Lo schema seguente spiega come passare da una equazione all altra e al grafico della circonferenza. Svolgere i calcoli.

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1 D4. Ciconfeenza D4.1 Definizione di ciconfeenza come luogo di punti Definizione: una ciconfeenza è fomata dai punti equidistanti da un punto detto cento. La distanza (costante) è detta aggio. Ci sono due possibili equazioni pe appesentae una ciconfeenza. + +a+b+c=0 e (-α) +(-β) = in cui a, b e c sono paameti, α e β sono le coodinate del cento della ciconfeenza e è il aggio della ciconfeenza. Lo schema seguente spiega come passae da una equazione all alta e al gafico della ciconfeenza α = a β = b = α + β c + +a+b+c=0 (-α) +(-β) = Svolgee i calcoli. a= α b = β c = α + β α = a β = b = α + β c Sostituie α, β e nell equazione. Si tova subito il cento C(α; β) e il aggio. Gafico della ciconfeenza di cento (α,β) e aggio. Fig. D4.1 Come passae dalle equazioni della ciconfeenza al gafico e vicevesa. D4. Rappesentazione gafica In questo paagafo si vedanno degli esempi di come si può passae da una delle due equazioni all alta e di come da queste equazioni si possa tacciae il gafico della ciconfeenza. Esempio D4.1: Data l equazione =0 tovae l alta equazione della ciconfeenza e tacciane il gafico. Pe tovae l alta equazione e il gafico si usano le fomule viste in figua D4.1. α = a β = b = α + β c Poiché a=-, b=4 e c=-15 si ha: α = = 1 β = 4 = ( ) ( ) = = = 0 = 5 Da cui ( ) = 0 = 0 L equazione della ciconfeenza è quindi: (-1) +(+) =0. Il cento è C(1;-). Il aggio è = 5 ossia volte la diagonale di un ettangolo 1. Inolte è cica 4,4. Ciò pemette di tovae molti punti pe i quali passa esattamente la ciconfeenza. Teoia D4-1

2 =0 C(1;-) Fig. D4. Gafico della ciconfeenza (-1) +(+) =0. Esempio D4.: Data l equazione (+1) +(-3) = tovae l alta equazione della ciconfeenza e tacciane il gafico. Pe tovae l alta equazione si svolgono i calcoli: = =0 L equazione della ciconfeenza è quindi: =0 Diettamente dal testo si tovano α=-1, β=3; il cento è quindi C(-1;3) e il aggio è = ossia la diagonale di un quadato 11. Inolte = 1,4. Ciò pemette di tovae molti punti pe i quali passa esattamente la ciconfeenza. (+1) +(-3) = C(-1;3) Fig. D4.3 Gafico della ciconfeenza (+1) +(-3) =. Esempio D4.3: Dato il gafico in figua D4.4 tovae le due equazioni della ciconfeenza. Si vede dal gafico che il cento è il punto C(-;0) quindi si ha α=-; β=0; il aggio è 3. Pe tovae l equazione + +a+b+c=0 si usano le fomule pe tovae a, b e c. A = -α = - (-) = 4 b = -β = -(0) = 0 c= α +β - = (4) +(0) -(3) = = 7 Quindi l equazione cecata è =0 Pe tovae l equazione (-α) +(-β) = basta sostituie al posto di α, β e i valoi che si sono icavati dal gafico. L equazione della ciconfeenza è quindi: (+) +(-0) =9 Teoia D4-

