Il metodo del simplesso

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1 Capitolo 5 Il metodo del simplesso 5. La forma standard Esercizio 5.. Porre il problema di Programmazione Lineare: in forma standard. min x +x + x + x x +x 5 x 4 x, x Si trasformano i vincoli di disuguaglianza in vincoli di uguaglianza introducendo le variabili di slack e di surplus : min x +x + x + x x +x + 5 x 4 x, x,, Si trasformano le variabili non vincolate in segno in variabili vincolate in segno effettuando la sostituzione x + x : min x +x + x + x x + x x + + x x +x + 5 x x + + x 4 x, x, x +, x,, In alternativa, si sarebbe potuto procedere in un altro modo; infatti, utilizzando il primo vincolo x + x, si può eliminare la variabile ottenendo il problema di PL equivalente min 4x +x x +x 5 x x x, x 5

2 da cui aggiungendo le variabili di slack e di surplus si ha min 4x +x x +x + 5 x x x Esercizio 5.. Dimostrare che il vettore x () T seguente sistema di equazioni e disequazioni: è un vertice del poliedro individuato dal x + x +7 x +x x x i i,...,4 Si tratta di un poliedro in forma standard. Consideriamo le colonne di A corrispondenti a componenti non nulle di x, (x e ), cioè 4 Poiché sono linearmente indipendenti, il punto dato è un vertice del poliedro. Esercizio 5.. Elencare i vertici del poliedro: x +x + x + x i, i,...,4 Si tratta dell insieme ammissibile di un problema in forma standard. Quindi i vertici sono le SBA, n cioè alpiù, in questo caso, 6. La matrice dei coefficienti è: m A Esaminiamo tutte le possibili coppie (m ) di colonne della matrice A, everifichiamo se costituiscono una base (cioè se sono indipendenti). Tra le possibili basi dobbiamo poi individuare quelle ammissibili. Si ottiene: () I B {, 4} x x ; () I B {, 4} x ; x + x, x 6

3 () I B {, } x ; (4) I B {, 4} x ; x + x, x x +, x (5) I B {, } x ; x + x, x 4 4 (6) I B {, } ; x +x, x x x Possiamo riassumere schematicamente questa situazione con una tabella in cui riportiamo per ciascuna coppia di colonne la verifica se la matrice individuata è di base e se la corrispondente soluzione di base è ammissibile. Indici delle colonne Base SBA {, } Sì No {, } Sì No {, 4} Sì Sì {, } Sì No {, 4} Sì Sì {, 4} Sì Sì Quindi abbiamo solo tre soluzioni di base ammissibili (vertici) che sono: /,,. / Esercizio 5..4 Elencare i vertici del poliedro descritto dal sistema: x +x x + + x i, i,...,4 Analogo all esercizio precedente. La matrice dei coefficienti è: A Esaminiamo tutte le possibili coppie (m ) di colonne della matrice A, verifichiamo se costituiscono una base ammissibile e calcoliamo la soluzione. x x () I B {, 4} x x ; 4 x 4, + 5 ; 7

4 () I B {, 4} x ; x x +, x 4 7 ; () I B {, } x ; x x +, / 7/ ; (4) I B {, 4} x ; x, x 4 ; (5) I B {, } x ; x, / / ; (6) I B {, } ; x +x, x x 7 x. Complessivamente possiamo compilare la seguente tabella: Indici delle colonne Base SBA {, } sì no {, } sì sì {, 4} sì sì {, } sì sì {, 4} sì sì {, 4} sì no Quindi 4 7, 5/ 7/, 4, 5/ /. 8

