Fasci di rette nel piano affine

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1 Fasci di rette nel piano affine Definizione Data una retta r 0 di equazione a 0 x + b 0 y + c 0 = 0, si chiama fascio improprio di sostegno r 0 la totalità delle rette parallele a r 0, inclusa r 0. F r0 : a 0 x + b 0 y + k = 0, k R

2 Esercizio 5. a) Scrivere un equazione del fascio di rette individuato da r : x + y 3 = 0 ed s : 2x + 2y 3 = 0. b) Determinare tutte le equazioni delle rette aventi parametri direttori [( 2; 1)]. c) Vedi Esercizio 1. c): scrivere un equazione della retta passante per il punto C( 2; 3) e parallela alla retta s di equazioni s : { x = 1 + t y = 4 2t, t R.

3 Fasci di rette nel piano affine Definizione Sia P(x, y) un punto in A 2 (R). Si chiama fascio proprio di centro P la totalità delle rette passanti per P. Se r 0 : a 0 x + b 0 y + c 0 = 0 e r 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 sono due rette (distinte) per P, allora F P : λ(a 0 x+b 0 y+c 0 )+µ(a 1 x+b 1 y+c 1 ) = 0, λ, µ R, (λ; µ) (0; 0).

4 Esercizio 6. Scrivere un equazione del fascio individuate dalle rette e stabilirne la natura. r : x + y = 0 ed s : x 5 = 0

5 Esercizio 7. Dato il fascio F k : (1 + k)x + (1 k)y + 2k 1 = 0, k R, a) stabilire la natura del fascio. Successivamente individuare un equazione per la retta del fascio che b) passa per A(1; 1); c) è parallelela alla retta r di equazione 2x y + 4 = 0; d) appartiene anche al fascio proprio F : x 5 + h(x y + 2) = 0, h R.

6 Esercizio 8. a) Scrivere un equazione per il fascio F individuato dall asse x e dalla retta r di equazione r : x + y = 1. b) Determinare un equazione della retta del fascio F passante per A(0; 2) e un equazione della retta di F passante per B(2; 0). c) Verifica che la retta s =rt(a, B) non appartiene al fascio F e scrivere un equazione per il fascio improprio F di sostegno la retta s.

7 Esercizio 9. Data la famiglia di rette di equazione F : (k 2 + k)x 2(k 1)y + 4 = 0, k R, (a) determinare le equazioni delle rette di F che sono parallele agli assi del sistema di riferimento; (b) verificare che per ogni punto del piano passano al più due rette (reali) di F.

8 Esercizio 10. Dare interpretazione geometrica nel piano affine reale della risoluzione del sistema x + hy = 1 (r) x y = h 1 (s), h R. (2h + 1)x + y = 2 (t)

9 Luoghi geometrici - Esercizio 11. Determinare l equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dai punti medi dei segmenti i cui estremi appartengono alle rette r : x + 3y = 2 ed s : x + 3y = 4.

10 Esercizio 12. Data la curva C : y = x 2, determinare l equazione cartesiana del luogo dei punti simmetrici dei punti di C rispetto alla retta a : x + y = 0 nella direzione v = e e 2.

11 Compiti. a) Interpretare geometricamente il sistema: x 2y = 2 (r) x + y = k + 4 (s) kx + y = 2 (t), k R. [k = 7/2: punto comune: ( 1/3; 5/6); k = 1/2 : r t, s incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s t, r incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ] b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un equazione per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ. [x 2 + y 2 + 8y = 0] c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0 e t : x = 0, sia r la generica retta del fascio proprio F C di centro C(2; 1). Siano inoltre A = r s e B = r t e M punto medio tra A e B. Determinare un equazione cartesiana del luogo descritto da M al variare di r nel fascio F C. [y = 1/(x 1)]

12 Compiti. a) Interpretare geometricamente il sistema: x 2y = 2 (r) x + y = k + 4 (s) kx + y = 2 (t), k R. [k = 7/2: punto comune: ( 1/3; 5/6); k = 1/2 : r t, s incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s t, r incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ] b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un equazione per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ. [x 2 + y 2 + 8y = 0] c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0 e t : x = 0, sia r la generica retta del fascio proprio F C di centro C(2; 1). Siano inoltre A = r s e B = r t e M punto medio tra A e B. Determinare un equazione cartesiana del luogo descritto da M al variare di r nel fascio F C. [y = 1/(x 1)]

13 Compiti. a) Interpretare geometricamente il sistema: x 2y = 2 (r) x + y = k + 4 (s) kx + y = 2 (t), k R. [k = 7/2: punto comune: ( 1/3; 5/6); k = 1/2 : r t, s incidente r e t; k = 0: punto comune: (2; 2); k = 1 : s t, r incidente s e t. Altri casi: a due a due incidenti. ] b) Es. 1 d) del TEMA ESAME del 22 marzo Sia γ la curva di equazione: x 2 + y 2 = 4. Determinare un equazione per il luogo dei punti simmetrici di P(0; 4) rispetto ai punti di γ. [x 2 + y 2 + 8y = 0] c) Date le rette s e t di equazioni: s : y + 1 = 0 e t : x = 0, sia r la generica retta del fascio proprio F C di centro C(2; 1). Siano inoltre A = r s e B = r t e M punto medio tra A e B. Determinare un equazione cartesiana del luogo descritto da M al variare di r nel fascio F C. [y = 1/(x 1)]

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