Primo criterio del parallelogramma

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1 INTRODUZIONE Questo file contiene i teoremi più importanti sui quadrilateri notevoli, sui luoghi geometrici e sui teoremi del fascio di rette parallele. E stato realizzato dagli alunni della I N in laboratorio utilizzando un software specifico per eseguire costruzioni geometriche e un programma di scrittura. Ogni gruppo di alunni ha scelto autonomamente la formattazione del testo così come le strategie risolutive delle dimostrazioni. Gli alunni hanno esposto le dimostrazioni in linguaggio formale e in linguaggio comune per consentire a tutti di comprendere quanto scritto. E presente anche una ricerca personale sulla scrittura formale con l uso di un editor specifico per le stringhe matematiche, pertanto le soluzioni adottate risultano diverse. Si tratta, in sostanza, di appunti che non vogliono certo sostituirsi al libro di testo o alla spiegazione degli insegnanti, ma che possono costituire un aiuto nel ripasso dei teoremi più importanti studiati.

2 Primo criterio del parallelogramma Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti. TEOREM DIRETTO HP: // D D // TH: Il triangolo D triangolo D D onsidero (D//) D => onsidero (//D) D => D ˆ Dˆ (alterni interni) D ˆ ˆ D (alterni interni) onsidero i triangoli D D,essi hanno: 1. D ˆ Dˆ (dimostrazione precedente) 2. D ˆ ˆ D (dimostrazione precedente) 3. D in comune Triangolo D Triangolo D per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Dimostriamo che se D è un parallelogramma, allora la diagonale D lo divide in due triangoli (D e D) congruenti. onsideriamo i lati paralleli D e intersecati dalla diagonale D, con la quale forma due angoli alterni interni congruenti ( De ˆ Dˆ ). onsideriamo inoltre i lati paralleli e D intersecati dalla diagonale D con la quale forma due angoli alterni interni congruenti ( D ˆ e ˆ D ). Dunque possiamo dimostrare che i due triangoli D e D sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli poiché essi hanno la diagonale D in comune,gli angoli De ˆ D ˆ e gli angoli D ˆ e ˆ D congruenti per dimostrazione precedente. c.v.d

3 TEOREM INVERSO HP: Il triangolo D triangolo D TH: // D D // D onsidero (D ) D per ipotesi D ˆ D ˆ in posizione di alterni interni => D// onsidero ( D) D per ipotesi D// D ˆ ˆ D in posizione di alterni interni => Viceversa, se abbiamo due triangoli congruenti (D e D),allora D sarà un parallelogramma. onsideriamo,dunque, i lati D e intersecati dalla diagonale D con la quale forma due angoli congruenti per ipotesi ( De ˆ Dˆ ) in posizione di alterni interni, perciò D è parallelo a. Infine consideriamo i lati e D intersecati dalla diagonale D con la quale forma due angoli congruenti per ipotesi ( D ˆ e ˆ D ) in posizione di alterni interni, perciò è parallelo a D. Il quadrilatero D, avendo i lati opposti paralleli, è un parallelogramma. c.v.d ROERTO NITTI PIERGIORGIO LDIS IN.S. 2009/2010

4 2 RITERIO DEL PRLLELOGRMM UN QUDRILTERO E UN PRLLELOGRMM SE E SOLO SE I LTI OPPOSTI SONO ONGRUENTI TEOREM DIRETTO HP D parallelogramma TH D D D Per il I criterio del parallelogramma: D parallelogramma => D D D D TEOREM INVERSO HP D D TH D parallelogramma onsidero i triangoli D D essi hanno: 1. D per ipotesi 2. D in comune ( LLL) D D sono congruenti 3. D per ipotesi