5 Esercizio 5..5 Applicare il criterio di ottimalità e di illimitatezza alla base costituta dalle colonne e 5 nel seguente problema di PL in forma standard: min x + x + x +x +4 x x i, i,...,5 Denotiamo x x B La matrice di base che consideriamo è: x N x c B B, c N e la matrice delle variabili fuori base è N 4. Per applicare il criterio di ottimalità e illimitatezza dobbiamo calcolare i costi ridotti. Calcoliamo l inversa di B: B 4 Quindi i coefficienti di costo ridotto sono: γ c T N c T BB N ( ) 4 ( ) 4 ( 5) I costi ridotti non sono non negativi e quindi non si può concluderenientesullasoluzionedata. / Inoltre, la colonna π (B N) è positiva, quindi non possiamo concludere niente / sull illimitatezza del problema. Esercizio 5..6 Fornendo una breve giustificazione o un controesempio, stabilire se la seguente affermazione è vera o falsa: in una soluzione ammissibile di base ottima di un problema di PL (di minimo, in forma standard) i coefficienti di costo ridotti devono essere tutti non negativi. Falso. Il criterio di ottimalità basato sulla non negatività deicoefficienti di costo ridotto èsolo sufficiente. Sia ad esempio dato il problema di PL seguente. min x +x x 6 x +x + + x x 5 + x +x + x 6 x i, i,...,6 9

6 Consideriamo la base B individuata dalle variabili (, x, x 6 ) T, B A questa base corrisponde la soluzione di base ammissibile (, x, x 6 ) T (,, ) T e x divalorez. Icoefficentidicostoridottorelativisono( 5/, 7/, /), quindi in base al criterio sufficiente non possiamo concludere nulla sulla ottimalità della soluzione. La soluzione è in realtà ottima, ma il criterio di ottimalità è verificato solamente nella soluzione di base ammissibile (,x, ) T (,, ) T e x x 6 sempre di valore z e relativa alla base 5. Esercizio 5..7 Considerato il problema di PL max x + x + x +x + + x +4x x (i) si stabilisca se il punto x (,,,, ) T è una soluzione ammissibile di base ottima calcolando i coefficienti di costo ridotto. (ii) Qualora x siaottima,sistabiliscaselasoluzioneèunica. Innanzitutto si deve scrivere il problema in forma standard. (i) Sicalcolanoicoefficienti di costo ridotto che sono (,, ) T. Si può quindi concludere che la soluzione è ottima. (ii) Poiché i coefficienti di costo ridotto non sono strettamente positivi, non si può concludere niente sull unicità della soluzione. Esercizio 5..8 SiadatoilproblemadiPL min 4x x 6 x +x + + +x 6 x x 6 6 x x 6 5 x i, i,...,6 4

7 (i) Si verifichi che le variabili (x x ) individuano una base ottima. (ii) Si determini l intervallo di valori entro cui può variareilcoefficiente di costo c (relativo alla variabile x )affinché la soluzione determinata al punto (i) rimanga ottima. Se si sceglie c maggiore dell estremo superiore dell intervallo sopra determinato, qual èlavariabile candidata ad entrare in base? (iii) Si determini l intervallo di valori entro cui può variare il termine noto b del secondo vincolo affinché la base individuata da (x x ) rimanga ottima. Qual è l espressione che lega il valore ottimo della funzione obiettivo a b? (iv) Si supponga di inserire una nuova variabile x 7 con colonna dei coefficienti A 7 ecoefficiente di costo c 7 8. L inserimento di questa nuova variabile consente di ottenere un vantaggio? In caso di risposta negativa, si determini il valore di c 7 per cui l uso di questa variabile può essere economicamente competitivo. (i) La base individuata dalle variabili (x x )è B La corrispondente matrice fuori base è N B 4 Si possono quindi calcolare i coefficienti di costo ridotto 6 γ c N N T (B ) T c B Poiché γ, la soluzione è ottima e vale x B B b, x N. 4 x 6 (ii) Sia c il coefficiente di costo della variabile x.risulta 6 γ c N N T (B ) T c B c 9 c +c c 4

