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1 L iloide L urv no oggi ome iloide fu onsider per primo d Glileo, he in un primo momeno ongeurò he l re dell figur rhius fosse re vole quell del erhio he l gener Più rdi, forse us di qulhe esperimeno ml riusio, si onvinse he queso non er vero, oro perhé poo dopo l su more queso risulo fu dimosro indipendenemene d numerosi sudiosi: orrielli, Roervl, Ferm e Psl orrielli e Roervl ne deerminrono l ngene in un puno rirrio, medine l omposizione dei movimeni Desrizione dell iloide Considerimo un erhio di rggio R he prendo dl puno A rooli senz srisire sull re AD Il puno B, he ll inizio del moo oinide on A, desrive un urv ABD de iloide In un giro, l ruo vrà perorso un mmino pri ll su ironferenz, e quindi l se AD dell iloide misur R Clolimo le oordine di un puno generio B sull iloide Si θ l ngolo he orrisponde queso puno; l ro BC h lunghezz Rθ e il segmeno AC, he per l definizione dell iloide è ugule ll ro BC, vrà nh esso lunghezz Rθ Per rovre le oordine di B onsiderimo l figur qui no Si h BQ R sen (θ /) os θ e PC QO R os (θ /) R sen θ; perno AP AC PC R (θ sen θ) y PB PQ + BQ R ( os θ) Se pensimo he l ngolo θ res on veloià uniforme v, risul θ L iloide si può llor immginre desri d due movimeni, uno rslorio uniforme lungo l sse, di equzioni R, y, l lro d un moo roorio uniforme in senso niorrio orno l puno (,), di equzioni R sen, y R( os ) L omposizione dei due moi gener l iloide L re dell iloide on il meodo degli indivisiili (seondo orrielli)

2 Considerimo l semiiloide ALBCFA e sul dimero CF prendimo due puni H e I ll sess disnz dl enro I segmeni HD, IE, XB e LQ sono uguli, ome nhe sono uguli gli rhi OB, CD e LN Essendo poi uguli CH e IF, srnno uguli nhe AV e RC Inolre, per l definizione dell iloide, l se AF srà ugule ll semiironferenz MLN e l ro LN l segmeno AN, osihé l ro rimnene ML srà ugule l segmeno NF Per lo sesso moivo, l ro BP è ugule l segmeno AP e l ro BO l segmeno PF Poihé AN ro LN ro OB PF, risul nhe ASC, e do he AV RC si h nhe VSR I ringoli VQ e SRX sono llor uguli e quindi VQRX Di qui segue he LV+BRLQ+BX EI+DH Queso è vero quli he sino i puni H e I, purhé ll sess disnz dl enro del semierhio CDEF Or le ue le linee orrispondeni LV e BR formno l figur ALBCA, menre le linee EI e DH dnno luogo l semierhio CDEF Di onseguenz quese due figure sono uguli D lr pre il ringolo ACF è doppio del semierhio CDEF, perhé h l se ugule ll semiironferenz e l lezz ugule l dimero In onlusione l mezz iloide ALBCFA è ripl del semierhio, e l iloide è ripl del erhio generore 3 L iloide ome urv isoron È en noo he le osillzioni di un pendolo non sono rigorosmene isorone, e he il periodo di osillzione umen oll umenre dell mpiezz Deo in lre prole, un orpo he de senz rio lungo un ironferenz (ome il peso dell orologio pendolo) impieg empi diversi seond dell mpiezz, no mggiori quno più mpi sono gli rhi perorsi C è un urv lungo l qule le osillzioni sono rigorosmene isorone? Il prolem non è solo eorio, perhé se si riusisse fr osillre il peso di un pendolo lungo un urv siff, ne risuleree un orologio più preiso del pendolo normle Qundo nel Seieno queso prolem si pose, l orologio pendolo er gli inizi, e queso migliormeno non er rsurile M venimo l prolem memio: l rispos è posii e l urv isoron è l iloide Ques proprieà fu soper d Chrisin Huygens, he l divulgò nel suo elere Orologium osillorium Considerimo l iloide (rovesi) di equzioni prmerihe

3 sen y os on l sse delle y rivolo verso il sso, e si P un puno su di ess, orrispondene l vlore del prmero (< <) Se si f dere un grve lungo l iloide prire dll quiee in P, il empo per rrivre l puno più sso srà ds v & + y& sin d g[ y y ] g ( ) ( ) os os d dove si è us l relzione & + y& os sin Riordndo inolre he os os, e dunque os os os os, si oiene, ponendo os u e os u, sin du d g g u u g u os os dw w g he è indipendene d In onlusione, il empo di du d un qulsisi puno sull iloide fino l puno più sso è sempre lo sesso, qulsisi si il puno inizile; in lre prole, l iloide è isoron 4 Un po di lolo delle vrizioni r le soluzioni del prolem dell rhisoron, proposo d Johnn Bernoulli nel ***, l soluzione d dl frello Jo onenev in germe quello he poi sree diveno il lolo delle vrizioni, un disiplin memi fiorene nor oggi Le si di ques eori furono pose d Eulero e d Lgrnge

4 Il prolem fondmenle del lolo delle vrizioni onsise nel rovre un funzione ) he rende minimo l inegrle F ( y) f (, r ue le funzioni he ssumono vlori ssegni gli esremi e dell inervllo di inegrzione Per ffronre queso prolem, supponimo he l funzione minimizzi l inegrle, e onsiderimo un funzione w( he si nnull in e in Se h è un rirrio numero rele, l funzione y+hw ssume gli sessi vlori di y gli esremi; per le proprieà di minimo di y si h llor F ( y) F( y + hw) Deo lrimeni, l funzione g(h)f(y+hw) h un minimo per h Avremo quindi g'(), ossi d dh f f f (, + hw( ( + hw (,, ) + (,, ) h y y w y y w y Se or inegrimo per pri l ulimo ermine, e riordimo he w()w(), oenimo f d f (, y, ) (, y, ) w y Ques ulim relzione deve essere verifi per ogni funzione w( he si nnull in e in ; ne segue he l qunià in prenesi qudr si deve nnullre L funzione minimizzne srà dunque un soluzione dell equzione differenzile d f f (, (, y Ques equzione si him equzione di Eulero (o di Eulero-Lgrnge) del funzionle F(y) Se ome vviene in moli si il funzionle F(y) è onvesso, le soluzioni dell equzione di Eulero, he ome imo viso orrisponde ll nnullrsi dell deriv prim, sono effeivmene dei minimi di F(y) 5 L rhisoron Considerimo nel pino y (on l sse y orizzonle e l sse direo verso il sso) due puni: l origine O e un puno P (, y ) nel primo qudrne ( >, y >) Si y l equzione di un urv he ongiunge O e P ; il empo he un grve impieg nel dere lungo l urv d O P è do d + g Se si impone he il empo si minimo, vremo l equzione di Eulero

5 d d + d g ossi on osne Sviluppndo, si h d + d + d ui si riv dy Ponendo u, risul udu, e quindi dy du u u Inegrndo, si h ( rsin u u u ) y + e imponendo l ondizione ) si rov ornndo ll vriile : rsin ( Ques è l equzione di un iloide Per rovre l form usule, ponimo R(-os ) R sin /, on R/ Si h llor sin /, e dunque y R Rsin os R( sin ) Quese sono le equzioni prmerihe di un iloide (si riordi he il ruolo delle vriili e y è smio) Il rggio R del erhio generore dovrà poi essere ggiuso in modo he l urv pssi per il puno P

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