Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá

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1 Corso di Fondamenti di TLC Esercizi di Probabilitá Exercise 0.1 Unurna contiene 2 biglie bianche e 5 nere. Estraiamo una prima biglia: se nera la rimettiamo dentro con altre due dello stesso colore, se bianca non rimettiamo niente. Estraendo la seconda biglia, qual la probabilit che sia nera? Soluzione: pu usarsi la regola di Bayes, P r(seconda biglia nera) = 0.79 Exercise 0.2 In una scatola A vi sono 16 pezzi difettosi e 4 buoni, in una scatola B vi sono 5 buoni e 8 difettosi. Supponiamo di lanciare un dado. Se esce 1 o 2 prendo un pezzo da A; se non escono 1 o 2 (cio escono 3 o 4 o 5 o 6) prendo un pezzo da B. Qual la probabilit di estrarre un pezzo difettoso? Soluzione: P r(pezzo dif ettoso) = 0.68 Exercise 0.3 Su 10 ragazze 3 hanno gli occhi blu; ne vengono scelte a caso 2. Determinare: a) la probabilit che entrambe hanno gli occhi blu; b) la probabilit che nessuna ha gli occhi blu; c) la probabilit che almeno una ha gli occhi blu. Soluzione: P r(entrambe hanno gli occhi blu) = , P r(nessuna ha gli occhi blu) = 0.467, P r(almeno una ha gli occhivblu) = Exercise 0.4 Determinare la probabilit che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. Soluzione: P r(almeno 2 cifre uguali) = Exercise 0.5 La probabilit che 3 uomini (A, B, C) colpiscano un bersaglio : P r(a) = 1/6 P r(a) = 1/4 P r(a) = 1/3 Determinare la probabilit che uno solo colpisca il bersaglio; si determini poi la probabilit che uno solo colpisca il bersaglio e che questi sia A. Soluzione: P r(uno solo colpisca il bersaglio) = 0.43, P r(uno solo colpisca il bersaglio e che questi siaa) =

2 Exercise 0.6 Un certo tipo di missile ha la probabilit 0.30 di colpire il bersaglio. Quanti missili si devono lanciare affinch la probabilit di colpire il bersaglio almeno una volta sia almeno dell 80%? Soluzione: n = numero di missili necessari = 4.5. Exercise 0.7 Uno studio medico sulla tubercolosi (TBC) effettuato su una certa popolazione di individui ha dato i seguenti risultati (che costituiscono i dati del nostro problema): P r(t BC) = P r(test positivo T BC) = P r(test positivo T BC) = Determinare la probabilit che un certo individuo abbia la tubercolosi, dato che risulta positivo al test. Soluzione: P r(t BC test positivo) = 0.33 Exercise 0.8 Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri da 1 a 6, sia costruito in modo tale che la probabilit di ottenere 6 doppia rispetto a quella degli altri punteggi. Indicata con X la variabile casuale punteggio ottenuto in un lancio del dado, si determini: a la legge di probabilit della variabile casuale X; b media (valore atteso) e la varianza della variabile casuale X. Soluzione: a)p r(x = x) = 1/7 per x = 1, 2, 3, 4,, 5 e P r(x = 6) = 2/7, b) E[X] = , V ar[x] = Exercise 0.9 Un gioco consiste nel lanciare un dado ed una moneta non truccati. Come risultato del lancio del dado si considera il numero riportato sulla faccia superiore, mentre per il lancio della moneta si considera il punteggio 0 se si presenta testa, punteggio 1 se si presenta croce. Determinare il valore atteso e la varianza della variabile casuale che descrive la somma dei punteggi riportati nel lancio del dado e della moneta. Soluzione: E[Z] = 4, V ar[z] = Exercise 0.10 Unurna contiene tre palline contrassegnate dai numeri 1, 2, 3. Si estrae con riposizione un campione di ampiezza due. Sia Y la variabile casuale che esprime la media aritmetica dei numeri riportati sulle palline estratte. Calcolare media e varianza di Y. Soluzione: E[Y ] = 2, V ar[y ] = 1/3. 2

