatore PI; processo FOPTD Kc Y d tempo [5] Ripetere per processo FOPT e regolatori diversi Ripetere per processi (e regolatori)diversi Es #2-8

9 [6] Testo e figure MATLAB in documento Word Preparazione documento WORD con integrazione di programma.m, comandi e figure MATLAB : Risposta di un sistema del primo ordine al variare della costante di tempo τ. θ s e P( s) = K, r( s) = τ s + s L equazione può essere inserita con: - click sul punto - da ToolBar Word: Inserisci, Oggetto, Crea Nuovo Oggetto, Microsoft Equation 3. Il file OL-3.m costruisce il grafico: 3) Uso di un File.M Esempio di semplice file di tipo M per esecuzione di una sequenza di comandi sotto MATLAB clf tau=[ 2 5] t=linspace(,2,); n= for i=:3 i d=[tau(i) ] p=tf(n,d) pause step(p,t) hold on end title('sistema di ordine, O.L., T=,2,5') Inserimento di una figura nel testo A) Il grafico prodotto di seguito è stato inserito con i comandi;: Dal menu della figura: Edit Copy figure - Controllare che su Edit Copying options sia selezionata l opzione Windows Metafile (WMF) - In Word incollare dal menu Modifica Incolla oppure con CTRL+V Step Response sistema di ordine, O.L., T=,2, e ud p l it m A Time (sec.) Questo metodo diretto può avere lo svantaggio di creare un file di dimensioni elevate; Es #2-9

10 B) In alternativa, è possibile salvare la figura in un file separato (formato emf o png). Questo serve anche per poter mantenere la figura da utilizzare in testi successivi. In ambiente Matlab: dal menu della figura: File Save as selezionare il nome del file e il formato (emf o png consigliati) In ambiente Word: menu Inserisci Immagine da File (selezionare il file), Per regolare la posizione relativa testo-immagine, fare clic con il tasto destro sulla figura e scegliere Formato Immagine ; usare le opzioni sulle schede Posizione e Disposizione testo (oppure usare i tasti sulla barra degli strumenti Immagine, che si attiva facendo clic sulla figura con il tasto sinistro). Inserimento della figura come file.emf.6 risposta di un secondo ordine.4 csi<.2 e d p l itu m A csi= Time (sec) Inserimento di uno schema o di un disegno: A) utilizzando gli strumenti della barra Disegno X Y n- Y n Y Y 2 G G 2 G n B) Oppure può essere inserito con i comandi: Inserisci Immagine da File (selezionare il file costruito precedentemente), Es #2-