Riassunto di teoria elementare degli errori

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1 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error /9 Rassuto d teora elemetare degl error Valore vero (covezoale), valore stmato, errore Se s prede ua ressteza dal valore omale d 00 Ω e se e determa l effettvo valore co u qualuque metodo d precsoe, s ottee certamete ua cfra dversa da quella ota, per esempo Ω. Dcamo valore vero (covezoale) della ressteza quello (d Ω) determato medate l metodo d precsoe, e dcamo valore stmato della ressteza quello omale d 00 Ω. Chamamo errore d stma la dffereza tra valore stmato y e valore vero x : e = y x L errore questo esempo vale e = 4.57 Ω. S ot che l errore è ua quattà dotata d sego. Faccamo alcue precsazo. ) Il valore vero è aturalmete u cocetto covezoale. S potrebbe dscutere a lugo su cas cu è possble o o è possble defrlo rgorosamete, per o parlare po della possbltà d determarlo esattamete. Nella teora degl error per valore vero s tede semplcemete u valore a cu è desderable che le stme s avvco l pù possble. No a caso sulla ISO/BIPM Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremet (GUM) s parla sempre d u valore vero covezoale (tededos che la scelta può cadere su pù valor, dvers tra loro ma abbastaza vc da essere pratca tercambabl dal puto d vsta d ch fa la stma). ) I valor stmat delle gradezze possoo essere otteut var mod. Il valore stmato può dervare, come ell esempo sopra, da ua formazoe del costruttore, e tal caso vee spesso chamato valore omale. Altre volte derverà da uo strumeto d msura, e allora s parlerà d valore msurato. Esso può ache dervare da u calcolo su msure o dat qualche modo ot a pror, da cosderazo fsche e matematche, o da u qualuque altro procedmeto sesato. L espressoe valore stmato è usata qu seso geerale, per rferrs dfferetemete a valor omal, valor msurat, o stme d altro geere. 3) L errore può bessmo essere defto co sego cotraro, coè come e = x y. Ache questa è ua covezoe. Nel seguto c s atterrà sempre alla covezoe e = y x. 4) Il valore stmato è quello ormalmete dspoble: qud determare l errore equvale a determare u valore vero covezoale, e vceversa. L oggetto della teora degl error però o è questo: valore vero covezoale ed l errore rmagoo, ella teora ed pratca, quattà scooscute. L oggetto della teora degl error è vece otteere formazo su quato grade può dvetare, o o può dvetare, l errore codzo assegate. Le tecche per determare la mglore stma possble del valore vero base alle msure appartegoo pù propramete alla teora della stma. Icertezza d caso peggore Rcosderamo l esempo della ressteza d valore omale 00 Ω, e valore vero Ω. S pes d predere esame u gra umero d altre ressteze, tutte d valore omale par a 00 Ω. No c è dubbo che esse avrao tutte valor ver dvers, e s avrao qud tat valor dvers dell errore e = y x.

2 /9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error Il costruttore delle ressteze o è grado d dre quale sa l errore da cu è affetto l valore omale d cascua d esse. Tuttava, egl è d solto grado d asscurare che soo soddsfatte due codzo. ) (Codzoe d smmetra sulla dstrbuzoe dell errore) L errore, cosderado tutta la popolazoe d ressteze da 00 Ω prodotte, assume seg e valor alter co ragoevole smmetra, per cu l valore omale d 00 Ω può essere cosderato pressappoco, quato valore cetrale della dstrbuzoe de valor, la mglor scommessa sull effettvo valore d cascua sgola ressteza. ) (Codzoe sul massmo modulo dell errore) L errore, per tutta la popolazoe d ressteze da 00 Ω prodotte, o supera u certo valore (per esempo, l 5% del valore omale d 00 Ω). Il costruttore qud, pur o foredoc e o potedoc forre valor ver delle ressteze e valor dell errore, c forsce la mglor stma de valor ver, e l massmo modulo dell errore d stma su tutta la popolazoe cosderata. Damo l ome d certezza d caso peggore al massmo modulo dell errore d stma: U = max e Nel caso della ressteza, l fatto che l valore d ressteza sa oto co la data certezza d caso peggore vee d solto espresso ella forma: R = 00 Ω ± 5% Potremmo però scrvere, altrettato bee: R = 00 Ω ± 5 Ω Nota sulla termologa e su smbol Quado l valore stmato è u valore omale, l certezza è d solto chamata tolleraza (sul valore d ressteza, d lughezza, ecc.). Quado vece è u valore msurato s parla effettvamete d certezza. Molto usata è la locuzoe errore massmo, dove aturalmete è sottteso che s fa rfermeto al massmo modulo dell errore. Nella letteratura statutese è molto usata la parola accuracy, che s rtrova fatt sulla maualstca della strumetazoe d msura. Tuttava, lo stesso NIST amercao (Natoal Isttute of Stadards ad Techology) scosgla l uso d accuracy per forre valor umerc d certezza. S dovrebbe coè solo dre alta accuratezza come somo d bassa certezza, ma o dre ma accuratezza del 5%, preferedo vece certezza del 5%. Vale la pea avvertre che ulteror dettagl sul sgfcato d accuratezza, oché esattezza (trueess) e precsoe (precso) soo fort ella orma terazoale ISO 575 del 004, ma dscutere quest aspett va al d là dello scopo d quest apput. Secodo le GUM e le altre orme terazoal, o s deve dre che l certezza è d ±5%, ma che l certezza è del 5%. I altre parole, l certezza è ua quattà postva, come d altra parte è mplcato dalla sua defzoe legata al modulo dell errore. L espressoe R = 00 Ω ± 5 Ω s trascrve, smbol, come R = Rˆ ± U, dove ˆR dca la stma y, R dca l (o oto) valore vero, U dca l certezza. Naturalmete ell esempo fatto la quattà 5 Ω rappreseta u certezza assoluta, metre 5% rappreseta u certezza relatva, perché espressa come percetuale della stma. Sulla defzoe d certezza relatva toreremo comuque el seguto.

