Indice. 1 Analisi matematica dell infinito Concetti base La numerabilità di Q e la non numerabilità di R... 5

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1 Indice 1 Analisi matematica dell infinito Concetti base La numerabilità di Q e la non numerabilità di R

2 1 Analisi matematica dell infinito 1.1 Concetti base La successione 1 dei numeri naturali è il primo esempio di insieme infinito che si incontra in matematica e, anche per questa ragione, riveste una particolare importanza quando ci si avventura a parlare di infinito. Risulta evidente a tutti, anche ai bambini della scuola primaria, che a partire da un numero naturale n è sempre possibile trovarne il successivo: n + 1. Il processo è sempre ripetibile, cioè è sempre applicabile a un qualsivoglia numero naturale. Questo concetto di infinito, che si basa sulla possibilità di trovare un successivo per ogni numero naturale, si chiama infinito potenziale o infinito in potenza. L aggettivo potenziale indica la possibilità di non terminare mai il processo di raggiungimento del successivo (talvolta chiamato successore) di un elemento dell insieme dei naturali. Infinito in potenza contrapposto all infinito in atto, o anche detto infinito attuale che consiste in un atto mentale (forse un po superbo) di comprensione 2. In ogni caso il passaggio dall aggettivo infinito al sostantivo infinito, che verrà indicato con, non significa che il simbolo possa essere considerato come un elemento ordinario dell insieme dei numeri naturali. Analogamente non può essere considerato come un numero razionale o reale se si vuole che le proprietà formali dell aritmetica elementare siano rispettate. Il concetto di infinito pervade tutta la matematica moderna poiché in questa scienza si studiano principalmente gli enti matematici non individualmente ma come membri di classi o collezioni (o insiemi) contenenti un infinità di elementi della stessa natura. Inoltre, come vedremo in seguito, esistono diversi tipi di infinito in matematica nonostante possa sembrare assurdo in prima analisi. La moderna teoria degli insiemi, ideata da George Cantor e dalla sua scuola verso la fine del XIX secolo, ha affrontato questo problema dando una risposta formalmente soddisfacente anche se di difficile comprensione. Si parte dal concetto generale di insieme o classe 3. Ad esempio sono insiemi: I numeri naturali, che indicheremo con N. I numeri interi, che indicheremo con Z. I numeri razionali, che indicheremo con Q. I numeri reali, che indicheremo con R. e molti altri... Il confronto delle quantità di elementi tra insiemi, se per gli insiemi non infiniti può consistere banalmente nel contarne gli elementi, per gli insiemi infiniti occorre inventare un altro modo di procedere. Risulta infatti impossibile contare un infinità di cose, visto che siamo umani. 1 Una successione è un insieme di oggetti ordinato, cioè una lista con un primo elemento,un secondo,..., ecc... 2 Con questo termine si intende l atto di considerare completamente, cioè con tutti i suoi elementi, l insieme dei numeri naturali 3 Con questi termini si intendono collezioni o aggregati di oggetti definite da una proprietà che specifichi esattamente quali elementi appartengono all insieme e quali no. 2

3 Naturalmente il nuovo modo di confrontare insiemi infiniti deve anche funzionare nell ambito degli insiemi non infiniti. In altre parole, se confronto insiemi finiti con questo nuovo metodo dovrà accadere che il risultato di tale confronto coincida con quello del confronto ottenuto contandone gli elementi. La nozione fondamentale che ci permette di fare questo confronto tra infiniti è quella di equipotenza 4 e questa si fonda sulla nozione di corrispondenza biunivoca 5. La nozione di equipotenza per gli insiemi finiti coincide con la nozione ordinaria di uguaglianza tra numeri, se identifichiamo il numero con la quantità di elementi di un insieme finito. Infatti due insiemi finiti hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Questa è sostanzialmente l idea che sta sotto al contare ; se ci pensiamo, nel momento in cui contiamo gli elementi di un insieme, stabiliamo un corrispondenza con i numeri 0, 1, 2,...,n. Cantor si pose il problema di estendere il concetto di contare agli insiemi infiniti, ideando l equipotenza, allo scopo di definire un aritmetica degli infiniti. L insieme dei numeri reali e l insieme dei punti di una retta, sono equipotenti perché è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi: scegliendo un origine e un punto unità si fa corrispondere al punto P la sua ascissa x P. Da questa nozione seguono dei fatti difficili da capire e la ragione può risiedere nella nostra mente che è abituata a ragionare con cose finite. Ad esempio si dimostrerà che un sottoinsieme proprio J infinito di un insieme I, può essere ad esso equipotente. Si può facimente verificare che: I numeri pari formano un sottoinsieme proprio 6 dei numeri naturali. L insieme dei numeri naturali N è un sottoinsieme proprio dell insieme dei numeri interi Z. I numeri interi formano un sottoinsieme proprio dei numeri razionali. Se per gli insiemi finiti ogni sottoinsieme proprio di un insieme ha un numero inferiore di elementi dell insieme dato, e quindi nessun sottoinsieme proprio di un insieme finito è equipotente all insieme di partenza, per gli insiemi infiniti questo non accade. Addirittura una delle proprietà equivalenti all essere un insieme infinito è quella di essere in corrispondenza biunivoca con un (almeno uno) suo sottoinsieme proprio. Si verifica subito che l insieme dei numeri pari è equipotente all insieme dei numeri naturali costruendo la corrispondenza che ad ogni naturale associa il suo doppio; in simboli i N i 2i. Questa contraddizione alla familiare verità Il tutto è sempre maggiore di ogni sua parte mostra quali sorprese ci si debba aspettare di trovare nel dominio dell infinito. Esempio 1.1 Dimostrare che: 1. L insieme dei numeri dispari è equipotente all insieme N. 4 Alcuni autori la chiamano equivalenza intendendo forse che tale nozione individua una relazione di equivalenza ma chi scrive ritiene che tale nozione sia troppo generale e per focalizzare l attenzione sul problema utilizzeremo l altro termine. 5 Dati due insiemi A e B se è possibile far corrispondere ad ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B e ad ogni elemento di B uno e uno solo elemento di A allora tale corrispondenza sarà detta biunivoca. 6 Un sottoinsieme S di un insieme I si dice proprio quando almeno un elemento di I non appartiene a S. 3