5 SVOLGO L DIMOSTRZIONE IN LINGUGGIO NON FORMLE DIRETTO Dobbiamo dimostrare che i lati opposti del parallelogramma sono congruenti. Per il I criterio del parallelogramma la diagonale D divide il parallelogramma in due triangoli D e D congruenti e di conseguenza sarà congruente anche D con e D con perché lati corrispondenti in triangoli congruenti. INVERSO Per il teorema inverso dobbiamo invertire l ipotesi con la tesi. Quindi ora dobbiamo dimostrare che il quadrilatero D è un parallelogramma. onsideriamo i triangoli D e D essi hanno D congruente a per ipotesi, D in comune e congruente a D per ipotesi: quindi per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, i due triangoli saranno congruenti. Quindi per il primo criterio del parallelogramma, poiché la diagonale D lo divide in due triangoli congruenti, D è un parallelogramma quindi la tesi è dimostrata. c.v.d. Fabio aruso & Jacopo vantaggiati IN (.S. 2009/2010 )

6 3 o riterio sul parallelogramma Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se gli angoli opposti sono congruenti. TEOREM DIRETTO D Hp D PRLLELOGRMM Th D ˆ D ˆ ˆ D ˆ onsidero D parallelogramma Triangolo D Triangolo D(Primo criterio sul D ˆ Dˆ (ngoli corrispondenti in triangoli parallelogramma) congruenti) ˆ D ˆ ( Somme di angoli congruenti) TEOREM INVERSO D Hp D ˆ D ˆ ˆ D ˆ Th D PRLLELOGRMM ˆ ˆ ˆ Dˆ ˆ 2Dˆ 360 ˆ D ˆ 180 In posizione di coniugati interni rispetto a ( D) D //D

7 2 ˆ 2ˆ 360 ˆ ˆ 180 In posizione di coniugati interni rispetto a ( D ) D// TEOREMI IN LINGUGGIO OMUNE TEOREM DIRETTO Per ipotesi sappiamo che D è un parallelogramma; dobbiamo dimostrare che avrà le coppie di angoli opposti congruenti. Si consideri il parallelogramma D: i triangoli D e D sono congruenti per il primo criterio sul parallelogramma, e avranno tutti gli elementi congruenti, in particolare l angolo D sarà congruente all angolo D; in questo modo abbiamo dimostrato la prima tesi. L angolo sarà congruente all angolo D perché somme di angoli congruenti(d + D, D + D). TEOREM INVERSO Per ipotesi sappiamo che le coppie di angoli opposti di un quadrilatero sono congruenti; dobbiamo dimostrare che quel quadrilatero è un parallelogramma. Sappiamo che in un quadrilatero la somma degli angoli interni è uguale a 360, quindi: ˆ ˆ ˆ Dˆ 360. Di conseguenza 2 ˆ 2Dˆ 360 e ˆ D ˆ 180. L angolo e l angolo D sono in posizione di coniugati interni rispetto alle rette e D intersecate dalla trasversale D; da ciò consegue che le rette e D sono parallele. nche 2ˆ 2ˆ 360 e quindi ˆ ˆ 180. Gli angoli e sono anch essi in posizione di coniugati interni rispetto alle rette D e intersecate dalla trasversale ; da ciò consegue che le rette D e sono parallele. Il quadrilatero D è quindi un parallelogramma avendo i lati opposti paralleli. TERRINO DE LUI I N

8 IV criterio sul parallelogramma Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se gli angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari. TEOREM DIRETTO D Hp: D parallelogramma Th: ˆ ˆ onsidero (D // ) Â + ˆ TEOREM INVERSO (coniugati interni) D Hp: ˆ ˆ Th: D parallelogramma onsidero (D ) Â + ˆ (Hp) D // D parallelogramma

9 TEOREM DIRETTO Per ipotesi abbiamo che il quadrilatero D è un parallelogramma e dobbiamo dimostrare che gli angoli  e ˆ sono supplementari. onsideriamo i due lati paralleli D e tagliati dalla trasversale consegue che gli angoli  e ˆ sono supplementari poiché sono in posizione di coniugati interni; analogamente consideriamo i due lati paralleli e D intersecati dalla trasversale e dimostriamo che gli angoli ˆ e Ĉ sono supplementari poiché sono in posizione di coniugati interni. TEOREM INVERSO Per ipotesi abbiamo che gli angoli  e ˆ sono supplementari e dobbiamo dimostrare che il quadrilatero D è un parallelogramma. onsideriamo i lati D e tagliati dalla trasversale, sapendo che gli angoli  e ˆ sono supplementari per ipotesi consegue che i lati D e sono paralleli; analogamente consideriamo i lati e D intersecati dalla trasversale e dimostriamo che e D sono paralleli. Quindi il quadrilatero D è un parallelogramma. arella olaianni Monterisi I N

