Problema 3: CAPACITA ELETTRICA E CONDENSATORI

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1 Problma 3: CAPACITA ELETTRICA E CONDENSATORI Prmssa Il problma composto da qusiti di carattr torico da una succssiva part applicativa costituisc un validissimo smpio di quilibrio tra l divrs signz ch convrgono sui docnti studnti dl lico scintifico ch a partir dalla Circolar n.1 dl MIUR dl 29/01/2015 dovranno affrontar com disciplina dlla sconda prova dll'esam di Stato una tra Matmatica Fisica mntr pr l'indirizzo di Scinz Applicat si aggiung all du prcdnti Scinz Naturali. Anch s non sistono dati provninti da indagini statistich ufficiali vi sono numros vidnz ch dnunciano una fort proccupazion da part di docnti studnti sulla possibilità di una sconda prova di Fisica all'esam di Stato pr i lici scintifici. Vi sono numros motivazioni tra l quali l'lmnto di novità poiché ad cczion dlla sprimntazion scintifico-tcnologica (Progtto Brocca) non sist una storia di prov di Esam di Fisica. Ngli ultimi anni spci a partir dal 2014/2015 sono stat prsntat dll propost sia dal ministro ch da associazioni profssionali ma non hanno compltamnt tranquillizzato la comunità dirttamnt intrssata. In bas agli lmnti in prcdnza dlinati crdiamo sia util dovroso contribuir con dgli smpi di prova alla riflssion all'orintamnto di docnti dgli studnti impgnati nlla prparazion di una prova ch prsto o tardi costituirà una raltà da affrontar. E' bn ribadir ch l'insgnamnto dlla fisica non ha nlla prova d'esam solo un fin ma soprattutto un mzzo pr potnziarn la portata formativa dlla cui importanza sono tutti consapvoli. In conclusion ritniamo ch il problma proposto sia un ottimo strumnto didattico pr favorir gli apprndimnti dgli studnti il lavoro di loro docnti vist l carattristich di grand quilibrio ch n carattrizzano l'articolazion ma anch la bas pr prosguir nlla formulazion di prov ch possano orintar rassicurar tutti gli intrssati. Il tsto I part - Si spongano in manira sinttica gli lmnti fondamntali rlativi ai sgunti argomnti: capacità di un conduttor capacità di un conduttor sfrico condnsatori condnsator piano condnsatori in sri in paralllo nrgia di un condnsator carico. Gli argomnti di cui è richista la trattazion non comportano particolari difficoltà ma costituiscono pr lo studnt un valido prcorso di ricapitolazion dgli lmnti ncssari pr affrontar i qusiti dl problma ch succssivamnt dovrà risolvr. Inoltr consntono di riprcorrr con la dovuta chiarzza il ncssario rigor gli asptti fondamntali dll'lttrostatica. A nostro parr il docnt dovrà sigr una trattazion prcisa corrtta con una dduzion complta di risultati snza dar pr scontato alcun passaggio.

2 II part - i Qusiti dl problma 1. Tra l armatur di un condnsator piano avnti la suprfici S=15 cm 2 distanti 3 mm sono intrposti du fogli uno di carton dllo spssor d 1 =1.8mm (costant dilttrica ε 1 =4) uno di mica di spssor d 2 =1.2mm (costant dilttrica ε 2 =6). Si dtrmini la capacità dl condnsator. Il condnsator può ssr dscritto da du condnsatori piani in sri ciascuno di suprfici S con distanz rispttivamnt d 1 d 2. Comprsa la situazion divnta molto smplic risolvr il qusito. Si tratta di calcolar la capacità quivalnt ch coincid con la richista dl qusito: 1 C E = 1 C C 2 con alcuni passaggi algbrici si ottin C E = ε 0 ε 1 ε 2 S ε 1 d 2 +ε 2 d 1 =2042 pf. 2. Si ricavino l lggi di scarica carica di un condnsator di capacità C attravrso una rsistnza R si traccino i rispttivi grafici; in ntrambi i casi si calcoli il valor mdio dlla diffrnza di potnzial V nll'intrvallo di tmpo [0 τ] ssndo τ = la costant di tmpo. Il qusito costituisc un'applicazion dll quazioni diffrnziali uno dgli obittivi spcifici di apprndimnto dll Indicazioni Nazionali dl quinto anno dl lico scintifico. S lo studnt non ha affrontato nllo spcifico il problma conoscndo l quazioni diffrnziali l modalità di analisi di circuiti lttrici può giungr con rlativa facilità alla soluzion. La prima richista riguarda la scarica di un condnsator.

