FUNZIONI DI OFFERTA DI LUNGO E DI BREVE PERIODO

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1 FUNZIONI DI OFFERTA 1 DI LUNGO E DI BREVE PERIODO 1 Funzioni di costo di lungo e di breve periodo Finora abbiamo lavorato con un modello di impresa in cui compariva un input fisso e un input variabile. All'interno delle imprese esistono ovviamente molti input fissi e molti input variabili; il tenerne conto complicherebbe l'analisi sul piano formale mentre nulla aggiungerebbe di rilevante per la comprensione delle questioni di fondo. Tanto vale perciò proseguire con un modello a due soli input. Nel lungo periodo z 1 e z 2 sono scelti in modo da minimizzare w 1 z 1 + w 2 z 2, con il vincolo F(z 1,z 2 ) = e con i prezzi degli input dati. Nel breve periodo z 1 è scelto i modo da soddisfare il vincolo F(z 1, z 2 ) =, con z 2 = z 2. Di conseguenza si ha w 1 z 1 (w 1,w 2, ) + w 2 z 2 (w 1,w 2, )! w 1 z 1 (,z 2 )+ w 2 z 2 (7.1) perchè se la disuguaglianza non fosse soddisfatta z i (w 1, w 2, ) non sarebbe la soluzione del problema di minimizzazione dei costi, cioè c(w 1, w 2, )! c(w 1, w 2,,z 2 ) (7.2) La figura 7.1 aiuta a capire la disuguaglianza (7.2). In essa sono rappresentati gli isoquanti relativi a tre livelli di produzione. Dati i prezzi degli input, si sono tracciate le semirette di isocosto e individuati i livelli di impiego dei due input che minimizzano i costi per ogni assegnato livello di output.

2 2 z 2 z 2 (w 1,w 2, 1 ) E A B C 1 D z 1 FIGURA 7.1 Sentiero di espansione con un input vincolato La curva OABC che unisce i punti di tangenza tra isocosti e isoquanti è il luogo di queste soluzioni di minimo costo ed è indicato con il termine di sentiero di espansione. Va rammentato che l'input z 2, indicato come impianto nel capitolo precedente è scelto nella dimensione opportuna, insieme all'altro input, per rendere minimo il costo relativo a un certo livello di produzione. La dimensione dell'impianto è variabile sia lungo un isoquanto che lungo il sentiero di espansione. Assumiamo ora come data e non frazionabile la dimensione dell'impianto; questo significa che l'impresa potrà minimizzare i suoi costi variando solo la dimensione di z 1 in funzione del livello di output. Una semiretta al livello di z 2 fissato taglia gli isoquanti orizzontalmente. Per l'isoquanto 1 la combinazione non vincolata dei due input che rende minimo il costo coincide con quella scelta in presenza del vincolo su z 2. Per un livello di prodotto pari a 1 non vi è differenza alcuna tra decisione di lungo periodo (assenza di vincolo) e di breve (presenza del vincolo). Il costo di lungo e di breve sono uguali. Per valori del prodotto minori di 1 il costo di breve risulta sempre più elevato; il punto E sta su una semiretta di isocosto più elevata di quella tangente all'isoquanto 0 in A. Per valori maggiori di 1 il costo sostenuto supera quello minimo di lungo periodo; per realizzare 2 si deve scegliere la combinazione al punto D in cui passa una semiretta di isocosto più elevata di quella minima passante in C.

3 C CTB 3 CTL w 2 z 2 F FIGURA 7.2 Costo totale di breve e di lungo periodo, per un input vincolato La figura 7.2 mostra da un diverso punto di vista la medesima situazione. In essa sono rappresentati i costi associati agli stessi livelli di produzione con il costo relativo a z 2 fissato. CTB è la curva dei costi totali con z 2 vincolato (il costo fisso è 0F), chiamata curva dei costi di breve periodo. CTL è la curva dei costi di lungo quando z 2 è dimensionato sulla produzione 1. In 1 le due curve di costo totale risultano ovviamente tangenti. Per livelli di prodotto diversi da 1 il costo di breve resta sempre più elevato del costo di lungo periodo.

4 4 C CTB 0 CTB 1 CTB 2 CTL (a) CMaB 2 C/ CMaB 0 CMaB 1 CMeB 0 CMeB 1 CMaL CMeB 2 CMeL (b) FIGURA 7.3 Le curve dei costi di lungo periodo e l'inviluppo La curva CTL è la curva dei costi totali minimi di lungo periodo relativa ad una data funzione di produzione. All'interno della tecnologia che essa rappresenta, la dimensione degli impianti è scelta in modo tale da minimizzare il costo per un assegnato livello di output. Esistono conseguentemente tante curve di costo totale di breve periodo per ciascuna dimensione di impianto possibile entro quella tecnologia. Ciascuna di queste curve di breve sarà tangente in un punto alla curva dei costi totali di lungo. Facendo variare con continuità il livello di z 2 otteniamo una intera famiglia di curve CTB. Il contorno inferiore o inviluppo di tutte queste curve è la curva di costo totale di lungo periodo (figura 7.3a). Può accadere che le diverse dimensioni di impianto non presentino tutte la stessa efficienza tecnologica. Impianti piccoli possono lavorare con più difficoltà rispetto a impianti di maggiori dimensioni; possono avere velocità di funzionamento più basse, possono sprecare più materia prima, possono comportare soluzioni organizzative più costose. Analogamente per impianti di dimensioni troppo elevate. Si può pertanto individuare una dimensione d'impianto ottimale, cioè una dimensione che rende

