Località Picenza. Progetto ECATE. Progetto E.C.A.T.E. Efficienza e Compatibilità Ambientale delle Tecnologie Energetiche

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1 Località Picenza Doc. n. R 3.1/3 CONSORZIO LEAP Laboratorio Energia Ambiente Piacenza Progetto ECATE Rev. O Progetto E.C.A.T.E. Efficienza e Compatibilità Ambientale delle Tecnologie Energetiche >MODELLAZIONE CFD DI TUBI IN CROSSFLOW PER GENERATORE DI VAPORE INNOVATIVO E. Colombo, M.E.Ricotti NOTA : IL PRESENTE DOCUMENTO E EMESSO IN REVISIONE 0, IN PRIMA EMISSIONE. ESSO PUO ESSERE SOGGETTO A FUTURE REVISIONI 1 O Prima Emissione Colombo Ricotti Maggio2006 REV DESCRIZIONE ELABOR VERIFICATO APPROVATO DATA

2 LEAP / Relazione Semestrale Sottoprogetto 3. Obiettivo Realizzativo 3. >ANALISI CFD E PROVA A GRANDE SCALA DI GENERATORE DI VAPORE INNOVATIVO R3.1/3 innovativo. Modellazione CFD di tubi in crossflow per Generatore di Vapore UINDICE Analisi del Problema: Risultati ed Approccio Introduzione RAGGIO DI AZIONE E PROPOSITI GENERALI IDENTIFICAZIONE DEL PROBLEMA Scopo del Progetto OBIETTIVI SPECIFICI DELL ANALISI CFD RISULTATI ATTESI APPROCCIO GENERALE: PRINCIPALI ASSUNZIONI E IPOTESI DI LAVORO PIANIFICAZIONE DELLE ATTIVITÀ Validazione dell approccio IDENTIFICAZIONE DI UN CASO SEMPLIFICATO SIMILE NELLA BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO DESCRIZIONE DEL MODELLO IMPLEMENTATO GEOMETRIA E MESH MATERIALI E CONDIZIONI OPERATIVE MODELLI FISICI Analisi dei Risultati ESTENSIONE DEL MODELLO AL PROGETTO DI INTERESSE Problem Setting and Solving Modello Numerico PRE-PROCESSING IDENTIFICAZIONE DEL DOMINIO E DETERMINAZIONE DELLA GEOMETRIA

3 STRATEGIA E GENERAZIONE DELLA MESH CONFIGURAZIONE DEL MODELLO SOLUTORE MODELLO FISICO E OPZIONI PROPRIETÀ FISICHE CONDIZIONI OPERATIVE CONDIZIONI AL CONTORNO DYNAMIC MESH CONFIGURAZIONE DELLA NUMERICA STRATEGIA NUMERICA ACCURATEZZA DEGLI ALGORITMI RISOLUTIVI NELLO SPAZIO E NEL TEMPO VERIFICA DI CONVERGENZA RESIDUI MONITORAGGIO DELLE QUANTITÀ LOCALI MONITORAGGIO DELLE QUANTITÀ GLOBALI Problem Post Processing and Cycling: valutazione e revisione Analisi dei Risultati CONFRONTO TRA LE GRIGLIE PERIODICHE CONFRONTO TRA LE GRIGLIE SIMMETRICHE CONFRONTO TRA GRIGLIA LASCA E GRIGLIA FINE CONFRONTO TRA LE PERDITE DI CARICO DYNAMIC MESH Conclusioni OSSERVAZIONI GENERALI SVILUPPI FUTURI...58 Appendice CASO CASO CASO (Lasca) CASO CASO / CASO (P/D=1.75) CASO CASO CASO Bibliografia...ERRORE. IL SEGNALIBRO NON È DEFINITO. 3

4 UANALISI DEL PROBLEMA: RISULTATI ED APPROCCIO 1 - INTRODUZIONE RAGGIO DI AZIONE E PROPOSITI GENERALI TITOLO Flow induced vibrations in Steam Generator tubes for IRIS innovative nuclear reactor BREVE DESCRIZIONE Il progetto di reattore innovativo di tipo integrato IRIS prevede l utilizzo di generatori di vapore modulari, a tubi elicoidali, da inserire nel recipiente a pressione primario. A differenza dei componenti convenzionali, esterni al recipiente primario e nei quali il fascio è di tipo a tubi dritti e verticali, con ebollizione del fluido secondario all esterno, in questo caso il fascio tubiero è percorso in cross-flow dal fluido primario esterno, sempre in fase liquida, mentre il fluido secondario in transizione di fase percorre l elica dall interno. Uno degli aspetti non ancora affrontati dal team di sviluppo del progetto è lo studio dei supporti per il fascio tubiero. I vincoli sono duplici e contrastanti: tralasciando le problematiche meccanico-realizzative, occorre mantenere saldamente in posizione le eliche al fine di evitare possibili vibrazioni indotte dal fluido primario, mantenendo al contempo il vincolo sufficientemente lasco da consentire le dilatazioni termiche del singolo tubo e quelle differenziali tra le diverse schiere di tubi, poiché non presentano tutte una identica capacità di scambio termico. Oltre alla tipologia anche il numero dei supporti, che potrebbe variare tra le schiere interne e quelle esterne, è da identificare. STEAM NOZZLE S.G. SUPPORT STEAM HEADER L argomento appartiene quindi alla classica problematica delle interazioni fluido-struttura. Si intende tuttavia, data la natura del progetto, limitare fortemente il campo di indagine preferendo una impostazione critica e completa dell intero processo di analisi in luogo dell investigazione di dettaglio. Pertanto le approssimazioni da farsi dovrebbero essere: - simulazione fluidodinamica 2-D; - approccio 1-D alla dinamica di vibrazione; - studio parametrico di alcuni tipi di vincolo meccanico; - analisi integrata fluido-struttura di tipo off-line (non iterata). REACTOR VESSEL HELICAL TUBES SHELL TUBE SUPPORTS CORE BARREL POSSIBILE APPROCCIO Le possibili fasi dell indagine riguardano lo studio del campo di moto in 2-D attorno al singolo tubo e della relativa forzante fluidodinamica sulla superficie esterna del tubo del generatore di vapore, ottenendo quindi come risultato la distribuzione delle pressioni superficiali nel tempo. La forza risultante si applica all analisi meccanica del sistema tubo-supporti per identificarne le frequenze proprie di vibrazione e la corrispondente legge di moto. Tale legge di moto si applica infine di nuovo al tubo nello studio fluidodinamico, mediante utilizzo di mesh deformabili/mobili, per 4