8 Se γ, la soluzione è ancora ottima. Quindi si tratta di verificare se esiste un valore di c che soddisfa il sistema c +c c. Si ottiene c [, ]. Se <c, la variabile a cui corrisponde un coefficiente di costo ridotto negativo è x 6,cheè quindi l unica candidata ad entrare in base. Per c > hannocoefficiente di costo ridotto negativo sia che x 6, comunque la variabile x 6 corrisponde al costo ridotto minore. (iii) Supponiamo che b T (, b, 5) T. Inquestocasositrattadiverificare che la soluzione sia ancora ammissibile cioè cheb b. 4 4b b 8 b 5 b 8 Si individua l intervallo b [/4, 8]. Per un valore di b in questo intervallo la funzione obiettivo vale f (b ) 4(4b ) + 9(b 8) + b. (iv) L introduzione della variabile x 7 consente di ottenere un vantaggio se la soluzione ottima cambia. Possiamo verificare se il coefficiente di costo ridotto relativo alla variabile x 7 è non negativo oppure no. Risulta: γ 7 c 7 c T BB A 7 8 ( 4 9) 4. Poiché γ 7 > la soluzione ottenuta al punto (i) è ancora ottima per il problema aumentato; non c è quindi alcun vantaggio nell inserire la variabile x 7. Si può avere un vantaggio se risulta γ 7 <, cioè sec 7 7 <. In questo caso infatti non si può concludere che la soluzione è ottima (ma nemmeno che non lo è). Esercizio 5..9 Sia x (,,, ) T una soluzione di base ammissibile per un problema di ProgrammazioneLineareesia(γ, γ ) T (, ) T il vettore dei costi ridotti associato alle variabili fuori base ed. Se il valore della funzione obiettivo in x èparia, ovvero c T x dire qual è il valore della funzione obiettivo in x (,,, ) T. Si ha z c T B B b+γ T x N cioè z(x )c T B B b ez(ˆx) c T B B b +γ +γ. Si ottiene quindi z(ˆx). 4

9 Esercizio 5.. Data una soluzione ammissibile di base x (,,,, ) di valore z( x) 7,siano γ +h e γ i costi ridotti associati alle variabili fuori base ed. Determinare il valore del parametro h per il quale la soluzione ammissibile ˆx (,,,, ) T ha valore 5. Si ha z c T BB b +(c T N c T BB N)x N c T BB b + γ T x N. Sappiamo che z( x) c T B B b 7. Nelpuntoˆx si ha: z(ˆx) c T B B b + γ + γ 7+(+h)ˆ + ˆ 7+(+h) + 4 e quindi si ottiene l equazione: da cui h 6. h +75 4

10 5. Il metodo del simplesso In questo paragrafo sono riportati alcuni esercizi risolti sul metodo del simplesso. Alcuni sono risolti utilizzando la procedura di pivot per determinare, ad ogni iterazione, la nuova forma canonica; in altri tale forma canonica è determinata con l uso esplicito della matrice di pivot T. Ovviamente l uso dell una o dell altra procedura è del tutto equivalente. Per brevità siè usata solo la notazione impiegata in classe dai Proff. LucidieRoma.Glistudenti del Prof. Facchinei tengano conto di due semplici differenze:. Quando negli esercizi si parla di forma canonica si tratta, sostanzialmente, di una forma di presentare i dati di interesse per l iterazione in corso. Per esempio, nel primo esercizio qui di seguito(esercizio5..)vienedettoche laformacanonicarispettoallevariabili e è: x4 min ( ) x4 + +( 4 ) 4 x x x x x x. Questa notazione, tradotta nella notazione usata in classe dal Prof. Facchinei si legge come: B {, }, N {x,x, }, B 4 N, B 6 b. Quando si dice all inizio di un problema che il problema è in forma canonica si intende dire che una base iniziale data dall identità è evidente.. Nel calcolo della variabile uscente, la notazione (π i ) j va letta, nella notazione usata in classe dal Prof. Facchinei come π ji. Esercizio 5.. Risolvere applicando la fase II del metodo del simplesso il seguente problema di Programmazione Lineare min x +4x + x +4x x + x + + x. Si può applicare la fase II del metodo del simplesso perché ilproblemaè in forma canonica rispetto alle variabili,,ovveropuò essere scritto x x4 min ( ) +( 4 ) x x 5 x x x x. 6 44