3 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 3/9 L certezza e la popolazoe de cas che la defscoo. Valutazoe spermetale (tpo A) e calcolata (tpo B) dell certezza E bee sottoleare che u certezza è defta quado è defta la popolazoe de cas a cu s rfersce. Quado s parla d certezza d ua msura o s dovrebbe qud ma dmetcare che c s sta rferedo mplctamete a ua be defta popolazoe d msure. Nel caso della ressteza da 00 Ω, la popolazoe è defta, come s è detto, da tutte le ressteze da 00 Ω d quel costruttore (e, s potrebbe aggugere, usate e lmt d temperatura prescrtt, ecc. ecc.) D solto l certezza d u voltmetro elettroco è forta ua forma del tpo U = (% della msura + % della portata). Se qud l voltmetro è sulla portata d V fodo scala, e msura ua tesoe d 0.5 V, l certezza sarà U = = V=45 mv. Co questo s deve tedere che rpetedo la msura co lo stesso voltmetro o co altr voltmetr dello stesso tpo (stesso costruttore, modello, ecc.), sempre su ua tesoe d 0.5 V, s otterrà comuque ua msura lotaa o oltre 0.45 mv dal valore vero. Se vece s dce che u voltmetro ha certezza par a 45 mv su tutta la scala, allora evdetemete s fa rfermeto o solo a ua tesoe gresso par a 0.5 V, ma a tutte le teso etro la portata dello strumeto. Questo però potrebbe far pesare che per valutare spermetalmete l certezza dello strumeto sa suffcete valutare l errore commesso da u partcolare strumeto, per var valor d tesoe dstrbut lugo tutta la scala. Cò sarebbe errato perché la valutazoe dell errore dovrebbe essere rpetuta su altr strumet dello stesso costruttore e dello stesso modello (l errore da cu è affetto u partcolare strumeto o può, geerale, essere cosderato rappresetatvo dell tera popolazoe). Valutare spermetalmete l certezza è qud geeralmete ua operazoe luga e costosa. Molto pù spesso l certezza è valutata sulla base d dat ot qualche modo a pror, operazo matematche ed evetualmete cosderazo fsche. La GUM chama quest due dvers approcc valutazoe d tpo A e valutazoe d tpo B dell certezza. La valutazoe d tpo A, pù costosa, è geeralmete pù affdable ed è l uca possble macaza d dat a pror suffcetemete attedbl. La valutazoe d tpo B, pù ecoomca, ha l dfetto d essere, ormalmete, solo approssmata e fodata su potes cosderate ragoevol, ma o rgorosamete vere. Ua applcazoe de cocett d errore e certezza: uso d u corretto umero d cfre sgfcatve per esprmere ua gradezza certa Suppoamo d trovarc, u foglo d caratterstche tecche, d frote a ua espressoe d questo geere: V = ± V Sebbee l dato rportato possa sembrare molto precso, dopo u attmo d rflessoe appare subto charo che alcu de umer rportat soo del tutto utl. I prmo luogo, è charo che l certezza è stata espressa co u eccessvo umero d cfre sgfcatve. Dopo tutto essa o è l errore, è solo ua maggorazoe dell errore, o, se s prefersce, la semampezza d u tervallo cu è coteuto l errore. Cooscere l certezza co grade precsoe è d solto utle, perché questa coosceza o cotrbusce modo apprezzable a restrgere l tervallo cu s trova l valore vero. Ne possamo dedurre la seguete regola, d carattere emetemete pratco: l certezza va espressa, a meo che c sao valde rago per fare dversamete, co ua o al massmo due cfre sgfcatve. Ad essa va subto affacata quest altra: quado s arrotoda l certezza, è d solto pù corretto arrotodare per eccesso.

4 4/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error Arrotodare per eccesso l certezza o è corretto solo per u motvo prudezale o etco (s tratta d defre u lmte superore per l errore). Come s vedrà tra poco, l arrotodameto per eccesso dell certezza tee automatcamete coto dell arrotodameto che s esegurà sulla stma. Esprmedo l certezza co due cfre, l dato sopra rportato dveta: V = ± 0.54 V Tuttava questa forma acora o appare soddsfacete: la ostra attezoe s sposta sul umero d cfre co cu è stato espresso l valore stmato (5.374). E evdete che ache questo valore o dovrebbe essere scrtto utlzzado troppe cfre. Cò dveta acora pù charo se suppoamo che la cfra sa stata rcavata drettamete, per esempo dal calcolo V = 9. I tal caso qualcuo potrebbe bessmo scrvere V = 5, ± 0.54 V, espressoe cu compaoo tatssme cfre che soo palesemete seza sgfcato reale. Co quate cfre sgfcatve dovremmo, questo caso e el caso geerale, scrvere la stma? Per rspodere a questa domada possamo partre da u altro prcpo pratco: è lecto alterare ua stma d ua quattà pù pccola d due ord d gradezza rspetto alla sua certezza. Gustfchamo questa affermazoe. S cosder ua stma affetta (come quella del ostro esempo) da u certezza U = V. Se dovessmo rportare questa certezza co due cfre scrveremmo U = 0.54 V, e se dovessmo rportarla co ua sola cfra potremmo scrvere (arrotodado prudezalmete per eccesso) U = 0.6 V. Se ora alteramo la stma d, per esempo, V (ua quattà 00 volte pù pccola dell certezza), allora l errore sarà stato aumetato o dmuto della stessa quattà. Questo c porta, el caso peggore, ad aumetare l modulo dell errore al valore d mv. Ovvamete questo valore d certezza verrà rportato esattamete ello stesso modo d quello orgaro, coè come 0.54 oppure come 0.6 V. Duque l alterazoe è lecta, perché o ha cambato modo essezale le caratterstche della dstrbuzoe dell errore. S ot bee che se l certezza della stma, vece d essere U = V, è dec volte pù pccola ( U = V ), ua alterazoe della stma d V è assa pù sgfcatva. L alterazoe porta questo caso a ua valore d errore che (sempre el caso peggore) è d Se rportamo l certezza co due cfre dobbamo ora scrvere U = V vece d U = Se rportamo l certezza co ua sola cfra, potremo vece scrvere U = 0.06 V, come se o avessmo alterato la stma. Il prcpo prma eucato può qud essere tegrato come segue: è lecto alterare ua stma d ua quattà pù pccola d u orde d gradezza rspetto alla sua certezza, aumetado modo corrspodete quest ultma (l che o ha effetto sulla dcharazoe fale dell certezza se questa è fatta co ua sola cfra e arrotodameto per eccesso). Se po l certezza della stma, vece d essere U = V, è ceto volte pù pccola ( U = V ), allora l alterazoe prma trascurable d V porta l massmo modulo dell errore a V, u valore doppo d certezza. Ioltre, l alterazoe della stma questo caso porta evdetemete a volare la codzoe d smmetra della dstrbuzoe dell errore eucata precedetemete: co la uova stma, coè, o solo è raddoppato l massmo modulo dell errore, ma la popolazoe degl error dveta