5 verificare il nuovo stato di sollecitazione dovuta al fluido ed al movimento del tubo, e valutare quindi la congruenza con l analisi iniziale. I passi sono riassumibili nel diagramma seguente: Analisi dinamica CFD del cilindro statico in cross-flow (2-D) Distribuzione nel tempo delle pressioni sulla sup.esterna del tubo e calcolo della risultante Calcolo 1-D (beam) delle frequenze proprie di vibrazione del tubo con forzante esterna; analisi con vincoli differenti Analisi dinamica CFD del cilindro in cross-flow (2-D) mobile con legge di moto selezionata Confronto della distribuz. pressione sulla sup.esterna risultante con quella ottenuta nel caso statico Schemi concettuali di: tubo rettilineo in crossflow, supporto per la schiera di tubi, vincoli. Materiale fascio tubiero Diametro esterno/interno/spessore tubo Diametro min/max dell elica Passo dell elica/gradi inclinazione Passo trasversale/longitudinale tra le spire Passo min/max dei supporti (indicativo) Tipologia dei supporti (indicativa) Velocità min/max del fluido primario Dati principali Inconel 690 TT (Thermally Treated) tutti i dati saranno forniti da Ansaldo-Camozzi (manufacturer) 17.46/13.24/2.11 mm 600/1500 mm 800 mm/4 ca 400/850 mm cerniere/pattini/incastri m/s 5

6 1.2 - IDENTIFICAZIONE DEL PROBLEMA La problematica delle vibrazioni indotte in una struttura da una corrente fluida è di centrale rilevanza negli scambiatori di calore e nei generatori di vapore degli impianti nucleari. In questo specifico ambito si ha a che fare con componenti di forma cilindrica (per esempio fasci tubieri ) investiti da un flusso assiale o trasversale. Il flusso può essere interno oppure esterno ai cilindri e il fluido in movimento può essere un liquido, una miscela bifase, un vapore oppure un gas. Tali vibrazioni devono essere evitate o, se ciò non è possibile, la loro ampiezza deve essere mantenuta al di sotto di valori limite per prevenire i cedimenti strutturali a favore dei costi di impianto e della sicurezza. Nel caso particolare di uno scambiatore di calore si individuano quattro meccanismi di eccitazione delle vibrazioni: Instabilità fluidoelastica L interazione tra fluido e struttura induce uno scambio di energia tra la corrente fluida e il movimento della struttura: essa è soggetta ad un campo di forze posizionale, di velocità e dipendente dal tempo, non conservativo e che altera le proprietà dinamiche del sistema (può essere infatti espresso attraverso una matrice elastica e una di smorzamento equivalenti e non lineari). L instabilità può verificarsi quando la velocità del fluido è sufficientemente elevata e l energia assorbita dalla struttura risulta essere maggiore di quella dissipata dai meccanismi di smorzamento presenti (smorzamento strutturale, attrito tra il tubo e il supporto, smorzamento viscoso legato al presenza di fluido interstiziale tra il tubo e il supporto, smorzamento viscoso tra il tubo e il fluido esterno, ). La minima velocità alla quale può verificarsi prende il nome di velocità critica per l instabilità fluidoelastica. Questo meccanismo di eccitazione è il più importante nel caso di banchi di tubi in cross flow. Nella pratica l instabilità fluidoelastica è espressa in termini di una velocità adimensionale della corrente fluida e di un parametro massa-smorzamento anch esso adimensionale [23]: pc 2π ζ m = K 2 fu D ρ D dove ƒ è la frequenza propria del tubo, ρ la densità del fluido, m la massa del tubo per unità di lunghezza e UBpcB la velocità critica di pinch. K è consigliato porla uguale a tre per tutte le configurazioni a fasci tubieri. Tale formulazione va corretta nel caso di distribuzione del flusso non uniforme oppure ancora di ammissione parziale. 1 2 Figura La velocità critica provoca l instabilità della struttura 6

7 è la che Distacco di vortici Il distacco periodico di vortici può manifestarsi immediatamente a valle di un corpo in cross flow ed è all origine di forzanti periodiche. Esso è un problema quando la frequenza di distacco risulta essere coincidente con la pulsazione propria del tubo perché quest ultimo va in risonanza e le vibrazioni possono assumere ampiezze elevate. Nella pratica il fenomeno del distacco periodico di vortici è descritto attraverso il numero di Strouhal che esprime la frequenza di distacco dei vortici[24]: St = f s U D p dove ƒbsb la frequenza dello shedding, D il diametro del tubo e UBpB velocità di pinch, e mediante i coefficienti adimensionali di lift e drag, che permettono di stimare il valore della forza periodica[24]: C = 2 F x x 2 D ρ U p Il modulo e la frequenza di tali forze dipende da una serie di parametri quali la configurazione del fascio tubiero, la posizione all interno dello scambiatore di calore, il numero di Reynolds, il livello di turbolenza, la densità del fluido e il rapporto P/D (dove P è il passo dei tubi per array quadrati). La risonanza legata al distacco di vortice è in generale più preoccupante con liquidi (le forzanti sono proporzionali alla densità del fluido) in cross flow quando il flusso è abbastanza uniforme. Non è di solito un problema all ingresso dove il flusso è disuniforme e la turbolenza (che esercita un effetto inibitore poiché aumenta la diffusività della quantità di moto) è importante: in questa zona infatti c è una forte produzione di energia cinetica turbolenta non compensata da una dissipazione della stessa. Più a valle invece il termine dissipativo acquista maggiore importanza poiché l accelerazione del fluido comporta uno stiramento dei tubi di vorticità: le grosse strutture turbolente vengono spezzate in strutture più piccole e dissipative. I coefficienti legati alle forze fluttuanti tendono a quelle del cilindro singolo quando P/D è grande, mentre diventano molto piccole quando P/D è contenuto poiché la massa associata alle onde o ai vortici è piccola a causa del ridotto spazio che hanno a disposizione per svilupparsi (CBLBdipende molto da P/D fino a valori 2.5 [24]). Se per un cilindro isolato tale fenomeno è conosciuto e studiato da lungo tempo e va sotto il nome di vortci di Von Karman, quello che accade in un fascio tubiero con rapporti P/D bassi non è ancora completamente compreso e le opinioni sono contrastanti. Per esempio Parrondo, Santolaria e Weaver [21] sospettano, sulla base dell impossibilità di individuare un unico St costante in una matrice di tubi rigidi, che il distacco di vortice sia causato dall oscillazione del tubo flessibile (e quindi indirettamente dall instabilità fluidoelastica), anziché essere la causa dell oscillazione. Kassera e Strohmeier [11], invece, affermano che per valori di P/D<1.6 il distacco di vortice è impedito dalla troppo piccola distanza tra i tubi. Pettigrew e Taylor [24], per citarne altri, riportano dei valori di St fino a P/D=1.23. Questo si riflette nei valori di St e CBxB sono spesso contraddittori. Eccitazione random Le eccitazioni random sono legate alle presenza di turbolenza nella corrente fluida. La turbolenza provoca delle fluttuazioni casuali di pressione attorno alla superficie dei tubi i quali iniziano a vibrare. A differenza dell instabilità fluidoelastica e del distacco periodico 7

