Elementi di statistica

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1 Element d statstca

2 Popolazone statstca e campone casuale S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..) e può avere un numero fnto o nfnto d element. Es: nseme degl abtant d una cttà, d una nazone; nseme delle altezze d una popolazone d fasca d età fssata. Problema: non sempre s possono raccoglere dat su tutt gl element della popolazone, qund se ne consdera un sottonseme rappresentatvo, l campone. S chama campone casuale una sequenza d element scelt a caso dalla popolazone n modo che ogn elemento abba la stessa probabltà d far parte del campone.

3 Statstca descrttva e nferenzale Statstca descrttva : se l ndagne è sulla totaltà della popolazone, sntes quanttatva completa del fenomeno studato (es. censmento) Statstca nferenzale: studa come e con quale precsone s possono descrvere le caratterstche d una popolazone se l ndagne vene effettuata su un campone, v è qund ncertezza.

4 Varabl statstche Fssata una popolazone s chamano varabl statstche tutte le caratterstche che varano al varare de component delle popolazone. Le varabl che sono espresse qualtatvamente sono dette attrbut (colore degl occh, della pellcca, ecc..); quelle che sono espresse quanttatvamente sono dette msurabl (temperatura a Caglar alle 8:00 am)

5 Dat (nformazon emprche) e rappresentazon de dat Esempo. Rappresentamo su un dagramma d punt, su un stogramma (dagramma a blocch), su un aerogramma dat raccolt su una tabella Campone: 0 esemplar d gatto. Varable msurable: numero d cuccol partort n un dato perodo. gatto n.cuccol dagramma d punt: n un sstema d rfermento cartesano ogn punto è rappresentato dalla coppa ordnata (g, n.cuccol) stogramma (dagramma a canne): dat sono rettangol d base costante (cascuna rappresenta un ndvduo) altezza uguale al numero d cuccol d cascun ndvduo.

6 Dat (nformazon emprche) e rappresentazon de dat gatto n.cuccol ,5 4 3,5 3,5,5 0, (g,n.cuccol ) (g,n.cuccol ) Possamo organzzare e rappresentare dat n un dverso stogramma? Quale l senso e l procedmento per la rappresentazone su un aerogramma?

7 Frequenze assolute e relatve : dmensone del campone, numero totale de dat raccolt X, X,, X : dat, coè valor assunt nel campone dalla varable statstca X In molt cas dat sono rpetut, coè assumono un numero fnto d valor dscret dstnt x, x,, x n, n. Indchamo con F : l numero d dat ugual ad x, coè la frequenza assoluta f = F : la frequenza relatva, dove s prende n consderazone la numerostà del campone

8 Frequenza assoluta e relatva F : frequenza assoluta f = F / : frequenza relatva Esempo: determnare la frequenza assoluta e relatva de dat: gatto n.cuccol Varable msurable X: numero d cuccol partort n un dato perodo. Valor assunt dalla varable X: X = X 8 = ; X = X 6 = X 7 = X 9 = ; X 3 = X 4 = X 0 = 3; X 5 = 4; I valor dstnt che assume X sono 4: x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 Le corrspondent frequenze assolute sono : F =, F = 4, F 3 = 3, F 4 = Le corrspondent frequenze relatve sono : f =, f 0 = 4, f 0 3 = 3, f 0 4 = 0 Eserczo: scrvere le frequenze relatve n percentuale

9 Istogramm e aerogramm rappresentazone dell aerogramma e dell stogramma delle frequenze f f f3 f4 Il 0% delle gatte ha cuccolo Il 40% ha cuccol Il 30% ha 3 cuccol Il 0% ha 4 cuccol I dat saranno generalzzabl a tutta la popolazone de gatt?

10 Raccoglmento n class Msurando le altezze d 00 ragazze al prmo anno d ngegnera sono stat rcavat seguent dat: ragazza è alta 50 cm; 5 ragazze sono alte 60 cm; ragazze sono alte 53 cm; ragazze sono alte 6 cm; 5 ragazze sono alte 55 cm; 5 ragazze sono alte 6 cm; 3 ragazze sono alte 56 cm; 8 ragazze sono alte 63 cm; ragazze sono alte 57 cm; 3 ragazze sono alte 64 cm; 4 ragazze sono alte 58 cm; 0 ragazze sono alte 65 cm; 3 ragazze sono alte 59 cm; 0 ragazze sono alte 66 cm; 7 ragazze sono alte 67 cm; 5 ragazze sono alte 68 cm; 5 ragazze sono alte 69 cm; Come s possono rappresentare quest dat n modo effcente? Convene raggruppare dat n class.

11 Indc d tendenza centrale: moda e classe modale Rassumere e organzzare dat: ndc numerc che rassumono le prncpal caratterstche matematche de dat. Se dat sono espress medante la loro appartenenza a dverse class (sottonsem), s chama classe modale la classe d frequenza massma, se le class sono ndvduate da numer, l numero che contraddstngue la classe modale prende l nome d moda. Esempo: determnare moda (o classe modale), frequenza relatva e dsegnare l stogramma delle frequenze assolute. Altezze n centmetr d un campone d ragazze suddvse n class I = 50, 54 I = 55, 59 I 3 = 60, 64 I 4 = [65, 69] frequenza F = 3, F = 7, F 3 = 43, F 4 = I I I3 I4 Frequenze Classe modale: I 3 che ha frequenza 43

