CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA

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1 IUITI IN ONT ONTINUA Un induttanza e tre resistenze 2 J J 2 L Il circuito sta funzionando da t = con l interruttore aperto. Al tempo t = 0 l interruttore viene chiuso. alcolare le correnti. Per t 0 circola corrente solo nella maglia esterna ed il suo valore è dato da: J 0 = questo valore costituisce la condizione iniziale per J e J 2 : + 2 J 0 = J 20 = J 0 2 Applichiamo il metodo delle correnti di maglia alle due maglie indicate in figura: { = J + J J 2 0 = J 2 J + 2 J 2 + LJ 3 2 con J 2 indico la derivata rispetto al tempo di J 2.icaviamo J dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda: J = + J riordiniamo i termini: J 2 + J J 2 + L J 2 = 0 5 LJ J 2 = Notiamo ora che il coefficiente di J 2 è la resistenza del circuito vista ai capi dell induttanza, ossia 2 in serie col parallelo tra ed. hiameremo L questa resistenza. La soluzione generale dell equazione omogenea è data da: una soluzione particolare dell equazione completa: J 2 t = αe L L J 2 = t L + 8 7

2 e la soluzione generale: J 2 t = αe L L t + L + 9 Potete verificare che il termine costante nella 9 è la corrente che si ha nel ramo 2 L quando l induttanza è sostituita da un cortocircuito: J 2 = + // 2 // 2 2 = ed è ovviamente la corrente nella seconda maglia per tempi molto grandi. La condizione iniziale J 2 0 = J 20 ci permette di determinare α: J 2 t = J 20 e L L t + L + 0 L + e L L t Sostituendo questa espressione in 4 otteniamo J t. Infine, utilizzando le correnti al tempo zero e a tempi molto grandi, J 20 e J 2, possiamo riscrivere la in una forma che rende più chiaro il significato dei vari termini: J 2 t = J 20 J 2 e L L t + J 2 2 2

3 2 ondensatore con resistenze in parallelo It A 0 V t Inizialmente il condensatore è scarico; calcolare la differenza di potenziale ai suoi capi, V t, a partire dall istante in cui l interrutttore viene chiuso. Indichiamo con Q la carica sul condensatore e applichiamo le leggi di Kirchoff: nella maglia generatore 0 condensatore si ha per le differenze di potenziale: = 0 I + V t ; V t = Q 3 nel nodo A la corrente I si divide in quella nella resistenza ed in quella nel condensatore: I = V t + Q 4 con Q indico la derivata rispetto al tempo di Q. Sostituendo la seconda equazione nella prima: riordinando i termini: ossia: La soluzione generale: = 0 V t + 0 Q + V t = 0 V t + 0 V t + V t 5 V t + e quella con la condizione iniziale V 0 = 0: alcoliamo la corrente It dalla 3: + 0 V t 0 = 0 6 V t + V t 0 = 0 ; = // 0 7 V t = αe t V t = e t = e t It = 0 V t = 0 + e t Notate che: La resistenza che compare nella costante di tempo è quella del circuito vista ai capi del condensatore: il parallelo tra 0 ed. 3

4 A t = 0 la corrente vale 0 : il condensatore, quando è scarico, si comporta come un corto circuito. A tempi grandi, per t, la corrente vale comporta come un circuito aperto. + 0 Se 0 = 0, = 0: il condensatore si carica istantaneamente. : dopo che si è caricato, il condensatore si Vediamo come si applica in questo caso il metodo delle correnti di maglia, anche se risulta più elaborato di quello che abbiamo usato: 0 J J 2 Trattiamo il condensatore come un generatore e scriviamo le due equazioni: Q Q = 0 J Q = J 2 2 Il segno di nella seconda equazione cambia perchè il percorso nella seconda maglia attraversa il condensatore in verso opposto rispetto alla prima. Il punto cruciale è che queste non sono equazioni algebriche, perchè J, J 2 e Q somo legate dalla relazione: J J 2 = Q 22 Utilizzando queste tre relazioni arriviamo alla equazione differenziale scritta prima. 4

5 3 Due induttanze e due resistenze It I 2 t I t L L 2 Scriviamo le due equazioni per le cadute di potenziale nelle due maglie L e L 2 L percorse in senso orario: { = I + LI = I + I 2 + L I 0 = I 2 + L 2I2 L I 23 Un sistema di equazioni differenziali lineari di questo tipo si risolve in questo modo: trattandolo come un sistema di equazioni algebriche nelle incognite I e I, lo si risolve e si ottengono I e I in termini di I 2, I 2 e delle costanti. Sostituendo queste espressioni in una delle due equazioni si ottiene un equazione differenziale lineare del secondo ordine nell incognita I 2 ; la si risolve e si sostituisce la soluzione generale così trovata nella espressione di I scritta inizialmente. Si ottengono così le due espressioni di I t e I 2 t contenenti due costanti arbitrarie da determinare con le condizioni iniziali per le due correnti. Naturalmente si può, in alternativa, risolvere inizialmente il sistema rispetto a I 2 e I 2. Nel nostro caso questa procedura è semplificata dal fatto che la prima equazione non contiene I 2. icaviamo I 2 dalla prima delle 23: e sostituiamo nella seconda: 0 = I 2 = L I I 24 L I I + L 2 L Ï I L I 25 riordinando i termini e dividendo per il coefficiente di Ï : Ï I + I = 0 26 L 2 L L 2 L 2 L L L 2 isolviamo l equazione omogenea associata. L equazione caratteristica si scrive: λ λ + = 0 27 L 2 L L 2 L 2 L Il discriminante di questa equazione è sempre positivo: = = L 2 L L 2 L 2 L L 2 L L 2 L 2 L 2 L L 2 Quindi le radici sono reali: λ = 2 [ + + ± ] L 2 L L 2 e considerando l espressione di possiamo verificare che sono entrambe negative; indichiamole con λ e λ 2 λ i 0. La soluzione generale della equazione omogenea sarà allora data da: 29 I t = αe λt + βe λ2t 30 5