5 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 5/9 eccessvamete asmmetrca (avedos ua grade prepoderaza d error d u solo sego). S dce che la uova stma è eccessvamete polarzzata o vzata. I coclusoe, la stma V = 5, ± V può essere scrtta ua delle forme seguet. ) V = 5.3 ± 0.54 V La stma è stata alterata d V, l certezza è passata a U = = V. ) V = 5.± 0.6 V La stma è stata alterata d V, l certezza è passata a U = = V. S ot che avrebbe poco seso rportare l certezza fo a cetesm, avedo rportato la stma fo a decm d volt. S potrebbero fare molt altr esemp, e tuttava quello sopra rportato, seme alla dscussoe svolta, dovrebbe redere chara la seguete regola pratca fale. S può rportare ua stma due mod: ) fo alla secoda cfra sgfcatva dell certezza, esprmedo l certezza co due cfre; ) fo alla prma cfra sgfcatva dell certezza, esprmedo l certezza co ua cfra. Se l certezza è arrotodata per eccesso, l espressoe otteuta è sempre corretta. Rportare la stma co u maggor umero d cfre sgfca o forre, realtà, alcua formazoe utle aggutva. E bee sottoleare che el rportare ua stma co la sua certezza s cosderado come sgfcatve le cfre zero poszoate alla fe del umero. Per esempo la stma x =.3004 ± 0.04 V s rporta come x =.300 ± 0.03 V e o come x =.3± 0.03 V. Ache se la prma forma o dà alcua formazoe reale pù, gl zer fal mettoo evdeza che l procedmeto d stma o s è fermato a decm d volt ma è arrvato pù là, come d altra parte charsce la dcharazoe d certezza. Dstrbuzoe uforme dell errore E evdete che l errore d stma può essere cosderato ua varable aleatora. Esso è fatt u umero che vara casualmete rpetedo l espermeto che forsce la stma. Trattados d ua varable aleatora cotua, la sua dstrbuzoe è quatfcata dalla sua destà d probabltà. Questa, aturalmete, può essere valutata spermetalmete (valutazoe d tpo A, luga e costosa), oppure può essere qualche modo dedotta da alcu dat gà ot e potes d lavoro (valutazoe d tpo B, veloce ma approssmatva). Spesso tutto quello che s coosce della dstrbuzoe dell errore è l dato sull certezza d caso peggore U. D ua ressteza d solto s coosce solo la tolleraza (p. es. 5%), d uo strumeto d msura solo l certezza d caso peggore (p. es. ella forma % della msura + % della portata). I cas d questo geere, poché la effettva dstrbuzoe dell errore o è cooscuta e o è determable se o co prove lughe e costose, che soltamete o soo gustfcate relazoe allo scopo dell aals, s adotta l seguete prcpo: Il terme vzo traduce, secodo la orma UNI ISO 575 del 004, l glese bas (polarzzazoe). Nel seguto suppoamo che l lettore sa gà padroe de cocett fodametal relatv alle varabl aleatore cotue (destà d probabltà, fuzoe cumulatva, meda, varaza, ecc.).

6 6/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error quado è ota solo l certezza d caso peggore e essu altro dato sulla dstrbuzoe dell errore (se o la codzoe d smmetra), s assume che tutt valor d errore ell tervallo [ U, U ] sao equprobabl. Questo sgfca supporre che l errore abba destà d probabltà f ( e ) uforme: U f ( e) + f ( e) de = U e Rcordamo che, se f ( e ) è la destà, la probabltà che u espermeto l errore e assuma b valor ell tervallo ( a, b ) è par all area P = f ( e) de. D cosegueza tutte le destà devoo + a avere area utara ( f ( e) de =, o codzoe d ormalzzazoe), poché la probabltà che la varable assuma u qualche valore ell tervallo (, + ) deve essere utara. S ot che la dstrbuzoe dell errore uforme o è ete pù, el caso esame, che ua potes d lavoro d atura prudezale. Ifatt se s dovesse procedere a ua valutazoe d tpo A (spermetale) della dstrbuzoe degl error, s troverebbe molto pù spesso ua dstrbuzoe d forma pù arrotodata, grosso modo a campaa. C soo, comuque, ache cas pratc cu la dstrbuzoe dell errore è esattamete (o quas esattamete) uforme. Uo d quest è l caso dell errore d quatzzazoe (errore dervate dall esprmere medate lvell dscret equspazat delle quattà cotue). La dstrbuzoe uforme smmetrca rspetto allo zero ha, aturalmete, valor medo ullo: + µ = e f ( e) de = 0. E ache facle verfcare che la sua varaza è + U σ = e f ( e) de = 3 e qud la sua devazoe stadard è U σ =. 3 Errore e certezza el caso d moltplcazoe d ua stma per ua costate Suppoamo d dsporre d ua stma y, co certezza d caso peggore U, della quattà scooscuta x :