10 5 criterio dei parallelogrammi. Un quadrilatero è un parallelogramma se soltanto se le diagonali si dimezzano a vicenda. Hp D parallelogramma Th M M DM M Svolgo la dimostrazione (formalmente) Per il 2 criterio dei parallelogrammi D onsidero (// D) D M DM onsidero DM e M, essi hanno: 1. DM M (opposti al vertice) L i triangoli sono congruenti 2. M DM ( dimostr. Precedente) M M 3. D (2 criterio) DM M Svolgo la dimostrazione ( in linguaggio normale) Per il secondo criterio dei parallelogrammi il quale enuncia che un quadrilatero è un parallelogramma se soltanto se ha i lati opposti congruenti il lato sarà congruente al lato D. onsidero ora le rette parallele e D tagliate dalla trasversale D e risulterà pertanto, in quanto alterni interni, M congruente DM. onsidero i due triangoli DM e M che hanno i due angoli in M opposti al vertice, gli angoli M e DM congruenti per dimostrazione precedente e il lato D congruente ad per il secondo criterio illustrato precedentemente. Tutto ciò implica che i triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e pertanto le diagonali risulteranno dimezzate. Infatti il lato M è congruente a M e DM congruente a M. c.v.d.

11 Th D parallelogramma Hp M M DM M Svolgo la dimostrazione del teorema inverso (formalmente) onsidero MD e M, essi hanno: 1. MD M (opposti al vertice) LL i triangoli sono congruenti 2. DM M (Hp) D 3. M M (Hp) onsidero M e DM, essi hanno: 1. M M (Hp) LL i triangoli sono congruenti 2. M M (Hp) D 3. DM M (opposti al vertice) D e D 2 criterio dei parallelogrammi D parallelogramma. Svolgo la dimostrazione del teorema inverso ( in linguaggio normale) onsidero innanzitutto i triangoli MD e M i quali sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli in quanto hanno i due angoli in M congruenti perché opposti al vertice, DM ed M congruenti per ipotesi e M e M sempre congruenti per ipotesi. onsideriamo poi i triangoli M e DM. Essi, avendo M e M congruenti per ipotesi, M e M ugualmente congruenti per ipotesi e i due angoli in M opposti al vertice, sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. Dalla prima e dalla seconda congruenza le coppie di segmenti, D e, e D risultano rispettivamente congruenti. iò implica che D è parallelogramma per il secondo criterio di congruenza.

12 6 criterio dei parallelogrammi Il teorema diretto non si dimostra perché è immediata conseguenza dell ipotesi. Hp D //D Th D parallelogramma Svolgo la dimostrazione (solo inverso) onsidero e D, essi hanno: LL 1. D (alterni interni con (//D) ) i triangoli sono congruenti 2. in comune D 3. D (Hp) D e D 2 criterio dei parallelogrammi D Parallelogramma Svolgo la dimostrazione (in linguaggio normale) onsidero subito i due triangoli e D che risulteranno congruenti in quanto gli angoli in e che sono alterni interni considerando i segmenti paralleli e D tagliati dalla trasversale, il segmento stesso in comune e i lati D e congruenti per ipotesi. osì i triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli e conseguirà che il lato D è congruente a. Dato che D è congruente ad ed è congruente ad D, per il secondo criterio dei parallelogrammi, il quadrilatero D sarà un parallelogramma. modio Evelina Fanelli Serena 1 N

