COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio Come cambia il REA atteso se l'obbligazione sarà ancora in vita dopo le prime tre estrazioni?

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI URBINO (Sede di Fano) COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio ) L'impresa Gamma emette 250 obbligazioni il cui VN unitario è pari a 100. Il rimborso avverrà tramite cinque estrazioni a sorte annue. In particolare, ogni anno verranno rimborsate 15 obbligazioni in più dell'anno precedente. Sono previste cedole al tasso del 4%. Il Signor Tizio acquista una obbligazione al prezzo di emissione di Qual è il REA atteso (al 5%) dell'operazione? - Come cambia il REA atteso se l'obbligazione sarà ancora in vita dopo le prime tre estrazioni? Il Signor Caio acquista un'obbligazione ancora in vita subito dopo la terza estrazione, pagando al possessore Qual è il Tasso Implicito atteso per l'operazione del Signor Caio? 2) Marco e Marika da oggi hanno un nuovo lavoro. Entrambi vogliono mettere da parte mensilmente un parte dello stipendio per poter comprare, il prima possibile, uno scooter il cui prezzo è Fra un mese riceveranno il primo stipendio. Marco accontona 250 al mese versandoli in un c/c bancario che corrisponde interessi al 2.5%. Marika versa ogni mese 280 in un c/c che paga interessi al 2.2%. - Quanti versamenti occorrono per accumulare una cifra che superi il costo dello scooter? A chi resta in tasca di più? Considera il numero di versamenti necessari per Marco. Se negli ultimi 15 versamenti Marco versasse 240 e nei precedenti 260, riuscirebbe nello stesso tempo ad accumulare la cifra necessaria ad acquistare lo scooter? Accumulerebbe di più o di meno di prima? 3) Quale delle seguenti modalità di rimborso di un prestito ricevuto dell'ammontare di è preferibile in base al criterio del T.I.? - pagamento unico dopo 3 anni e 5 mesi con interessi calcolati con RIS al tasso i 3 =1.2%; - pagamento in 2 rate, una dopo 7 mesi, l'altra dopo 14 mesi con il secondo pagamento di importo doppio rispetto al primo e con interessi calcolati in RIA con i 2 =1.4%; - pagamento di dopo 1 anno e 610 sei mesi dopo.

2 SOLUZIONE ESERCIZI DEL 08/02/2013 ESERCIZIO 1 La prima cosa da fare è calcolare quante obbligazioni l impresa rimborserà ad ogni periodo. Sappiamo che ogni anno vengono rimborsate 15 obbligazioni più dell anno precedente. Se conoscessimo quante obbligazioni vengono rimborsate il primo anno basterebbe aggiungere ogni anno 15 per risolvere il problema. Chiamiamo X il numero di obbligazioni rimborsare il primo anno, nel secondo verranno rimborsate (X + 15) obbligazioni, nel terzo (X ) = (X + 30) obbligazioni e così via no al quinto. Sapendo che il numero complessivo di obbligazioni è 250 permette di risolvere il problema: X + (X + 15) + (X + 30) + (X + 45) + (X + 60) = X = 20 Quindi vengono rimborsate 20 obbligazioni il primo anno, 35 il secondo, 50 il terzo, 65 il quarto e 80 il quinto. A questo punto, per calcolare il REA atteso occorre calcolare tutti e 5 i possibili REA corrispondenti ad ognune delle 5 eventualità (obbligazioni estratta al primo, al secondo... al quinto anno). Occorre conoscere l ammontare della cedola che è il 4% del Valore Nominale, cioè 4 euro. Se l obbligazione venisse estratta il primo anno l operazione sarebbe caratterizzata da questo REA: REA 1 = 98: (1:05) 1 = +0: euro mentre se fosse sorteggiata il secondo anno: REA 2 = 98:9 + 4(1:05) (1:05) 2 = 0:76 euro e così via, ottenendo REA 3 = 1:62 euro, REA 4 = 2:4462 euro e REA 5 = 3:23 euro. Per calcolare il REA attesa occorre calcolare una media dei 5 valori ottenuti, pesandoli con le rispettive probabilità. Ad esempio, la prima ipotesi (estrazione al prima anno) ha 20=250 possibilità di veri carsi, e così via: 20 REA atteso = REA REA REA REA REA 80 5 = 2:0882 euro 250 Se poi sappiamo che tre estrazioni sono passate senza che l obbligazione sia stata estratta, allora sappiamo che il REA nale sarà uno fra REA 4 e REA 5. Il REA atteso è ora una media fra i due, con le probabilità che adesso cambia perchè le obbligazioni ancora in vita sono 145. Quindi: 65 REA atteso = REA REA 80 5 = 2:878 euro 145 1

