R R condizione di rotolamento. per puro rotolamento

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1 Condizione di puro rotolamento (corpi a sezione circolare): Moto di roto-traslazione in cui il punto di contatto ha velocita (istantanea) nulla Condizione che esclude la possibilita di strisciamento v = v + ω v = v = ω condizione di rotolamento s= θ v= ω a = α per puro rotolamento

2 Due modi equivalenti di considerare il rotolamento: otazione attorno ad + Traslazione di Asse di rotazione fisso (riferimento del CM ) ( ) v = v + ω r r A A otazione attorno a Asse di rotazione istantaneo v = ω ( r r) A A n entrambi i modi di considerare il rotolamento, evidente la rotazione attorno ad un asse fisso: caso: asse (permanentemente) fisso nel riferimento di quiete del CM caso: asse (istantaneamente) fisso nel riferimento del pavimento

3 Dinamica del rotolamento: Come fare rotolare il corpo rigido modo: forza esterna applicata nel CM Es: Asino che tira un carretto F A= ma Moto del CM N mg= α= A otazione attorno al CM a = α otolamento a = A a= A F ma + A= F A= m + 1 a= A = F m + A> :Forza di attrito volvente nella direzione del disegno A forza resistente Condizione di rotolamento: F= A & A µ smg F µ smg

4 modo: forza esterna applicata fuori dal CM Es: YoYo che rotola sul pavimento F fs= ma Moto del CM N mg= α= F otazione attorno all'asse istantaneo di rotazione a= α otolamento a= F m fs= F < + 1 f -va pposta al verso indicato s Verso corretto: Freccia tratteggiata f s forza motrice!

5 modo: Mom. meccanico applicato sull'asse Es: Bicicletta mossa dai pedali e dalla trasmissione A= ma Moto del CM N mg= ' α= M otazione attorno a a = α otolamento a M ' = M a= = M ' + m mm m A= ma= = M ' + m A: forza di attrito volvente nella direzione del disegno A: forza motrice Effettivamente: CM puo' accelerare solo in presenza di forze esterne Non servono forze/ momenti meccanici interni Notare: M applicato sull'asse che passa per Stesso effetto se considerato all'origine della rotazione attorno a

6 Forza di attrito volvente : in principio non compie lavoro ot. istantanea sviluppata dall'attrito sull'elemento di massa corrispondente al punto di contatto: istantanea = F v= F = a Tuttavia, a causa delle inevitabili deformazioni della sup. di contatto: Situazione equivalente ad avere la reazione vincolare spostata rispetto al CM Mom. meccanico resistente: M= hn= hmg rigine della perdita di energia nel rotolamento Conservazione dell en. meccanica nel rotolamento (trascurando l effetto di cui sopra)

7 Esempio: Usando l'asse istantaneo di rotazione: Cons. energia fra punto di partenza e punto di arrivo mv mgh= ' ω = ( + m) mgh= slitta v anello, sfera 1 v 1 v mgh= ( + m) = ( m + m) = mv anello 1 mgh= ( + m) v 1 v 7 = sfera m + m = mv 5 1 v = v= v = gh gh 1 7 slitta anello gh sfera

8 Condizione di rotolamento per il piano inclinato: mg sinθ = A & A µ smg cosθ mg sinθ µ smg cosθ tanθ µ s

9 Moto giroscopico Giroscopio: corpo rigido con simmetria assiale posto in rapida rotazione attorno al suo asse di simmetria ( = un asse principale d inerzia) Es: Disco omogeneo fissato su un asse rigido di massa trascurabile sottoposto all'azione della forza di gravita' Quando estremo dell'asse fissato chiamato a volte 'trottola simmetrica' Moto generale : complicato Caso semplice : Asse orizzontale, Vel. angolare iniziale grande, asse

10 n assenza di forze esterne (gravita'): L= cost L= ω= ωnˆ, mom. d'inerzia rispetto 3 ad un asse orizzontale che passa per il punto fisso Mom. meccanico della forza di gravita': τ= r mg= mlnˆ g CM 3 a) n assenza di rotazione attorno all'asse di simmetria: ω iniz = L = iniz dl τ= = α acc. angolare orizzontale dt ω orizzontale, crescente otazione nel piano verticale attorno al punto fisso Caduta verso la posizione di equilibrio scillazione pendolare attorno alla posizione di equilibrio b) Se ω = ω : ( ω) dl d τ= = = mlnˆ 3 g dt dt n generale:, ω nonnˆ Se 3 τdt= mlnˆ g dt= dl ω 3 dω ml nˆ g= mlg sinθnˆ dt nˆ iniz 3 versore orizzontale nˆ, g 3 dω ml ml ωnˆ g= ω g dt ω 3 ω iniz

11 Moltiplicando scalarmente per ω : dω ml ω ω = dt ω g ω ( ω) dω 1 d 1 d ω ( ω ω) dt dt dt ha modulo costante = = = = ω cost direzione di ω ruota intorno ad asse verticale recessione di ω Vel. angolare della precessione: ω L = L θ = LΩ t θ L 1 dl τ mgl Ω = = = = t L t L dt L ω