13 riterio del rettangolo Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se ha le diagonali congruenti. D O Hp : D Rettangolo Teorema diretto Th : D onsidero D e : 1)D 2) in comune D quindi 3) Sia D un rettangolo, dobbiamo dimostrare che è congruente a D. onsideriamo i triangoli D e essi hanno: in comune; congruente a e l angolo congruente all angolo perché retti, perciò si ha D congruente ad per il primo criterio di congruenza(ll) e in particolare congruente ad D perché lati corrispondenti in triangoli congruenti..v.d. Hp : D Parallelogramma D Th : D Rettangolo Teorema inverso onsidero e D essi hanno: 1)D (Hp) 2) in comune 3) D D (LLL)

14 onsegue che: ˆ ˆ ˆ ˆ 180 ˆ ˆ 90 + = 180 Sia D un parallelogramma con le diaconali congruenti. Dimostriamo che D è un rettangolo. onsidero i triangoli e D essi hanno: D congruente ad per ipotesi; in comune; congruente ad D. Quindi per il terzo criterio di congruenza dei triangoli(lll) avremo il triangolo congruente al triangolo D, e più precisamente l angolo congruente all angolo perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti. Ma per il teorema precedente i due angoli e saranno supplementari ovvero la loro somma sarà 180, ed essendo essi congruenti l ampiezza di ciascuno di essi è 90. Perciò il parallelogramma D è un rettangolo..v.d. Edoardo apasso Dino Rubini IN.S. 2009/2010 Gennaro Ricco

15 PRIMO RITERIO SUL ROMO Un parallelogramma è un rombo se e solo se ha le diagonali perpendicolari. DIRETTO HP: D rombo TH: D D O onsidero il triangolo D che ha: 1) D (HP)(Triangolo D isoscele) 2) O è mediana O D Si considera il triangolo D che per ipotesi è isoscele. In questo triangolo O è mediana poiché per il quinto criterio del parallelogramma DO congruente a O. Ma nel triangolo isoscele la mediana è anche altezza, asse e bisettrice. iò implica che O è perpendicolare a D INVERSO HP : D, D è parallelogramma TH: D è rombo onsidero il triangolo OD e OD 1)DO in comune OD OD D D 2)OD OD 90 3)O O(5 criterio) D è rombo Si considerano i triangoli OD e OD. I due triangoli hanno un lato ( DO) in comune, hanno entrambi un angolo retto ( ipotesi ) e hanno O congruente a O poiché nel parallelogramma D le diagonali ( quinto criterio ) si dimezzano.iò implica che i due triangoli sono congruenti e quindi che D congruente a D.Ma un parallelogramma che ha due lati consecutivi congruenti è un rombo quindi D è rombo. hiurlia Tarantino Terrone I N

16 SEONDO TEOREM DEL ROMO UN PRLLELOGRMM E UN ROMO SE E SOLO SE H LE DIGONLI ISETTRII DEGLI NGOLI. Hp: D rombo Th: DO O DO O D O onsidero D. Essi hanno : 1. D 2. in comune D D 3. da ab nalogamente dimostro che D è bisettrice degli angoli D e. c.v.d. Inverso Hp: D Parall. D Th: D rombo onsidero D 1 O mediana D Isoscele D rombo 2 O bisettrice ( Hp )

17 Secondo criterio del rombo Per ipotesi abbiamo D rombo e dobbiamo dimostrare che gli angoli tagliati dalle diagonali sono congruenti cioè: DO congruente a O e DO congruente a O. Si consideri i triangoli e D congruenti per il terzo criterio dei triangoli ciò implica che tutti gli elementi dei due triangoli sono congruenti e in particolare l angolo D congruente a e O congruente a OD. nalogamente dimostro che D è bisettrice degli angoli D e. riterio inverso Per ipotesi abbiamo D parallelogramma e l angolo D congruente a ; dobbiamo dimostrare che D è un rombo. Si consideri il triangolo D isoscele perché in questo triangolo la bisettrice e la mediana coincidono, analogamente si ripete la stesa dimostrazione per il triangolo D. Da ciò implica che D rombo poiché è un parallelogramma avente i 4 lati congruenti. LOIONO LTIERI I N