8 d onda, che causano cedimenti in breve tempo, le eccitazioni random agiscono sul lungo periodo provocando cedimenti per fatica e/o per usura (a seguito dello sfregamento tra il tubo e il supporto). Nella pratica si distingue tra near-field excitation, quando la turbolenza è generata localmente dal fluido che scorre attraverso il fascio tubiero, e far-field excitation, quando invece la turbolenza è generata a monte dello scambiatore (per esempio in curve, valvole, ). Di solito le forze legate all eccitazione random sono molto più piccole nei tubi interni rispetto a quelli a monte che risultano essere più critici. L eccitazione random può diventare importante in prossimità dell instabilità fluidoelastica quando lo smorzamento viscoso legato all interazione fluido struttura diventa molto piccolo. Tale meccanismo è rilevante soprattutto quando la corrente fluida è un liquido o una miscela bifase. Il fenomeno sopra descritto viene oggi studiato con la tecnica delle vibrazioni random e si caratterizza con la densità di potenza spettrale. Risonanza acustica La risonanza acustica si verifica quando la frequenza di generazione delle onde di pressione (causate dal periodic shedding, da pulsazioni indotte dalla pompa, da rumore prodotto da dispositivi presenti nelle condutture,...) eguaglia la frequenza naturale delle onde acustiche all interno dello scambiatore (funzione della geometria e dello smorzamento sonoro). La risonanza oltre a generare un rumore intenso può indurre delle vibrazioni nei tubi e causare danneggiamenti se la frequenza di risonanza coincide con la frequenza propria delle strutture coinvolte. All origine delle onde di pressione sonore ci può essere una pompa oppure anche il fenomeno del distacco periodico di scia e di vortice. Essa è preoccupante soprattutto nei fasci tubieri attraversati da gas o vapore. Questi quattro meccanismi sono più o meno importanti a seconda della configurazione considerata come è possibile notare dalla tabella 1.1 tratta da [22]. Il generatore di vapore Iris è composto da eliche di tubi concentriche. Esso è uno scambiatore impaccato caratterizzato da rapporti P/D=1.37 e L/D=1.32 (dove L è la distanza tra i tubi nella direzione del flusso, mentre P è la distanza nella direzione ad esso trasversale), pertanto in una zona al centro di controversie legate al possibile comportamento di interazione fluido struttura. Per quanto riguarda lo stato fisico delle correnti fluide che scorrono al suo interno distinguiamo tra: Fluido primario E acqua allo stato liquido che scorre nel mantello in cross flow sui tubi elicoidali. Entrando con questi dati in Tabella 1 si evince come la principale sorgente di vibrazione siano le instabilità fluidoelastiche seguite dal distacco periodico di onda o di vortice (in realtà per fasci tubieri impaccati queste sembrano essere fortemente correlate con i fenomeni fluidoelastici) e dalle eccitazioni random. Fluido secondario E sempre acqua che scorre assialmente all interno dei tubi. Essa cambia fase durante l attraversamento dello scambiatore, quindi avremo uno di seguito all altro liquido, miscela bifase e vapore. Entrando con questi dati in Tabella 1 si evince come sia importante considerare e studiare gli effetti legati alle eccitazioni dovute alla turbolenza e alla risonanza acustica. 8

9 Tabella Meccanismi di eccitazione delle vibrazioni 9

10 2 - SCOPO DEL PROGETTO OBIETTIVI SPECIFICI DELL ANALISI CFD La problematica delle vibrazioni indotte in una struttura da una corrente fluida è stata per molto tempo affrontata per via empirica o semiempirica, attraverso rilevazioni sperimentali ad hoc per la determinazione di parametri adimensionali usati per caratterizzare il fenomeno. Negli ultimi dieci anni lo sviluppo della CFD, sia in termini di potenza computazionale che di codici e di algoritmi, ha favorito l idea di un approccio numerico al problema. In [11] si citano i principali vantaggi di un approccio numerico: Rispetto alle formule conservative e semiempiriche usate per predire la velocità critica adimensionale, un metodo numerico ha il vantaggio di essere più esatto e di poter essere usato con qualsiasi configurazione di scambiatore (soprattutto con array irregolari o particolari per i quali dati sperimentali sono difficilmente reperibili). Inoltre sarebbe possibile predire le ampiezze di vibrazione in corrispondenza di ogni velocità sub-critica. In un approccio numerico il campo di moto può essere visualizzato e i dati relativi alla corrente fluida (quali pressione e velocità) e alla dinamica dei tubi (quali spostamenti e velocità degli stessi) sono disponibili ad ogni time step ed in ogni punto del dominio, anche in quei punti che sarebbero difficilmente accessibili per misurazioni. Inoltre è possibile studiare l influenza delle condizioni al contorno quali ad esempio l attrito alle pareti o le vibrazioni indotte dalla pompa. L approccio numerico deve essere calibrato a quello che è l obiettivo della simulazione. Longatte, Bendjeddou e Souli [17] distinguono tre possibili situazioni da considerare per lo studio di una schiera di tubi: In presenza di un fluido stagnante i termini di massa e smorzamento aggiunti dal fluido possono essere determinati numericamente utilizzando una formulazione del tipo moving mesh per il calcolo del dominio fluido: il moto del tubo viene introdotto come una condizione al contorno mobile. In presenza di un flusso turbolento, quando le forze turbolente sono prevalenti sugli effetti fluidoelastici (che si riducono a masse e smorzamenti aggiunti), è possibile trascurare gli effetti del moto della struttura sulla direzione del flusso. In generale quando gli effetti fluidoelastici non sono significativi non c è un forte accoppiamento tra il moto del fluido e della struttura e si può pensare pertanto che il cammino delle particelle fluide non sia alterato dallo spostamento dei tubi. In questo caso il problema termoidraulico può essere affrontato separatamente da quello meccanico: lo spettro delle forze turbolente e il loro valore nel tempo verrebbe simulato usando un approccio Large Eddy Simulation (LES) e introdotto come condizione di ingresso nel calcolo della risposta della struttura. La LES è già stata applicata con successo per determinare numericamente il carico turbolento su tubi soggetti a una corrente fluida assiale non confinata. In presenza di una corrente fluida con elevati effetti fluidoelastici è necessario utilizzare specifici metodi numerici che risolvano in modo accoppiato le equazioni di moto di fluido e struttura: ad ogni time step l effetto legato allo spostamento del tubo è considerato distorcendo il dominio del fluido, mentre l effetto della corrente fluida viene tenuto in conto calcolando le forze esercitate sulle pareti solide. Il modo di procedere trovato in letteratura per una analisi accoppiata del problema fuidodinamico e strutturale è il seguente [17]: 10

