Indice della lezione. Incertezza e rischio: sinonimi? Le Ipotesi della Capital Market Theory UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA

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1 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI PRM FCOLT DI ECONOMI Indice della lezione Corso di Pianificazione Finanziaria Introduzione al rischio Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz CPITOLO Incertezza e rischio: sinonimi? Le imprese assumono decisioni senza conoscere i risultati delle loro azioni, che dipendono da circostanze future non note. questo proposito, si parla di incertezza e di rischio usandoli come sinonimi L incertezza qualifica fenomeni cui non è possibile attribuire probabilità di accadimento in diversi scenari futuri Il rischio fa invece riferimento al concetto di volatilità. Si attribuisce una distribuzione di probabilità ai risultati possibili e si misura la distanza media rispetto ad un rendimento medio atteso Questa ipotesi di lavoro consente l adozione di strumenti matematici e statistici per la descrizione della realtà e riconduce il problema delle scelte ad un quadro di razionalità I modelli di analisi degli investimenti finanziari e la Teoria di Portafoglio costituiscono la base teorica per implementare un processo razionale di scelte aziendali in contesto di incertezza 3 Le Ipotesi della Capital Market Theory 1. Gli investitori sono razionali e avversi al rischio; valutano le alternative basandosi sul rendimento atteso (media ponderata dei possibili risultati futuri avendo assegnato ad ognuno una probabilità) e sul rischio (volatilità dei risultati previsti intorno al valore atteso) 2. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri 3. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione 4. Gli investimenti sono infinitamente divisibili 5. Non esistono costi di negoziazione e imposte 6. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o di inflazione è anticipata 7. I mercati dei capitali sono in equilibrio 4 1

2 Il rendimento di un titolo azionario R(t) = Prezzo (t) Prezzo (t-1) + Dividendi (t-1, t) Prezzo (t-1) L orizzonte temporale oggetto di analisi può essere giornaliero, settimanale, mensile, semestrale, annuale, pluriennale Il rischio di un titolo azionario Viene misurato in termini di volatilità, attraverso un indicatore denominato scarto quadratico medio (SQM) Rendimento medio Rendimento t-esimo Scarto Esempio: p(t) = 100 ; p(t-1) = 90; div(t-1, t) = R(t) = = 17,77% 90 5 Lo SQM misura lo scarto medio rispetto alla media dei rendimenti 6 Il rendimento medio di un titolo azionario Maggiore è lo scarto medio rispetto al rendimento medio, maggiore è il rischio di un titolo: si ha una maggiore volatilità dei rendimenti Esempio: il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri +4%; -10%; +8%; +5%; +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% Rendimento settimanale: 1.8% * 5 = 9% Il calcolo dello scarto quadratico medio Rendimento Rendimento medio Scarto Scarto^2 Varianza^(1/2) 4% 1,80% 2,20% 0,04840% -10% 1,80% -11,80% 1,39240% 8% 1,80% 6,20% 0,38440% 5% 1,80% 3,20% 0,10240% 2% 1,80% 0,20% 0,00040% Rendimento medio Scarto medio = Varianza = SQM 1,80% 0,00% 0,38560% 6,210% La varianza è pari alla media degli scarti elevati al quadrato ( 2 ) Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza () Il titolo ha avuto un rendimento giornaliero medio pari all 1,8% e uno scarto quadratico medio pari al 6,21% 7 8 2

3 Il criterio di scelta dei titoli Gli investitori razionali scelgono gli investimenti considerando il rendimento atteso e la volatilità Il criterio di scelta dei titoli E(R) E(R) Il titolo è preferibile rispetto a poiché, a parità di rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio Il titolo C è preferibile rispetto a D poiché a parità di rischio, è caratterizzato da maggior rendimento atteso C D 9 10 Il criterio di scelta dei titoli Non è possibile fare E(R) una scelta tra e poiché il primo, a fronte di un minor rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio La scelta deriva dal soggettivo grado di avversione al rischio 11 Esprimono l utilità che un soggetto ottiene realizzando un investimento finanziario La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento Le curve di indifferenza Nella singola curva, l utilità derivante dalle diverse combinazioni rischio-rendimento è la medesima (è indifferente assumere una combinazione piuttosto che un altra lungo la curva) 12 3

4 Le curve di indifferenza Le curve di indifferenza Le curve più in alto sono quelle caratterizzate da maggiore utilità per l investitore L investitore sceglie la combinazione di rischio-rendimento che consente la maggior utilità 13 Più la curva è inclinata, maggiore è l avversione al rischio, perché l investitore, per assumere un unità addizionale di rischio, vuole un elevato incremento di rendimento atteso L investitore X sceglie il titolo (caratterizzato da basso rendimento e basso rischio) e non perché gli consente di ottenere una maggiore utilità X 14 Se la curva è piatta l investitore è poco avverso al rischio L investitore per ottenere un unità addizionale di rendimento atteso èdisposto ad accettare un elevato incremento del rischio Le curve di indifferenza Y Indice della lezione Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz La combinazione rischio-rendimento che massimizza l utilità per Y è, perché gli consente di raggiungere la curva di indifferenza più elevata, e quindi, maggior utilità