7 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 7/9 x = y ± U Suppoamo d essere teressat alla quattà x ' = k x dove k è ua costate ota seza alcua certezza. (Per esempo se x è ua pulsazoe radat al secodo, x ' potrebbe essere la frequeza hertz, per cu x ' = x /( π ) ). E evdete che assumeremo come stma d x ' la quattà y ' = k x. I questo modo l errore rsulta essere e' = y ' x ' = k ( y x) = k e. I altre parole: moltplcare ua stma per ua costate sgfca moltplcare l errore per la stessa costate. Nel caso d errore co dstrbuzoe uforme, questo sgfca redere pù largo e pù basso l rettagolo el caso k >, e pù stretto e pù alto el caso d k <. Il sego d k o ha flueza, perché la dstrbuzoe è smmetrca. Se per esempo la costate è k = (o ache k = ), la dstrbuzoe dell errore s trasformerà come fgura. ' U f ( e) U f '( e) U U ' S ot che l certezza della uova stma U ' = k U + + f ( e) de = f '( e) de = e y ' è aturalmete e che, coseguetemete, ache la devazoe stadard rsulta moltplcata per k : U ' σ ' = = k σ. 3 Possamo qud eucare la regola: moltplcare ua stma per ua costate sgfca moltplcare certezza d caso peggore e devazoe stadard dell errore per l modulo della stessa costate. Somma d due stme affette da error dpedet Suppoamo d avere due stme x = y ± U, x = y ± U e d desderare ua stma della quattà x = x + x E del tutto aturale (e corretto) assumere come stma la somma y = y + y. Questo comporterà u errore fale ella stma par a e = y x = ( y + y ) ( x + x ) = e + e.

8 8/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error D cosegueza s ha che: sommare due stme sgfca sommare due error d stma. Come è fatta la dstrbuzoe dell errore e = e + e? Per rspodere a questa domada abbamo bsogo d sapere qualcosa sul rapporto cu soo tra loro le due varabl aleatore e ed e. Il caso pù semplce, e pù comue, che possamo predere cosderazoe è quello cu due error sao dpedet. Supporre error dpedet sgfca, dal puto d vsta statstco-matematco, supporre che la destà coguta degl error sa uguale al prodotto delle destà margal, l che è ua codzoe puttosto dffcle da verfcare spermetalmete. Tuttava pratca è abbastaza facle capre quado due o pù error possoo, o o possoo, essere suppost dpedet. S hao error dpedet og volta che due stme provegoo da fot dverse, la cu flueza mutua può essere supposta trascurable. Per esempo, soo affette da error dpedet due msure proveet da strumet dvers a temperatura ambete, e spesso ache dallo stesso strumeto ma su portate dverse; soo dpedet gl error su due ressteze prese a caso u gruppo dello stesso tpo; ecc. ecc. Se due error soo dpedet, allora la teora della probabltà dce che la destà della somma è uguale alla covoluzoe delle destà degl added, coè: f ( e) = f ( e)* f ( e) Suppoedo sempre due error a dstrbuzoe uforme, l rsultato della covoluzoe è ua dstrbuzoe trapezodale come fgura. U * = U U max( U, U ) U U = U + U No è l caso cu d etrare tropp dettagl sulla dstrbuzoe trapezodale rsultate. Sottoleamo solo che: + ) la dstrbuzoe rsultate soddsfa, aturalmete, la codzoe d ormalzzazoe ( f ( e) de = ); ) la dstrbuzoe rsultate s estede smmetrcamete fo al valore massmo U + U, e fo al valore mmo ( U + U), duque U = U + U è l certezza d caso peggore; 3) la dstrbuzoe rsultate o è pù uforme: soo pù probabl valor d errore vc allo zero, e meo probabl valor d errore vc a U. Questo vuol dre che, u certo modo, l certezza d caso peggore è pù pessmstca rspetto al caso d dstrbuzoe uforme. No è ecessaro calcolare tutta la covoluzoe per covcers che U = U + U. Se l ostro scopo è solo d calcolare l certezza d caso peggore possamo segure ua lea d ragoameto caratterstca. I prmo luogo scrvamo: e = e + e e = e + e e + e Abbamo stablto ua maggorazoe dell errore e usado la be ota dsuguaglaza tragolare (l modulo della somma è more o uguale alla somma de modul).

9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 9/9 Ora usamo l potes d error dpedet. Questa c garatsce che la dsuguaglaza e + e e + e dveta qualche caso effettvamete ua uguaglaza, e precsamete quado due error assumoo etramb modulo massmo e sego cocorde. Se gl error o soo dpedet potrebbe esstere qualche vcolo che veta questa codzoe: per esempo, due error potrebbero essere vcolat ad avere sego opposto. L potes d error dpedet c porta duque ad affermare che U = max( e ) = max( e + e ) = max( e + e ) = max( e ) + max( e ) = U + U e qud a dmostrare l assuto. Somma d pù stme affette da error dpedet: la destà gaussaa E ovvo che el caso d somma d pù stme ( x = x + x x, y = y, y,..., y ) l errore rsulterà par alla somma degl error: e = e + e e Come prma cosa, valutamo l certezza d caso peggore (sempre ell potes d error dpedet). Usado la dsuguaglaza tragolare, scrvamo: e = e e = = e qud, dall dpedeza degl error: U = max( e ) = max e = max e = U = = = dove aturalmete U = max e soo le certezze d caso peggore delle sgole stme. Qud: l certezza d caso peggore d ua somma d stme è par alla somma delle sgole certezze. Esamamo ora la dstrbuzoe dell errore. Se cotuamo a supporre gl error mutuamete dpedet, la dstrbuzoe fale rsulterà aturalmete la covoluzoe d tutte le loro sgole dstrbuzo: f ( e) = f ( e)* f ( e)*...* f ( e) Apparetemete è molto dffcle capre quale potrà essere la forma della dstrbuzoe rsultate. I realtà l teorema lmte cetrale della teora della probabltà (che o eucamo qu rgorosamete) asscura che: la destà d probabltà della somma e = e d molte varabl aleatore dpedet co = dstrbuzoe uguale (o comuque o troppo dversa l ua dall altra) tede ad assumere, dpedetemete dalla forma della destà orgara, la forma della destà d probabltà gaussaa o ormale, espressa dalla formula f ( e) = e πσ e µ σ dove l parametro µ è la meda della dstrbuzoe, e σ è la devazoe stadard. Quest due parametr soo dat dalle formule: = ; = µ µ σ = σ =

