} Funzioni scalari. Funzione Vettoriale di una Variabile Reale. Funzioni Vettoriali

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1 Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 3 Ottobre Funzioni vettoriali Introduzione a iti e derivate F. Caliò Funzione Vettoriale di una Variabile Reale 4 Funzioni Vettoriali Funzione vettoriale di una variabile reale 6 7 IW /DYDULDELOHW VLFKLDD parametroloyhwwruhiwq GHWWRvettore parametrico Varie categorie di funzioni di variabili reali I I I I } Funzioni scalari. Funzione reale di due variabili reali. Funzione reale di una variabile reale. Funzione vettoriale di una variabile reale. Funzione vettoriale di due variabili reali. Funzione di una variabile reale: un elemento dell insieme di definizione è un numero reale; Funzione di due variabili reali: un elemento dell insieme di definizione è una coppia ordinata di numeri reali; Funzione scalare: un valore della funzione è un numero reale; Funzione vettoriale: un valore della funzione è una n-pla ordinata di numeri reali (ossia un vettore). 3 Funzioni 8YHWWRUHqXDSOD RUGLDWDGLVFDODULTXLGL XYHWWRUHSDUDHWULFRIX]LRHYHWWRULDOHq HTXLYDOHWHDXDSOD RUGLDWDGLIX]LRL VFDODUL f(t ) f (t ) v f ( t )... fn (t ) Equazione vettoriale v f (t) v f (t)... v n f n (t) 6 Metodi Numerici per il Design - Lezione 3/4 Ottobre

2 Vettore parametrico - insieme di definizione f(t ) f (t )... fn (t ) f (t) I f (t) I... f n (t) I n /HFRSRHWLGHOYHWWRUH SDUDHWULFRVRRIX]LRL VFDODULI GHOODYDULDELOH LGLSHGHWHW I I I... I n / LVLHHGLGHILL]LRHq O LWHUVH]LRHGHJOLLVLHLGL GHILL]LRH 7 Grafico di un vettore parametrico - n &XUYDGHOSLDR[\OXRJRGHLSXWLYHWWRUH IWDOYDULDUHGLW L, tt tt tt f(t ) f(t ) f (t) f (t) della curva Insieme di definizione - Esempi con n Esempio : t f (t ) t Esempio : f ( t ) t ln( t ),, >,, > cos t f (t ) sin t (-,) Esempio di grafico - n t π/ t π t 3/π, >π (,) (,) t (cost,sint) t (,) cost sint della circonferenza Con le equazioni è possibile rappresentare curve chiuse 8 Insieme di definizione - Esempio con n3 Grafico di un vettore parametrico - n3 &XUYDGHOORVSD]LR[\]OXRJRGHLSXWL YHWWRUHIWDOYDULDUHGLW L, s int f (t ) t t,, t z t t f (t) f (t) zf 3 (t) della curva 9 Metodi Numerici per il Design - Lezione 3/4 Ottobre

3 Grafico di un vettore a due parametri - n3 6XSHUILFLHGHOORVSD]LR[\]OXRJRGHL SXWLYHWWRUHIWXDOYDULDUHGLWX L, Funzione Vettoriale di due Variabili Reali t uu uu uu t t z 3 6 Funzione vettoriale di due variabili reali 6 7 IWX /HYDULDELOLWX VLFKLDDR parametriiwxqxvettore a due parametri Funzione I ualche nozione sui iti 4 7 Funzioni e insieme di definizione Limite per {valore finito} 9DOJRROHFRVLGHUD]LRLVYROWHSHULYHWWRULD XSDUDHWUR4XLOHIX]LRLVFDODULVRR IX]LRLGLGXHYDULDELOL ESEMIO: f() per < per > v f (t,u ) Equazione vettoriale v f (t,u) v f (t,u)... v n f n (t,u) equivalenti f ( ) f ( ) I I I... I n 8 Metodi Numerici per il Design - Lezione 3/4 Ottobre 3

4 Limite per {valore finito} (continuazione) ESEMIO: f() log per < per > f ( ) f ( ) Funzione I Il concetto di derivata Derivata in un punto f ( ) 9 Limite infinito ESEMIO: f() - f ( ) f ( ) Tangente ad una curva f() in un punto -,7 -,8 /,3 f() m,7,,9 /,6 3 /,33 : / incremento : coefficiente della variabile angolare indipendente delle secanti per : corrispondente e incremento della variabile m dipendente coefficiente angolare della tangente in 3 Limite di un rapporto Sia: f() p( ) Si vuole: f ( ) a q( ) &$6 p( ) pa q( ) qa a a &$6 p( ) pa a a q( ) &$6 a p( ) a a q( ) q &$6 a p( ) a q( ) &$6 a p( ) a q( ) (63(66,,,'(7(,$7( p f ( ) a q a f ( ) a f ( ) a f ( ) a a a f ( ) Derivata di una funzione f() in un punto Il coefficiente angolare delle secanti passanti per i punti e è detto rapporto incrementale ed è il rapporto: / (f( ) - f( ))/ Il coefficiente angolare della tangente in è detto derivata in della funzione f() ed è il ite del rapporto incrementale, al tendere di a zero. N.B.,OUDSSRUWRLFUHHWDOHqXDIX]LRHGL [ Metodi Numerici per il Design - Lezione 3/4 Ottobre 4

5 Calcolo della derivata Esempio di calcolo di derivata (continuazione) t ϕ α s (. (. ) ).. ( ) La derivata cercata è 8 Calcolo della derivata (continuazione) Il coefficiente angolare di s (secante la curva in di ascissa e di ascissa ) si calcola come: f ( ) f ( ) tgα Il coefficiente angolare di t (tangente alla curva in di ascissa ), retta avente direzione ite quando si porta su, si calcola come: m f ( ) f ( ) tgϕ Applicazione del risultato precedente Equazione della tangente alla curva di equazione, nel punto,. -, m Retta per (, ) e di coefficiente angolare m: ( ) m( ) N.B.,OOLLWHGHOUDSSRUWRLFUHHWDOHqX HVSUHVVLRH LGHWHULDWDGHOWLSR l equazione è: -,-, -, 6 9 Esempio di calcolo di derivata Consideriamo la funzione quindi f () Calcoliamo la sua derivata per,. Il rapporto incrementale è: (. ). La derivata è: (. ). FINE 7 3 Metodi Numerici per il Design - Lezione 3/4 Ottobre