Trasporto in Semiconduttori e Metalli - Esercizi con soluzioni

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1 Trasporto in Semiconduttori e Metalli - Esercizi con soluzioni Fisica della Materia Condensata Dipartimento di Matematica e Fisica Università degli Studi Roma Tre A.A. 2016/2017

2 Trasporto in Semiconduttori e Metalli Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio 12 - Simulazione prova di esonero AA 2014/ Esercizio 13 - Es. 4 Appello I AA 2014/ Esercizio 14 - Es. 4 Appello II AA 2014/ Esercizio 15 - Es. 4 Appello I AA 2015/ Esercizio 16 - Es. 4 Appello II AA 2015/ i

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28 Esercizio 11 In un semiconduttore intrinseco la densità degli elettroni di conduzione n a 300 K è: n = N C e (µ Eg)/K BT dove E g = 0.5 ev, N C = m 3 e il potenziale chimico µ coincide con l energia di Fermi a T = 0 K. I portatori dei due segni, elettroni in banda di conduzione e lacune in banda di valenza, hanno la stessa massa efficace. Inoltre le misure di trasporto forniscono a 300 K una conducibilità elettrica σ = Ω 1 m 1 e una costante di Hall R H che, nel SI, vale: R H = 1 e pµ 2 p nµ 2 n (pµ p + nµ n ) 2 = m 3 /C 1. Si ricavino le mobilità delle buche e degli elettroni µ b e µ e. 2. Sapendo che la banda di conduzione ha la forma: E(k) = 10 2 k 2 m 0, si trovino i tempi medi di scattering τ b e τ e. Costanti e formule utili = erg s e = C m 0 = kg 1 ev = erg 1 ev/ K B = K Soluzione 1. Se il semiconduttore è intrinseco si ha n = p = n i, inoltre se le masse efficaci dei portatori sono uguali, allora il potenziale chimico si trova a metà gap µ = E g /2. Per cui a 300 K: n i = n = p = N C exp( E g /2K B T ) = exp( /2 300) = m 3 Conducibilità e costante di Hall nel caso di un semiconduttore intrinseco possono essere riscritte come: Mettendole a sistema si ottiene: σ = peµ p + neµ n = n i e(µ p + µ n ) R H = 1 e pµ 2 p nµ 2 n (pµ p + nµ n ) 2 = 1 n i e µ p + µ n = σ n i e µ p µ n = σr H µ p µ n µ p + µ n 26

29 dalle quali otteniamo le mobilità dei due portatori: µ p = σ ( ) 1 2 n i e + R H = m 2 V 1 s 1 µ n = σ ( ) 1 2 n i e R H = m 2 V 1 s 1 2. La massa efficace dell elettrone si trova derivando due volte la banda di conduzione, inoltre sappiamo che le masse dei portatori sono uguali, per cui: ( m e = m p = 2 2 ) E C k 2 = m 0 20 = kg conoscendo le mobilità troviamo i tempi di scattering: τ p = µ pm p e τ n = µ nm n e = 3.37 s = 2.23 s 27

30 Esercizio 12 - Simulazione prova di esonero AA 2014/2015 Un semiconduttore viene drogato con atomi accettori in concentrazione N A = m 3 ed energia di legame ɛ a. A T = 10 K le lacune hanno un tempo medio di scattering τ h = s e una mobilità µ h = 0.75 m 2 /Vs. La costante di Hall alla stessa temperatura vale R H = 28 m 3 /C. Le masse efficaci di elettroni e lacune sono uguali ed indipendenti dalla temperatura. 1. Determinare ɛ a e la conducibilità elettrica a T = 10 K sapendo che ɛ g = 25ɛ a, dove ɛ g è l energia di gap. 2. Determinare la conducibilità elettrica a T = 300 K sapendo che a questa temperatura τ h = τ e /3 = s. 3. Considerate un semiconduttore intrinseco. Quale tipo di drogaggio si ottiene a temperatura ambiente inserendo nel semiconduttore un impurezza ogni 100 atomi del semiconduttore? Quest ultimo cristallizza in una struttura f cc di costante reticolare a=5.65 Å. Costanti e formule utili = J s = ev s K B = J K 1 = erg/k = ev/k e = C m 0 = kg 1 ev = K k F = ( 3π 2 N V ) 1 3 Soluzione 1. A 10 K si ha: 1 p(10k) = qr H (10K) = m 3 µ h σ(10k) = qpµ h = R H (10K) = m 1 Ω 1 Inoltre vale: ( NV (T )N A p(t ) = exp ɛ ) a 2 2K B T con N V (T ) = 1 ( 2m V K B T 4 π 2 ) 3/2 invertendola si trova l energia di legame degli accettori: ɛ a = 2K B T ln ( p(t ) 2 N V (T )N A ) la massa m V che compare in N V (T ) la prendiamo dalla mobilità a 10 K: m V = qτ h µ h = Kg = N V (10K) = m 3 28

