La geometria di Schwarzschild

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1 La geometia spaziotempoale dei buchi nei La geometia di Schwazschild In elatività non si pala di campo gavitazionale ma di geometia dello spaziotempo. L attazione ta due copi viene spiegata come effetto dovuto alla cuvatua imposta allo spaziotempo dalla massa di questi due copi. Lo spaziotempo è un entità matematica quadidimensionale pe mezzo della quale è possibile descivee la posizione sia nel tempo che nello spazio di un deteminato evento. La fomulazione della elatività istetta nel 1905 e poi della elatività geneale nel 1915 ha pemesso di concludee che spazio e tempo sono stettamente legati ta di loo. Infatti una massa non cuva lo spazio ma lo spaziotempo nel senso che poduce effetti anche sullo scoimento del tempo. È impossibile pe un copo con una massa che lasci intatto lo scoee del tempo modificando soltanto lo spazio, questo peché spazio e tempo sono la stessa gandezza, cioè la coodinata di uno spazio quadidimensionale, lo spaziotempo appunto. Ci sono divesi sistemi di coodinate che consentono una descizione quantitativa di un campo gavitazionale di un oggetto sfeico non uotante. Alcune di esse consentono di studiae agevolmente i moti dei copi in condizioni di cuvatua citica come quella pesente nelle vicinanze di un buco neo. La geometia di Schwazschild descive la stuttua geometica dello spaziotempo attono ad una massa a simmetia sfeica. Una delle pincipali pevisioni della geometia di Schwazschild è che una massa M compessa ento un aggio R S, chiamato aggio di Schwazschid, la cuvatua dello spazio tempo è tale che lo spaziotempo si ichiude su se stesso impedendo alla luce di fuggie da tale copo. Pe una massa M il aggio di Schwazschild è dato da: GM R S = c dove G è la costante di gavitazione univesale mente c è la velocità della luce. Cuiosamente il aggio di Schwazschild venne intodotto da John Michell nel 1783 nel contesto della gavità newtoniana. Il copo che scatuiva da questo lavoo pesentava delle caatteistiche molto divese da quelle descitte con la elatività geneale. La supeficie della sfea avente aggio uguale al aggio di Schwazschild è detta oizzonte degli eventi a causa del fatto che tutti i fenomeni esteni ad essa sono ossevabili mente quelli che avvengono al loo inteno sono inaccessibili a tutti gli ossevatoi esteni. La geometia di

2 Schwazschild è descitta dalla metica di Schwazschild. Consideiamo un sistema geometico dove si assume c = 1 la metica di Schwazschild diventa: ds = dt d S 1 ( dθ sin θ d ) S ϕ dove,θ, ϕ sono le te coodinate dello spazio tidimensionale mente t è il tempo. La geometia della metica di Schwazschild è illustata nel gafico con una appesentazione bidimensionale dello spazio tidimensionale ad un ceto istante. In accodo con la metica di Schwazschild la distanza adiale di ciascun ossevatoe a iposo è: d' = d S 1 che è maggioe del d misuato in uno spazio piatto. Estenamente all oizzonte degli eventi le coodinate appesentate sono spaziali ( ciò significa che la misua di una lunghezza nel gafico coisponde ad una distanza). Intenamente all oizzonte degli eventi le linee diventano tempoali e appesentano la misua degli intevalli di tempo intecoenti ta le posizioni assunte da alcuni ossevatoi. La gavità allenta lo scoee del tempo In elatività geneale gli oologi a iposo immesi in un potenziale gavitazionale imangono indieto ispetto a quelli posti in quiete in uno spazio piatto. Nel caso della metica di Schwazschild il tempo popio viene calcolato tamite la seguente elazione:

3 S dt' = 1 dt Quindi mente in uno spaziotempo piatto l ossevatoe misua un intevallo dt, un ossevatoe che si tova in uno spaziotempo cuvo misua un intevallo più beve peché il tempo scoe più lentamente. A questo fenomeno si lega un alto impotante fenomeno: l effetto Dopple gavitazionale. Immaginiamo un ossevatoe con una sogente V appena al di fuoi dell oizzonte degli eventi ed un ossevatoe C posto a distanza sufficiente da pote consideae lo spaziotempo piatto. L ossevatoe esteno C vedebbe scoee più lentamente le lancette dell oologio dell ossevatoe inteno V, quindi se da V pate un onda elettomagnetica di fequenza composta da n oscillazioni al secondo pe V, quando l onda aiveà a C pesenteà lo stesse oscillazioni su un intevallo di tempo più lungo, quindi nell unità di tempo all ossevatoe C si pesenteà un numeo di fequenza del fenomeno. oscillazioni minoe iducendo la La vaiazione così subita dalla lunghezza dell onda elettomagnetica è fonita dall equazione: λ λ ' = 1 S che povoca uno spostamento veso il osso della adiazione visibile. Sistemi di coodinate altenativi La metica di Schwazschild pesentava un inconveniente matematico: sia il tempo popio di un ossevatoe che il aggio popio tendono a diventae immaginai duante il tansito attaveso l oizzonte degli eventi. La metica Schwazschild è nata con lo scopo di descivee questi fenomeni da un ossevatoe in quiete ispetto al buco neo. La pesenza di gandezze immaginae mette in evidenza l impossibilità dell esistenza di un sistema di ifeimento in quiete all inteno dell oizzonte degli eventi. Pe compendee meglio il compotamento dello spaziotempo nella metica di Schwazschild consideiamo il gafico qui ipotato. Le linee oca e gialle sono le linee di modo (taiettoie nello spaziotempo) iguadanti la luce, la iga azzua veticale è la

