Principio di induzione: esempi ed esercizi

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1 Pricipio di iduzioe: esempi ed esercizi Pricipio di iduzioe: Se ua proprietà P dipedete da ua variabile itera vale per e se, per ogi vale P P + allora P vale su tutto Variate del pricipio di iduzioe: Se ua proprietà P dipedete da ua variabile itera vale per u itero 0 e se, per ogi itero 0 vale P P + allora P vale da 0 i poi 0 può essere u itero relativo Esercizi: Si possoo dimostrare per iduzioe le segueti proprietà: Se x > allora + x + x! 7 > + per ogi itero 3 8 > per ogi itero 5 9 a b a b a + a b + + ab + b da cui segue + q + q + + q q+ q per ogi q 0 Ogi isieme di elemeti ha sottoisiemi a + b 0 a b

2 Dimostrazioi + La proprietà è per : Supposta per verifichiamo per + : La proprietà è per : Supposta per verifichiamo per + : Vero per : + + Verifica che P P + : Vero per Verifica che P P + : x + x Per vale l uguagliaza P P + : + x + + x + x + x + x + + x + x + + x si oti che la prima disuguagliaza della riga precedete vale perché perché x 0! : baalmete co l uguale per e per P P +, ifatti +! +! + perché + + x > 0 e la secoda 7 > + per ogi itero 3 Falso per e per, vero per 3 P P + per ogi 3, ifatti > > > per ogi itero 5 La proposizioe è falsa per,, 3, per 5 Per ogi 5 si ha P P + : + > + > + + per la proposizioe precedete

3 9 a b a b a + a b + + ab + b Ovvio per Per il passaggio da ad + si può procedere così: a + b + a + a b + a b b + a a b + b a b a a b + b a b a + a b + + ab + b a b a + a b + + ab + b Poedo ella formula precedete a, b q si ottiee per q + q + q + + q q+ che può essere verificata, el passaggio da ad +, così: q + q q + q + q+ + q + q+ + q + q + q+ q q q B Da S q + q + q + + q si ottiee q S q q + q + + q + 0 da cui, sottraedo de due uguagliaze, S qs q S q +, quidi S q+ q 0 Ogi isieme di elemeti ha sottoisiemi Ovvio per Suppoiamo che E abbia sottoisiemi e sia E + E {z} dove z / E Dividiamo i sottoisiemi di E + i due famiglie: quella dei sottoisiemi di E + che o cotegoo z e quella dei sottoisiemi di E + che lo cotegoo La prima famiglia è costituita da tutti i sottoisiemi di E che soo, ogi isieme della secoda famiglia può essere costruito come uioe di {z} co u isieme della prima: abbiamo acora isiemi: I tutto Per si ha + Per il passaggio da ad + : Osservazioe: questa uguagliaza può essere dimostrata direttamete teedo coto che quidi B ei passaggi precedeti si è fatto u cambiameto di variabile: poedo h si ottiee + + Si soo poi semplificati tutti i termii che compaioo col sego h h opposto ella prima e ella secoda somma + Per si ha 3 Per il passaggio da ad + :

4 Osservazioe: per questa uguagliaza, come per la maggior parte delle precedeti, è esseziale verificare la validità per almeo u valore di : l implicazioe P P + vale ache i 7 + ma questa uguagliaza è sempre falsa a 7 si può sostituire qualuque umero diverso da e l uguagliaza resta falsa 3 a + b 0 a b È bee ricordare che per ogi > 0 e per ogi : 0 < < vale l uguagliaza + ifatti! +!! +!! +!!!! +!!!! +!! L uguagliaza a + b 0!!!!!! a b a + a b + a b + + a b + + b è per Supposta per cioè a + b a + a b + a 3 b + + a b + + b scriviamo icoloado i fattori simili a + b a + b a + b { a + a b + a 3 b + + a b + + b } a + b a + a b + a b + + a b + + ab + a b + + a b + + ab + b a b + ed otteiamo il risultato: il coefficiete di a b è: +