31 Ora abbiamo tutti i dati per trovare ɛ a : ( ) 2 ɛ a = 2K B (10K)ln p(10k) = 165K B K = 14.2 mev N V (10K)N A 2. a 300 K dobbiamo controllare la densità di portatori intrinseci per capire in quale regime siamo: p i (T ) = ( N C (T )N V (T ) exp ɛ ) g 2K B T = ( N C (T )N V (T ) exp 25ɛ ) a 2K B T Inoltre, dato che le masse sono uguali e indipendenti dalla temperatura si ha che: N V (T 1 ) N V (T 2 ) = N C(T 1 ) N V (T 2 ) = ( ) 3/2 T1 T 2 Con T 1 = 300 K e T 2 = 10 K otteniamo: p i (300K) = N V (10K) ( ) 3/2 ( 300 exp 4125 ) = m poichè p i >> N A siamo in regime intrinseco per cui: σ(300k) = qp i (µ h + µ e ) = q2 m p i(τ h + τ e ) = 4q2 m p iτ h = 77.4 m 1 Ω 1 3. Il drogaggio cercato (di tipo n o p non ci interessa ora) è 1/100 della densità atomica del solido: N drog = N V = 4 1 a = m 3 29

32 Esercizio 13 - Es. 4 Appello I AA 2014/2015 Un semiconduttore viene drogato con atomi donori in concentrazione N D. Una misura a diverse temperature della costante di Hall nel sistema ha dato i seguenti risultati: a 800 K è nulla mentre nell intervallo di temperature ( ) K essa risulta in ottima approssimazione costante e pari a C 1 m 3. Inoltre è noto che la temperatura di cross-over tra il regime ad alte temperature e il regime a temperature intermedie è T =300 K; che la transizione di Mott avviene ad una concentrazione di impurezze pari a N Mott = m 3 ; che le masse di lacune ed elettroni sono uguali fra loro e pari alla massa dell elettrone m 0. Le mobilità e le masse dei portatori non dipendono dalla temperatura. La mobilità degli elettroni vale µ e = 50 cm 2 /Vs. La costante dielettrica relativa del materiale è ɛ r = 14. Determinare: 1. La concentrazione del drogaggio N D. 2. L energia di legame dell impurezza nel modello idrogenoide. 3. L energia di gap supposta indipendente dalla temperatura. 4. La conducibilità a 800 K. S ricordano le seguenti formule: Energia di legame e raggio dell orbita nel modello idrogenoide ɛ n = m e m 0 1 ɛ 2 r 1 n 2 Ry ; a n = m 0 ɛ r n 2 a B La costante di Hall in presenza di due portatori (h lacune, e elettroni), nel sistema SI m e Soluzione R H = 1 q pµ 2 h nµ2 e (pµ h + nµ e ) 2 1. La costante di Hall è costante tra 220 K e 160 K, quindi in questo intervallo la densità degli 2. elettroni n è costante e pari al drogaggio N D (regime intermedio): R H = 1 qn = 1 = N D = 1 1 = qn D qr H m 3 = m 3 A queste temperature non si può essere in regime intrinseco perchè qui si avrebbe: R H = 1 qn i µ p µ e µ p + µ e il testo ci dice che µ p = µ e a tutte le temperature, per tanto nel regime intrinseco si deve avere sempre R H = 0. Inoltre non possiamo neanche essere nel regime a basse temperature perchè qui la densità dei maggioritari (n) dipende dalla temperatura e dunque necessariamente anche R H. N Mott = ( ) 1 ( ) 1/ πa3 n = a n = 3 πn Mott = 4 nm 30