10 0/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error dove µ e σ soo meda e devazoe stadard degl added. Il teorema lmte cetrale ha valdtà geerale, el seso che la destà degl added può avere forma qualuque. Il caso che prederemo esame o è comuque quello cu gl added hao dstrbuzoe uforme smmetrca. I parametr meda e devazoe stadard assumerao duque valor: µ = µ = 0 ; = U = σ. = 3 σ = = La destà gaussaa ha u tpco grafco a campaa cetrata attoro a µ, che rsulta pù stretta e pù alta per valor d σ pù pccol. L area della curva compresa etro ± σ è par al 68.3% del totale ( put ± σ corrspodoo ache a put d flesso della campaa); l area compresa etro + σ è par al 95.4%; l area compresa etro ± 3σ è par al 99.7% del totale; fe, l area compresa etro ± 4σ è par al 99.99% del totale. La curva è raffgurata qu sotto (fote: Rportamo valor da rcordare ua tabella: tervallo probabltà attoro alla meda ± σ 68.3% ± σ 95.4% ± 3σ 99.7% ± 4σ 99.99% ± 00.00% Bsoga otare che la destà gaussaa s estede tra e +, e duque se u errore ha dstrbuzoe rgorosamete gaussaa l certezza d caso peggore è U = max e = +. Cò è

11 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error /9 perfettamete coerete col fatto che l errore assume dstrbuzoe rgorosamete gaussaa se s sommao ft error dpedet co dstrbuzoe uguale. Abbamo vsto che sommado tra loro u umero fto d error l certezza d caso peggore rsultate è U = U, duque ua quattà fta. Percò l errore rsultate o ha dstrbuzoe = rgorosamete gaussaa. La dstrbuzoe rsultate è vece approssmatvamete gaussaa, el seso che essa ha ua forma a campaa corrspodeza del lobo cetrale, metre le code della dstrbuzoe, cotraramete alla gaussaa vera, s azzerao al fto, corrspodeza de put ± U. f ( e) gaussaa approssmata U µ +U e Per esempo, la somma d tre error a dstrbuzoe uforme co le comuque dello stesso orde d gradezza può essere così vsualzzata: U d valore uguale o f ( e) gaussaa approssmata U U U 3 * * = U σ = 3 U U U 3 U µ = 0 +U e Naturalmete se tre error o soo dello stesso orde d gradezza, ma per esempo uo d ess è molto pù pccolo degl altr due, l rsultato o può essere cosderato ua gaussaa approssmata. Ifatt l errore pù pccolo darà cotrbuto trascurable a determare la forma della dstrbuzoe e l rsultato sarà meglo approssmato dalla dstrbuzoe trapezodale. Daremo el seguto u crtero eurstco che permetterà d valutare quado, pratca la somma d pù error a dstrbuzoe uforme dà luogo a ua dstrbuzoe che può essere cosderata approssmatvamete gaussaa. Per adesso c lmtamo ad affermare che: se s sommao tre error dpedet co dstrbuzoe uforme e uguale certezza d caso peggore, la dstrbuzoe rsultate può essere cosderata approssmatvamete gaussaa ell tervallo ampo ± 3σ attoro alla meda.