11 2.2 - RISULTATI ATTESI Questo lavoro si propone di capire se sia possibile affrontare numericamente il problema delle vibrazioni all interno di uno scambiatore con l impiego di due software commerciali, Fluent per la parte fluidodinamica e Abacus per la parte strutturale: l idea è quella di limitarsi inizialmente a risolvere l accoppiamento fluido struttura off-line in vista di un possibile futuro implemento on-line. Si pensava all inizio di poter superare in maniera abbastanza veloce la parte fluidodinamica, relativa al campo di moto in uno scambiatore impaccato, utilizzando un dominio bidimensionale, 3x1 o 5x1, con condizioni periodiche nella direzione del flusso e simmetriche in quella ad esso trasversale. Si credeva infatti che la corrente fluida, data la vicinanza dei tubi, fosse ben guidata, con delle corsie preferenziali tra i tubi e delle zone di vorticose dietro gli stessi. Si era inoltre ipotizzato che la struttura dei vortici fosse simile a quella riscontrata in letteratura nel cilindro singolo, caratterizzata da un distacco alternato che genera coefficienti di drag e lift perfettamente sinusoidali, ad ampiezza costante, e con il secondo avente periodo doppio rispetto al primo. Si pensava inoltre che l unica causa delle forzanti agenti sui tubi fosse legata al distacco di vortice mentre, come mostrato in tabella 1, coesistono molteplici fenomeni. Tale impostazione si è rivelata problematica e ha costretto a cambiare in corso la linea d azione e le aspettative: simulare con poche celle un fascio tubiero per di più impaccato non è una cosa scontata. 11

12 Alcune letture bibliografiche hanno rafforzato in noi l idea della presenza di un campo di moto squilibrato, eventualmente oscillante, e pertanto da questo momento in poi ci si è concentrati sulla forma del dominio, sulle condizioni al contorno e sul possibile campo di moto limitando molto gli sforzi sulla parte relativa all accoppiamento dei problemi fluidodinamico e strutturale. Figura Rappresentazione dei vettori di velocità e dei profili di pressione all istante t=0.33 s. Ottenuti simulando, con un modello LES e con un dominio caratterizzato da doppie periodiche, un array di tubi in linea con P/D=1.95 [1] Figura Rappresentazione dei vettori di velocità e dei profili di pressione all istante t=0.42 s. Ottenuti simulando, con un modello LES e con un dominio caratterizzato da doppie periodiche, un array di tubi in linea con P/D=1.95 [1] APPROCCIO GENERALE: PRINCIPALI ASSUNZIONI E IPOTESI DI LAVORO Le principali ipotesi semplificative introdotte nello studio del problema sono sorte dalla necessità di ottenere un adeguato trade-off tra l accuratezza dei risultati e l impiego di risorse, sia computazionali che in termini di tempi di consegna. Ulteriori semplificazioni sono state introdotte dalla non corretta comprensione del fenomeno fisico (es. l impostazione delle condizioni al contorno) dovuta all iniziale mancanza di competenze e di un adeguato materiale bibliografico: tali 12

