Lunghezza media. Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa. L H D (X). Uguaglianza vale sse D l i. = p i. . p.1/27

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1 Lunghezza media Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa L H D (X). Uguaglianza vale sse D l i = p i.. p.1/27

2 Lunghezza media Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa L H D (X). Uguaglianza vale sse D l i = p i. Dim. H D (X) L = = m i=1 m i=1 p i lg D 1 p i p i lg D 1 p i D l i m lg D p i i=1 1 p i D l i m p i l i i=1 diseg. Jensen m = lg D D l i lg D 1 = 0 diseg. Kraft i=1. p.1/27

3 Uguaglianza Dis. di Jensen vale con l uguaglianza D l i p i m i=1 D l i c = m i=1 p i = 1. = costante c Dis. di Kraft vale con l uguaglianza 1 = m c = 1 i=1 D l i Quindi l uguaglianza vale p i D l 1 = 1 p i = D l i. c = 1/c. p.2/27

4 L = H D (X) sse p i = D l i per ogni i, ovvero l i = lg D 1 pi, Se lg D 1 pi non interi? Vediamo quanto la lunghezza media può discostarsi dall entropia.. p.3/27

5 Codifica ottimale Teorema Siano l 1,..., l m le lunghezze delle parole di un codice ottimale D-ario per una sorgente X con d.d.p. p(x). La lunghezza media del codice ottimale L = p i l i soddisfa H D (X) L < H D (X) + 1. p.4/27

6 Codifica ottimale Teorema Siano l 1,..., l m le lunghezze delle parole di un codice ottimale D-ario per una sorgente X con d.d.p. p(x). La lunghezza media del codice ottimale L = p i l i soddisfa H D (X) L < H D (X) + 1 Dim. Dobbiamo mostrare la seconda disuguaglianza. 1 Consideriamo le lunghezze l i = lg D pi per i = 1,..., m.. p.4/27

7 Codice esiste in quanto le lunghezze l 1,..., l m soddisfano la dis. di Kraft: D l i = i i D l lg D 1 p i m i D lg D 1 p i = i D lg D p i = i p i = 1 La lunghezza media è p i l i = 1 p i lg D < p i i i i ( ) 1 p i lg D + 1 p i = H(X) + 1 La lunghezza media L del codice ottimale non è maggiore Red L < H D (X) p.5/27

8 La ricerca dei codici ottimali U.D. puó essere limitata ai codici prefissi.. p.6/27

9 La ricerca dei codici ottimali U.D. puó essere limitata ai codici prefissi. Teorema (McMillan) Le lunghezze di un codice univocamente decodificabile soddisfano la disuguaglianza di Kraft.. p.6/27

10 La ricerca dei codici ottimali U.D. puó essere limitata ai codici prefissi. Teorema (McMillan) Le lunghezze di un codice univocamente decodificabile soddisfano la disuguaglianza di Kraft. Dim. Siano: C codice U.D., l(x): lunghezza della parola codice assegnata a x X, C k : k-esima estensione di C, C U.D. C k è non singolare.. p.6/27

11 Consideriamo ( ) k D l(x) = x X x 1 X = = x 1 X D l(x 1) x 2 X x 2 X... x k X D l(x 2)... x k X D [l(x 1)+...+l(x k )] x 1...x k X k D [l(x1)+...+l(xk)] = x X k D l(x) D l(x k). p.7/27

12 α(i) = # sequenze lunghe k codificate con sequenze lunghe i.. p.8/27

13 α(i) = # sequenze lunghe k codificate con sequenze lunghe i. C k non singolare α (i) D i. x X k D l(x) = k l max i=1 k l max α (i) D i (in quanto 1 l i l max ) D i D i = k l max 1 = k l max i=1 i=1. p.8/27

14 α(i) = # sequenze lunghe k codificate con sequenze lunghe i. C k non singolare α (i) D i. x X k D l(x) = k l max i=1 k l max α (i) D i (in quanto 1 l i l max ) D i D i = k l max 1 = k l max i=1 i=1 x X D l(x) (k l max ) 1 k, k. p.8/27