3 Dall'analisi dl circuito si ottin: Ri+V =0 d splicitando la corrnt com drivata dlla carica lttrica risptto al tmpo si giung alla sgunt quazion diffrnzial R dq dt + q(t ) C =0. Rsta da risolvr una quazion diffrnzial a variabili sparabili obittivo ch dovrbb ssr alla portata posssso di ogni studnt dl quinto anno dq q = dt da cui la soluzion dlla carica in funzion dl tmpo q (t )= A con la condizion inizial si ottin q (t )=C V 0 quindi la diffrnza di potnzial in funzion dl tmpo è. Analogamnt si risolv il problma dlla carica dl condnsator. Infatti partndo smpr dal circuito tnndo conto ch il condnsator è carico ad una d.d.p. V 0 si ottin Ri + d splicitando la corrnt com drivata dlla carica lttrica risptto al tmpo R dq dt + q(t ) C =V 0

4 la cui soluzion è tnndo conto dlla condizion inizial q (t )=C V 0 (1 ) quindi la diffrnza di potnzial in funzion dl tmpo (1 ). Il calcolo dl valor mdio dlla diffrnza di potnzial V nll'intrvallo di tmpo [0 τ] dov τ = è la costant di tmpo rapprsnta una smplic applicazion dl torma dlla mdia intgral a sostgno dll'ida ch si potrbbro proporr moltissimi srcizi di analisi matmatica nl quinto anno ch abbiano oggtto dgli argomnti di fisica. V m = V 0 dt dov l'intgral è calcolato tra 0 τ τ τ dt V = V 0 0 τ la cui soluzion è: ( 1 1 ). Nl caso dlla carica dl condnsator si ottin con un procdimnto analogo la sgunt soluzion: V = V Un condnsator piano con l armatur ciascuna di suprfici S=1m 2 post a distanza d=2cm vin caricato con una d.d.p. V 0 =500V d immagazzina un'nrgia W= J. Si dtrmini la costant dilttrica rlativa ε r dl dilttrico intrposto. Supposto ch tal dilttrico abbia rsistività ρ= Ω. m si dtrmini il tmpo ncssario prché la d.d.p. tra l armatur si riduca a V 1 =100V. Il trzo ultimo qusito consnt di rivdr l rlazioni i conctti sull'nrgia immagazzinata in un condnsator.

5 Considrando l sprssioni dlla capacità di un condnsator piano l'nrgia in sso immagazzinata: C= ε 0 ε r S d W = C V ottniamo W = ε 0 ε r S V 0 2 2d. A qusto punto si può ottnr l'sprssion dlla costant dilttrica rlativa ε r = 2dW ε 0 S V 0 2 d infin sostitundo i dati numrici dl problma dtrminarn il valor richisto ε r =4.99. Ora si può rispondr alla sconda richista. Conoscndo la rsistività l carattristich gomtrich dl dilttrico si può calcolar la rsistnza R. Dalla formula prcdntmnt ricavata pr la scarica dl condnsator si può ricavar il tmpo ncssario prché la d.d.p. tra l armatur si riduca a V 1 t= ln( V 0 V 1) con = ρ ε ε 0 r ln (5) sostitundo i valori numrici possiamo calcolar il tmpo richisto: t= s=395h.