3 Esempio D4.4: Data l equazione =0 tovae l alta equazione della ciconfeenza e tacciane il gafico. Pe tovae l alta equazione e il gafico si usano le fomule viste sopa. α = a β = b = α + β c Poiché a=-1, b= e c=10 si ha: α = 1 = 1 β = = 1 = 1 ( 1) ( 10) = + = =?? Fig. D4.4 Deteminae il gafico della ciconfeenza in figua. Non è possibile calcolae la adice di un numeo negativo, quindi il aggio non esiste! L equazione che è stata data nel testo del poblema non appesenta quindi una ciconfeenza. Da questo esempio si deduce quindi che: Tutte le ciconfeenze hanno una equazione del tipo + +a+b+c=0 e del tipo (-α) +(-β) = Non tutte le equazioni del tipo + +a+b+c=0 appesentano una ciconfeenza. Affinché appesentino una ciconfeenza è necessaio che α + β -c sia un numeo positivo. Non tutte le equazioni del tipo(-α) +(-β) = appesentano una ciconfeenza. Affinché appesentino una ciconfeenza è necessaio che sia un numeo positivo. D4.3 Intesezioni ciconfeenza-etta e ta ciconfeenze Una ciconfeenza e una etta si possono incontae in due punti, in 1 punto o in nessun punto. punti di contatto 1 punto di contatto 0 punti di contatto Fig. D4.5 Intesezioni ta etta e ciconfeenza. Pe tovae i punti di contatto si può pocedee pe via algebica e pe via geometica. VIA ALGERICA si isolve il sistema composto dall equazione della etta e dall equazione della ciconfeenza. Teoia D4-3

4 VIA GEOMETRICA si disegnano ciconfeenza e etta e, se si vedono esattamente, si tovano i punti d intesezione. Se non si detemina esattamente dal gafico il punto di intesezione alloa l unico modo di deteminae il punto d intesezione è isolvee il sistema. Esempio D4.5: Tovae i punti di intesezione ta la etta =+ e la ciconfeenza =0. VIA ALGERICA Si isolve il sistema fomato dalle equazioni di etta e ciconfeenza. = + = + = + = = + ( + ) 4 4( + ) = = = 0 = + = + = + 1 = 3+ = 5 ( 3;5 ) 3 = 0 ( 3)( + 1) = 0 1 = 3 1 = 3 = + = 1+ = 1 ( 1;1 ) = 1 = 1 In questo caso i punti di contatto tovati sono due. VIA GEOMETRICA si tacciano ciconfeenza e etta e si tovano i punti d intesezione. Se tali punti non sono visibili esattamente l unico pocedimento sicuo è quello algebico. Si taccia la etta =+ con i soliti metodi. m=1, q=. Si pate da e poi si sale di 1 e ci si sposta veso desta di 1. Si tovano il cento e il aggio della ciconfeenza e si taccia quindi il suo gafico. α = 4 = β = 4 = ( ) = + = = 10 Il aggio è la diagonale di un ettangolo 13. I punti d intesezione sono A(-1;1) e (3;5), ossia gli stessi tovati con il pocedimento algebico. (3;5) A(-1;1) =0 =+ Esempio D4.6: Fig. D4.6 Intesezioni ta la etta =+ e la ciconfeenza =0. Tovae i punti di intesezione ta la etta = 3 + 3e la ciconfeenza (+1) +(+) =13. VIA ALGERICA Si isolve il sistema fomato dalle equazioni di etta e ciconfeenza = + 3 = + 3 = + 9 ( 1) ( ) 13 ( 1 ) = = = 4 = = + 3 = = = 0 ( 4 + 4) = 0 4 = ( ) 3 0 = + = ( ;0 ) 13( ) 0 1 = = In questo caso il punto di contatto è solamente uno, il punto (;0). Teoia D4-4