3 1 VARIABILI CASUALI 7 Exercise 0.11 Data la distribuzione di probabilit congiunta delle variabili casuali X e Y : 4. Data la distribuzione di probabilità congiunta delle variabili casuali X e Y : X Y 1 0,25 0 0,25 2 0,15 0 0, ,2 0 a) stabilire se le variabili X e Y sono indipendenti; a stabilire se le variabili X e Y sono indipendenti; b) calcolare Pr{Y 2,X >0} e Pr{Y 2 X >0}; b calcolarec) Pcalcolare r{y 2, il X valore > 0} eatteso P r{ye la 2 X varianza > 0}; della variabile casuale Z = X 2Y ; c calcolare Svolgimento il valore atteso e la varianza della variabile casuale Z = X?2Y. Svolgimento punto a) Di seguito si riportano la distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali delle v.c. X e Y : Soluzione: b) P r{y 2, X > 0} = 0.35, P r{y 2 X > 0} = , c) E[Z] = 24, V ar[z] = X tot Y Exercise 0.12 Da un mazzo di 52 carte (13 3 di picche, di cuori, di fiori e 13 di quadri) ne vengono estratte cinque con reinserimento. Si interessati alla totvariabile 0.4 casuale X che 1descrive il numero di carte di cuori ottenute nelle estrazioni. Determinare: Se le variabili casuali X e Y fossero indipendenti si avrebbe che: a il valore atteso e la varianza della variabile X; P (X = x, Y = y) =P (X = x) P (Y = y) y =1, 2, 3 x =0, 1, 2. b la probabilit di estrarre tre carte di cuori; Si osservi che, secondo la distribuzione congiunta fornita dal testo dell esercizio, si c la probabilit ha: di estrarre almeno tre carte di cuori; d) la probabilit di estrarre al pi tre carte di cuori; P (X =1,Y =1)= =P (X =1) P (Y =1). Di conseguenza le variabili casuali X e Y non sono indipendenti. Soluzione: a) E[X] = 1.25, V ar[x] = , c) P r{x 3} = , d) P r{x 3} = Svolgimento punto b) P (X >0,Y 2) = P (X =1,Y =2)+P (X =2,Y =2)+ +P (X =1,Y =3)+P (X =2,Y =3) Exercise 0.13 Il 19% dei nuclei familiari di= una collettivitá =0.35 possiede almeno due televisori. Si estrae un campione casuale (con reimmissione) di 400 nuclei familiari. Considerata la variabile casuale X=numero dei nuclei familiari estratti che possiedono P (X >0,Y 2) P (Y almeno 2 X >0) due televisori: = P (X >0) a si calcolino media e varianza di X; 0.35 = P (X =1)+P (X =2) = 0.35 b si calcoli P (66 X 91) supponendo che = 0.35 X sia approssimabile ad una Gaussiana. 0.6 = Soluzione: Svolgimento a) E[X] = punto 76, Vc) ar[x] Dalle = proprietà 61.56, b) P del (66valore X atteso 91) = si ha che: = E(Z) =E(X 2Y )=E(X) 2E(Y ). Exercise 0.14 Un macchina produce pezzi difettosi con una probabilit pari a 0.4. Calcolare: a la probabilit che su 6 pezzi prodotti il numero di pezzi difettosi sia un numero dispari; 3

4 b il valore atteso e la varianza della variabile, Y, che conta il numero di pezzi difettosi su 100 prodotti e della della variabile, Z, che li conta su 1000 pezzi prodotti; c la probabilit che su 100 pezzi prodotti, i pezzi difettosi siano in numero compreso tra 15 e 30 (estremi inclusi), ripetere il calcolo per estremi esclusi. Soluzione: a) P(su 6 pezzi prodotti il numero di prodotti difettosi dispari) = 0.5, b) E[Y ] = 40, V ar[y ] = 24, e E[Z] = 400, V ar[z] = 240, c) P (15 X 30) = Exercise 0.15 Sia X la variabile casuale che descrive il numero di teste ottenute in 100 lanci di una moneta regolare. Determinare P r{ X µ 8}. dove µ é il valore atteso di X. Soluzione: P r{ X µ 8} = Exercise 0.16 Sia X una variabile casuale indicatore di parametro p = 0.6 e sia Y una variabile casuale binomiale di parametri n = 2 e p = 0.4. a si esplicitino le distribuzioni di X e Y ; b si determini la distribuzione di probabilit congiunta di X e Y nellipotesi di indipendenza; c si calcolino media e varianza della variabile casuale Z = X + Y. Soluzione: c) E[Z] = 1.4, V ar(z) = Exercise 0.17 Sia X una variabile casuale indicatore di parametro p = 0.6 e sia Y una variabile casuale Gaussiana a media µ e varianza σ 2. Assumendo che X ed Y siano indipendenti: si esplicitino le distribuzioni di X e Y 2 ; si determini la distribuzione di probabilit congiunta di X e Y 2 ; si calcolino media, varianza, CDF or pdf della variabile casuale Z = X + Y 2. 4

5 x Tabella 3.1: Valori della funzione Q( ) 151 5

6 Per il calcolo delle probabilitá che coinvolgono variabili aleatorie Gaussiane utilizzare la funzione speciale tabellata 1 Q(x) = e ξ2 /2 dξ 2π x ricordando che la densitá di probabilitá di una variabile aleatoria standard (i.e. media zero e varianza unitaria) e data da: f X (x) = 1 e ξ2 /2 2π 6