12 /9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error Icertezza stadard (o tpo) e certezza estesa co u assegata probabltà d copertura 3 Abbamo gà osservato che quado l errore ha dstrbuzoe trapezodale l certezza d caso peggore appare u parametro pù pessmstco rspetto al caso d dstrbuzoe uforme, perché valor d errore vc a valor massm ± U soo meo probabl. Nel caso d dstrbuzoe gaussaa questa osservazoe assume grade mportaza. S pes ua stma affetta da errore a dstrbuzoe gaussaa. Se dovessmo valutare l certezza della stma base al caso peggore, dovremmo dre che la stma o vale ete, perché U = +. D altra parte è ovvo che l errore o assume davvero valore +, e che az c soo buoe probabltà che l errore assuma u valore dell orde d gradezza d σ. Pù precsamete, base a quato detto prma, s può affermare che: se u errore ha dstrbuzoe gaussaa, allora: ) ha ua probabltà par a crca l 68.3% d assumere u valore ell tervallo ± σ ; ) ha ua probabltà par a crca l 95.4% d assumere u valore ell tervallo ± σ ; 3) ha ua probabltà par a crca l 99.7% d assumere u valore ell tervallo ± 3σ ; 4) ha ua probabltà par a crca l 99.99% d assumere u valore ell tervallo ± 4σ ; Se e coclude che ua stma co errore gaussao, lug dall essere utle, è tato mglore quato pù pccola è σ. Dremo vece che: quado ua stma è affetta da errore gaussao, o può essere qualfcata medate l certezza d caso peggore, ma è vece qualfcata dalla sua devazoe stadard, che prede ache l ome d certezza stadard (o tpo). La locuzoe certezza stadard è quella terazoale (stadard ucertaty); la orma UNI CEI ENV 3005 Guda all espressoe dell certezza d msura, che recepsce la GUM traduce devazoe stadard come scarto tpo, e coseguetemete certezza stadard come certezza tpo. La dffereza essezale tra certezza d caso peggore e certezza stadard è che la prma forsce u tervallo cu l errore s trova co certezza, ovvero co probabltà 00% (ovvamete s parla d certezza solo seso matematco), metre la secoda forsce u tervallo cu l errore s trova co probabltà del 68.3%. Questa probabltà può essere cosderata, co ragoe, troppo pccola. Appare aturale qud cosderare u tervallo par o a ± σ, ma per esempo par a ± σ, che cotee l errore co ua probabltà par al 95.4%. Adottamo le seguet defzo: se l errore ha dstrbuzoe gaussaa co devazoe stadard σ (certezza stadard o tpo), dcamo: certezza estesa, co u fattore d copertura k =, e u lvello d cofdeza (o d fduca) l = 95.4%, l valore UE = σ ; certezza estesa, co u fattore d copertura k = 3, e u lvello d cofdeza (o d fduca) l = 99.7%, l valore UE = 3 σ ; certezza estesa, co u fattore d copertura k = 4, e u lvello d cofdeza (o d fduca) l = 99.99%, l valore UE = 4 σ. I geerale, l fattore d copertura k è l coeffcete per cu vee moltplcata l certezza stadard, e l lvello d cofdeza l è la probabltà assocata al corrspodete tervallo. L espressoe lvello d fduca traduce l glese cofdece level. L UNI ha però fssato, come traduzoe uffcale la locuzoe lvello d cofdeza. 3 La termologa usata questo paragrafo è quella della uova versoe (maggo 007) del Vocabolaro Iterazoale d Metrologa (VIM). I essa term lvello d cofdeza e tervallo d cofdeza soo stat sosttut da probabltà d copertura e tervallo d copertura

13 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 3/9 Quado u errore è somma d pù cotrbut co dstrbuzoe uforme, l certezza d caso peggore ha valore fto, perché la dstrbuzoe è solo approssmatvamete gaussaa. Tuttava cosderare l certezza d caso peggore rsulta, propro come el caso rgorosamete gaussao, ua valutazoe eccessvamete pessmstca, perché u certezza estesa co fattore d copertura o 3 (che può essere molto pù pccola) defsce comuque u tervallo etro cu cade l errore ella grade maggoraza de cas (95.4% o 99.7%). Illustramo questo cocetto co esemp. S suppoga d sommare u certo umero d stme affette da error dpedet, co certezze d caso peggore tutte ugual e par a U =. Cosderamo tre cas, e coè ) somma d sole tre stme (l mmo per poter supporre la dstrbuzoe approssmatvamete gaussaa); ) somma d quattro stme; 3) somma d ceto stme. Caso ) Nel caso d somma d tre stme ( e = e + e + e3 ), l certezza stadard è: σ U = = σ = = / 3 =. D cosegueza rcavamo le seguet certezze estese: fattore d copertura k certezza estesa UE lvello d cofdeza l 95.4% % % Rcordamo che l certezza d caso peggore ( l = 00% ) è par a U = U = 3. Notamo subto che l certezza co fattore d copertura 4 è errata, per l semplce motvo che rsulta addrttura maggore dell certezza d caso peggore, pur avedo u lvello d fduca leggermete more del 00%. Ache l certezza co fattore d copertura 3 o è perfettamete corretta, perché cocde co l certezza d caso peggore, e qud ad essa o va assocato l = 99.7%, ma l = 00%. Queste cogrueze soo dovute semplcemete al fatto che la dstrbuzoe dell errore e = e + e + e3 è solo approssmatvamete gaussaa (ha le code trocate), e qud le formule gaussae o soo valde per lvell d cofdeza troppo grad. L certezza estesa co fattore d copertura rsulta vece perfettamete accettable: è apprezzablmete more dell certezza d caso peggore, e ad essa rsulta assocato u lvello d cofdeza d crca l 95%. Cocluderemo percò quato segue: - la stma è affetta da u certezza estesa UE = co lvello d cofdeza par a crca l 95%; - la stma è affetta da u certezza U = 3 co lvello d cofdeza par al 00% (certezza d caso peggore). Le cocluso tratte per questo caso gustfcao la regola pratca forta sopra a proposto della somma d tre error dpedet co dstrbuzo uforme e uguale certezza d caso peggore. S vede fatt che l calcolo della probabltà ell potes d dstrbuzoe gaussaa forsce rsultat accettabl per tervall etro ± 3σ dalla meda (cosderamo l 99.7% come

14 4/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error u accettable approssmazoe per l 00%). Per tervall superor l approssmazoe gaussaa o è utlzzable. Caso ) Nel caso d somma d quattro stme ( e = e + e + e3 + e4 ), l certezza stadard è: σ U = =. σ = = / 3 = 4 / 3 =.547 D cosegueza rcavamo le seguet certezze estese: fattore d copertura k certezza estesa UE lvello d cofdeza l % % % Rcordamo che l certezza d caso peggore ( l = 00% ) è par a U = U = 4. Come el caso precedete, l certezza co fattore d copertura 4 è da cosderars errata, perché superore a quella d caso peggore. Quella co fattore d copertura 3 o è errata ma, essedo molto vca all certezza d caso peggore U = 4, o ha molto seso utlzzarla, ache perché l lvello d cofdeza del 99.7% è da cosderars approssmato. La coclusoe logca è qud molto smle a quella del caso precedete: - la stma è affetta da u certezza estesa UE =.3 co lvello d cofdeza par a crca l 95%; - la stma è affetta da u certezza UE = 3.46 co lvello d cofdeza molto vco al 00% (almeo l 99.7%); - la stma è affetta da u certezza U = 4 co lvello d cofdeza par al 00% (certezza d caso peggore). Caso 3) 00 Nel caso d somma d ceto stme ( e = e ), l certezza stadard è: σ U = = σ = = / 3 = 00 / 3 = = D cosegueza rcavamo le seguet certezze estese: fattore d copertura k certezza estesa UE lvello d cofdeza l % % % Rcordamo che l certezza d caso peggore ( l = 00% ) è par a U = U = 00.

