13. Piccole oscillazioni

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1 3. Piccole oscillazioni Il moto di un sistema meccanico, soggetto a forze conservative, è approssimabile, nell intorno di un punto di minimo del potenziale, con quello del sistema linearizzato. Questa approssimazione, detta delle piccole oscillazioni, consiste nel sostituire la lagrangiana con la sua parte quadratica e si giustifica perché la funzione di Lyapounov ha un minimo nel punto critico e ne assicura la perpetua stabilità. La soluzione delle equazioni linearizzate si presenta come sovrapposizione di moti armonici, che si disaccoppiano in un opportuno sistema di coordinate, dette normali. Dello spettro di frequenze si dà una caratterizzazione variazionale attraverso il principio di Rayleigh. 3.. APPROSSIMAZIONE DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI Consideriamo un sistema meccanico a d gradi di libertà, con vincoli indipendenti dal tempo e potenziale regolare con un minimo in q = 0 se il minimo non è nell origine lo vi si riporta mediante una traslazione). Separiamo la sua lagrangiana L = i,j= nella parte quadratica L p.o. ed in un resto del terzo ordine T i,j q) q i q j V q) 3..) L = L p.o. + O q 3 ), L p.o. = q T q q Vq 3..)

2 c Approssimazione di piccole oscillazioni 79 dove T e V sono operatori lineari, definiti positivi, i cui elementi di matrice sono T ij = T i,j 0), V ij = V q i q j 3..3) q=0 Le equazioni del moto corrispondenti per la lagrangiana delle piccole oscillazioni L p.o. sono T q + Vq = ) Anziché considerare la matrice fondamentale soluzione del sistema di equazioni del primo ordine è conveniente risolvere direttamente le 3..4) ponendo qt) = e λt a 3..5) dove a è un vettore costante da determinarsi al pari di λ. Sostituendo in 3..4) si ottiene un problema agli autovalori generalizzato λ T + V)a = ) Gli autovalori λ, dati dagli zeri della equazione detλ T + V) = 0, che garantisce la solubilità del sistema lineare 3..6), sono tutti negativi. Infatti moltiplicando scalarmente per a la 3..6) si ottiene λ = a Va a Ta < ) dove a Ta e a Va sono positivi per qualsiasi a purché non identicamente nullo. Posto λ = ±iω le soluzioni sono e ±iω kt a k dove, i vettori reali a k sono soluzione del sistema di equazioni lineari omogenee Introducendo la matrice A degli autovettori e la matrice diagonale Ω delle frequenze ω kt + V)a k = 0, k =,...,d 3..8) A = a,a,...,a d ), A j,k = a k ) j 3..9) ω ω Ω = ) ω d scriviamo le seguenti relazioni, che generalizzano le condizioni di ortogonalità degli autovettori di una matrice simmetrica. {ÃTA = I ÃVA = Ω 3..)

3 80 3. Piccole oscillazioni c Per dimostrare queste relazioni moltiplichiamo la 3..8) scalarmente per a j a j ω kt + V)a k = 0 3..) sottraendo da 3..) la stessa relazione con gli indici k e j scambiati e tenendo conto della simmetria a j Ta k = a k Ta j di T e di quella di V si ottiene ω k ω j) a j Ta k = ) Supponendo che gli autovalori ω k siano tutti distinti e scegliendo la normalizzazione di a k, che è arbitraria, in modo che si abbia a k Ta k = troviamo che a j Ta k = δ j,k 3..4) che è equivalente alla prima delle relazioni 3..). Per ottenere la seconda è sufficiente moltiplicare scalarmente per a j la 3..8) tenendo conto di 3..4) a j Va k = ω ka j Ta k = ω kδ j,k 3..5) È possibile scegliere come condizione di normalizzazione degli autovettori a j Va k = δ jk anziché 3..4). In questo caso le 3..) vengono sostituite da ÃTA = Ω, ÃVA = I. 3.. COORDINATE NORMALI Per determinare la soluzione corrispondente a condizioni iniziali assegnate scriviamo la soluzione delle equazioni 3..4) come combinazione lineare delle d soluzioni linearmente indipendenti e ±iωkt a k, costituite da coppie complesse coniugate. Una soluzione reale si ottiene scegliendo i coefficienti della combinazione lineare complessi coniugati a coppie cioè [ qt) = ck e iωkt + c ke iω kt ] a k 3..) k= Introducendo il vettore c di componenti c k possiamo riscrivere la 3..) in forma più compatta qt) = Ae iωt c + Ae iωt c 3..) dove e iωt è la matrice diagonale che ha per elementi e iω kt. In generale la funzione fω) di una matrice diagonale è definita da f jk Ω) = fω k )δ j,k. Imponendo le condizioni iniziali sulla soluzione 3..) abbiamo La matrice A è invertibile A = ÃT e da q0) = Ac + c ), q0) = AiΩc c ) 3..3) c = A q0) + i Ω A q0) 3..4)