18 TEOREM SUL TRPEZIO ISOSELE Un trapezio è isoscele se e solo se le diagonali sono congruenti Hp:D trapezio isoscele Th: D DIRETTO D H K onsidero D e D essi hanno D =D (1 criterio sul trap.) D = (Hp) (L..L) D D D = lati corrispondenti in triangoli congruenti D in comune onsideriamo i triangoli D e D essi hanno l angolo D congruente con l angolo perché angoli alla base di un trapezio isoscele, D congruente con per ipotesi e il lato D in comune. Da questo implica per il primo criterio dei triangoli che il triangolo D è congruente a D. Da questo implica che D è congruente a perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

19 INVERSO Hp: D D trapezio TH: D trapezio isoscele D H K Per costruzione H D e K D onsidero DK e H. essi hanno: H K distanze tra rette paralele Ĥ Kˆ ( retti) } H DK D D D ( ipotesi) onsidero i triangoli DK e H essi hanno il lati H e K congruenti perché distanze tra rette parallele per costruzione e gli angoli Ĥ e Kˆ congruenti perché retti e D congruente a per ipotesi questo implica che H è congruente a DK consegue che gli angoli D e D sono congruenti perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti. onsidero D e D essi hanno: D (HP) D D (per dimostrazione precedente) } D (lal) D in comune D onsidero D e D essi hanno i lati D e congruenti per ipotesi, D congruente a D per dimostrazione precedente e D in comune, quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, consegue che D è congruente a perché lati corrispondenti in triangoli congruenti. Losito e apasso IN

20 Teorema del fascio di parallele PRIMO SO HP: t//t //b//c//d D TH : 'D' a b c d D t ' ' ' D' t' ( Segmenti par. compresi tra rette par.) D D ( ) D (Proprietà trans.) D (HP) SEONDO SO d b c D a F E ' ' ' D' t t' HP: a//b//c//d t t D TH: D Se t e t non sono parallele tracciamo il segmento E parallelo a t e con l estremo E sulla retta b,il segmento F anch esso parallelo a t e con F appartenente a d, i due segmenti cosi costruiti, essendo entrambi paralleli a t sono paralleli fra loro

21 onsideriamo quindi i triangoli E e DF ; essi hanno: 1) D per ipotesi 2)E FD perché angoli corrispondenti formati da E parallelo a F con la trasversale t 3)E DF perché angoli corrispondenti formati da b parallelo a d con la trasversale t. Dunque risulta essere E DF è in particolare E F.Ma è anche E '' e F 'D' perché segmenti paralleli compresi fra rette parallele; per la proprietà transitiva si ha allora ' ' ' D'. Marzano - De Peppo IN c.v.d.

22 PPLIZIONI DEL TEOREM DELLE PRLLELE NEL TRINGOLO Se dal punto medio del lato di un triangolo si traccia la parallela a un altro lato, questa interseca il terzo lato nel suo punto medio. Hp: a r M N triangolo M M r // b t t' Th: N N ostruiamo la retta a parallela alla retta r e parallela alla retta b. Esse sono intersecate dalle trasversali t e t. Per il teorema del fascio di rette parallele a segmenti congruenti su una trasversale, corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale. Per ipotesi risulta che il segmento M è congruente al segmento M, quindi i segmenti N e N sono congruenti. In linguaggio formale: Per costruzione a // r // b e t e t a,r,b. Le rette a,b fascio di rette parallele. Per Hp M M N N (Talete)

23 ongiungendo i punti medi di due lati di un triangolo si ottiene un segmento parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. M K N P Hp: M M N N Th: MN // MN= :2 Per assurdo il segmento MN non è parallelo al segmento ;perciò esiste un segmento MK parallelo a. Da qui implica che il segmento K è congruente al segmento K. Ma per ipotesi sappiamo che anche il segmento N è congruente ad N. Per il teorema sull unicità del punto medio ciò non è possibile. Perciò l assurdo è dipeso dall aver negato la tesi, quindi la tesi è vera. In linguaggio formale: Per assurdo MN non parallelo a MK // K K N N (hp) ssurdo per unicità del punto medio L assurdo è dipeso dall aver negato la tesi quindi la tesi è vera