11 La base iniziale è B I erisultax B Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ c N (N ) T c B x4 4, x N x x 4. T Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Verifica illimitatezza. Per i,, risultaπ i > ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. Si sceglie la variabile corrispondente al costo ridotto minore, cioè ed h. ((B ) b) i Scelta della variabile uscente. Si sceglie min i (π (π ) i > ) i che corrisponde alla variabile e k. I nuovi vettori delle variabili di base e fuori base sono: x x4 x B x x N x c B c N 4 a cui corrispondono le nuove matrici: B N 4 Costruzione forma canonica. Calcolo (B ) N e(b ) b con operazione di pivot. La matrice di pivot è: π π π e (B ) b 4 6 Con l operazione di pivot sull elemento (π ), si ottiene: e (B ) N (B ) b - - / / /

12 Quindi la nuova forma canonica rispetto alla base B è: x4 min ( ) +( 4) Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. x4 + x γ c N B T N c B / / 4. x x x x / / / T Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Verifica illimitatezza. Risulta π > ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. C è un solo costo ridotto negativo, la variabile entrante è x e h. ((B ) b) i Scelta della variabile uscente. Si sceglie min che corrisponde alla variabile e i (π (π ) i > ) i k. I nuovi vettori delle variabili di base e fuori base sono: x x 4 x B x x N c B c N a cui corrispondono le nuove matrici: B 4 N Costruzione forma canonica. Calcolo (B ) N e(b ) b con operazione di pivot. La matrice di pivot è: π π e π (B ) b - - / / / 46

13 Con l operazione di pivot sull elemento (π ), si ottiene: e (B ) N (B ) b -/ / -/ 7/6 -/6 / Quindi la nuova forma canonica rispetto alla base B è: x min (4 ) +( ) x + x x / / / 7/6 /6 / x Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ c N [(B ) N ] T c B 5/ / 8/. Verifica ottimalità. Risulta γ >. La soluzione è ottima e vale: x x 4 x 5, x x ; il valore ottimo della funzione obiettivo è pari a e la base ottima B è B. La soluzione èunica poiché i coefficienti di costo ridotto sono strettamente positivi. 47

14 Esercizio 5.. Risolvere con il metodo del simplesso il seguente problema di PL min x + x x +x x x + x x + x Innanzitutto poniamo il problema in forma standard. min x + x x +x + x x + + x x + + x 6 x Il problema è in forma canonica, infatti si può scrivere: min() +( ) x 6 + x x 6 x x x equindipossiamoapplicaredirettamentelafaseiidelmetododelsimplesso. Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. (γ ) T c T N ( ) Verifica ottimalità. Risultaγ ; si prosegue. Verifica illimitatezza. La colonna π ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. C è un unico costo ridotto negativo, che corrisponde alla variabile ed h. Scelta della variabile uscente. Si sceglie min i (π )i> ((B ) b) i (π ) i ((B ) b) (π ) ((B ) b) (π ) cioè k ok. Sipuò scegliere quindi indifferentemente o x 6.Sisceglie (k ). Quindi x x B x N x c B c N x 6 48

15 e le corrispondenti matrice di base e fuori base: Utilizzandolamatrice B N T oeffettuando un operazione di pivot si ottiene la nuova forma canonica. Iterazione. Calcolo costi ridotti. Sihaγ (4 ) T Verifica ottimalità. Risulta γ e quindi il criterio di ottimalità nonèsoddisfatto. Verifica illimitatezza. Risulta π illimitatezza. Il problema dato è quindi illimitato inferiormente., e quindi è soddisfatto il criterio sufficiente di 49