4 c Coordinate normali 8 si ottiene la soluzione delle equazioni del moto sostituendo nella 3..) qt) = A cosωt) A q0) + AΩ sinωt) A q0) 3..5) Le coordinate normali Q i sono le componenti del vettore q trasformato tramite A Q = A q, q = AQ 3..6) Nelle coordinate normali la legge di evoluzione è quella di un moto armonico: infatti la 3..5) diventa che per ciascuna componente si legge Qt) = cosωt)q0) + Ω sinωt) Q0) 3..7) Q k t) = Q k 0)cosω k t) + Q k 0)ω k sinω k t) 3..8) La lagrangiana scritta nelle coordinate normali è somma di lagrangiane di oscillatori armonici indipendenti. Infatti da 3..), 3..) si ottiene L p.o. = Q ÃTAQ Q ÃVAQ = Q Q Q Ω Q = L hamiltoniano per le piccole oscillazioni del sistema si scrive Q k ωkq k) 3..9) k= H p.o. = p T p + q Vq 3..0) La trasformazione alle coordinate normali ed ai corrispondenti momenti è data da e l hamiltoniano in coordinate normali diventa Q = A q, P = Ãp 3..) H p.o. = P ÃTA) P + Q ÃVAQ = P P + Q Ω Q = Pk + ωkq k) 3..) Infatti i nuovi momenti definiti dalla lagrangiana 3..0) sono P = Q e la trasformazione rispetto ai momenti iniziali p = T q è data da P = A q = A T p = Ãp. k=

5 8 3. Piccole oscillazioni c PRINCIPIO DI RAYLEIGH Le frequenze delle piccole oscillazioni, che supporremo ordinate in una successione crescente ω < ω <... < ω d hanno notevoli proprietà variazionali. Proposizione. I quadrati delle frequenze ω, ωd massimo della funzione Ru) definita da sono rispettivamente il minimo ed il Ru) = u Vu u Tu 3.3.) dove u R d. Il quadrato di una frequenza generica ωk è il minimo di Ru) nel sottospazio dei vettori u tali che u Ta i =0 con i =,..., k, il massimo nel sottospazio dei vettori u tali che u Ta i = 0 con i = k +,...,d. Per provare queste proprietà delle frequenze, note come note come principio di Rayleigh, è conveniente ricondurre il prodotto scalare u Tu interpretabile come il quadrato della norma indotta da T scrivendo u T = u Tu) alla norma euclidea del vettore v definito da v = T / u 3.3.) dove T / è una matrice positiva con inverso T / tale che T / T / = T / T / = I, calcolabile come qualsiasi altra funzione ft) della matrice T che è diagonalizzabile con autovalori positivi. Si ha quindi v = T / u = u Tu 3.3.3) Trasformando la matrice hessiana del potenziale V, gli autovettori a k definiti da 3..8), e la matrice A da essi formata, in W = T / VT /, b = T / a, B = T / A 3.3.4) ci si riconduce ad un ordinario problema agli autovalori per la matrice W W ω k I)b k = ) Introduciamo i proiettori P k = b b k definiti dal prodotto di ciascun autovettore per il suo duale. Applicato ad un vettore u generico l operatore P k fornisce la sua proiezione sull autovettore b k cioè P k u = b k b k u). Dalla definizione risulta evidente che le condizioni di ortonormalità b k b j = δ kj e di completezza d k= b kb k u) = u della base di autovettori si leggono espresse attraverso i proiettori P k P j = P k δ kj, P k = I 3.3.6) k=

6 c Oscillatori armonici e pendoli 83 Se B kj = b j ) k sono le componenti degli autovettori che formano la matrice B, la rappresentazione del proiettore P è una matrice la cui componenti sono P k ) ij = b k ) i b k ) j = B ik B jk 3.3.7) e si può verificare che che le condizioni di ortogonalità e completezza 3.3.5) sono equivalenti a BB = I ed a B B = I rispettivamente, vedi paragrafo 8.. La matrice W ha la seguente rappresentazione detta spettrale attraverso gli operatori di proiezione W = k= ω k P k 3.3.8) Scriviamo la funzione Ru) usando la rappresentazione spettrale di W Ru) = u Vu u Tu = v Wv v v = k= ωk v P k v v v 3.3.9) Maggiorando ωk con ω d o minorandola con ω ed usando la completezza dei proiettori 3.3.6), da 3.3.8) segue che ω Ru) ωd ; il valore massimo o minimo è raggiunto se u = a d oppure u = a. Se u è tale che u Ta i = 0 per i =,..., k allora v = T / u è ortogonale ai primi k autovettori b i e quindi P i v = 0 per i =,...,k ; ne segue che la somma in 3.3.9) corre su i k e quindi ωk Ru). Notando che R è funzione del vettore unitario v/ v possiamo scriverla come funzione delle sue componenti x i = b i v/ v sulla base ortonormale b k. Si ha quindi l espressione Ru) = ωk x k, k= x k = 3.3.0) k= da cui traspare il significato geometrico OSCILLATORI ARMONICI E PENDOLI Si calcola la trasformazione alle coordinate normali per un sistema di due oscillatori accoppiati e per il pendolo doppio nella approssimazione di piccole oscillazioni. Oscillatori accoppiati Consideriamo un sistema di due oscillatori la cui lagrangiana sia L = p + q + p + q + q q 3.4.)