5 La costruzione di un portafoglio di titoli L investimento in un singolo titolo è un comportamento non razionale Investire la propria ricchezza in un solo titolo pone un rischio elevato in capo all investitore La teoria di portafoglio si basa su questo presupposto: costruire portafogli composti da più titoli per ridurre il rischio Si pone il problema di calcolare il rischio e il rendimento atteso di un portafoglio di titoli Il rendimento atteso di un portafoglio Il rendimento atteso complessivo di un portafoglio E[R(p)], formato dai titoli e (con pesi a e b) è pari alla media ponderata dei rendimenti dei due titoli E(R p ) = a E(R ) + b E(R ) Il portafoglio P è formato dai titoli e assunti con percentuali rispettivamente pari ad (a + b) = 100% Esempio: a = 40% b= 60% E(R ) = 5 % E(R ) = 7% 17 E[R(p)] = 40% * 5% + 60% * 7% = 6,2% 18 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ ² : varianza rendimenti del titolo : sqm rendimenti titolo ² : varianza rendimenti del titolo : sqm rendimenti del titolo ρ : covarianza tra i rendimenti ρ : coefficiente di correlazione tra i rendimenti ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ la covarianza tra i rendimenti di e di ( ) è data da: cov = m () m () m () il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di e di è dato da: ρ = cov / quindi la covarianza tra i rendimenti di e di può essere definita: 19 cov = ρ 20 5

6 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è uguale ad 1 Il coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente Esprime valori compresi tra -1 e 1 Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un titolo aumenta, anche l altro titolo aumenta Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un titolo aumenta l altro diminuisce Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell altro) La covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli E la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno: ² p = a² ² +b² ² +2 a b 1 = (a +b ) 2 p = a +b allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità 23 E possibile costruire infiniti portafogli combinando i due titoli Se la correlazione tra i titoli e è perfetta (pari ad 1) i portafogli si dispongono su una retta Il rendimento del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti Il sigma del portafoglio è la media ponderata dei sigma dei due titoli Molto titolo, poco titolo Solo titolo Molto titolo, poco titolo 50%titolo, 50% titolo Solo titolo 24 6

7 Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità L investitore X, molto avverso al rischio, non sceglie più un portafoglio composto dal solo titolo, ma uno nel quale è compresa una quota del titolo Coerentemente con la propria avversione al rischio sceglie un portafoglio composto soprattutto da (titolo poco rischioso) X Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (può raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) 25 Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità nche Y, poco avverso al rischio, sceglie un portafoglio composto sia dal titolo, sia dal titolo Coerentemente con la propria minor avversione, il portafoglio è composto soprattutto da (titolo più rischioso ma con maggior rendimento atteso) Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (consente di raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) Y 26 Se la correlazione è inferiore ad uno ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Si riduce la covarianza Lo SQM del portafoglio non è più pari alla media ponderata delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore Si realizza l effetto di portafoglio La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non perfettamente correlati consente di ridurre il rischio complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi mentre il rendimento atteso è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli 27 Se i titoli non sono perfettamente correlati è L insieme dei portafogli per i quali non si può fare una scelta secondo il criterio media-varianza (ma si deve ricorrere alle curve di indifferenza) è detto frontiera efficiente dei portafogli possibili ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ <

8 Se i titoli non sono perfettamente correlati è Per ogni singolo portafoglio costruibile con i titoli e si riduce il rischio a parità di rendimento L insieme dei portafogli possibili si sposta verso sinistra (a parità di rendimento atteso, minor rischio) Se i titoli non sono perfettamente correlati è La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente nord non esistono portafogli; a sud esistono portafogli dominati ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 29 con ρ < 1 30 F D E C D domina C F domina E Se i titoli non sono perfettamente correlati è La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente F D 31 Se i titoli non sono perfettamente correlati è Per l investitore X cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Coerentemente con la propria avversione, sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l aumento del rendimento X X ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ <

9 Se i titoli non sono perfettamente correlati è nche per l investitore Y cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Y sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l incremento del rendimento atteso Y Y Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a zero l effetto di è molto forte Quando il coefficiente di correlazione diventa nullo o negativo si riduce fortemente il rischio a parità di rendimento: quando un titolo va male, l altro va bene L effetto della covarianza sul rischio da incrementativo ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ diventa ² p = a² ² +b² ² - 2 a b ρ con ρ < 1 33 con ρ < 0 34 decrementativo Frontiera Efficiente Ipotesi : tre titoli,, C : Frontiera efficiente titoli e. C: Frontiera efficiente titoli e C. µ C Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e

10 µ D C Se si considera il portafoglio D del tratto, è possibile costruire un altra frontiera efficiente DC tra il titolo C e il portafoglio D. Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e µ D C Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili combinazioni di titoli e portafogli danno vita alla frontiera C relativa ai tre titoli

11 con N titoli µ D C Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (µ,²) individuate dalle seguenti formule E(R p ) = i E(R i ) X i ² p = i X i ² ²(R i )+ i j X i X j (R i ) (R j ) ρ i,j 41 con i,j=1, 2,..n 42 con N titoli 0Rendimento Rischio () maggiore è il numero di titoli, maggiore è il vantaggio della : si riduce la varianza dei portafogli poiché le correlazioni non perfette fra i titoli riducono le covarianze 43 11