16 Esercizio 5.. Risolvere, utilizzando il metodo del simplesso, il seguente problema di Programmazione Lineare: min x +x x 6 x +x + + x x 5 + x +x + x 6 x. Il problema è già in forma canonica: min() + x 6 x x +() x x 6 5 x x equindipossiamoapplicaredirettamentelafaseiidelmetododelsimplesso. Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha γ 4 Verifica ottimalità. Risulta γ e quindi si prosegue. Verifica illimitatezza. Risulta π π quindi si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta variabile entrante. Il costo ridotto negativo corrisponde alla variabile x,cioè h. Scelta variabile uscente. ((B ) b) i,, min i,, (π ) i > (π ) i Poichè il minimo è raggiunto per più di un indice, la soluzione trovata sarà degenere. Scegliamo di far uscire la variabile corrispondente a k. Le nuove matrici di base e fuori base sono: B 5

17 a cui corrispondono x B x x 6 N x N x 5, c B Si costruisce la nuova forma canonica utilizzando la matrice / T / / c N Possiamo ora calcolare la matrice (B ) N eilvettor(b ) b.siottiene: / 5/ / (B ) N / / 5/, (B ) b / 5/ / La nuova forma canonica èquindi: min() x + x 6 x x +() x x 6 / 5/ / / / 5/ / 5/ / x Si osservi che la soluzione di base ottenuta ha una componente nulla, cioè è degenere. Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha γ Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Verifica illimitatezza. Risulta 5/ π / 5/ si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. / 5/ 7/, π / 5/ / 5

18 Scelta variabile entrante. C è un unico costo ridotto negativo corrispondente all indice h cioè alla variabile. Scelta variabile uscente. Siha min i,, (π ) i > ((B ) b) i (π ) i Esce la variabile x 6 corrispondente a k. Le nuove matrici di base e fuori base sono: a cui corrispondono x B x, x N B N x x 6 /, ((B ) b) / (π ) 5, c B Si costruisce la nuova forma canonica utilizzando la matrice T T / 5/ / Dobbiamo ora calcolare le matrici (B ) N, (B ) b. Si ottiene: 4/ / / (B ) N / / 5/ / 5/ / La nuova forma canonica è: min( ) x + x x +() x x 6 4/ / / / / 5/ / 5/ /, c N (B ) b x x 6. 5

19 Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ / / 7/ Verifica ottimalità. I costi ridotti sono tutti positivi, quindi la soluzione trovata è ottima. La soluzione ottima è x B x x N x x 6 con valore ottimo della funzione obiettivo pari a. La soluzione trovata èunicaedè degenere. 5

20 Esercizio 5..4 Risolvere utilizzando il metodo del simplesso il seguente problema di PL: min 4x + x + x + x + 4 x +x + x + x 5 x Innanzitutto scriviamo il problema in forma standard: min 4x + x + x + x + 4 x +x + x x + 5 x Il problema non èinformacanonica;sidevequindiapplicarelafasei. Consideriamo quindi il problema ausiliario: min α + α + α x + x + + α 4 x +x + + α x x + + α 5 x, α. Il problema ausiliario naturalmente è in forma canonica: α x min() α +() x α x α x α + x α x α Si risolve il problema ausiliario con la fase II del metodo del simplesso. B I, x B α, x N x. Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ c N (N ) T c B Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante: il minimo costo ridotto è 6 che corrisponde alle variabili x, ;si sceglie h

