CPM: Calcolo del Cammino Critico

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1 Supponamo d conoscere per ogn attvtà A = (,j) la sua durata t j t j j Calcolamo l tempo al pù presto n cu può nzare o fnre una attvtà. Supponamo d dover calcolare l tempo al pù presto n cu s possono nzare le attvtà che partono dal nodo evento. k j k 2 j 2 k n j n

2 ET(k ) k t k j ET(k 2 ) k 2 t k2 j 2 ET(k n ) k n t kn j n ET()= ET(k ) ET(k 2 )... + t k + t k2 ET(k n ) + t kn 2

3 ET(k ) k t k j ET(k 2 ) k 2 t k2 ET() j 2 ET(k n ) k n t kn j n ET(k ) + t k ET()= MAX ET(k 2 )... + t k2 NOTA: ET()= 0 ET(k n ) + t kn

4 ET(k ) k t k j ET(k 2 ) k 2 t k2 ET() j 2 ET(k n ) k n t kn j n ET( ) max k P( ) ET( k) t( k, ) =,...,n 4

5 Calcolamo l tempo massmo ammssble entro l quale s può nzare o fnre una attvtà. Un rtardo oltre questo tempo n un qualsas nodo-evento può provocare un analogo rtardo alla fne del progetto. Supponamo d dover calcolare l tempo massmo ammssble n corrspondenza del nodo evento. k j k 2 j 2 k n j n

6 k t j j LT( j ) k 2 t j2 j 2 LT( j 2 ) t jn k n j n LT( j n ) LT()= LT( j ) LT( j 2 )... - t j - t j2 LT( j n ) - t jn 6

7 k t j j LT( j ) k 2 t j2 j 2 LT( j 2 ) LT() t jn k n j n LT( j n ) LT( j ) - t j LT()=MIN LT( j 2 )... - t j2 NOTA: LT(n)= ET(n) LT( j n ) - t jn 7

8 k t j j LT( j ) k 2 t j2 j 2 LT( j 2 ) LT() t jn k n j n LT( j n ) LT ( ) mn j S ( ) LT ( j) t(, j) =,...,n 8

9 In un qualsas progetto alcune attvtà sono flessbl, relatvamente a quando s Possono ncomncare e fnre, altre nvece non sono flessbl, ma tal che se s Rtarda una qualsas d esse s rtarderà l ntero progetto. Queste sono le attvtà crtche. Il cammno crtco: LA DURATA PIU LUNGA DELLE ATTIVITA ATTRAVERSO IL PROGETTO In un progetto c è sempre un cammno crtco ed a volte ve n è pù d uno 9

10 Il cammno crtco è quel cammno nel quale le attvtà non ammettono scorrment d tempo (fluttuazon d tempo) Il flottante totale d una attvtà: È dato dalla dfferenza fra l tempo massmo ammssble d fne attvtà e l tempo mnmo possble d nzo dell attvtà, meno la durata dell attvtà stessa. t j j TF(,j) = LT(j) ET() - t j 0

11 Una attvtà A=(,j) è detta crtca se TF(,j) = 0 Esempo: Sa dato l grafo delle seguent attvtà con le rspettve durate Nodo ET() LT()

12 Nodo ET() LT() Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6) 0 2

13 Il cammno crtco è quel cammno formato da tutte e sole le attvtà crtche Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6)

14 Il cammno crtco è quel cammno formato da tutte e sole le attvtà crtche Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6)

15 Il cammno crtco è quel cammno formato da tutte e sole le attvtà crtche Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6)

16 Il cammno crtco è quel cammno formato da tutte e sole le attvtà crtche Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6)

17 Il cammno crtco è quel cammno formato da tutte e sole le attvtà crtche Attvtà TF(,j) (,2) (,) 0 (,) 7 (2,4) (,4) 0 (4,) 0 (4,6) (,6)

18 Il problema d determnare l cammno crtco può essere formulato anche come un problema d programmazone lneare nel seguente modo: x j = tempo al quale s ncontra l nodo j durante l progetto; F = nodo che rappresenta la fne del progetto; mn xf x x x t(, j j) (, j) A x j qualsas con A l nseme degl arch o attvtà del grafo. 8

19 PERT 9

20 PERT In molt cas non s può stablre con precsone la data esatta d fne d un progetto, però s può stablre l tempo pù probable nel quale l lavoro può fnre. Il metodo PERT (Project Evaluaton and Revew Technque) ha avuto successo per la forma partcolare d calcolo della durata (ncognta o aleatora) d ogn sngola attvtà. Questo sstema consste nello stmare, per ogn attvtà:. la durata pù probable (m); 2. la durata pessmstca (b);. la durata ottmstca (a). 20

21 PERT La Durata Meda (DE) DE = (a + 4m + b)/6 La Durata Meda serve solo ad ndcare la durata d una attvtà con la maggore approssmazone possble. Questa ncertezza può essere però msurata attraverso l calcolo della varabltà o varanza della durata della sngola attvtà: V = (b - a) 2 /6 2

22 PERT Una volta calcolate le durate mede DE d cascuna attvtà possamo utlzzare tal stme come pes da assocare agl arch del grafo G del progetto e calcorare, d conseguenza, l cammno crtco su G col metodo CPM. Pertanto nel metodo PERT, per calcolare la durata totale del progetto s sommano tutte le durate (stmate) delle attvtà crtche La varanza totate del progetto, ossa la varabltà relatva al tempo totale d esecuzone dell ntero progetto sarà la somma delle varanze delle attvtà crtche. 22