15 α(i) = # sequenze lunghe k codificate con sequenze lunghe i. C k non singolare α (i) D i. x X k D l(x) = k l max i=1 k l max α (i) D i (in quanto 1 l i l max ) D i D i = k l max 1 = k l max i=1 i=1 x X D l(x) (k l max ) 1 k, k (k l max ) 1 k k 1 x X D l(x) 1.. p.8/27

16 Codici di Huffman ( Esempio. X = costruire un codice ottimale per X. ) Vogliamo Idea 1. Associamo ai 2 simboli meno probabili, le 2 parole di codice più lunghe. Le 2 parole più lunghe hanno uguale lunghezza: se così non fosse potremmo eliminare l ultimo bit dalla più lunga. Idea 2. L albero che rappresenta il codice è pieno: se così non fosse potremmo spostare delle foglie su livelli inferiori e quindi accorciare le parole ad esse associate.. p.9/27

17 Le parole associate ai simboli 4 e 5 devono differire solo nell ultimo bit possiamo combinare 4 e 5 nell unico simbolo 4 con prob = 0.3 e porre c(4) = c(4 ) 0, c(5) = c(4 ) 1 ( indica l operatore di concatenazione). Iterando questo procedimento sulle nuove probabilità:. p.10/27

18 Si ottiene così l albero. p.11/27

19 Discorso analogo si può fare per un codice D-rio qualsiasi. Se D = 3 possiamo determinare il codice ternario scegliendo ad ogni passo le tre probabilità più piccole.. p.12/27

20 abbiamo così l albero. p.13/27

21 Non sempre è possibile raggruppare le probabilità in gruppi di D. ( ) Esempio. X = p.14/27

22 In questo caso aggiungiamo un simbolo con probabilità zero:. p.15/27

23 Un albero D-ario pieno ha 1 + k(d 1) nodi. Se X non è della forma 1 + k(d 1) aggiungiamo simboli fino ad arrivare all intero più vicino ad X di questa forma. Se il codice non è basato su un albero D-ario pieno il codice non è ottimale perchè possiamo prendere una delle foglie a un livello più basso e spostarlo nella posizione vuota che si trova più in alto.. p.16/27

24 Ottimalità dei codici di Huffman Lemma Per ogni d.d.p. p esiste un codice prefisso ottimo tale che 1. se p j > p k allora l j l k 2. le due parole più lunghe hanno la stessa lunghezza 3. le due parole più lunghe differiscono solo nell ultimo simbolo. p.17/27

25 Dim. Siano p 1 p 2... p m Sia C un codice ottimo con lunghezze l 1,..., l m 1. Supponiamo per assurdo che p j > p k e l j > l k : Consideriamo il codice C ottenuto da C scambiando la parola j-esima con la k-esima: C (j) = C(k) C (k) = C(j). p.18/27

26 La lunghezza media di C è L = i j,k p i l i + p j l k + p k l j. La differenza tra L e la lunghezza media L di C è L L = m p i l i + p j l k + p k l j p i l i i j,k i=1 = p j l k + p k l j p j l j p k l k = p j (l k l j ) + p k (l j l k ) = (p j p k ) (l k l j ) < 0. p.19/27

27 La lunghezza media di C è L = i j,k p i l i + p j l k + p k l j. La differenza tra L e la lunghezza media L di C è L L = m p i l i + p j l k + p k l j p i l i i j,k i=1 = p j l k + p k l j p j l j p k l k = p j (l k l j ) + p k (l j l k ) = (p j p k ) (l k l j ) < 0 L < L; impossibile. p.19/27

28 La lunghezza media di C è L = i j,k p i l i + p j l k + p k l j. La differenza tra L e la lunghezza media L di C è L L = m p i l i + p j l k + p k l j p i l i i j,k i=1 = p j l k + p k l j p j l j p k l k = p j (l k l j ) + p k (l j l k ) = (p j p k ) (l k l j ) < 0 L < L; impossibile l j l k.. p.19/27

29 2. Supponiamo per assurdo che il codice contenga un unica parola di lunghezza massima l max la parola più lunga è associata all unica foglia di profondità l max possiamo eliminare l ultimo bit dalla parola codice di lunghezza l max (eliminiamo l unica foglia di profondità l max ottenendone una di profondità l max 1) otteniamo un codice con lunghezza media inferiore ad L (impossibile in quanto C m è ottimo).. p.20/27