21 Scelta della variabile uscente. Siha: ((B ) b) i (π ) i min i,, (π ) i > con k a cui corrisponde la variabile α. Quindi α x B x, x N α Le nuove matrici di base e fuori base sono: α x B N 4 min,, 5,, c B, c N Costruzione forma canonica. Calcolo (B ) N e(b ) b con operazione di pivot. La matrice di pivot è data da: π e π π (B ) b 4-5 Con l operazione di pivot sull elemento (π ), si ottiene: e (B ) N (B ) b -/ - 4/ / / -/ - 8/ 4 Quindi la nuova forma canonica rispetto alla base B è: α α min ( ) x +() x α x α / 4/ α x + / / x α / 8/ x α 4. 55

22 Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ c N ((B ) N ) T c B / 4/ / / / 8/ T Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. C è un unico costo ridotto negativo che corrisponde alla variabile ed h. ((B ) b) i Scelta della variabile uscente. Si sceglie min i (π (π ) i > ) i che corrisponde alla variabile α e α.sisceglieα e k. I nuovi vettori delle variabili di base e fuori base sono: α x B x x N x c B c N. α α Le nuove matrici di base e fuori base sono: B N Costruzione forma canonica. Calcolo (B ) N e(b ) b con operazione di pivot. La matrice di pivot è data da: Con operazione di pivot si ottiene π π π e (B ) b 4/ -/ - / / 8/ -/ - 4 e (B ) N (B ) b -/ -/4 /4 / / 5/4 -/4 /

23 Quindi la nuova forma canonica rispetto alla base B è: α min ( ) x +() x α α / /4 /4 x + / 5/4 /4 α x α Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. (γ ) T () ( ) ( ). Verifica ottimalità. I costi ridotti sono non negativi, quindi la soluzione trovata è ottima. Si tratta di una soluzione degenere. Verifica ammissibilità problema originario. Il valore della funzione obiettivo del problema ausiliario z(α )ènullo,quindiilproblemadiplè ammissibile. Costruzione della base del problema originario. Le variabili α, α sono uscite dalla base e si possono semplicemente eliminare. Si ottiene min ( ) x + α x α x α /4 5/4 x La variabile α è invece ancora in base, ma l elemento (π ). (La variabile α ècioèidenticamente nulla). Il vincolo corrispondente è quindi ridondante e si può eliminare. Si ottiene la forma canonica del problema originario rispetto alla base (ottenuta da B eliminando la riga e la colonna relative ad α ): x min ( 4) + x x x /4 / + x x 5/4 / x. INIZIO FASE II Indichiamolamatricedibaseinizialeelamatricefuoribasecon: B N α x α / / / / 57

24 Iterazione. Calcolo costi ridotti. γ /4 Verifica ottimalità. γ < ; si prosegue. Verifica illimitatezza. Risulta π ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. Entra in base la variabile x e h. Scelta della variabile uscente. Esce dalla base la variabile x e k. I nuovi vettori delle variabili di base e fuori base sono: x x B, x N x a cui corrispondono le nuove matrici: x B N Costruzione forma canonica. Calcolo (B ) N e(b ) b con operazione di pivot. La matrice di pivot è: π e (B ) b -/4 / 5/4 / Con l operazione di pivot sull elemento (π ) 5/4, si ottiene: e (B ) N (B ) b /5 9/5 4/5 /5 Quindi la nuova forma canonica rispetto alla base B è: x min ( ) +4x x x /5 + x x 4/5 x. 9/5 /5 Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ /5 Verifica ottimalità. Risulta γ > ; la soluzione trovata è ottima e unica e vale: x, x /5, x 9/5 con valore ottimo della funzione obiettivo pari a /5. La base ottima B è B. 58

25 Esercizio 5..5 Risolvere, utilizzando il metodo del simplesso, il seguente problema di Programmazione Lineare: min x + x x x + x +x x. Innanzitutto scriviamo il problema in forma standard: min x + x x x + x +x x. Il problema non èinformacanonicaequindidideveapplicarelafasei. Consideriamo quindi il problema ausiliario: min α + α x x + + α x +x + α x, α. Il problema ausiliario èinformacanonica α min ( ) +() α α + α x, α x x x 4 x x Si risolve il problema ausiliario con la fase II del metodo del simplesso. Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. γ Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante: il minimo costo ridotto è che corrisponde alla variabile x e h. Scelta della variabile uscente. Siha: min i, (π ) i > ((B ) b) i (π ) i min, 59