13 lacune sono state parzialmente colmate in corso d opera dalle documentazioni scientifiche nel frattempo recuperate. Rimane comunque il fatto che il fenomeno è dibattuto dal mondo tecnicoscientifico e si è ancora ben lontani dall averlo compreso completamente. Per farsi un idea della complicazione ma anche degli interessi economici in gioco, basti pensare che l ASHRAE ha commissionato uno studio di 30 mesi dei quali 6 sono da dedicarsi alla sola indagine bibliografica [29]. In tal senso l obiettivo è stato quello di chiudere il ciclo di analisi delineato in 1.1, più che di fornire risultati accurati, e di produrre in tempi ragionevoli un parere circa la fattibilità di uno studio numerico, preferibilmente con un codice commerciale, del problema delle vibrazioni in uno scambiatore di calore. Il dominio geometrico di nostro interesse riguarda la cavità anulare compresa tra le pareti del core e del vessel del reattore, nella quale sono presenti più banchi di tubi, ciascuno costituito da più eliche concentriche. Le eliche hanno un inclinazione di circa 4 e sono alternate con avvolgimento in senso opposto per evitare che il flusso di acqua compreso tra due eliche concentriche adiacenti segua una direzione preferenziale legata al verso di avvolgimento (diventando quindi assiale rispetto ai tubi). Il flusso può quindi considerarsi di tipo cross-flow a meno di una piccola componente assiale legata all inclinazione di 4 dell elica rispetto alla direzione orizzontale, che è poi quella ortogonale alla direzione del flusso. Nella cavità anulare sono compresi ulteriori elementi che vanno a complicare la geometria del dominio, quali ad esempio i supporti dei tubi stessi. La corrente fluida, da noi studiata, presenta un numero di Reynolds (calcolato considerando come dimensione caratteristica il diametro dei tubi e come velocità quella di flusso indisturbato) pari a circa Per il Re considerato, se si trattasse di un singolo cilindro in cross-flow, avremmo un regime di moto detto transition in shear layer III [27]: tale regime è caratterizzato dal completamento della fase di transizione turbolenta dello shear layer mentre le regioni di scia e di vortice dietro al cilindro sono già completamente turbolente. Nel caso di banchi di tubi non è possibile identificare con altrettanta precisione un regime di moto a causa delle complesse interazioni legate per esempio alla presenza dei tubi adiacenti (effetti geometrici importanti, quali ad esempio la distanza tra i tubi e il diametro), alle eventuali oscillazioni dei tubi (che non sono sempre trascurabili rispetto alle dimensioni caratteristiche del problema), al fatto che le strutture turbolente possono avere dimensioni dell ordine di quelle geometriche del dominio,.... Kevlahan e Wadsley [12] affermano che, mentre nel caso di cilindro singolo la scia diventa tridimensionale per Re>180 (cioè quando inizia la transizione turbolenta della stessa), la transizione tridimensionale nel caso di banchi di tubi fortemente impaccati è ancora non ben compresa (l articolo è stato pubblicato il 22 Febbraio 2005). Essi eseguono simulazioni su banchi di tubi staggered con P/D=1.5 per Re=200 e Re=1000. La loro conclusione è che il forte impaccamento non è in grado di sopprimere la tridimensionalità dei vortici. Effettuano anche prove mettendo in moto uno dei cilindri del dominio e concludono che per Re=200 il moto del cilindro sopprime completamente la generazione di vorticità tridimensionale mentre per Re=1000 ciò non si verifica anche se la tridimensionalità diminuisce rispetto al caso di cilindro immobile. In [10] vengono eseguite misurazioni PIV su array di tubi in-line fortemente impaccati (P/D=1.5) per un Re di 5400 e 27000: viene osservata la presenza di tre tipi strutture vorticose (raramente una coppia di vortici simmetrici, più spesso un vortice esteso accompagnato da uno più piccolo o un singolo vortice), vengono fatte delle misure sui profili medi di velocità e viene inoltre misurata l intensità di turbolenza dietro ai tubi. Tale studio presenta il difetto, se si è interessati ad un confronto con il caso da noi studiato, che le condizioni al contorno sono eccessivamente vicine e condizionano, a nostro parere pesantemente, il campo di moto risultante. Va inoltre detto che tutti gli studi riportati negli articoli di bibliografia, sia numerici che sperimentali, per Re ben inferiore a quello da noi adottato (sia per configurazioni staggered che in-line ) considerano flusso turbolento sia nella regione vorticosa dietro ai tubi che nella regione orizzontale tra tubi adiacenti. La conclusione è che il nostro flusso è sicuramente turbolento con caratteristiche tridimensionali. Per limitare gli oneri computazionali abbiamo dovuto semplificare drasticamente il dominio. Anzitutto sono stati trascurati tutti gli elementi contenuti nella cavità anulare ad eccezione dei fasci 13

14 tubieri. Tali elementi addizionali disturbano senz altro il flusso contribuendo ad esempio all intensità di turbolenza: in [28] viene sottolineato il fatto che il valore dell intensità di turbolenza ha una fondamentale influenza sulle grandezze fisiche nei fasci tubieri e quindi sul campo di moto risultante. Ci siamo poi ricondotti ad una geometria bidimensionale per limitare il numero di celle di calcolo. Essendo uno dei nostri obiettivi il calcolo dei coefficienti adimensionali di drag e lift, abbiamo dovuto rispettare requisiti stringenti sul valore dell y plus : ciò ha reso proibitivo, con i nostri mezzi di calcolo, l utilizzo di una simulazione in tre dimensioni. Tra le configurazioni più comuni per i banchi di tubi trovate in letteratura, ci siamo ricondotti ad una configurazione in-line : ciò significa trascurare il raggio di curvatura delle eliche e l inclinazione delle stesse. L approssimazione di dominio geometrico bidimensionale si ripercuote fortemente sulla fisica del problema che, come abbiamo sopra dimostrato, è tridimensionale. La variazione di vorticità nel tempo è infatti legata a due termini: Effetto diffusivo: esso è legato alla viscosità molecolare ed è consistente solo alle piccole scale, cioè alle scale dissipative, dove sono maggiori i gradienti di velocità; Effetto incrociato del gradiente di vorticità e del tensore di deformazione: tale termine può agire solo in un dominio tridimensionale mentre, in due dimensioni, la vorticità è destinata a rimanere ortogonale al piano di lavoro lungo le linee di corrente, senza poter cambiare direzione caratteristica. Ne segue che in un dominio bidimensionale la vorticità può subire solo diffusione e trasporto per cui la dinamica evolutiva non è rigorosamente turbolenta. Un esempio evidente dell effetto che la semplificazione introdotta comporta è riportato in [2] dove vengono confrontati i risultati ottenuti da due simulazioni effettuate su banchi di tubi staggered con Reynolds stress model (RSM) rispettivamente in 2D e 3D. Le immagini 2.3 e 2.4 mostrano un consistente vortex-shedding in 2D mentre in 3D il fenomeno è fortemente limitato e le fluttuazioni su larga scala sono soprattutto dovute ad una oscillazione del flusso intorno al tubo, alternata tra il canale a destra e a sinistra. Un altra semplificazione adottata è stata nella risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes. La soluzione migliore richiederebbe l utilizzo della DNS che tuttavia, con i mezzi di calcolo oggi disponibili, può essere effettuata solo su piccoli domini e per numeri di Reynolds relativamente bassi (la dimensione delle scale turbolente più piccole che devono essere risolte è proporzionale a -3/4 ReP Pper cui al crescere di Re si deve ridurre la dimensione degli elementi di griglia). In ogni caso ottimi risultati possono essere anche ottenuti con la LES come testimoniano le simulazioni riportate ad esempio in [1], [2], [25]:P Ptali autori ritengono lo studio delle vibrazioni indotte in uno scambiatore di calore uno dei pochi problemi affrontabili con la LES anche a livello industriale. L impossibilità per noi di utilizzare la LES è legata alla limitatezza dei mezzi in termini di potenza di calcolo, di conoscenze, di software disponibili. Figura Campo di velocità istantaneo ottenuto con RSM 2D [2] 14

