Misure Meccaniche e Termiche. punti massa. Valore atteso: Varianza:

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1 Fenomeni aleatori Misure Meccaniche e Termiche Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati cioè dalla proprietà che la loro osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati. on si ha una regolarità deterministica, bensì di tipo statistico, in quanto nell'osservazione del fenomeno in oggetto si può notare che, nonostante l'irregolare comportamento dei singoli risultati, questi nel loro complesso manifestano determinati caratteri di regolarità. Probabilità discreta: dado a 6 facce 3 Probabilità discreta: funzioni statistiche 4 Probabilità evento Probabilità cumulata evento.5 Funzione di densità discreta / Evento: faccia dado Funzione di probabilità cumulata discreta F(x).5 punti massa 5/6 4/6 3/6 /6 / Evento: faccia dado Valore atteso 5 Varianza e deviazione standard 6 Valore atteso: Varianza: Il valore atteso indica il baricentro della distribuzione e può non coincidere con uno dei suoi punti di massa. el caso del dado a 6 facce: Indica il momento di inerzia della distribuzione, cioè la sua dispersione attorno al valore medio. Deviazione standard (scarto quadratico medio):

2 Variabili aleatorie continue 7 Serbatoio: osservazioni 8 Ipotizziamo di avere un serbatoio il cui livello può variare con continuità fra e e che non presenti valori di livello più probabili di altri. 5 Istogramma occorrenze - = h umero occorrenze 5. Istogramma - = Quanto vale la probabilità associata ad un preciso valore di livello:.5..5 Serbatoio: e mila osservazioni 9 Serbatoio: mila osservazioni Istogramma occorrenze - = Istogramma occorrenze - = Istogramma occorrenze - =. Istogramma - = umero occorrenze 5.5 Istogramma - = umero occorrenze 5.5 Istogramma - = umero occorrenze 5.5 Istogramma - = L'aumento delle osservazioni porta ad una maggiore conoscenza del fenomeno aleatorio Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi (aumentando la risoluzione ) il fenomeno non mantiene la propria regolarità Serbatoio: milioni di osservazioni Funzione densità di probabilità per v.a. continue x 5 Istogramma occorrenze - =. Istogramma - = umero occorrenze 5.5 Istogramma - =..8.6 Si intuisce che se avessimo una conoscenza completa del fenomeno aleatorio, potremmo fare tendere a la base degli istogrammi. Si continuerebbe ad avere un numero finito di osservazioni in ogni intervallo Questo passaggio al limite ci consente di ottenere una funzione continua: la funzione densità di probabilità (per v.a. continue). Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi il fenomeno ora mantiene la propria regolarità

3 Distribuzione continua uniforme o rettangolare 3 Indici statistici 4 discrete Vs continue 5 v.a. continue: calcolo probabilità 6 La differenza fra le funzioni densità discrete e continue non è solo formale (sostituzione delle sommatorie con gli integrali): per v.a. discrete esprimono una probabilità per v.a. continue esprimono una densità di probabilità: la probabilità è associata ad intervalli e si determina quindi mediante un'operazione di integrazione Famiglie di distribuzioni 7 Distribuzione ormale o Gaussiana 8 Tutte le funzioni che soddisfano le proprietà analizzate precedentemente sono possibili funzioni densità di probabilità Solo alcune di esse sono però adeguate per modellare particolari fenomeni fisici In questo corso sono di interesse: Uniforme (già analizzata) ormale o Gaussiana T-Student F(x) CDF gaussiana standardizzata.5 PDF gaussiana standardizzata x f ( x,, ) e x La normale o gaussiana è la distribuzione che descrive la maggior parte dei fenomeni fisici in campo ingegneristico. 3