7 84 3. Piccole oscillazioni c Le matrici T e V sono date da T = I, V = 3.4.) Gli autovalori sono ω = /, ω = 3/ e gli autovettori normalizzati a,a sono dati da a = /, ) e a = /, ). Si ottiene quindi A = a,a ) =, ÃA = I, ÃVA = Ω 0 = 3.4.3) La trasformazione alle coordinate e momenti normali è 0 3 Q = q q, Q = q + q, P = p p, P = p + p 3.4.4) con lagrangiana ed hamiltoniana espresse da L = Q + Q Q + 3 ) Q, H = P + P + Q + 3 ) Q, 3.4.5) La soluzione del problema di Cauchy nelle coordinate iniziali è dato da 3..5) q = cosω t) + cosω t) cosω t) cosω t) q 0) + cosω t) cosω t) cosω t) + cosω t) q 0) q + ω sinω t) + ω sinω t) ω sinω t) ω sinω t) q 0) ω sinω t) ω sinω t) ω sinω t) + ω sinω t) q 0) 3.4.6) dove ω = / e ω = 3/. Pendolo doppio Dato un pendolo doppio costituito da due punti P, P di massa m, m mobili in un piano verticale; siano l, l le distanze di P da un da un punto fisso O, ove scegliamo l origine degli assi, e da P rispettivamente. Siano θ, θ gli angoli che OP e P P formano con una retta verticale come indicato nella figura Le coordinate dei due punti sono date da x = l sinθ, x = l sinθ + l sinθ y = l cos θ, y = l cos θ l cosθ 3.4.7)

8 c Oscillatori armonici e pendoli 85 y O x θ P θ Figura Pendolo doppio. Detta M = m + m la massa totale la lagrangiana si scrive P L = M l θ + m l θ + m l l θ θ cosθ θ ) + Mgl cos θ + m gl cosθ 3.4.8) Dividendo L per gm l, introducendo un tempo adimensionale t = t g/l e ponendo θ k dθ k /dt si ha L = L gm l = Ml m l θ + l l θ + θ θ cosθ θ ) + Ml m l cos θ + cos θ 3.4.9) Nella approssimazione di piccole oscillazioni detto θ = θ, θ ) la lagrangiana si scrive L p.o. = θ Tθ Ml Ml θ Vθ, T = 0 m l l, V = m l 3.4.0) l 0 Posto λ = ω l equazione agli autovalori dett λv) = 0 si scrive ) Ml l λ) λ = 0, λ, = + l + l ) 4 m l m l l l l Ml 3.4.) Se facciamo ora la seguente normalizzazione per gli autovettori a,a in modo che la loro matrice A verifichi ÃVA = I anziché ÃTA = I perché rende più semplici le espressioni allora si trova ÃTA = Ω, ÃVA = I 3.4.)

9 86 3. Piccole oscillazioni c Notiamo che AΩ è la matrice che ha la normalizzazione usuale come si vede moltiplicando ambo i lati in 3.4.) per Ω. La matrice A è data da A = A = + + λ l l λ l l λ l l ) Ml m l ) Ml m l, A =, A = + + λ l l λ l l λ l l ) Ml m l ) Ml m l,, 3.4.3) Pendolo doppio simmetrico Le equazioni del pendolo si semplificano notevolmente nel caso di masse lunghezze uguali. Se l = l = l, m = m = m si ha ) ) 0 T =, V = 3.4.4) 0 Gli autovalori λ = ω soluzione di dett λv) = 0 sono dati da λ = /, λ = + /, le matrici delle frequenze e di trasformazione sono ) Ω + 0 = 0, A = ), A = ) 3.4.5) scegliendo la normalizzazione 3.4.). La soluzione del problema ai valori iniziali è ancora espressa da 3..6) infatti A può essere sostituita da AΩ poiché Ω commuta con qualunque sua funzione) e, se le velocità iniziali sono nulle θ 0) = θ 0) = 0, si scrive θ = θ cosω t ) + cosω t ) cosω t ) cosω t ) cosω t ) cosω t ) cosω t ) + cosω t ) dove t = g/l) / t. Scelte come coordinate normali Θ = A θ θ 0) 3.4.6) θ 0) Θ = θ θ, Θ = θ + θ 3.4.7) i corrispondenti momenti sono P = Ãp; con questa scelta la lagrangiana e l hamiltoniana si scrivono L = ω Θ + ω Θ Θ Θ ), H = ω P + ω P + Θ + Θ ) 3.4.8)