15 Figura Campo di velocità istantaneo ottenuto con RSM 3D [2] ( u iu j ) = ( Rij ) + ( uiu j ) TOTALE MODELLATO RISOLTO Nel nostro caso è stato necessario adottare le URANS, cioè le RANS instazionarie, che oltre ai termini statisticamente stazionari (risolti anche dalle RANS stazionarie) risolvono anche i bassi numeri d onda derivanti dalla presenza di fenomeni non stazionari quali ad esempio il vortex-shedding. Viene quindi risolta una parte delle fluttuazioni di velocità che è aggiunta ai Reynolds stresses modellati: Ulteriori limitazioni sono state incontrate nella modellizzazione del tensore degli sforzi turbolenti. Con il modello RSM è possibile considerare l anisotropia della turbolenza risolvendo delle equazioni di trasporto per le grandezze turbolente. In [2] si perviene alla conclusione che in 3D i risultati di LES e RSM sono entrambi soddisfacenti anche se la LES è leggermente più consistente con i risultati della DNS. Sempre in [2] si aggiunge che l RSM in 2D porta ad una sovrastima dei Reynolds stresses che spiega il consistente fenomeno di vortex-shedding ottenuto con la simulazione. In ogni caso i vincoli ci imponevano necessariamente di scegliere tra i modelli ad una equazione (Spalart-Allmaras) e a due equazioni (k-є standard, k-є realizable, k-є RNG, k-ѡ standard, k-ѡ SST) messi a disposizione dal Fluent. Le URANS tuttavia hanno a lungo fallito nel produrre risultati corretti di flussi su banchi di tubi [2]. Questa provocativa affermazione è basata su numerose simulazioni URANS riportate in letteratura come ad esempio in [25] e [2]. Perfino i modelli più avanzati quali k-є non lineare, realizable e RNG sottostimano fortemente gli alti livelli di energia cinetica turbolenta osservati nei banchi di tubi fortemente impaccati. Lo stesso vale per il modello RSM in 2D anche se la sottostima è leggermente minore (specialmente se sono usati coefficienti non standard). Nel nostro caso abbiamo quindi scartato l RSM 2D poiché produce scarsi benefici rispetto agli altri modelli necessitando però la risoluzione di cinque equazioni, con tempi di calcolo maggiori. Paradossalmente il k-є standard predice in modo ragionevole le velocità medie ed i livelli globali di energia cinetica turbolenta ma solo casualmente, grazie all erronea sovrastima di energia cinetica turbolenta nella zona di impatto del flusso sul tubo; questo effetto innalza globalmente l intensità di turbolenza ma le collocazioni del minimo e del massimo sono erronee [2]. Un problema delle RANS riguarda il fatto che nella zona compresa tra la scia di un cilindro e la regione di impatto del cilindro successivo, le componenti fluttuanti della velocità sono di gran lunga maggiori rispetto alle componenti medie: risulta quindi difficile ricostruire le caratteristiche del flusso a partire dalla velocità media [25]. 15

16 Sempre in [25] si conclude che la simulazione LES porta ad un successo perché la dimensione dei più grandi vortici è simile a quella degli ostacoli. I modelli URANS incontrano limitazioni quando le scale integrali della turbolenza sono comparabili con quelle delle disomogeneità del flusso medio. Numerose simulazioni URANS sono state analizzate nel corso del ERCOFTAC workshops on refined flow modeling del 1993 e 1994 da cui sono state ricavate le affermazioni sopra riportate [2]. Per concludere occorre analizzare le ipotesi introdotte riguardo alle condizioni al contorno e aggiungere ulteriori semplificazioni al dominio analizzato. Figura Sequenza nel tempo di linee a pari velocità nella direzione del flusso GRIGIO CHIARO: regioni a bassa velocità si distaccano dal cilindro e sono trasportate verso il punto di stagnazione GRIGIO SCURO: bolle ad alta velocità occasionalmente fanno delle incursioni nella regione di stagnazione Anzitutto va detto che ci siamo concentrati nello studio del flusso dei tubi centrali dello scambiatore, lontano dalle pareti del core e del vessel, per vari motivi: Date le dimensioni dell elica si può considerare che la maggior parte dei tubi si trovino nelle condizioni studiate, cioè di flusso sviluppato e scarsa influenza delle pareti fisiche; I primi tubi (ma anche gli ultimi) presentano caratteristiche molto differenti rispetto ai tubi centrali [10] e andrebbero studiati separatamente; Per calcolare adeguatamente le grandezze fisiche sui primi tubi riveste notevole importanza il calcolo corretto dell intensità di turbolenza nella regione di ingresso [1], cosa che ovviamente non siamo in grado di effettuare, non conoscendo ciò che si verifica nel flusso a monte; 16