4 Distribuzione normale o gaussiana (, ) 9 Caratteristiche della Gaussiana La distribuzione gaussiana è completamente descritta da due parametri: media e varianza. Influenza della media Influenza della deviazione standard circa il 68% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi circa il 95.5% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi circa il 99.7% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi Distribuzione normale standard (,) Distribuzione t-student Di particolare importanza è la normale standard, ovvero la distribuzione normale che ha media e varianza (e deviazione standard) pari a (si indica con (,)). Proprietà: se (, ) se è una variabile distribuita secondo una normale di media e varianza, la variabile è distribuita secondo una normale standard. Z è definita variabile standardizzata: consente un semplice uso delle tabelle e consente di effettuare delle valutazioni normalizzate (es: entro l'intervallo media deviazioni standard è compreso circa il 95% della distribuzione, per qualsiasi distribuzione gaussiana). 3 Relazioni utili Per le distribuzioni simmetriche (Gaussiana, t-student, ) valgono le seguenti proprietà: Tabelle statistiche Se la distribuzione è a media nulla: 4

5 5 6 Esempio uso tabelle statistiche 7 8 Si calcolino gli estremi dell'intervallo di confidenza al 9% di una (3,) Quando si effettua una misura si cerca di ottenere un valore misurato che sia il più vicino possibile al valore vero (sconosciuto e non conoscibile) della grandezza di interesse. Applicazione della statistica alle misure 5

6 Se si fanno ripetere le misure di lunghezza del pesce a diversi pescatori si otterranno valori diversi. Le cause della diversità delle misure rilevata sono molte, e si possono schematizzare in due gruppi: effetti sistematici (tirare la coda, misurare lungo la corda) effetti casuali Altro esempio: misure ripetute nel tempo effetti sistematici + casuali effetti casuali Come trattare tutte queste misure diverse??? Soluzione: LA STATISTICA Altro esempio: misure di pressione di un recipiente umero Lettura rilevazione [kpa] Introduzione alla statistica 9.8 Si sono effettuate misure di pressione in un recipiente: Le misure non sono tutte uguali! Quale è la misura che possiamo dire essere il valore di pressione esistente nel recipiente? Si può procedere così: : si dispongano i dati rilevati in ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei (in questo caso si sceglie.5 kpa). Si definisca: n = numero di letture in un intervallo = numero totale di letture a = ampiezza di un intervallo e infine la funzione densità di probabilità discreta f (x): n f ( x) 34 a umero di letture nell intervallo Ipotizzando: a Se si traccia un f (x) intervallo di altezza f (x) per ogni intervallo si ottiene: n n f ( x) n a.5 Densità di probabilità discreta Densità di probabilità continua 6

7 p a xb f x F a Probabilità che a<x<b b a Probabilità che x<a a f x dx dx Funzione densità di probabilità Funzione di distribuzione cumulata Il teorema del limite centrale ci assicura che, sotto opportune ipotesi, una misura esente da effetti sistematici può essere modellata mediante una distribuzione gaussiana. DISTRIBUZIOE STATISTICA DELLE MISURE 38 LA FUZIOE DI DESITA ORMALE o GAUSSIAA x e x f x LA GAUSSIAA E E COMPLETAMETE DESCRITTA DA DUE PARAMETRI: MEDIA DEVIAZIOE STADARD ( o la varianza ) F x x f x dx IFLUEZA DI MEDIA E DEVIAZIOE STADARD MEDIA DEVIAZIOE STADARD UMERO IFIITO DI CAMPIOI: : : MEDIA : : DEVIAZIOE STADARD MA O SI POSSOO EFFETTUARE U UMERO IFIITO DI RILEVAZIOI : SI DEVE TROVARE U SISTEMA PER STIMARE MEDIA E DEVIAZ. ST. STIMARE 7

8 Media campionaria Deviazione standard campionaria SI UTILIZZAO I SEGUETI STIMATORI s i i x i x i AVEDO DIVERSE SERIE DI MISURAZIOI POTREMO CALCOLARE PER OGUA DI QUESTE LA MEDIA, ESSE O SARAO TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRAO SU DISTRIBUZIOE CAMPIOARIA, DISTRIBUZIOE UA GAUSSIAA DISTRIBUZIOE DELLE MEDIE CAMPIOARIE m, m m = m Con x i = singola lettura e = numero rilevazioni Caratteristiche della Gaussiana circa il 68% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi circa il 95.5% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi circa il 99.7% della distribuzione è compreso nell intervallo centrato su e di estremi 3 45 Si può quindi stimare che: Circa il 68%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 68%) Circa il 95.5%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 95.5%) s 46 s Circa il 99.7%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 99.7%) 3s 8