Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

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1 Trasformazioni elementari sulle matrici Data una matrice A K m,n definiamo su A le seguenti tre trasformazioni elementari: T : scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A; T : sommare ad una riga (o colonna) di A il prodotto di un altra riga ( o colonna) di A per uno scalare; T : moltiplicare una riga (o colonna) di A per uno scalare λ K. Proprietà del erminante di una matrice Data una matrice A M n (K), sia B M n (K) una matrice ottenuta da A mediante trasformazioni elementari: ) Se B è stata ottenuta da A mediante una trasformazione T allora B - A; ) Se B è stata ottenuta da A mediante una trasformazione T allora B A; Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

2 ) Se B è stata ottenuta da A mediante una trasformazione T allora B λ A; I teoremi precedenti sono utili per semplificare i conti nello sviluppo del erminante i quanto permettono di creare un numero maggiore di zeri nelle righe/colonne delle matrici. Esercizio Calcolare il erminante di 6 A ( ) M R Sfrutto le trasformazioni elementari per ridurre la matrice, se possibile, in una matrice triangolare superiore (o inferiore): Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico T T A (-) (-) (-) - 78 Esercizio Calcolare il erminante di ) ( B M R

4 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7 ) ( ) ( () 8 ) ( () T T T T T B - ( 7) - 6

5 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Esercizi da svolgere Determinare il erminante delle seguenti matrici possibilmente con l uso delle trasformazioni elementari: B A 6 9 D C 6 / 6 6/ / 9 E [risultati: A-, B, C-9, D-, E]

6 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6 L uso delle trasformazioni elementari si rende praticamente indispensabile per il calcolo dei erminanti parametrici. Esercizio Determinare per quali valori del parametro reale R il erminante della seguente matrice è non nullo. ( ) R M B B B (-) [-()-()(-)] ( ) dunque B [ - -- ]

7 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7 Esercizio Determinare per quali valori del parametro reale R il erminante delle seguenti matrici è nullo. ( ) R M C C 9 9 (-9 )()(-)(--)() C [ / -/ - ]

8 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8 Esercizi da svolgere Determinare per quali valori del parametro reale R il erminante della seguente matrice è nullo. /7 o D 7-9 o 9 ± E

9 Ulteriori teoremi riguardanti il erminante Sia A M n (K), allora valgono le seguenti proprietà del erminante: Teorema della trasposta A t A Teorema di Binet: Se B M n (K), allora (AB) A B Secondo teorema di Laplace La somma dei prodotti di una riga/colonna per i complementi algebrici degli elementi nella stessa posizione ma di un altra riga/colonna è nulla. n j a, j Γ i, j se i n i a i, j Γ i, se j. Tali proprietà non sono qui dimostrate. Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 Verifichiamo il II teorema di Laplace con un esempio. Esempio A M (R), verifichiamo la formula fissando la seconda colonna e i complementi algebrici degli elementi della terza colonna. A a, Γ, a, Γ, a, Γ,? calcoliamo i complementi algebrici: Γ Γ Γ,,, ( ) ( ) ( ) a, Γ, a, Γ, a, Γ, (-)(-)(-) Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

11 Inversa di una matrice quadrata Data A M n (K), si dice che A è invertibile se esiste B M n (K) (in seguito indicheremo BA - ) tale che: ABBA I n dove I n è l elemento neutro del prodotto tra matrici quadrate di ordine n. Teorema Una matrice quadrata A M n (K) è invertibile se e solo se A. Dimostrazione Se AB I n allora, poiché il I n, per il teorema di Binet (AB) A B A. Ipotizzando che A, costruiamo la matrice B nel seguente modo: Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

12 B Γ, A Γ, A M Γ, n A Γ, A Γ, A M Γ, n A L L O L Γn, A Γn, A M Γ n, n A ove Γ i,j è il complemento algebrico dell entrata (i,j) nella matrice A. Verifichiamo che il prodotto tra A e B fornisce la matrice I n. Moltiplichiamo la i- esima riga di A con la j-esima colonna di B: a i, b,j a i, b,j a i,n b n,j (a i, Γ j, a i, Γ j, a i,n Γ j,n)/a Abbiamo due casi: se ij infatti a i, Γ j, a i, Γ j, a i,n Γ j,n a i, Γ i, a i, Γ i, a i,n Γ i,n A per il I teorema di Laplace; se i j allora per il II teorema di Laplace a i, Γ j, a i, Γ j, a i,n Γ j,n. Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

13 Dunque l elemento in posizione (i,j) verifica la definizione data di I n (lezione ). Analogamente si dimostra BA I n. È facile dimostrare che se esiste un inversa B di A M n (K), essa è unica. Per assurdo: supponiamo esista un altra matrice inversa C tale che ACCA I n. Dimostriamo che BC infatti: CC I n C(AB)(CA)B I n BB. c.v.d. (motivare le uguaglianze) Dunque le due proposizioni stabiliscono la condizione necessaria e sufficiente per l esistenza e unicità della matrice inversa di A M n (K). Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

14 Il teorema della matrice inversa è costruttivo. Esso fornisce il metodo per costruire la matrice inversa A -. Calcolare il erminante di A: ) se A, allora non esiste l inversa. ) Se A, allora esiste la matrice inversa. In tal caso: scrivere la trasposta di A e calcolare ordinatamente i complementi algebrici; costruire la matrice inversa dividendo tutti i complementi algebrici per il erminante di A. Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

15 Esercizio Calcolare, se esiste, la matrice inversa di A M ( R) Calcolo il erminante: A -. Esiste la matrice inversa. Scrivo la matrice trasposta: t A I complementi algebrici sono scritti nell ordine con il quale si ricavano da t A, ma hanno la notazione ricavata da A: Γ, - Γ, - Γ, - Γ, Dividendo tali scalari per - A si ottiene la matrice inversa: Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

16 Prova:. A / / Esercizio / / Calcolare, se esiste, la matrice inversa di B M Calcolo il erminante: B - 6. Esiste la matrice inversa. Scrivo la matrice trasposta: t B ( R) I complementi algebrici sono scritti nell ordine con il quale si ricavano da t B, ma hanno la notazione ricavata da B: Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

17 Γ, - Γ, - Γ, - Γ, Γ, - Γ, -9 Γ, Γ, Γ, 6 Dividendo tali scalari per -6 B si ottiene la matrice inversa: B Prova:. Esercizio Calcolare, se esiste, la matrice inversa di C Λ, 6 Calcolo il erminante: C7. ( R) Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7

18 Esiste la matrice inversa. Scrivo la matrice trasposta: t C I complementi algebrici: 6 Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, 7 Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Γ, Dividendo tali scalari per 7C si ottiene la matrice inversa: C / / Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8

19 Prova:. Esercizio Stabilire per quali valori di, numero reale, la seguente matrice è invertibile. D 7 La matrice è invertibile se e solo se il erminante è non nullo. Si ottiene che D se e solo se 7 -. Tale relazione è sempre verificata in quanto <. D è sempre invertibile. Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

20 Lezione - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Esercizi da svolgere Calcolare, se esistono, le matrici inverse di: 6 7 E D C B A