15 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 5/9 I questo caso, cotraramete a precedet, tutte le certezze estese calcolate soo cosderevolmete mor dell certezza d caso peggore. D cosegueza soo tutte corrette, ache el seso che lvell d cofdeza assocat soo ua buoa approssmazoe delle probabltà che s otterrebbero da u calcolo rgoroso sulla dstrbuzoe approssmatvamete gaussaa dell errore. Cocludamo che: - la stma è affetta da u certezza estesa UE =.54 co lvello d cofdeza par a crca l 95.4%; - la stma è affetta da u certezza UE = 7.3 co lvello d cofdeza par a crca l 99.7%; - la stma è affetta da u certezza UE = 3.09 co lvello d cofdeza par a crca l 99.99% ; - la stma è affetta da u certezza U =00 co lvello d cofdeza par al 00% (certezza d caso peggore). I questo caso, modo pù evdete che egl altr, s vede come l certezza d caso peggore a rgore corretto ma decsamete poco formatvo. Sapere che l errore è sempre more d ±00 è sostazalmete fuorvate: è molto pù utle sapere che oltre l 99.7% de cas l errore è more d ±7. Rassumamo quato abbamo vsto co le seguet regole pratche. L certezza d caso peggore è u dato suffcete solo quado l errore ha dstrbuzoe uforme (o pressoché uforme). Se l errore ha dstrbuzoe approssmatvamete gaussaa, è dspesable cooscere l certezza stadard, da cu s calcolao le certezze estese. Ua certezza estesa va usata solo quado è otevolmete more dell certezza d caso peggore. Se essa è poco more dell certezza d caso peggore allora è pù coveete usare quest ultma (co lvello d cofdeza 00%); se è addrttura maggore, allora essa è semplcemete u dato errato dovuto al fatto che la dstrbuzoe dell errore è solo approssmatvamete gaussaa. Poché samo grado d capre quado u certezza estesa può essere accettata e quado vece costtusce ua valutazoe scorretta, samo ache arrvat a u crtero semplce ma effcace per decdere se la somma d pù error a dstrbuzoe uforme può essere cosderata approssmatvamete gaussaa, e etro qual lmt. Quado s sommao pù error dpedet a dstrbuzoe uforme, la dstrbuzoe rsultate può essere cosderata approssmatvamete gaussaa se l rapporto U / σ è coveetemete alto, e coè almeo U / σ 3. Per valor feror d U / σ la dstrbuzoe deve essere cosderata pù smle a u trapezo o alla dstrbuzoe uforme, e l uca certezza utlzzable è U. Questa regola può essere llustrata co u ulterore esempo. S pes uovamete alla somma d tre error dpedet, avedos però U = U = e U 3 = 0.. Poché l terzo errore è molto pù pccolo degl altr due, s tusce che la dstrbuzoe rsultate sarà sostazalmete trapezodale. Applcado la regola eucata, s ha fatt che U = U + U + U3 =., metre σ = ( U + U + U ) / 3 = 0.885, e qud U / σ =.69. Il caso d U = U = U3 = realzza vece 3 la codzoe lmte ( U = 3, σ =, U / σ = 3 ).

16 6/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error Chudamo questo paragrafo rchamado l attezoe sul sgfcato e l utltà dell certezza d caso peggore. Quado ua stma s sommao tra loro error dpedet, bsoga quas sempre utlzzare l certezza stadard e l certezza estesa, che soo fatt quelle a cu le orme dedcao maggore attezoe. Tuttava, ache quado o va effettvamete utlzzata, l certezza d caso peggore rmae mportate, perché permette d valutare la correttezza dell certezza estesa calcolata. Combazoe leare d stme Abbamo esamato l caso d moltplcazoe d ua stma per ua costate e quello d somma d pù stme. Ua ovva geeralzzazoe è l caso d combazoe leare d stme. S suppoga d dover stmare ua combazoe leare d gradezze, coè u espressoe del tpo x = = a x ove a ( =,..., ) soo coeffcet ot e x soo gradezze cogte, ma d cu soo ote le stme y. Per stmare x s valuta aturalmete la combazoe leare y e = = a y E facle costatare che l errore e = y x è dato da = = a e coè, ua combazoe leare d stme l errore è la combazoe leare degl error. Faccamo ora l potes d error dpedet e valutamo certezza d caso peggore e certezza stadard. L certezza d caso peggore s calcola applcado le ozo gà vste per l caso d moltplcazoe d ua stma per ua costate, e per la somma d stme. Co la dsuguaglaza tragolare abbamo: e = a e a e = = da cu, sfruttado l potes d error dpedet, s deduce U max e a U = =. = Rassumamo dcedo che: Se u errore è combazoe leare d sgol error dpedet co coeffcet a, l certezza d caso peggore è combazoe leare delle sgole certezze d caso peggore, co coeffcet a. Ache l certezza stadard s calcola applcado cò che sappamo da cas precedet. Rsulta che: a σ a U = = σ = = e qud: / 3