5 VIA GEOMETRICA Si taccia la etta = con i soliti metodi. m = 3, q=+3. Si pate da +3 e poi si scende di 3 e ci si sposta veso desta di. Diettamente dall equazione della ciconfeenza (+1) +(+) =13 si tovano α=-1, β=-; il cento è quindi C(-1;-) e il aggio è = 13 ossia la diagonale di un ettangolo 3. Il punto d intesezione è (;0) ossia lo stesso tovato con il pocedimento algebico. (+1) +(+) =13 =(-3/)+3 A(;0) Fig. D4.7 Intesezioni ta la etta = 3 + 3e la ciconfeenza (+1) +(+) =13. Esempio D4.7: Tovae i punti di intesezione ta la etta =+3 e la ciconfeenza =0. VIA ALGERICA Si isolve il sistema fomato dalle equazioni di etta e ciconfeenza. = + 3 = + 3 = = + ( + 3) 8 + 4( + 3) + 1 = = 0 = = ± (1) 4(5)(33) ± ± = 1 = = = (5) L equazione è impossibile, poiché il adicando è un numeo negativo. In questo caso quindi non ci sono punti di contatto. Lo si può veificae pe via geometica: = =0 VIA GEOMETRICA Fig. D4.8 Intesezioni ta la etta =+3 e la ciconfeenza =0. Teoia D4-5

6 Si taccia la etta =+3 con i soliti metodi. m=, q=3. Si pate da 3 e poi si sale di e ci si sposta veso desta di 1. Si tovano il cento e il aggio della ciconfeenza e si taccia quindi il suo gafico. α = 8 = 4 β = 4 = ( ) ( ) = = = 8 = Il cento è C(4;-). Il aggio è il doppio della diagonale di un quadato 11. Si vede quindi anche dal gafico che non ci sono punti di intesezione. E possibile tovae pe via algebica e geometica anche i punti d inconto ta due ciconfeenze. Il sistema pe via algebica saebbe di quato gado, ed avebbe fino a quatto soluzioni. In ealtà al massimo le soluzioni saanno due. Ecco tutti i casi possibili: punti di contatto 1 punto di contatto 0 punti di contatto Fig. D4.9 Intesezioni ta due ciconfeenze. E possibile tovae pe via algebica e geometica anche i punti d inconto ta una ciconfeenza e una paabola. In questo caso il sistema di quato gado può avee fino a quatto soluzioni. Le equazioni di quato gado veanno peò tattate successivamente quindi tale agomento non veà appofondito. D4.4 Alcune ossevazioni su a, b e c I coefficienti a, b e c in + +a+b+c=0 e α, β e in (-α) +(-β) = hanno un significato geometico: Se a=0 (α=0) il cento si tova sull asse delle ; l equazione è + +b+c=0 (manca la ) oppue +(-β) =. Fig. D4.10 Significato geometico del coefficiente a=0. Se b=0 (β=0) il cento si tova sull asse delle ; l equazione è + +a+c=0 (manca la ) oppue (-α) + =. Teoia Fig. D4-6 D4.11 Significato geometico del coefficiente b=0.

7 Se a=b=0 (α=β=0) il cento si tova nell oigine quindi l equazione è + +c=0 (mancano e ) oppue + =. Fig. D4.1 Significato geometico dei coefficienti a=b=0. Se c=0 la ciconfeenza passa pe l oigine quindi l equazione è + +a+b=0 Fig. D4.13 Significato geometico del coefficiente c=0. Se a=c=0 (α=0) il cento si tova sull asse delle e passa pe l oigine e l equazione è + +b=0. Fig. D4.13 Significato geometico del coefficiente a=c=0. Se b=c=0 (β=0) il cento si tova sull asse delle e passa pe l oigine e l equazione è + +a=0 Teoia D4-7 Fig. D4.14 Significato geometico dei coefficienti b=c=0.