5 Esercizi i Calcolare il coefficiete di x 9 y ello sviluppo di 3 x y 3 y 9 x 3 x y 3 y 9 x x y 3 0 x y 3 9 y 8 x 9 Deve essere quidi il coefficiete cercato è ii Risolvere l equazioe 8 Ricordado che! 7 7! 7!, y 9 x 9 5 0! 5! 5! x y 8 itero maggiore di l equazioe è:! 8 7! 7! 9! semplificado per! 5! 5! 8 7! 7! 9 e riscrivedo meglio 5! 5! 8 7 5! 7! 9 5! 5 7! semplificado acora per tutto il semplificabile duque Le soluzioi soo e 33 quidi l uica soluzioe è 33 iii Risolvere l equazioe 5 8 Da! 5! 5!! 8! 8! cioè itero maggiore di 8 si ottiee l equazioe di terzo grado Certamete 3 è soluzioe, per la simmetria del coefficiete biomiale Dividedo per 3 ci si accorge che o esistoo altre soluzioi reali: iv Risolvere l equazioe 5 9 itero maggiore di 9 Procededo come sopra si ottiee l equazioe di quarto grado 5

6 cioè Di questa equazioe coosciamo la soluzioe e si può verificare che ache è soluzioe dell equazioe per oi da scartare, almeo per il mometo o esistoo altre soluzioi reali: v Calcolare Ricordado che + + si ottiee: Altre proprietà che si possoo verificare per iduzioe + x + x + x + x + x x + x Per ogi a itero dispari + divide a per iduzioe su è divisibile per Ogi isieme fiito ammette sempre sia massimo che miimo

7 PRICIPIO DI IDUZIOE Dimostrare co il pricipio di Iduzioe che: !! " ! " 3! "!! " 5 +! "!! " +! +! + + "!! " +! +!! q!! q q " q! R q! q q 7 5! 3 +, co! 8 3!! " 9 + q! " q co q!! " q! 0 "! " 0! +!! " + x! + x, co x! "! " 3 + +!! " 3! " 0! "

8 ! + 5 Risoluzioe esercizi ! p :! p! p + : " + # " " Dopo che p : es p! p + : $ " + + # + $ + % & 3! "!! " p : :! p " p + # $! $ +!

9 " +!! +! +! p : +!! 3! 3! p! p + : + + " " $ " + +! +! + 3! + 3 # + " + " + + " + 3! " " " 8 " " " + " + 3! + 3! 5 " + +! +! +! p : + +!!! p! p + : * ! +! " + $ + 3 % + % + % # % + % +! +! & +! ' % % % 8 % % % % % +! +! #! " q " " q! q q " q! q

10 ! q!! q q p : " q! q q p! p + :! q!! q q + q! q!! q q +! q " ! q " q q! q " q q! q! q + + +!! + + q q q q! q " q + + q Ma allora: +? +! q + q +! q + "! q!! q q! q " q! q " q + + #! q +! q! q + q +! q " q + 7 5! 3 +! p : 5! 5 p! p + : 5 5" 5 # 5 " 3 + 5" 3 + 5" # 3" 3 + " ! " p : 3!

11 p! p + : " # " " + " " " + " # " + " + dove + 3!! "! + 3!! "!! + + +! " per " 9 # 0 q + q! q " q! p : q! + q q + q! p! p + : q! p : " q q q! q + + +! + q! q q +! q! q! 0 "! p : + p! p + : " #! + p :

12 p! p + : + " + +! x! + x " x! # p : + x! + x p! p + : + + +! + " +! " + + x x x x x x x x x 3 " +! + p :!! 3 p! p + : + " +! + +! ! ! + 3! + 3! " 0! " p : 3! 0 p! p + : 3 +! " 0 c

13 ! 5! 0! " 0 c ! 5 0 5!! " 0 per cui rimae 3 7 0! + " # $ per ogi i 7 ± 9! 7 ± 5 3 3! < > 3

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