3 Consideriamo adesso il caso del signor Caio, che acquista un obbligazione ancora in vita dopo la terza estrazione. Quindi la sua obbligazione verrà sorteggiata o dopo un anno o dopo due anni. Nel primo caso l operazione sarà caratterizzata da un tasso implicito che soddisfa questa equazione: mentre nella seconda ipotesi: T I 1 ) 99: (1 + j) 1 = 0 ) j = 0:046; T I 1 ) 99:4 + 4(1 + j) (1 + j) 2 = 0 ) j = 0:045 Il TI atteso è una media pesata fra i due, come per il REA atteso: 65 T I atteso = T I T I = 4:57%: 2

4 ESERCIZIO 2 La prima domanda dell esercizio è un classico caso di valore nale di una rendita posticipata con versamenti costanti mensili. Le di cioltà sono legate al cambio di tasso (il teso fornisce quello annuo ma i versamenti sono mensili) e al fatto che l incognita non è il montante generato dai versamenti ma il numero n di versamenti. Nel caso di Marco occorre prima ottenre il tasso mensile a partire da quello annuo: 1 + i = (1 + i 12 ) 12 ) i 12 = (1:025) = 0: Sappiamo che i versamenti mensili sono di importo pari a 250 euro e la cifra che vogliamo costituire ammonta a euro. In formule: 250s nei12 = 9:000 dove il solo dato incognito è n. Dopo un po di passaggi algebrici: 9:000 ln 250 n = i = 34:76 ln (1 + i 12 ) Questo risultato si legge così: con 34 versamenti non raggiungo il mio obiettivo, mentre con 35 lo supero. In particolare con 35 ottengo questa cifra: 250s 35ei12 = 9:063 euro Quindi dopo aver acquistato lo scooter a Marco restano 63 euro in tasca. Con un ragionamento analogo si ottiene che a Marika servono 33 versamenti e che resta con più di 200 euro in tasca. Quindi nisce prima e resta con più soldi di Marco. Nell ultimo punto la situazione è questa: gli ultimi 15 versamenti di Marco diventano di importo pari a 240, il cui valore nale è: 240s 15ei12 = 3:652; 37 euro Il problema riguarda i primi versamenti (che sono 20 perchè coi 15 nali devono essere in totale 35). Se faccio semplicemente: 260s 20ei12 non ottengo il valore al termine dell operazione, ma in corrispondenza dell ultimo versamento d importo pari a 260 euro. L operazione prevede altri 15 versamenti di importo pari a 240 euro. Quindi per avere il valore nale dei versamenti da 260 euro devo fare questo: 260s 20ei12 (1 + i 12 ) 15 = 5:469; 25 euro che sommati al valore nale dei versamenti da 240 euro mi permetti di accumulare un totale di 9:121 euro, più del necessario. 3

5 ESERCIZIO 3 In questo esercizio occorre sapere utilizzare i tre regimi che abbiamo studiato. Nel primo punto si parla del RIS. Se il prestito di importo pari a euro è rimborsato dopo 3 anni e 5 mesi, cioè dopo 41 mesi o 41/12 anni, ci servirebbe il tasso mensile o annuo. Il testo ci fornisce il tasso quadrimestrale da cui, con le regole del RIS: i = 3i 3 = 3:6% Ora possiamo calcolare quanto occorre restituire per saldare il debito: M = 3: : = 3369 euro 12 Per calcolare il TI occorre invece porre il REA al 5% uguale a 0, usando le regole del RIC, quindi: (1 + j a ) = 0 ) ja = 3:45% La ssoluzione "b" prevede l utilizzo del RIA e due versamenti di importo uno il doppio dell altro. Calcoliamo il tasso di scnto mensile in RIA in due passaggi. Primo: d 2 = i i 2 = 0:0138 e poi: d = 2d 2 = 0:0276 Adesso, se chiamiamo X l importo pagato dopo 7 mesi e 2X quello pagati dopo 14 mesi, e ci ricordiamo che in RIA: C = M(1 dt) abbiamo che: Da cui si ottiene: 2X 1 0: X 1 0: = X = 1027; 55 euro ) 2X = 2055; 1 euro Ora impostiamo il calcolo del TI: 2055; 1(1 + j b ) ; 55(1 + j b ) = 0 che si risolve con un equazione di secondo grado, sostituendo y = (1 + j b ) 7 12 : j b = 2:81% Trattandosi di un confronto fra tre diversi nanziamenti, la scelta dovrebbe ricadere sull operazione a cui corrisponde un TIC più basso. 4

6 Tra le prime due opzioni la scelta ricade sulla seconda. Per veri care se la terza opzione è migliore non è necessario calcolare esplicitamento il TI ma è su ciente essere in grado di stabilire se è inferiore al 2.81%. Per farlo calcoliamo il REA della terza opzione al 2.81%: +3:000 2:500(1:0281) 1 610(1:0281) 1:5 > 0 da cui si deduce che il TI della terza opzione sarà inferiore al 2.81% e quindi è l opzione da preferire. 5

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