17 Sui primi tubi le forzanti più significative sono legate agli effetti random dovuti alle fluttuazioni turbolente [22]. Essi sarebbero calcolati adeguatamente dalla DNS; anche la LES, utilizzando una opportuna lunghezza caratteristica per la funzione di filtro spaziale, darebbe buoni risultati. Non possiamo invece aspettarci di poter calcolare tali grandezze con le URANS, per la loro natura intrinseca. Per quanto riguarda le condizioni al contorno in [25] si dice che il flusso negli scambiatori di calore è uno dei rari flussi di interesse industriale in cui le condizioni al contorno periodiche non possono essere messe in discussione. In tutte le simulazioni presenti negli articoli di bibliografia vengono adottate condizioni al contorno periodiche sia nella direzione principale del flusso che nella direzione trasversale: citiamo ad esempio [1], [2], [25]. In molte simulazioni eseguite su tubi staggered, ad esempio [2] e [25], si considera come dominio periodico quello contenente un singolo tubo e dei quarti di tubo agli angoli. In [19], sullo stesso dominio di [2] e [25], si dimostra che la periodicità è verificata su un singolo tubo (si osserva che, a distanza di un passo, i profili delle grandezze fisiche sono identici). Longatte et alia [17], dopo una campagna di simulazioni numeriche in una schiera di tubi di tipo in line, dicono di considerare migliore una griglia a nove tubi (un tubo centrale più quattro mezzi tubi più quattro quarti di tubo) rispetto ad una a cinque tubi. Purtroppo agli inizi del lavoro non disponevamo del materiale bibliografico appena citato, pertanto abbiamo adottato ipotesi almeno in parte erronee. Le condizioni al contorno periodiche nella direzione del flusso sono state adottate immediatamente, avendo ipotizzato di avere un campo di moto pienamente sviluppato. I domini inizialmente considerati comprendevano tre tubi in direzione trasversale al flusso e uno nella direzione del flusso,cinque tubi in direzione trasversale al flusso e uno nella direzione del flusso, tre per tre tubi, cinque per cinque tubi. Avendo precedentemente dimostrato la periodicità sul singolo tubo, tali configurazioni non presentano alcunché di sbagliato. L errore è stato quello di adottare condizioni al contorno simmetriche nella direzione trasversale al flusso, ipotizzando che nel condotto orizzontale tra i tubi il flusso fosse perfettamente rettilineo. Tali simulazioni verranno comunque analizzate poiché ci è sembrato interessante confrontarle con le successive; va detto che, nel caso di pareti molto vicine, come si può anche vedere in [10], i risultati ottenuti sono confrontabili. Il passo successivo è stato quello di adottare, sugli stessi domini ma con l aggiunta di un dominio contenente un singolo cilindro, condizioni al contorno periodiche in entrambe le direzioni: su queste simulazioni sono stati ottenuti i dati conclusivi del nostro lavoro. Questo passo è stato deciso dopo aver letto l articolo [1] e aver osservato dai risultati della simulazione che, nel canale tra i tubi, il flusso è tutt altro che rettilineo e ben guidato. E stato tuttavia scartato il caso di cilindro singolo poiché ha dato forti problemi di convergenza. Il motivo può essere legato al fatto che le condizioni periodiche sono troppo vicine. Analogamente non siamo riusciti ad effettuare simulazioni sul dominio costituito da un cilindro intero, quattro quarti di cilindro agli angoli e quattro mezzi cilindri sui lati. Un futuro obiettivo che ci siamo posti è quello di eliminare i problemi di convergenza su questi domini PIANIFICAZIONE DELLE ATTIVITÀ Le nostre attività sono procedute su due filoni distinti tra i quali sono stati poi effettuati dei confronti. Il primo filone riguarda le simulazioni con condizioni periodiche nella direzione del flusso e simmetriche in direzione ad esso trasversale. Si sono considerati solo domini con numero dispari di tubi di modo da avere sempre un tubo centrale sul quale le condizioni al contorno analoghe esercitassero la stessa influenza. Le condizioni al contorno sono state via via allontanate e si sono effettuati dei confronti per verificare a quale distanza un loro successivo allontanamento diventa ininfluente: a parità di risultati ottenuti si è preso come migliore (nel senso di meno oneroso dal punto di vista computazionale) il dominio più 17

18 piccolo per eventuali successive analisi da effettuare con mesh più raffinate o domini tridimensionali e RSM. Il secondo filone riguarda le simulazioni con condizioni periodiche nella direzione del flusso e periodiche in direzione ad esso trasversale. Si sono considerati solo domini con numero dispari di tubi di modo da avere sempre un tubo centrale sul quale le condizioni al contorno analoghe esercitassero la stessa influenza. Le condizioni al contorno sono state via via allontanate e si sono effettuati dei confronti per verificare a quale distanza un loro successivo allontanamento diventa ininfluente: a parità di risultati ottenuti si è preso come migliore (nel senso di meno oneroso dal punto di vista computazionale) il dominio più piccolo per eventuali successive analisi da effettuare con mesh più raffinate o domini tridimensionali e RSM. Si è inoltre cercato di verificare quale fosse la più piccola periodicità riscontrata nel dominio per verificare che un solo cilindro è il più piccolo dominio periodico. Dalla simulazione ritenuta più soddisfacente si sono ricavati i grafici dell andamento nel tempo dei coefficienti di drag e lift, si sono ricavate le leggi di variazione temporale degli stessi e quindi delle forze agenti sul cilindro. Tali forze sono state applicate ad un modello ad elementi finiti di tipo beam nel quale è stata modellata la porzione di tubo compresa tra due vincoli. La risposta dinamica del tubo ci ha consentito di ricavare la legge di moto della sezione centrale per effettuare una simulazione fluidodinamica in 2D su cilindro mobile mediante l algoritmo di moving-mesh (il cilindro messo in movimento è quello centrale del dominio selezionato come migliore). L ultimo passo è stato quello di confrontare la simulazione effettuata su cilindri fissi e quella effettuata considerando cilindro centrale mobile. Va detto che la parte finale di questo filone di attività, cioè quella che segue la simulazione su cilindri fissi, è stata portata a termine più per dimostrare la fattibilità di una chiusura del problema di interazione fluido-struttura che per cercare di ottenere risultati applicabili a livello progettuale (in quanto le ipotesi semplificative aggiunte nella simulazione strutturale e nella simulazione con moving mesh sono fin troppo stringenti e vanno a sommarsi alle già numerose semplificazioni adottate nella simulazione fluidodinamica su cilindri fissi). Prima di concludere il paragrafo occorre aggiungere un chiarimento. La pianificazione delle attività è il passo iniziale di ogni lavoro che ne segna l ordine di svolgimento e ne scandisce i tempi. Nel nostro caso, per effetto di una somma di fattori (assenza di tempo sufficiente per effettuare un adeguata ricerca bibliografica, problemi di convergenza legati oltre che alla complessità del fenomeno anche alla mancanza di conoscenze approfondite, assenza di una soluzione definitva del problema nel mondo tecnico scientifico) non è stato possibile rispettare con ordine una scaletta delle attività definita a priori. Più che altro, nel nostro caso, si può parlare di pianificazione adattativa nel senso che l emergere di sempre nuovi problemi e la prosecuzione della ricerca bibliografica ci hanno portato ad abbandonare più volte le attività precedentemente programmate. Le attività sotto elencate con ordine temporale ben preciso non sono state seguite nella sequenza delineata che deve quindi essere intesa solo come un ordine logico necessario a dare completezza al problema trattato. 18

19 Simulazioni con condizioni al contorno periodiche+simmetriche: 3X1, 5X1, 3X3, 5X5 tubi Simulazioni con condizioni al contorno periodiche+simmetriche: 1, 3X1, 5X1, 3X3, 5X5 tubi Determinazione dei profili di velocità, perdite di carico, coefficienti di drag e lift CONFRONTO Determinazione dei profili di velocità, perdite di carico, coefficienti di drag e lift Confronto dei risultati ottenuti nelle varie simulazioni per stabilire il più piccolo dominio utilizzabile Confronto dei risultati ottenuti nelle varie simulazioni per stabilire il più piccolo dominio utilizzabile Esportazione delle forzanti periodiche ricavate al modello beam della porzione di tubo compresa tra due Simulazione Abaqus per ottenere la legge di moto della sezione centrale del tubo Esportazione della legge di moto per effettuare una simulazione fluidodinamica con moving mesh Determinazione dei profili di velocità, perdite di carico, coefficienti di drag e lift 19