8 D4.5 Rette tangenti a una ciconfeenza Data una ciconfeenza e un punto è possibile che ci siano due ette tangenti alla ciconfeenza passanti pe il punto, una etta tangente o nessuna. Ciò dipende dalle posizioni ecipoche di ciconfeenza e punto. ette tangenti 1 etta tangente nessuna etta tangente Fig. D4.15 Significato geometico dei coefficienti b=c=0. Si noti che il aggio passante pe il punto di tangenza è pependicolae alla etta tangente. La pima cosa da fae è sostituie le coodinate del punto nel polinomio + +a+b+c. Se viene un numeo positivo il punto è esteno (due ette tangenti). Se viene zeo il punto è sulla ciconfeenza (una etta tangente). Se viene un numeo negativo il punto è inteno (non ci sono ette tangenti). Pe tovae l equazione delle ette tangenti a una ciconfeenza passanti pe un punto ESTERNO si usa il seguente pocedimento (che è lo stesso pocedimento già visto pe la paabola). Si scive il sistema ta la ciconfeenza e il fascio di ette passanti pe il punto dato - 1=m(- 1). Risolvendo il sistema viene fuoi una equazione di secondo gado letteale che non va isolta. Si pone il =0 (dove =b -4ac) Si isolve e si tovano i valoi di m. Si sostituiscono i valoi di m tovati in - 1=m(- 1) e si tovano così le ette tangenti. Se si tovano quindi due valoi di m ci saanno due ette tangenti, se se ne tova uno ci saà una etta tangente. Se non se ne tovano non ci saanno ette tangenti. Il pocedimento funziona anche se il punto si tova sulla ciconfeenza o se si tova all inteno, peò esistono metodi più semplici pe tovae la etta tangente (se c è) in questi casi. Pe tovae l equazione della etta tangente in un punto sulla ciconfeenza si usa il seguente pocedimento: Si tova la etta passante pe il cento e il punto dato (fomula etta pe due punti) Si tova la etta passante pe il punto dato pependicolae alla etta pecedente (fomula etta pe un punto) Esempio D4.8: Tovae le ette tangenti a =0 passanti pe il punto A(3;-1). Si sostituiscono i valoi (3;-1) nel polinomio =0. (3) +(-1) +4(-1)-1= =5 quindi il punto si tova all esteno della ciconfeenza e le ette tangenti sono due. ( ) ( ) α = 0 = β = 4 = = + = + = 0 β = m( 3) = m 3m = = 0 Fig. D4.16 Costuzione geometica della etta tangente alla ciconfeenza pe un suo punto. Teoia D4-8

9 ( ) ( ) + m 3m m 3m 1 1= 0 + m + 9m + 1 6m m + 6m+ 4m 1m 4 1= 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( + ) = 1+ m + m 6m + 9m 6m 4 = 0 Si pone il =b -4ac=0 m-6m 41+ m 9m 6m 4 = 0 4m 36m 4m 4 9m 6m 4 9m 6m 4m 0 4m + 36m4 4m3 36m + 4m m4 + 4m3 + 16m = 0 16m + 4m + 16 = 0 16m 4m 16 = 0 m 3m = 0 ( )( ) ( ) 3± 9 4 m , = = ± + = ± m1 = + = = e m = = = Le ette tangenti sono quindi - 1=m(- 1) +1=(-3) +1=-6 =-7 e 1 = m( 1) + 1= 1( 3 ) + 1= = = =-7 =(-1/)+1/ =0 A(3;-1) Pe tovae i punti di tangenza si isolvono i sistemi ta la ciconfeenza e le ette tangenti. PRIMO PUNTO DI TANGENZA = 7 = 7 = 7 = = + ( 7) + 4( 7) 1= = = 0 = 7 = 7 = 7 = ( ) 7 = 4 7 = 3 (; 3) = 0 ( ) = 0 = = SECONDO PUNTO DI TANGENZA = = + = + = = = = = = + = = 0 + 1= 0 ( ) Fig. D4.17 Rette tangenti alla ciconfeenza =0 passanti pe il punto A(3;-1). = = = 1( 1) + 1 = 0 (1;0) 1 0 = 1 = 1 = Esempio D4.9: Tovae le ette tangenti a =0 passanti pe il punto A(-;1). Si sostituiscono i valoi (-;1) nel polinomio =0 (-) +(1) +(-)-4(1)+1= =-. Il numeo tovato è negativo quindi il punto si tova all inteno della ciconfeenza e non ci sono ette tangenti. Esempio D4.10: Tovae le ette tangenti a =0 passanti pe il punto A(1;3). Si sostituiscono i valoi (1;3) nel polinomio =0. (1) +(3) +4(1)-4(3)-= =0. quindi il punto si tova sulla ciconfeenza. Teoia D4-9