4 2. L insieme dei multipli di 5 è equipotente all insieme N. 3. L insieme dei numeri interi Z è equipotente all insieme N. 4

5 1.2 La numerabilità di Q e la non numerabilità di R. Una delle prime forti conseguenze scoperte da Cantor nella sua analisi dell infinito fu che l insieme Q è equipotente all insieme N. A prima vista sembrerebbe molto strano poiché l insieme dei numeri razionali è denso 7 mentre i numeri naturali non lo sono. Inoltre non è possibile disporre in ordine di grandezza i numeri razionali come si può fare per i numeri naturali dicendo, ad esempio, che a è il primo e b è il successivo ecc...; la densità di Q nega la possibilità dell esistenza del successivo di un numero razionale. Per ovviare a questo inconveniente Cantor trascurò l ordine di grandezza tra elementi successivi si mise a costruire una lista chiamata anche enumerazione di numeri razionali con la quale costruì una corrispondenza biunivoca tra N e Q 0, dimostrando così che N è equipotente a Q 0 e che quindi i razionali positivi o nulli sono un insieme numerabile 8. Una enumerazione analoga la si può costruire con i razionali negativi, dimostrando così che anch essi sono un insieme numerabile. Ma come dimostrare che tutto Q è numerabile? La risposta alla domanda la diede un famoso teorema, anch esso dovuto a Cantor, il quale assicura che l unione di insiemi numerabili è numerabile 9. Una volta dimostrata la numerabilità di Q si potrebbe supporre che tutti gli insiemi infiniti siano numerabili e considerare questo fatto come il risultato ultimo dell analisi dell infinito. Ma la realtà è tuttaltra. Lo stesso Cantor dimostrò che l insieme dei numeri reali, unione di razionali e irrazionali non è numerabile. In sostanza ciò significa che l infinito dei numeri reali è più ampio di quello dei numeri razionali e quindi che esistono diversi tipi di infinito (almeno due per il momento). La tecnica che si usa nel dimostrare la non numerabilità di R si chiama metodo diagonale e consiste nel considerare l intervallo [0, 1] supporre che sia possibile costruire una enumerazione di tale insieme in rappresentazione decimale. Fatto ciò si farà vedere che esiste un numero reale che non può essere compreso nella lista e da questo si dedurrà che tale numerazione non può esistere. Si ricorda che l insieme dei razionali in rappresentazione decimale è formato da: 1. Decimali limitati Decimali illimitati periodici puri. 3. Decimali illimitati periodici misti. I numeri irrazionali, invece, in rappresentazione decimale sono tutti quelli che hanno la parte decimale illimitata e non periodica, cioè che dopo la virgola hanno un numero infinito di cifre che non si ripetono mai con regolarità. 7 Dato un insieme I su cui sia assegnata una relazione d ordine stretto parziale, diremo che I è denso se e solo se x 1, x 2 I con x 1 < x 2 x x 1 < x < x 2 8 Un insieme si dice numerabile se è equipotente a N. 9 Più precisamente l unione alpiù numerabile di insiemi numerabili è numerabile. 10 Si noti che i decimali limitati li possiamo vedere come dei decimali illimitati, aggiungendo in coda infiniti zeri. 5

6 Supponiamo quindi che [0, 1] sia numerabile e di aver numerato tutti i suoi elementi in una lista come di seguito: 0, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 0, c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 A partire dalla lista fatta consideriamo gli elementi contenuti nella diagonale principale 0, a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 0, c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 0, d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 e costruiamo l elemento nel seguente modo: 0, a 1b 2c 3d 4, dove a 1 è una cifra diversa da a 1, b 2 è diversa da b 2 e così via. Chiaramente tale nuovo numero non può essere compreso nella lista perché differisce da questi per almeno un elemento, quello nella diagonale. Infatti non può coincidere col primo perché differisce da questo nel primo elemento, né col secondo perché differisce da questo nel secondo elemento, né con l ennesimo ecc... Si scopre quindi che esiste un decimale illimitato che non è compreso nella lista, da cui si ha un assurdo che è nato dall aver supposto che una tale lista esistesse. Quindi una tale lista non esiste, provando che i numeri reali non sono numerabili. Vale la pena ricordare che il ragionamento è stato fatto nell intervallo [0, 1] rimarrebbe da far vedere che tale intervallo è equipotente a tutta la retta ma questo esula da quanto ci si proponeva con queste pagine e cioè di fornire una prova dell esistenza di diversi tipi di infinito. 6