17 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 7/9 Se u errore è combazoe leare d sgol error dpedet co coeffcet a, la varaza dell errore è combazoe leare delle varaze de sgol error, co coeffcet a. L certezza stadard è aturalmete la radce quadrata della varaza dell errore. Le formule mostrao che l sego de coeffcet a della combazoe leare o hao alcua mportaza (a f dell certezza è come se fossero tutt postv). Cò è d altra parte ovvo, perché l errore complessvo può essere vsto come somma degl error e ' = a e. U coeffcete a d sego egatvo o fa altro che rbaltare la dstrbuzoe d e ', ma questo o ha alcu effetto sul rsultato fale poché s suppoe che essa s esteda smmetrcamete da U a U. U esempo semplce d combazoe leare è la dffereza. U base alle formule, a f dell certezza, se gl error soo dpedet (ua codzoe mportate da o dmetcare) ua dffereza equvale a ua somma. U altro esempo comue d combazoe leare è la comue meda artmetca. E facle verfcare che se y è la meda d stme y, tutte affette dalla stessa certezza d caso peggore U, allora l certezza d caso peggore su y è propro U, metre l certezza stadard è U / 3. I altre parole, esegure ua meda artmetca o rduce l certezza d caso peggore, ma rduce l certezza stadard, moltplcadola per /. Stma otteuta drettamete come geerca fuzoe d pù stme. Coeffcet d sesbltà e formule d propagazoe Il caso geerale è quello cu ua stma è otteuta come geerca fuzoe matematca d altre stme. Queste ultme vegoo dette gradezze drette (el seso che soo stmate drettamete ), metre la fuzoe matematca forsce la stma dretta. Fssamo seguet smbol: valor ver delle gradezze drette x ( =,..., ) valor stmat delle gradezze drette y ( =,..., ) error sulle stme drette e = y x ( =,..., ) valore vero della gradezza dretta x = g( x, x,..., x ) valore stmato della gradezza dretta, y,..., y ) y = g( y errore sulla stma dretta e = y x Utlzzado la relazoe y = x + e e lo svluppo sere d Taylor arrestato al prmo terme della quattà y = g( y, y,..., y ), s ottee: g y = g( y,..., y ) = g( x + e,..., x + e ) g( x,..., x ) + e = x e qud l errore e = y x è dato dalla relazoe approssmata e ce co c = g =. x Questa mportate formula s chama formula d propagazoe degl error per le stme drette, e coeffcet c soo dett coeffcet d sesbltà. S ot che la formula è detca a quella relatva alla combazoe leare d msure, dove coeffcet della combazoe leare soo

18 8/9 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error sosttut dalle dervate parzal prme della fuzoe matematca covolta. La dffereza mportate è che la formula è approssmata, o esatta come el caso della combazoe leare, e vale solo ell potes d fuzoe g( x,..., x ) svluppable sere d Taylor, e d error e suffcetemete pccol da redere trascurabl term d orde superore della sere. Se gl error s possoo supporre dpedet, da rsultat relatv alla combazoe leare s deducoo le formule che forscoo certezza d caso peggore e certezza stadard: U = = c U c σ c U = = σ = = / 3 Queste soo le formule d propagazoe delle certezze (d caso peggore e stadard) per stme drette co error dpedet. S ot che queste formule soo valde solo el caso d error dpedet, metre la formula d propagazoe degl error è valda ache per error o dpedet. Formule d propagazoe term d error e certezze relatve La maggor parte delle formule che s cotrao fsca e gegera covolgoo prodott o per meglo dre fuzo moome, del tpo F = G m m / r, E = m c, f = /( π LC ), ecc. Calcolare come s propagao error e certezze per questo tpo d espresso è molto semplce se s ragoa term d error e certezze relatve. Se e è l errore, U l certezza d caso peggore e σ l certezza stadard, allora le corrspodet quattà relatve soo er = e / x, Ur = U / x, σ r = σ / x, dove x è l valore vero. Rscrvamo le formule d propagazoe term d quattà relatve. La formula d propagazoe degl error dveta: e c x e x x x = ovvero er cr er co = cr c x x =. Questa s chama formula d propagazoe degl error per le stme drette, term d error relatv. S bad bee che la formula è del tutto equvalete a quella scrtta term d error assolut. I coeffcet cr predoo l ome d coeffcet relatv d sesbltà. Nell potes d error dpedet, s rcavao mmedatamete le formule d propagazoe per le certezze d caso peggore e stadard: Ur = = cr Ur σ = = σr = cr r = cr Ur / 3.

19 Ncola Gaquto - Rassuto d teora elemetare degl error 9/9 Queste formule soo teressat perché coeffcet relatv cr soo molto facl da determare el caso d fuzoe mooma. Notamo fatt che, geerale c x g l g cr = = x = x x x x x Cosderamo ora la geerca fuzoe mooma, costruta come prodotto delle quattà x k cascua elevata a u espoete b k. S ha: bk = k = k k k = k = g( x,..., x ) x l g( x,..., x ) b l x e d cosegueza s ha l x cr b x b. k = k = k = x Abbamo otteuto che: el caso d stma dretta che è fuzoe mooma d altre stme, coeffcet relatv d sesbltà soo gl espoet co cu le stme compaoo el moomo. Ora samo faclmete grado d dedurre come s propagao error e certezze moltssm cas comu, seza dover calcolare dervate. Faccamo alcu esemp. Esempo : F = G m m r / er = er + er + er er F G m m r Ur = Ur + Ur + Ur + Ur F G m m r F G m m r σ r = σ r + σ r + σ r + 4 σ r dove aturalmete σ r = Ur / 3, ecc. Esempo : E er = er + er E m c = m c Ur = Ur + Ur E m c σ r = σ r + σ r E m c Esempo 3: f = / erf = erl erc Urf = UrL + UrC σ r = σ r + σ r 4 4 LC f L C G G Ache quado la fuzoe esame o è u moomo, coeffcet relatv d sesbltà possoo spesso essere calcolat pù faclmete d quell assolut. Utlzzare gl u o gl altr è comuque, alla fe de cot, del tutto equvalete, a parte l evetuale dversa facltà d calcolo.