20 3 - VALIDAZIONE DELL APPROCCIO IDENTIFICAZIONE DI UN CASO SEMPLIFICATO SIMILE NELLA BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO Prima di passare all analisi del fascio tubiero si è pensato di riferirsi ad un caso semplificato descritto maggiormente in bibliografia, come fatto da Kassera et alia in [11]. Questo ci ha portati ad analizzare la situazione di moto attorno ad un singolo tubo in cross flow, così da poter validare un modello di turbolenza che sia applicabile alle condizioni regnanti nel sistema in studio. L intenzione di questo paragrafo è quello di trovare un modello di turbolenza ottimale per poter estenderne l utilizzo nello studio del fascio tubiero. In bibliografia sono stati trovati numerosi dati riguardanti studi fatti sul campo di moto di fluido attorno ad un singolo tubo in cross flow. Dati riguardanti coefficienti di lift e drag medi nel tempo e delle corrispondenti componenti fluttuanti sono stati trovati in funzione del numero di Reynolds caratteristico del moto. In particolare ci riferiamo a un esperimento compiuto da Cantwell & Coles [11] nel 1983, i quali hanno studiato il moto di un fluido attorno a un singolo tubo con un numero di Reynolds di circa Nonostante il nostro caso riguardi numeri di Reynolds più contenuti (attorno agli 87000) possiamo effettuare un confronto diretto poiché nel regime di moto con 20000<Re<200000, definito in [27] come transition in shear layer III, il flusso è invariabile ed i valori medi ed oscillanti di drag e lift restano costanti DESCRIZIONE DEL MODELLO IMPLEMENTATO I dati a disposizione riguardano un tubo inserito in una vena fluida non vincolata da muri laterali. Secondo Zdravkovich [28] tale condizione di moto è verificata anche nel caso in cui la distanza tra le pareti di contenimento sia pari a 10 volte il diametro del tubo in crossflow. Per distanze inferiori vi sono dei coefficienti correttivi, che rimangono contenuti fino ai 4-5 diametri GEOMETRIA E MESH Nella rappresentazione grafica il fluido (acqua liquida) entra da sinistra con velocità di 5 m/s. È stato creato un dominio di forma rettangolare con un cerchio rappresentante il tubo posto a 2,5 diametri dal bordo di sinistra e verticalmente centrato. Il bordo di destra si trova a grande distanza dal tubo, precisamente a 12 diametri, in quanto in quello spazio si deve formare la scia. Sul contorno del tubo è stato creato un boundary layer piuttosto fine (spessore della prima cella pari a 0.01 mm) in quanto è di grande importanza per noi riuscire a prendere con grande precisione gli sforzi agenti tra la parete circolare e il fluido per poter risalire alle forze esercitate sul tubo e ai coefficienti di lift e drag necessari per la validazione del modello. La mesh finale è composta da celle in un dominio dalle dimensioni reali di mm2. Si è deciso di utilizzare una griglia triangolare, per poter creare una mesh uniforme anche attorno alle superfici curve, intrinsecamente difficili da seguire. Particolare attenzione e stata fatta all aspetto della mesh. L Equi-angle Skew e sotto lo per oltre l 80% delle celle e il valore massimo è di 0.42 per meno di 33 celle. L Aspect Ratio è, al di fuori del boundary layer, inferiore a 0.1 per tutte le celle, mentre si mantiene sotto il 5 all interno. 20

21 Figura 3.1: Particolare del bundry layer della griglia finale Per verificare la bontà della mesh utilizzata e controllare l insensibilità alla griglia della soluzione, con il modello di turbolenza considerato ottimo si è effettuato un infittimento portando al doppio il numero di celle. Questo è stato fatto su un dominio di dimensioni più contenute (pareti più vicine) per diminuire il tempo di calcolo. Si è ipotizzato, a ragione per quanto scritto in [28], che il fenomeno non sia fortemente influenzato dall avvicinamento delle pareti al tubo fino a 4-5 diametri di distanza. Si può verificare dalla tabella che il numero di Strouhal non è variato nè con l infittimento della griglia, nè con l allontanamento delle pareti. Figura 3.2: Griglie utilizzate per valutare l insensibilità all infittimento KW-STD Pareti Vicine Pareti Lasca Fine Lontane T [s] f [Hz] St

22 MATERIALI E CONDIZIONI OPERATIVE Il fluido utilizzato è acqua alla temperature ambiente di 300K. Per le pareti non è stato definito un materiale o una scabrezza superficiale. Densita' Viscosita' kg/m^3 kg/m s MODELLI FISICI Sono stati utilizzati vari modelli di turbolenza: - KW standard - KW SST - KE standard - KE SST Si è scartato dall inizio il modello di turbolenza RSM in quanto troppo oneroso dal punto di vista computazionale e perché dà benefici significativi rispetto agli altri modelli RANS solo in 3D. Lo Spalart-Allmaras non è stato in grado di dare risultati compatibili con il problema posto, non arrivando a convergenza. Questo probabilmente è imputabile alla semplicità del modello. Parte importante dello studio è quella riguardante gli sforzi nati tra il fluido e le pareti cilindriche e per questo è stata data particolare importanza al trattamento di parete. Durante l utilizzo del modello KE si è utilizzata l opzione Enhanced Wall Treatment che assicura una buona predizione dell andamento delle velocità nelle celle confinanti le pareti con y+ inferiori a 5 o superiori a 30. Per rimanere nel range il boundary layer è stato fatto molto sottile per mantenere l y+ il più basso possibile. Y PLUS Intervallo n celle min MAX % % % % % % 200 Totale 100.0% 22

23 Y PLUS 40.0% 35.0% 30.0% 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% 5.0% 0.0% Intervallo Il KW non richiede l utilizzo di un modello di parete. Ci siamo comunque preoccupati che l y+ rimanesse contenuto per meglio valutare gli sforzi a parete. Y PLUS Intervallo n celle min MAX % % % % % % 200 Totale 100.0% Y PLUS 35.0% 30.0% 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% 5.0% 0.0% Intervallo 23