26 Poiché il minimo è raggiunto per più diunindice,lasoluzionesarà degenere. Si sceglie di far uscire la variabile α corrispondente a k. Quindi x B x α x N Le nuove matrici di base e fuori base sono: N α x B c B Calcoliamo la nuova forma canonica attraverso la matrice T c N. Quindi si ha: (B ) N, (B ) b. ed il problema in forma canonica rispetto alla base B è: min ( ) Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha x α x + α x,x,,, α, α +() α x γ Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. C èunsolocostoridottonegativo(γ ) che corrisponde alla variabile x e h.. α x 6

27 Scelta della variabile uscente. min i, (π ) i > ((B ) b) i π i Si ottiene un valore nullo; questo corrisponde, come previsto, ad una soluzione degenere. La variabile uscente è α e k. Quindi x B x x, x N α α, c B Le nuove matrici di base e fuori base sono: B N Si può calcolare la nuova forma canonica attraverso l uso della matrice T / /, c N Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha (γ ) T (). Verifica ottimalità. Il vettore dei costi ridotti è non negativo, quindi la soluzione trovata èottima. Calcoliamo (B ) b. La soluzione ottima vale quindi x, x α α x x 4 Si tratta di una soluzione degenere. Verifica ammissibilità problema originario. Il valore della funzione obiettivo del problema ausiliario z(α )è nullo, quindi il problema di originario è ammissibile. Costruzione della base del problema originario. Le variabili ausiliarie sono tutte fuori base e quindi una base ammissibile per il problema iniziale è B, e la soluzione di base ammissibile corrispondente si ottiene eliminando le variabili ausiliarie dalla soluzione ottima. Si applica quindi la Fase II al problema x x min ( ) +( ) x x 4 x x + x x. 6

28 Risulta B N INIZIO FASE II Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha: min i, (π ) i > γ Verifica ottimalità. Risulta γ ; si prosegue. Verifica illimitatezza. La colonna π ; si prosegue. Costruzione nuova base ammissibile. Scelta della variabile entrante. C è un solo costo ridotto negativo e h. Scelta della variabile uscente. Risultaπ (/ /) T esiha ((B ) b) i ((B ) b) 6 (π ) (π ) i che corrisponde alla variabile che corrisponde a alla variabile x e k. Quindi si ha x B x x x N x c B c N Le nuove matrici di base e fuori base sono B N La nuova forma canonica si può ottenere attraverso la matrice T Iterazione. Calcolo dei costi ridotti. Si ha γ. Verifica ottimalità. Risulta γ. Quindi la soluzione trovata è ottima. Calcoliamo (B ) 6 b ; 4 6

29 la soluzione ottima vale quindi: x x 4, x 4, x 6 con valore della funzione obiettivo pari a. La base ottima B uguale a B. Esercizio 5..6 Sia dato il problema di Programmazioe Lineare definito da min c T x Ax b, x con A è m n. Fornendo una breve giustificazione o un controesempio, stabilire se la seguente affermazione è vera o falsa: se A ha rango minore di m, al termine della Fase I del metodo del simplesso alcune variabili artificiali devono essere necessariamente variabili di base. Vero. Poichéilproblemaartificiale usato nella Fase I del metodo del simplesso ammette sempre una soluzione ottima, esiste sempre una soluzione di base ammissibile. Se A ha rango minore di m, non esiste una sottomatrice B, m m, dia non singolare. Quindi la base ammissibile individuata alla fine della Fase I del metodo del simplesso, deve necessariamente contenere almeno una colonna relativa ad una variabile ausiliaria e la SBA corrispondente contiene almeno una variabile ausiliaria. 6