5 minimo il costo medio di produzione rispetto alle altre dimensioni possibili. Il grafico in figura 7.3b, che discende analiticamente da quello 7.3a, è un esempio di una simile situazione. La dimensione d'impianto per una produzione 1 è quella più efficiente perchè presenta il costo medio minimo. Le curve in 7.3b si ricavano facilmente dalla rappresentazione dei costi totali in 7.3a. Dividendo per si calcolano i costi medi per le diverse curve di costo di breve (CMeB)e per la curva di lungo (CMeL). Studiando per le stesse curve l'andamento della derivata prima si costruiscono le funzioni di costo marginale di breve (CMaB) e quella di lungo periodo (CMaL). In generale si può osservare che dividendo le funzioni di costo totale per, abbiamo che CMeL<CMeB, eccetto che per = 1, in cui il livello dato di z 2 è proprio quello che verrebbe scelto in un contesto di lungo. Per per questo valore si riscontra che CMeL=CMeB, come la Figura 7.2 mette in evidenza. In termini analitici quanto sopra presentato si può esprimere, impiegando le funzioni di costo totale, come segue. Sia!() = c(w 1,w 2,, z 2 )- c(w 1, w 2, ) la differenza tra costi di breve e di lungo periodo, così che!() " 0 e!( 1 ) = 0. Questa funzione è presentata nella figura δ() 1 FIGURA 7.4 Differenza tra costi di breve e di lungo periodo!() è minimizzata a 1 con! " ( 1 ) = 0 e! '' ( 1 ) " 0 (assumendo perciò la doppia derivabilità della funzione). Pertanto!c(w 1,w 2, 1, z 2 )! =!c(w 1,w 2, 1 )! (7.3)

6 6 e! 2 c(w 1,w 2, 1,z 2 )! 2 "! 2 c(w 1,w 2, 1 )! 2 (7.4) di modo che a 1 il CMaB è uguale al CMaL, ma l'inclinazione della curva di CMaB è maggiore dell'inclinazione di quella del CMaL. La figura 7.3b (in cui si può osservare che la relazione tra costi marginali e costi medi è valida sia per i costi di breve che di lungo) illustra questa situazione. Il significato economico della (7.3) e (7.4) è semplice: poichè i costi di breve eccedono i costi di lungo quando < 1, sono uguali per = 1, ed eccedono ancora i costi di lungo quando > 1, ne segue che i costi di lungo crescono più rapidamente dei costi di breve (CMaL>CMaB) quando < 1, crescono meno velocemente dei costi di breve (CMaL<CMaB) quando > 1, e crescono allo stesso tasso per = 1 (CMaL=CMaB). 7.2 Il breve e il lungo periodo dal lato dell'offerta Passiamo ora a considerare le proprietà della funzione di offerta di breve periodo = ( p, w 1, z 2 ) definita dalla (6.8), e la funzione di domanda di input di breve periodo z 1 ( p,w 1,z 2 ) ottenuta sostituendo la funzione di offerta nella (6.2) nel modo seguente z 1 ( p,w 1,z 2 ) = z 1 (( p,w 1, z 2 ),z 2 ) Consideriamo una derivazione alternativa di queste due funzioni mediante il seguente problema di massimo max,z1 p - w 1 z 1 - w 2 z 2 sub = F(z 1, z 2 ) (7.5) dal quale si ottengono le due equazioni

7 p!f(z 1, z 2 )!z 1 = w 1 (7.6) γ 7 F(z 1, z 2 ) = (7.7) la cui soluzione fornisce = ( p, w 1, z 2 ) (7.8) e z 1 ( p,w 1,z 2 ) (7.9) E' immediato osservare che queste due ultime equazioni rappresentano un altro modo di scrivere la (6.8) e la (6.2) del capitolo precedente così che le soluzioni sono effettivamente le stesse funzioni. In tal modo possiamo affermare che l'impresa nel breve periodo sceglie il livello di output che rende il costo marginale uguale al prezzo dell'output o sceglie il livello dell'input variabile che rende il valore del prodotto marginale uguale al prezzo dell'input: si tratta di due modi di affermare la stessa cosa. Osserviamo il grafico in figura 7.5. Se, inizialmente, l'impresa è in equilibrio di lungo periodo per p 1, 1, una crescita del prezzo a p 2 farà aumentare l'output a 2 lungo la curva del CMaB. Ma quando l'impresa varia tutti gli input, l'output si espanderà ulteriormente lungo la curva del CMaL a 3 (naturalmente a 3, z 2 è cambiato e l'impresa avrà una nuova curva del CMeB tangente alla curva del CMeL in corrispondenza a 3 e una nuova curva del CMaB che interseca la curva del CMaL sempre in 3 ). γ Il confronto tra la (6.8), p =!c( w 1,w 2,, z 2 ) /!, e la (7.6) indica che!c( w 1,w 2,, z 2 ) /! = (!z 1 /!)w 1

8 8 CMaB CMaL p 2 p 1 CMeB CMeL FIGURA 7.5 Curve dei costi di lungo e breve periodo Le funzioni di offerta di lungo e di breve periodo hanno pertanto la proprietà che!( p,w 1,w 2 )!p "!( p,w 1, z 2 )!p " 0 (7.9) Moltiplicando ambo i lati della (7.9) per p/ si cambiano le derivate in elasticità e si ottiene che!( p,w 1,w 2 )!p p "!( p,w 1, z 2 )!p p (7.10) vale a dire che l'elasticità dell'offerta di lungo periodo è maggiore dell'elasticità dell'offerta di breve periodo.