24 Ora costruiamo un segmento NP parallelo al segmento. Da qui implica che, per il teorema di Talete, il segmento P è congruente al segmento P. Per la dimostrazione precedente sappiamo inoltre che MN è parallelo a P e che M è parallelo a NP. Da questo implica che MNP è un parallelogramma, quindi MN è congruente a P, perciò MN è la metà di. In linguaggio formale: Per costr. NP // (TLETE) P P MN // P (dim prec) M // NP (per costr.) MNP parallelogrammo MN P MN = :2 Stancarone - Regina I N

25 SSE DI UN SEGMENTO L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti dagli estremi del segmento. a TEOREM DIRETTO(1 PRTE) P M Hp: a asse di P a M M PM Th: P P a onsidero PM PM essi hanno: 1. PM in comune 2. M M (Hp) PM PM P P (Lati corrispondenti in triang.) 3. PM PM (retti Hp) TEOREM DIRETTO Per ipotesi si ha che la retta a è asse del segmento,che il punto P appartiene alla retta a, quindi M è congruente a M e PM è perpendicolare ad. Per tesi dobbiamo dimostrare che P è congruente a P. Si considerino i due triangoli PM e PM:essi hanno il lato PM in comune,il lato M congruente al lato M per ipotesi ed infine l angolo PM congruente all angolo PM perché retti per ipotesi. Questo implica per il primo criterio che i triangoli PM e PM sono congruenti e che quindi il lato P è congruente al lato P poiché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

26 TEOREM INVERSO(2 PRTE) Hp P P Th P asse di Per costruzione M M congiungo P con M. onsidero PM PM essi hanno: 1. P P (Hp) 2. PM in comune (LLL) PM PM PM ˆ PM ˆ PM 3. M M (ostr.) TEOREM INVERSO Ora per ipotesi abbiamo l esatto contrario:cioè che P è congruente a P. Invece per tesi abbiamo che il punto P appartiene all asse di. Ora si congiunge P con M e sia M congruente a M per ipotesi. questo punto consideriamo i triangoli PM e PM: hanno il lato P congruente a P per ipotesi,pm in comune e M congruente a M per ipotesi. Da questo implica che i triangoli PM e PM sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli e che quindi gli angoli in M sono congruenti, ciò significa che PM è asse di essendo la perpendicolare ad nel suo punto medio M. DVIDE HRT TIMOTHY HRT I N

27 L ISETTRIE OME LUOGO GEOMETRIO La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati dell angolo. Per dimostrare ciò, dobbiamo considerare prima un punto qualsiasi che appartiene alla bisettrice e dimostrare deve essere equidistante dai lati dell angolo. K P Hp: bôc côa P c PH a PK b Th: PH PK O H onsidero i triangoli POK e POH essi hanno: 1. OP IN OMUNE; 4 RITERIO..L. 2. Ĥ Kˆ (retti); i triangoli POH=POK 3. PÔH PÔK (Hp); PH PK(lati corrispondenti in triangoli congruenti) onsidero i triangoli POH e POK, essi hanno il lato OP in comune, gli angoli retti H e K congruenti e l angolo POH congruente all angolo POK per ipotesi. onsegue che i due triangoli sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli(..l.) e quindi il lato PK è congruente al lato PH, perché lati corrispondenti in triangoli congruenti.

28 Successivamente, dobbiamo considerare un punto del piano che è equidistante dai lati dell angolo e dimostrare che appartiene alla bisettrice dell angolo. K P O H Hp: PH PK PH OH PK OK Th: POH ˆ POˆ K onsidero i triangoli POK e POH essi hanno: 1. OP IN OMUNE; 5 RITERIO dei triangoli rettangoli 2. Ĥ Kˆ (retti) i triangoli POK POH 3. PK PH (Hp) PÔK PÔH (angoli corrispondenti in triangoli congruenti) onsidero i triangoli POK e POH, essi hanno il lato OP in comune, gli angoli retti H e K congruenti e il lato PH congruente al lato PK per ipotesi. onsegue che i triangoli sono congruenti per il quinto criterio di congruenza dei triangoli e quindi gli angoli POK e POH sono congruenti, perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti. Simona Massari ldo D lesio lasse 1 N