10 α = 4 = β = 4 = ( ) ( ) = + = = 10 Il cento è C(-;). La etta passante pe il cento e pe A(1;3) è: 1 1 = = + = = + 3=+8 = m=1/3, il suo pependicolae è m =-3. La etta ad essa pependicolae passante pe A(1;3) è: 1 = m( 1) 3 = 3( 1) -3= = C(-;) A(1;3) =0 Fig. D4.18 Rette tangenti alla ciconfeenza =0 passanti pe il punto A(1;3). D4.6 Come tovae l equazione di una ciconfeenza Pe tovae l equazione di una ciconfeenza esistono due metodi, il metodo geometico e quello algebico. METODO ALGERICO Una ciconfeenza ha equazione + +a+b+c=0. Tovae l equazione di una ciconfeenza significa tovae i valoi di a, b e c. Ci sono 3 incognite. Pe questo ci sevono 3 condizioni da mettee a sistema. Ecco l elenco delle possibili condizioni. CONDIZIONI Si conosce il CENTRO (α; β). In questo caso si hanno DUE condizioni, ossia: a=-α e b=-β Si conosce un PUNTO ( 0; 0). In questo caso si ha UNA condizione sostituendo i valoi 0 e 0 nell equazione geneica della ciconfeenza a0 + b0 + c = 0. Si conosce una RETTA TANGENTE =m+q. In questo caso si imposta il sistema ta la etta tangente =m+q e l equazione geneica della ciconfeenza + +a+b+c=0. Si aiva a una equazione di secondo gado che non va isolta ma si pone il =0. Questa è la condizione da poe a sistema. METODO GEOMETRICO Una ciconfeenza ha un cento e un aggio. Se si iesce pe mezzo di una costuzione geometica a tovae il cento (α; β) e il aggio li si sostituisce nell equazione geneica (-α) +(-β) =. Pe tovae con una costuzione geometica il cento e il aggio della ciconfeenza non esiste un metodo standad. isogna quindi ogni volta isolvee il poblema in maniea divesa. Ci sono esecizi isolubili con tutti e due i metodi, alcuni SOLO con il metodo geometico, alti SOLO con il metodo algebico. Ecco due esempi, uno isolto con il metodo algebico e l alto con il metodo geometico. Esempio D4.11: Tovae l equazione della ciconfeenza con cento di cui si conosce solo la coodinata α=-1 passante pe il punto (0;5) e tangente alla etta =4-1. Teoia D4-10

11 Condizione del cento a=-(-1). Condizione del passaggio pe un punto (0) +(5) +a (0)+b (5)+c=0 5+5b+c=0 Condizione di tangenza si imposta il sistema ta ciconfeenza e etta tangente e si pone il = = a b c 0 + ( 4 1 ) + a + b ( 4 1 ) + c = a + 4b 1b + c = 0 = a+ 4b b + c = 0 = b 4ac = 0 a+ 4b b + c = 0 ( ) ( ) ( )( ) a = a = a = 5 + 5b + c = 0 c = 5b 5 c = 5b 5 ( a+ 4b 96) 417 ( )( 144 1b + c) = 0 ( + 4b 96) 417 ( )( 144 1b 5b 5) = 0 ( 4b 94) 417 ( )( b) = 0 a= a = a = a = c = 5b 5 c = 5b 5 c = 5b 5 c = 5b 5 16b b ( 17b) = 0 16b b b 0 16b 404b b + = + + = + 101b = 0 a = c = 5b 5 101± ( 101) 4( 4)( 186) b 101± ± ± 85 1, = = = = ( 4) a1 = a1 = c1 = 5b 5 c1 = 5( ) = = 0 b = = = b1 = 8 8 a a = = = = = = b = = = b = 4 c b 5 c Sono quindi due le ciconfeenze che soddisfano alle condizioni poste dal testo come isulta chiao in figua. Fig. D4.19 Teoia Tovae l equazione della ciconfeenza con D4-11 cento di cui si conosce solo la coodinata α=-1 passante pe il punto (0;5) e tangente alla etta =4-1.

