Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

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1 Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara

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3 Indice Capitolo. Operazioni tra matrici e n-uple. Soluzioni 3 Capitolo 2. Rette e piani 5. Suggerimenti 9 2. Soluzioni 20 Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali 47. Suggerimenti Soluzioni 48 Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) 55. Suggerimenti Soluzioni 57 Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) 67. Suggerimenti Soluzioni 69 Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice 83. Suggerimenti Soluzioni 85 Capitolo 7. Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. 95. Suggerimenti Soluzioni 07 Capitolo 8. Applicazioni lineari 73. Suggerimenti Soluzioni 82 Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari 235. Suggerimenti Soluzioni 24 Capitolo 0. Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali 279. Suggerimenti Soluzioni 282 Capitolo. Endomorfismi e matrici simmetriche 295. Suggerimenti Soluzioni 297 Capitolo 2. Rette e piani con le matrici e i determinanti 33. Suggerimenti Soluzioni 36 Capitolo 3. Coniche 329. Suggerimenti Soluzioni 334 Capitolo 4. Quadriche 373. Suggerimenti Soluzioni 377 iii

4 iv INDICE Capitolo 5. Coordiante omogenee e proiezioni 399. Suggerimenti Soluzioni 400

5 INDICE v

6 Avvertenze importanti. L eserciziario è scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta di esercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro). Quasi ogni capitolo è così strutturato: Testo degli esercizi, Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione, Soluzione di tutti gli esercizi proposti. L eserciziario contiene sostanzialmente: i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi: Geometria, c.l. in Ingegneria Edile / Architettura, dall a.a 2002/03 all a.a. 2008/2009. Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organizzazione - Rovereto, dall a.a 2002/03, all a.a. 2006/2007. I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell Informazione e dell Organizzazione - Rovereto, a.a. 2006/2007, tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta. Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R. Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, Alcuni esercizi degli appelli d esame e delle provette dei precedenti corsi. Nel corso dell a.a. 2008/09 l eserciziario verrà aggiornato.

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8 CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 2 3 B = [ 3 ] 0 4 e dati λ = 5, µ = 2, si calcoli AB, BA, A + B, B A, λa + µb. Esercizio.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolare A + B, B A, λa + µb, AB, BA, A 2 : 3 2 B = λ = 2, µ = 0 3 B = 4 5 λ = 2, µ = Esercizio.3. Date le seguenti matrici: A = ; A 2 = ; A = ; A 4 = ; A 5 = ; A 6 = ; calcolare, quando possibile, i prodotti A i A j per i,j =,2,3,4,5,6. Esercizio.4. Date le matrici [ ] I 4 = calcolare i prodotti AI 4 e I 4 A T. Esercizio.5. Date le matrici calcolare 3A 2B e AB T. [ ] B = [ ] Esercizio.6. Calcolare la potenza A 3 della matrice Esercizio.7. Data la matrice [ ] 3 2 calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = B I). Esercizio.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = B I)

9 2. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-uple Esercizio.9. Date le matrici calcolare AB, BA, BC e CB. B = C = Esercizio.0. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M 2 2 (R)) { } a b I = a,b,c R 0 c Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Esercizio.. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0. Esercizio.2. Sia e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che dove λ, x R. B = λi x 0 0 Esercizio.3. Date le matrici e C = determinare la matrice B tale che A + B = C. Esercizio.4. Date le matrici 2, B = 3 stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. 2, C = Esercizio.5. Date le matrici k, B = 0, D = , C = [ 0 ] 2 stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare. Esercizio.6. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2,3 o 4: ( ) u = (,0) u 2 = 2, 2 u 3 = ( 3, 4 ), 5 u 4 = (0, 2 ), 2 u 5 = (,,2, 2) u 6 = (0,0, 3 ), 3 Si calcoli quando possibile u i + u j, u i u T j, λ u i, con λ = 0,2, 2, i,j =,...6 Esercizio.7. Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale. Esercizio.8. Si risolva il sistema Ax = b dove 3, x = 2 4 Esercizio.9. Siano A e B matrici 3 3 tali che Si dimostri che deve necessariamente essere: [ x x 2 ] b = 2 2 AB = BA B M 3 3 λi 3 per qualche λ R

10 . SOLUZIONI 3 Esercizio.20. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi a) , x = x x 2 b = x 3 2 b) , x = x x 2 b = x x 3 c) 0, x = x 2 b = x 3 0 Esercizio.2. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax = b dove 2 0, x = x x 2 b = k + x 3 ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni Esercizio.. Date le matrici. Soluzioni 2 3 B = [ 3 ] 0 4 e dati λ = 5, µ = 2, calcolare AB, BA, A + B, B A, λa + µb. Soluzione: ( ) AB = = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 B = ( ) A + B = = 3 + ( ) B = 3 4 ( ) A + 2B = + = Esercizio.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolare A + B, B A, λa + µb, AB, BA, A 2 : 3 2 B = λ = 2, µ = 0 3 B = 4 5 λ = 2, µ = Soluzione:

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