33 Si ha: ɛ n a n = Rya B ɛ r, dalla quale possiamo trovare l energia di legame cercata (ɛ n = ɛ d ) : ɛ d = R ya B = ɛ r a n 14 4 ev = ev 3. A T l andamento a temperature intermedie (n(t ) = N D ) deve incontrarsi con l andamento ad alte temperature (n(t ) = n i (T ), n i (T ) è la densità di portatori instrinseci), ovvero a T deve valere N D = n i (T ): N D = N C N V [ exp E ] g 2K B T ( m C,V m 0 3/2 T dove N C,V = K) m 3 sono le densità degli stati della banda di conduzione/valenza (Grosso, pag. 477). Poichè si ha che m C = m V = m 0 ad ogni temperatura, le due densità sono uguali fra loro ad ogni temperatura. Calcoliamo l energia della gap: N C (T ) = m 3 ( E g = 2K B T NC (T ) ( ) ) ln = 600 K ln = 8131 K B K = 0.7 ev N D 4. A 800 K (> T ) siamo in regime intrinseco, elettroni e lacune hanno dunque stessa concentrazione, pari a quella intrinseca (n = p = n i ), e, quanto detto prima anche stessa mobilità.. La conducibilità è pertanto: σ(t ) = q (n(t )µ e + p(t )µ h ) = q n i (T ) (µ e + µ h ) = 2 q n i (T ) µ e A 800 K si ha pertanto: n i (800 K) = ( ) 3/2 [ 800 exp 8131 ] m 3 = m σ(800 K) = C m 1 /V s = 1096 m 1 Ω 1 31

34 Esercizio 14 - Es. 4 Appello II AA 2014/2015 Si consideri un semiconduttore drogato n alla temperatura di 4 K. La densità degli atomi donatori è N D = cm 3, la massa degli elettroni di conduzione è m e = 0.3m e e l energia di ionizzazione degli atomi donatori è ɛ d = 30 mev. Calcolare: 1. La densità degli elettroni nella banda di conduzione; 2. Lo spostamento del potenziale chimico rispetto al minimo della banda di conduzione. 3. Il semiconduttore è degenere o non degenere? 4. Sapendo che in regime intrinseco le densità dei portatori sono n i (300 K) = cm 3 e n i (350 K) = cm 3, trovare il valore della gap del semiconduttore. Eseguire questo calcolo con la massima precisione possibile. Costanti utili: K B = J/K = ev/k ; m e = kg ; = J s = ev s Soluzione 1. Nel regime a basse temperature la densità dei portatori maggioritari (di tipo n) è data da: n(t ) = NC (T )N D 2 e ɛ d/2k B T La densità della banda di conduzione (N C (T )) a 4 K vale: ( ) m 3/2 ( N C (4 K) = c 4 K cm 3 = ) 3/ cm 3 = cm 3 m K 300 mentre K B T 4 K = ev, risulta quindi: n(4 K) = e 30/ cm 3 = cm 3 2. Il potenziale chimico si può trovare dalla relazione generale degli elettroni in banda di conduzione n(t ) = N C (T )e (µ E C)/K B T. Invertendola si trova: [ ] n(t ) µ(t ) E C = K B T ln N C (T ) Che a 4 K fornisce il valore: [ ] n(4 K) µ(4 K) E C = K B (4 K) ln = ev = 16 mev N C (4 K) 3. A 4 K il potenziale chimico è 16 mev sotto il minimo della banda di conduzione, il semiconduttore è non degenere. Infatti a T= 4 K si ha che K B T << E C µ. 4. In regime intrinseco, la densità degli elettroni n i (T ) dipende dalla temperatura come: n i (T ) T 3/2 e Eg/2K BT 32

35 Calcoliamo il rapporto n i (350 K)/n i (300 K): n i (350 K) n i (300 K) = ( ) 3/2 [ 350 exp E ( g K B 350 K 1 )] 300 K Invertendo questa relazione si trova l energia di gap E g : E g = 2K B ln [ n i (350 K) n i (300 K) = 2( ) ln = 0.92 ev ( ) ] 3/2 ( [ K 1 ) 1 = 300 K ( ) ] 3/2 ( ) 1 ev =

36 Esercizio 15 - Es. 4 Appello I AA 2015/2016 Un semiconduttore viene drogato con atomi donori in concentrazione N D = m 3. La temperatura che segna il crossover tra il regime ad alte temperature ed il regime a temperature intermedie è T 1 = 300 K, mentre la temperatura che segna il crossover tra il regime a temperature intermedie ed il regime a basse temperature è T 2 = 110 K. La mobilità degli elettroni µ e, la mobilità delle lacune µ p e le masse efficaci m e, m p dei portatori non dipendono dalla temperatura. É inoltre noto che µ e = 1.2 m 2 V 1 s 1 e µ p = 0.8 m 2 V 1 s 1 ; che le masse efficaci dei portatori sono uguali fra loro (m e = m p); che a T = 600 K la densità degli stati in banda di conduzione vale N C (600K) = m 3. Determinare: 1. La conducibilità elettrica a T = 450 K. 2. La conducibilità elettrica a T = 100 K. 3. La conducibilità elettrica a T = 200 K. 4. Il contributo dei portatori minoritari alla conducibilità elettrica a T = 200 K. Valori delle costanti: e = C m 0 = Kg K B = J/K = ev/k = J s = e Vs Soluzione esercizio 4 Poichè le masse efficaci dei portatori sono indipendenti dalla temperatura e uguali fra loro, le densità degli stati in banda di conduzione e di valenza sono uguali ad ogni temperatura: N C (T ) = N V (T ). Inoltre possiamo sempre scrivere N C (T ) in funzione di un suo valore noto (nel nostro caso facciamo riferimento al dato a 600 K), per cui per il nostro semiconduttore valgono le seguenti relazioni: n i (T ) = N C (T )N V (T ) e Eg/(2K BT ) = N C (T ) e Eg/(2K BT ) ( ) 3/2 T N C (T ) = N C (600) T = 450 K > T 1, quindi si è in regime intrinseco e valgono: σ(t ) = n i (T )e(µ e + µ p ) ( ) 3/2 T n i (T ) = N C (600) e Eg/(2K BT )