4 singolaità centale mente le linea fucsia veticale è l oizzonte degli eventi. Le linee di mondo disegnato pemettono di isalie alla icostuzione dei coni di luce patendo da un loo punto di intesezione. Il diagamma pesenta in ascissa lo spazio ed in odinata il tempo. Poiché tutti i copi si muovono con una velocità avente modulo infeioe a quello della luce, le taiettoie che essi pecoono nello spaziotempo devono quindi essee contenute all inteno dei coni di luce. Il gafico qui a fianco ipota in maniea più intuitiva la stuttua dei coni di luce nei pessi dell oizzonte degli eventi. Si può notae come il coefficiente angolae di un aggio di luce in uscita dal buco neo tenda all infinito sull oizzonte degli eventi. Diventa così compensibile che nessun copo che si tovi sull oizzonte degli eventi può sfuggie dalla singolaità centale. Ma cosa succede olte l oizzonte degli eventi? Pe capilo dobbiamo consideae un copo in quiete e chiedeci qual è la sua taiettoia. La taiettoia di un copo in quiete è una etta veticale. Se oa osseviamo i coni di luce all inteno dell oizzonte degli eventi vedemo che pesentano un inclinazione tale che anche i aggi di luce sono tutti destinati a cadee sulla singolaità centale. Poiché un copo pesenta una taiettoia contenuta in questo cono e la etta veticale in queste condizioni è estena al cono, si deduce che non è possibile all inteno dell oizzonte degli eventi alcun stato di quiete Lo spaziotempo nelle coodinate di Eddington-Finelstein La elatività geneale consente in maniea agile di passae da un sistema di ifeimento ad un alto. Le coodinate di Eddington Finelstein diffeiscono da quelle di Schwazschild pe un iassetto della geometia delle coodinate tempoali. Le linee di mondo della luce entante (in giallo) assumono un andamento lineae con coefficiente angolae di 45 in caduta veso la singolaità. La elazione che lega le coodinate di Eddington

5 Finelstein con le coodinate di Schwazschild è data dall equazione: t F = t + ln 1 dove t F è il tempo di Finelstein mente sono stati assunti c = 1 e la distanza è espessa in unità del aggio di Schwazschild. Lo spaziotempo nelle coodinate di usal Le coodinate di usal mostano nella maniea più taspaente la geometia dello spaziotempo nei pessi di una singolaità. In queste coodinate le linee di mondo della luce entante (gialle) e quelle della luce uscente (oca) assumono un andamento lineae con un inclinazione a 45. La tasfomazione di coodinate defoma le linee di mondo mantenendo in ogni punto dello spaziotempo la stessa identica foma pe i coni di luce. Queste tasfomazioni peò povocano la defomazione della singolaità centale che si tafoma in un ipebole (azzua) mente l oizzonte degli eventi diventa l asintoto di questa ipebole (fucsia). Il gafico qui ipotato mosta come un aggio di luce che pate dall inteno dell oizzonte degli eventi sia destinato a cozzae sulla singolaità, mente un aggio di luce può ancoa fuggie da essa. Ma come è fatta la metica nelle coodinate di usal? Pe ottenee le coodinate di usal occoe applicae una tasfomazione spaziale alle coodinate di Eddington Finelstein: R = + ln 1 dove R è la nuova coodinata spaziale mente è la coodinata spaziale nel sistema di Eddington Finelstein espessa sempe in unità di aggi di Schwazschild. Pe ottenee le coodinate di usal e t si devono opeae le seguenti tasfomate: + t t = e = ± e ( R+ t ) / ( R t )/ dove il segno + viene assuntoestenamente all oizzonte degli eventi mente il segno all inteno dell oizzonte degli eventi. Le coodinate diventano alloa:

6 mente la metica di usal saà: ds e = t = e = e R+ t R+ t ± e e R t R t ( d dt ) + ( dθ + sin θdϕ ) Buchi nei otanti: La soluzione di e Questa è la soluzione più ealistica, infatti poiché i pogenitoi del buco neo sono stelle in otazione, la legge di consevazione del momento angolae affema che una stella uotante poduà duante il collasso un buco neo in apida otazione. La soluzione pesentata pende il nome dal matematico neozelandese Roy e che fu il pimo ad ottenee le equazioni di un campo gavitazionale in elatività geneale pe un copo uotante. La metica è espessa dall equazione: ds = dt ρ d ρ dθ M ( a ) sin θdϕ ( dt asin θdϕ ) ρ con ρ = + a cos θ e = M + a. Sia J il momento angolae del buco neo, il paameto a è il paameto di otazione fonito dal appoto ta J e la massa M. a = Si può ossevae come la metica di e mischia le coodinate. Una geometia siffatta pesenta alcune stanezze che vanno descitte adeguatamente: J M 1. Il buco neo uotando tascina con se nella otazione anche lo spaziotempo cuvo che lo ciconda. Questo fenomeno potebbe anche essee una delle cause dell acceleazione a velocità elativistiche delle paticelle componenti il disco di accescimento del buco neo.. Un fotone entante si tova di fonte a un oizzonte più inteno o a uno più esteno a seconda che la velocità di entata sia paallela o antipaallela alla diezione di otazione del buco neo

7 3. Un ulteioe ellissoide immaginaio isiede all esteno dell oizzonte, si chiama egosfea e stabilisce il limite ento il quale non sono più possibili sistemi di ifeimento ineziali 4. Più un buco neo uota veloce e più piccoli saanno gli oizzonti degli eventi. È impotante notae che un ossevatoe isconteà un solo oizzonte, l alto oizzonte è iscontabile dall ossevatoe che uoteà in senso contaio. Natualmente ciascun ossevatoe non saà in gado di avee isconto dell oizzonte degli avente iscontato dal compagno che uota in senso opposto. Ogni singolo ossevatoe può quindi iscontae un solo oizzonte degli eventi.