12 Indc d tendenza centrale: meda Data una varable statstca X con X, X,, X dat numerc relatv ad un camponamento, s chama meda camponara d X la meda artmetca de dat m X X k k Se dat dstnt sono x, x, x 3,, x n n scrvere n modo equvalente e assumono frequenze F s può m X n F x n F x n f x S può talvolta preferre la meda pesata o ponderata. Se dat hanno varazon esponenzal, l ndce pù adatto è la meda geometrca

13 Indc d tendenza centrale: meda geometrca Data una varable statstca X con X, X,, X valor camponar numerc (postv) relatv ad un camponamento. S chama meda geometrca GM X = X X X Se dat dstnt sono x, x,, x n, n può scrvere n modo equvalente e assumono frequenze assolute F s GM X = x F x F x n F n Quando la meda non è una buona stma rassuntva, s può usare la medana 3

14 Indc d tendenza centrale: sntes Sa X una varable statstca, ndchamo con X, X,, X dat numerc relatv ad un camponamento x, x, x 3,, x n, n, dat dstnt che vengono assunt con frequenze F,, F n Indc d poszone: Meda: artmetca m X X k k m X n F x n F x n f x geometrca GM X = X X X GM X = x F x F x n F n Moda (o classe modale) : valore numerco (o classe) d frequenza massma Medana

15 Indc d tendenza centrale: medana Sano X, X,,, X valor camponar numerc ordnat n modo crescente (non decrescente). La medana è l valore centrale (che separa n due part ugual l nseme de dat) che s ottene con la seguente regola: Se è dspar, la medana è l valore del dato che corrsponde all ntero successvo a Se è par, è la meda artmetca de valor de dat al posto / e al posto successvo. Scrvere n formula l valore della medana per par. Calcolare la medana nel caso delle tre successon d dat assegnate A 3,5 4, 3,5 4, B 3,5 8, 3,5 4, C 35 4, 3,5 4, e verfcare che la medana, contraramente alla meda, rsente poco della presenza d dat estrem (o d eventual error) 5

16 Frequenza relatva cumulata Sano x, x,, x n valor camponar numerc dstnt e F, F,, F n le rspettve frequenze. Determnare la frequenza relatva cumulata d x (somma delle frequenze relatve de dat da a n ) fornsce nformazon sul valore della medana. Esempo. A partre da dat della tabella determnare la meda, la medana e l stogramma delle frequenze relatve e cumulate (fc) espresse n percentuale. Dat F 5 6 f /4 /4 5/4 6/4 fc /4 3/4 8/4 4/4 f n % fc n % Meda 5.85 Medana 6 6

17 Esempo. A partre da dat della tabella determnare la meda, la medana e l stogramma delle frequenze relatve e cumulate (fc) espresse n percentuale 0% frequenze cumulate 00% 80% 60% 40% frequenze cumulate 0% 0% La medana s ha n corrspondenza del 50% e nfatt rsulta essere 6

18 Indc d tendenza centrale Sano X, X,,, X valor camponar numerc raccolt n osservazon e rappresentat nella seguente tabella Eserczo. Determnare la meda artmetca, la meda geometrca, la moda, la medana e rappresentare l stogramma delle frequenze relatve espresse n percentuale e quello delle frequenze cumulate. Rappresentare meda artmetca e medana ne due stogramm. 8

19 Varanza e devazone standard Sa X una varable statstca, la varanza camponara d dat X, X,,, X avent meda camponara m X è l numero X mx X mx... X mx s X che valuta la dstanza meda al quadrato de dat dalla meda, coè la loro dspersone Se dat assumono un numero fnto d valor dscret dstnt x, x, x 3,, x n n e con frequenza assoluta F s defnsce varanza camponara La radce quadrata della varanza s X n F x m X s X = s X è la devazone standard camponara 9

20 Varanza e devazone standard S eseguono alcune msure d una grandezza X e s rlevano seguent rsultat con le frequenze ndcate sotto X F Calcolare la meda, la varanza camponara e la devazone standard 0

21 Varanza e devazone standard Se dat a dsposzone rguardano un ntera popolazone (non un campone) s usano smbol dfferent nelle defnzon degl ndc d tendenza centrale. Indchamo con y, y,, y M dat relatv a tutt gl ndvdu d una popolazone la meda d popolazone è l numero μ = M M y la varanza d popolazone è l numero σ = M la devazone standard d popolazone, chamata anche scarto quadratco medo è σ = σ Per abbastanza grande la dverstà tra la varanza camponara (varanza stmata) e la varanza d popolazone (varanza) dventa trascurable. Analogo rsultato s ha per la devazone standard. = M = y μ

22 Varanza e devazone standard Esempo: Calcolamo le devazon standard de seguent dat consderat come dat d un ntera popolazone. Sa X l nseme delle altezze degl atlet d una squadra d calcetto X = {76, 8, 68, 76, 7}. Calcolare la meda, la varanza e la devazone standard Meda Varanza M y M M M 5 y Devazone standard σ = σ = 9. = 4.37

23 Varanza e devazone standard La varanza s può anche calcolare con la formula (d Köng) M M y M y M M M y Verfcare l uguaglanza a partre da dat X = {76,8,68,76,7}. dat consderat come dat d un ntera popolazone X = X, X,,, X, o d osservazon emprche possono essere consderat come vettor. Gl ndc d tendenza centrale, o d dspersone defnt utlzzando gl strument dell algebra de vettor. Gl stess ndc possono anche essere defnt n termn probablstc. La trattazone n quest dvers ambt matematc non è oggetto d questa trattazone. 3