37 L energia della gap si ricava uguagliando il drogaggio alla densità dei portatori intrinseci a T 1 : N D = n i (T 1 ) = N C (600) ( E g N C (600) = T 1 ln 2K B N D ( T1 ) 3/2 e Eg/(2K BT 1) 600 ) ) 3/2 ( T1 600 = (300)K ln ( Densità dei portatori intrinseci e conducibilità a 450 K sono dunque: n i (450) = N C (600) ( ) 3/2 450 e (450 1) = m ( ) ) 3/2 1 = K 2 σ(450) = n i (450)e(µ e + µ p ) = m C 2 m 2 V 1 s 1 = m 1 Ω 1 2. T=100 K < T 2, quindi si è in regime di basse temperature (p << n) e valgono: σ(t ) = n(t )eµ e n(t ) = NC (T )N D 2 e ɛ D/(2K B T ) L energia del livello donore si ricava uguagliando il drogaggio alla densità degli elettroni a T 2 : NC (T 2 )N D N D = n(t 2 ) = e ɛ D/(2K B T 2) = 2 ( ( ) ) 3/2 N C (600) T2 ɛ D /K B = T 2 ln = (110)K ln 2N D 600 ( T2 3/2 600) NC (600)N D 2 ( Densità degli elettroni e conducibilità a 100 K sono dunque: NC (100)N D n(100) = e ɛ D/(2K B (100 K) = 2 e ɛ D/(2K B T 2) ( ) ) 3/2 110 = 881.4K 600 N C (600) ( 100 3/2 600) ND e ɛ D/(2K B (100 K) = m 3 2 σ(100) = n(100)eµ e = m C 1.2 m 2 V 1 s 1 = 6.24 m 1 Ω 1 3. A T = 200 K (T 1 < T < T 2 ) si è in regime intermedio, per cui n N D e p << n: σ(200) = N D eµ e = m C 1.2 m 2 V 1 s 1 = 9.98 m 1 Ω 1 4. A T = 200 K i minoritari (lacune) hanno densità e conducibilità elettrica: p = n2 i (200) n = n2 i (200) ( = 600) N 2 C (600) exp{ E g /(K B 200)} = m 3 N D N D σ p (200) = p(200)eµ p = m 1 Ω 1 il contributo è dunque cinque ordini di grandezza minore di quello dei maggioritari. 35

38 Esercizio 16 - Es. 4 Appello II AA 2015/2016 Un semiconduttore con costante dielettrica relativa ɛ r = 11, viene drogato con soli atomi donori. La banda di conduzione può essere ben approssimata a tutte le temperature dall espressione: E c (k) = E g + Ak 2, dove E g è l energia della gap ed A una costante. A T = 450 K e T = 800 K, entrambe in regime instrinseco, le densità degli elettroni valgono n(450) = cm 3 e n(800) = cm 3. Si sa inoltre che T = 400 K segna il passaggio al regime estrinseco, che la transizione di Mott avviene ad una concentrazione di impurezze pari a N Mott = cm 3 e che le masse efficaci di elettroni e lacune sono uguali fra loro. Determinare: 1. Il valore dell energia di gap E g. 2. Il drogaggio N D. 3. L energia di legame delle impurezze ɛ D. 4. La mobilità elettronica µ e, sapendo che il tempo di scattering degli elettroni vale τ = 4 ps. 5. Il valore della costante A. Costanti: K B = J/K = ev/k, = J s= ev s, e = C, m 0 = Kg, a B = 0.05 nm, Ry = 13.6 ev. Fattori di conversione: 1 uma = g Soluzione 36

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