6 Il termine noto nella 26 è costante, quindi una soluzione particolare di questa equazione è data dalla costante: I t = 3 In conclusione la soluzione generale è data da: I t = αe λt + βe λ2t + 32 Sostitunedo in 24: L λ I 2 t = α e λt L λ 2 + β e λ2t 33 ome verifica, notate in queste espressioni che i valori che si ottengono per grandi t sono, come devono essere, quelli che si hanno nel circuito con le induttanze sostituite da cortocircuiti. Un altra verifica potete farla ponendo = 0: in questo caso la seconda maglia del circuito si riduce a due induttanze in parallelo. Applichiamo ora le condizioni iniziali I 0 = I 2 0 = 0: introducendo la costante abbiamo: e quindi: α + β + = 0 α Lλ 34 + β L λ 2 = 0 K = L λ 2 L λ α = βk ; β = I t = K Ke λ t + e λ2t + K questa espressione tende ovviamente a ; dal punto di vista matematico, potrebbe farlo, a seconda del valore di K,λ e λ 2, sia per valori sempre positivi che per valori negativi per piccoli t e poi positivi. Potete tuttavia verificare che nel nostro caso I t è sempre positiva, come ci aspettiamo dalla fisica delle induttanze. Per fare una verifica rapida potete ad esempio utilizzare i primi termini dello sviluppo in serie degli esponenziali per piccoli t,e λ it λ i t, ed utilizzare l espressione di K per mostrare che I t è sempre positivo per qualunque valore dei λ i ; oppure calcolare la derivata in t =

7 4 L serie L L equazione si scrive: = I + L I + Q 38 la procedura più semplice sarebbe di derivarla, con Q = I, e risolverla nell incognita I. isolviamola invece rispetto a Q: L Q + Q + Q = 0 39 L equazione completa ha la soluzione particolare: Q = 40 isolviamo ora l omogenea associata;l equazione caratteristica: Lλ 2 + λ + = 0 4 ha le due soluzioni: Si possono ora presentare tre casi: λ /2 = ± 2 4 L 2L 42 A 2 4 L > 0 in questo caso le λ i sono entrambe reali e negative e la soluzione dell equazione omogenea è data dalla combinazione lineare, con costanti arbitrarie, di due esponenziali decrescenti; la soluzione generale dell equazione completa si scrive quindi: Qt = a e λt + a 2 e λ2t + 43 B 2 4 L < 0 Introducendo la costante reale e positiva: la soluzione generale si scrive: ω 0 = L 2 4L 2 44 Qt = e 2L t a e iω0t + a 2 e iω0t + = e 2L t b cosω 0 t + b 2 sinω 0 t + = Ae 2L t cosω 0 t + φ + nella seconda e nella terza espressione abbiamo ridefinito le costanti arbitrarie: b = a + a 2 ; b 2 = i a a 2 ; A = b 2 + b2 2 ; cosφ = b A ; sinφ = b 2 A

8 queste ultime due espressioni sono più adatte a trattare il caso fisico perchè avremo soluzioni reali per valori reali delle costanti arbitrarie b e b 2 o A e φ. 2 4 L = 0 ome sapete, in questo caso la soluzione generale si scrive: Qt = e 2L t a + a 2 t + 47 Notate che questo è il caso in cui, a parità di e di L, la convergenza verso il valore limite è più rapida e senza oscillazioni. ome vediamo, al variare delle costanti e delle condizioni iniziali possiamo avere una grande varietà di situazioni: 3.*exp-0.5*x*cos2*x++3 Figura : Oscillazioni smorzate esponenzialmente attorno al valore limite 3*exp-x-6*exp-0.5*x+3 5*exp-x-8*exp-0.5*x+3 Figura 2: onvergenza esponenziale, monotona e non, verso il valore limite 8

9 5 Una linea semiinfinita A B D La linea è semiinfinita, cioè la cella elementare di due resistenze è ripetuta a destra infinite volte. Data, vogliamo calcolare la resistenza misurata ai capi A e B, AB. Potete sbizzarrirvi a scrivere l espressione di AB aggiungendo una cella alla volta e poi calcolare il limite per il numero di celle che va a infinito. Ma c è un ragionamento che sfrutta le proprietà del limite e che ci permette di risolvere il problema in due passaggi; l osservazione cruciale è che la linea a destra di AB e quella a destra di D sono entrambe semiinfinite e hanno la stessa configurazione, quindi il limite deve essere lo stesso per entrambe. Sostituiamo dunque la linea a destra di D con la sua resistenza equivalente D : A D B D e imponiamo che AB e D siano uguali: AB = + // D = + // AB 48 questa equazione ha un unica soluzione positiva: 5 + AB =