Esercizio 1. CALCOLO DEI PARAMETRI DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DI UN TRASFORMATORE MONOFASE E DEL SUO RENDIMENTO MASSIMO

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Ferdinando Bello
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1 Conversione Elettromeanica A.A. 22/23 Esercizio 1. CALCOLO DEI AAMETI DEL CICUITO EQUIVALENTE DI UN TASFOMATOE MONOFASE E DEL SUO ENDIMENTO MASSIMO Si consideri un trasformatore monofase di cui sono noti i seguenti dati: potenza apparente nominale A n = 2 kva tensione primaria nominale V = 8 kv tensione secondaria nominale V 2n = 24 V fattore di potenza del carico cosϕ carico = 1 isultati della prova a vuoto: tensione di prova = tensione nominale V corrente a vuoto I = 214 ma potenza attiva assorbita a vuoto = 24 W isultati della prova in corto circuito: tensione di corto circuito V 1 = 489 V corrente assorbita = corrente nominale I potenza attiva assorbita in corto circuito = 4 W Si determinino: a) le correnti nominali primaria e secondaria I e I 2n ; b) le componenti attiva I a e reattiva I r della corrente a vuoto; c) i parametri resistivi e induttivi, X, 1, X 1 del circuito equivalente semplificato riferito all avvolgimento primario illustrato in figura; d) il fattore di potenza a vuoto cosϕ e in corto circuito cosϕ ; e) il fattore di carico x per il quale il rendimento risulta massimo e il valore di tale rendimento, essendo il trasformatore connesso ad un carico con cosϕ carico = 1 e trascurando la variazione della tensione secondaria rispetto a quella nominale. Esercizio 1 sui trasformatori ag. 1 di 5

2 Conversione Elettromeanica A.A. 22/23 Soluzione dell Esercizio 1 An 2 a) I = = = 2,5 A V 8 A 2 = = = 3,33 A n I2n 8 V2n 24 b) In un trasformatore la corrente a vuoto I (che è circa uguale alla corrente magnetizzante a carico) può essere scomposta in due componenti: una componente I r (componente magnetizzante, o reattiva, legata a X ) in fase col flusso magnetico totale e quindi generare il flusso; Φ, a cui è legata la potenza reattiva necessaria per magnetizzare il nucleo una componente I a (componente attiva, legata a ) in quadratura con il flusso, cioè in fase con la f.e.m. indotta e 1, a cui è legata la potenza attiva che compensa le perdite nel ferro del nucleo. Vettorialmente, la corrente a vuoto I è quindi data da: I = Ia + I r Il suo modulo risulta uguale a: a I = I + I r Il modulo della componente attiva I a si calcola a partire dall espressione della potenza attiva assorbita a voto : 24 =V I a Ia = = = 3mA V 8 I r a = I I 212 ma N.B.: ϕ è l angolo tra la corrente I e la f.e.m. indotta e 1. Esercizio 1 sui trasformatori ag. 2 di 5

3 Conversione Elettromeanica A.A. 22/23 c) Osservando il ramo in derivazione: X Z la resistenza a vuoto, la reattanza a vuoto e il modulo dell impedenza a vuoto possono essere calcolate con le formule seguenti: V 8 = = 266,667 kω Ia,3 V 8 X 37,756k Ir, 212 V 8 Z 37,383k I, 214 er calcolare la resistenza a vuoto è possibile usare anche la seguente formula: 2 V V V 8 = = = = 266,667 kω I I V 24 a a L impedenza a vuoto Z può essere anche calcolata come parallelo della resistenza a vuoto e della reattanza a vuoto jx : jx X = = = Z ,94 + jx + X arctan ( X ) , 6 Nella prova di corto circuito i terminali del secondario vengono cortocircuitati mentre quelli del primario vengono alimentati a tensione ridotta V rispetto alla tensione nominale V. In queste condizioni, la corrente assorbita dal ramo in derivazione è del tutto trascurabile rispetto alla corrente I localizzata sulla resistenza 1 e la caduta di tensione nel trasformatore può ritenersi interamente 1 e sulla reattanza La resistenza di corto circuito riferita a primario 2 4 =1I 1 = = = 64Ω I 2,5 X 1. 1 si calcola sapendo che: Ω Il modulo dell impedenza di corto circuito riferita a primario essa scorra la corrente. I Z 1 si calcola ipotizzando che in Esercizio 1 sui trasformatori ag. 3 di 5

4 Conversione Elettromeanica A.A. 22/23 V Z1 195, 6 I 2,5 La resistenza e la reattanza sono in serie tra loro, perciò: 1 X1 Z1 1 jx1 = + : La reattanza X risulta quindi uguale a: X = Z = 184,83Ω N.B.: ϕ è l angolo tra la corrente I e la tensione V 1. d) Il fattore di potenza a vuoto si calcola sapendo che: =V I a 24 = V I cosϕ cos ϕ = =,14 V I 8, 214 Avendo già calcolato I I,3 a cos ϕ = =,14 I, 214 Il valore di è quindi uguale a:, si poteva anche calcolare a ϕ ( ) cos ϕ come: ϕ =arcos cos ϕ = 81,94. Noto ϕ, il calcolo di Z poteva essere svolto anche semplicemente ricordando che, nel circuito equivalente considerato, la tensione applicata al ramo in derivazione è V : V = I Z V = V 9 ( ) ( ) I = I 9 ϕ =, ,94 A =,214 8,6 A V 8 9 = = Ω Z ,94 I,214 8,6 Esercizio 1 sui trasformatori ag. 4 di 5

5 Conversione Elettromeanica A.A. 22/23 Il fattore di potenza in corto circuito si calcola sapendo che: 4 =V1I cosϕ cos ϕ = =,327 V I 489 2,5 Oppure con la formula: X 1 cos ϕ = cos arctan, e) Trascurando la variazione della tensione secondaria rispetto a quella nominale nel passaggio da vuoto a carico, il rendimento del trasformatore è massimo quando le perdite a vuoto sono uguali alle perdite a carico: x 24 2 = x = =,775 = 77,5% 4 Una volta calcolato il valore di x, si può calcolare il rendimento massimo o inserendo il valore x nell espressione generale del rendimento: x n 2 x n x c = + + c ricordando che: n = A n cos ϕ carico = 2 1 = 2 kw oppure utilizzando la formula che fornisce direttamente il rendimento massimo: = = =, % A cosϕ 2 1 n n carico Esercizio 1 sui trasformatori ag. 5 di 5

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