30 3. 1 e 2 l m = l m 1 = max{l i : 1 i m} In generale non è vero che codice ottimale soddisfa 3). Esempio.. p.21/27

31 Supponiamo che C(m 1) e C(m) non differiscano solo nell ultimo bit I nodi associati a C(m 1) e C(m) non sono fratelli C(m) ha fratello C(j) con j m 2 l j = l m = l m 1 Possiamo quindi scambiare C(j) e C(m) ottenendo un codice con lunghezza uguale a quella di C.. p.22/27

32 Ottimalità codici di Huffman Algoritmo di Huffman Il codice ottimo C m per p 1 p 2... p m è definito ricorsivamente: Sia C m 1 il codice ottimo per p 1, p 2,..., p m 1, dove p m 1 = p m 1 + p m. Definiamo C m (i) = C m 1 (i), i = 1,..., m 2 C m (m 1) = C m 1 (m 1) 0 C m (m) = C m 1 (m 1) 1 L (C m ) = m i=1 p i l i L (C m 1 ) = m 2 p i l i + (p m 1 + p m ) (l m 1). i=1. p.23/27

33 L (C m ) L (C m 1 ) = p m 1 l m 1 + p m l m p m 1 l m p m l m + p m 1 + p m = p m 1 + p m L (C m ) L (C m 1 ) non dipende dalle lunghezze del codice per cui C m 1 ottimo C m ottimo. Possiamo usare questo risultato come passo induttivo nella dimostrazione per induzione dell ottimalità dei codici di Huffman. Base dell induzione: per m = 2 si ha C 2 = {0, 1} che è ovviamente ottimo.. p.24/27

34 La dimostrazione per il caso D 3 è simile a quella per il caso binario. Nota: Pochè i codici di Huffman sono prefssi e ottimali, allora la lunghezza di un codice di Huffman C soddisfa H (X) L (C ) < H (X) p.25/27

35 Gioco delle 20 domande GIOCO: individuare un oggetto in un insieme con domande Yes/No SCOPO: Minimizzare numero di domande. p.26/27

36 Gioco delle 20 domande GIOCO: individuare un oggetto in un insieme con domande Yes/No SCOPO: Minimizzare numero di domande DOMANDE CODICE DOMANDE Sequenze risposte CODIFICA binaria oggetti CODICE i ma domanda: "E bit i mo=1. p.26/27

37 Gioco delle 20 domande GIOCO: individuare un oggetto in un insieme con domande Yes/No SCOPO: Minimizzare numero di domande DOMANDE CODICE DOMANDE Sequenze risposte CODIFICA binaria oggetti CODICE i ma domanda: "E bit i mo=1 X= v.c. che rappresenta oggetti Usando codifica ottimale per X H(X) numero atteso domande < H(X) + 1. p.26/27

38 Esercizio 1 Mostrare che se un codice D-rio soddisfa la disuguaglianza di Kraft stretta allora esiste y D che non corrisponde a una sequenza di parole di codice.. p.27/27

39 Esercizio 1 Mostrare che se un codice D-rio soddisfa la disuguaglianza di Kraft stretta allora esiste y D che non corrisponde a una sequenza di parole di codice. Esercizio 2 Una sorgente emette 7 simboli 1,..., 7 con probabilità, rispettivamente, 0.49, 0.26, 0.12, 0.04, 0.04, 0.03, 0.02 determinare il codice di Huffman binario valutare la lunghezza media trovare il codice di Huffman ternario. p.27/27

40 Esercizio 3 Fornire un esempio di v.c. X per cui il codice ottimo ha lunghezza media arbitrariamente prossima ad H(X) + 1 (cioè per ogni ɛ > 0, esibire per una d.p. per cui la lunghezza media di un codice ottimo risulta L > H(X) + 1 ɛ).. p.28/27

41 Esercizio 3 Fornire un esempio di v.c. X per cui il codice ottimo ha lunghezza media arbitrariamente prossima ad H(X) + 1 (cioè per ogni ɛ > 0, esibire per una d.p. per cui la lunghezza media di un codice ottimo risulta L > H(X) + 1 ɛ). Esercizio 4 Data la d.p. uniforme su m elementi, cosa si può dire rispetto alle lunghezze di un codice di binario ottimo?. p.28/27

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