12 Si vede chiaamente che il pocedimento è standad, ma i calcoli sono lunghi e fastidiosi. Al contaio con il pocedimento geometico si fatica un po di più a tovae la stada giusta pe scivee il coetto pocedimento, peò i calcoli sono più semplici. Esempio D4.1: Tovae l equazione della ciconfeenza sapendo che la etta : =+ è tangente alla ciconfeenza nel punto T(1;4) e che la ciconfeenza passa pe il punto (7;-). Pe isolvee il poblema lo si isolve pima con un gafico appossimativo, in maniea da tovae un pocedimento. In geneale ogni esecizio avà un metodo isolutivo diffeente, e bisogna tovae tale pocedimento pe isolvee il poblema. DATI: la etta tangente, il punto T di tangenza e il punto A, da ciò si immagina la ciconfeenza (tatteggiata) Pe tovae la ciconfeenza bisogna tovae il cento. Pe tovae il cento si può utilizzae la seguente costuzione geometica: T s T t s T 1. Retta s passante pe T pependicolae a. Retta t passante pe T e t s T M t s T M u t s T M u Cento 3. Punto medio di T (M) 4. Retta u pependicolae a t passante pe M 5. Intesezione di u e s (cento) u Si tatta oa di svolgee i calcoli iguado al s pocedimento appena tovato: 1. Retta s passante pe T pependicolae a. t T. Retta t passante pe T e. M 3. M punto medio di T. 4. Retta u pependicolae a t passante pe M. 5. Intesezione di u e s. Teoia Cento aggio D Distanza ta il cento e (aggio). 7. Sostituie i valoi di cento e aggio nell equazione geneica della ciconfeenza.

13 6. Distanza ta il cento e (o T) e si tova il aggio. GRAFICO: s t DATI: T :=+ T(1;4) (7:-) C RISULTATI: M s: = t: =-+5 M(4;1) u: =-3 cento(5;) aggio= 5 equazione ciconfeenza (-5) +(-) = ( 5) u Fig. D4.0 Tovae l equazione della ciconfeenza sapendo che la etta : =+ è tangente alla ciconfeenza nel punto T(1;4) e che la ciconfeenza passa pe il punto (7;-). CALCOLI: (gan pate dei isultati dei calcoli sono icavabili diettamente dal disegno). 1. Retta s passante pe T(1;4) pependicolae a : =+. fomula da utilizzae etta passante pe un punto - 1=m(- 1) 4 = 1( 1 ) = = = Retta t passante pe T(1;4) e (7;-). fomula da utilizzae etta passante pe due punti 1 = ( ) = 1 = = 4 = + 1 = = M punto medio di T con T(1;4) e (7;-). fomula da utilizzae ; Punto medio M ; 4 8 ; = = ( 4;1 ) 4. Retta u pependicolae a t: =-+5 passante pe M(4;1). fomula da utilizzae etta passante pe un punto - 1=m(- 1) 1= 1 4 1= 4 = 4+ 1 = 3 ( ) 5. Intesezione di u: =-3 e s: = si isolve il sistema = 3 = 3 = 3 3 = 3 = = 5 3 = Cento 5; 3 = + = + = + + = = = Distanza ta il cento (5;) e (7;-). ( ) Teoia D4-13

14 1 1 fomula da utilizzae distanza ta due punti d = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + = = aggio Si sostituiscono i valoi del cento (5;) e del aggio 5 nell equazione geneica della ciconfeenza. (-α) +(-β) = (-5) +(-) = ( 5) = =0 Teoia D4-14