Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

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1 Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due rette r ed r' con λ e µ non entrambi nulli. Al variare di λ e µ la retta rappresentata da questa equazione determina l'insieme di tutte le rette individuate da r ed r', e prende il nome di equazione del fascio. Definizione - Date le rette r: ax + by + c e r': a' x + b' y + c' si definisce fascio di rette γ la totalità delle rette di R 2 rappresentata al variare di λ e µ dalla equazione Osserviamo che le rette di un fascio dipendono da un parametro essenziale, infatti considerando coppie (λ,µ), (λ',µ') fra loro proporzionali, esse danno luogo alla medesima retta. Quindi µ possiamo considerare un unico parametro k = λ con λ 0, l'equazione del fascio si può quindi scrivere ( ax + by + c) + k ( a' x + b' y + c') Osservazione - Nella totalità delle rette rappresentate dall'equazione esistono anche le rette fondamentali del fascio (rette base del fascio). Per λ = 1 e µ si ottiene la retta r, mentre per λ e µ = 1 si ottiene la retta r'. Le rette r, r' che determinano il fascio, essendo distinte, saranno incidenti in un punto, oppure parallele. Distinguiamo i due casi. 1) r r' r r' = P0 2) r r' = r / / r' Nel primo caso l'unico punto P0 ( x0 y0), verificando le equazioni di r ed r', verificherà ogni loro combinazione lineare, per cui ogni retta del fascio passa per il punto P 0. Nel seconda caso r // r' le rette del fascio sono tutte parallele tra loro, si ha quindi il fascio improprio. Fascio proprio Possiamo dimostrare che un fascio proprio è costituito da tutte le rette passanti per il suo centro ( y ) P x,. A tale scopo premettiamo il seguente lemma 0 0 0

2 Geometria analitica del piano pag 13 Adolfo Scimone Lemma - Se γ è un fascio proprio di centro P 0 allora per ogni punto P R 2 distinto da P 0 passa una ed una sola retta del fascio. Dimostrazione - Consideriamo l'equazione del fascio sia P un qualunque punto di R 2 di coordinate P( x, y) con P P 0, dimostriamo che per P passa una ed una sola retta del fascio γ. Imponiamo nell'equazione di γ il passaggio per P, sostituendo alle incognite x, y le coordinate di P si ottiene questa equazione rappresenta un'equazione di primo grado nelle incognite λ, µ che ammette una ed una sola soluzione, per cui esiste un'unica coppia di valori λ, µ soddisfacenti la condizione esisterà quindi un'unica retta del fascio la cui equazione, a meno di un fattore di proporzionalità è proprio ed è l'unica retta passante per P e P 0. Teorema - Il fascio proprio di centro P 0 è la totalità di tutte e sole le rette di R 2 passanti per P 0. Dimostrazione - Per dimostrare il teorema dobbiamo dimostrare che 1) Se t è una retta del fascio γ, allora passa per P 0, ovvero t γ P0 t 2) Se P 0 appartiene alla retta t, allora t è una retta del fascio γ P 0 t t γ Dimostriamo il punto 1) Consideriamo l'equazione del fascio γ : individuato dalle rette r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Se t è una retta del fascio, allora la sua equazione si può esprimere come una combinazione lineare di r e r' ; ciò equivale a dire che esistono due valori λ, µ tali che la retta t abbia equazione t : Se P0 ( x0 y0), è il centro del fascio, per dimostrare che la retta t passa per P 0 basta provare che le sue coordinate soddisfano l'equazione. Imponendo il passaggio per P 0 avremo = Poiché la retta r passa per P 0 si ha p

3 Geometria analitica del piano pag 14 Adolfo Scimone ax0 + by0 + c + λ ( ax0 + by0 + c) passando per P 0 anche la retta r' avremo a' x0 + b' y0 + c' + µ ( a' x0 + b' y0 + c') In definitiva risulta λ ( ax0 + by0 + c) + µ ( a' x0 + b' y0 + c') Per cui, le coordinate di P 0 soddisfano l'equazione della retta t, e si ha che P 0 t. Per il punto 2), data una qualunque retta t passante per P 0 dobbiamo dimostrare che t è una retta del fascio. Se P è un punto di t, distinto da P 0, per il lemma precedente esisterà una ed un sola retta t' appartenente al fascio che passa per P e P 0. Tale retta è proprio la retta P 0 P e quindi coinciderà con la retta t. Osservazione - Un fascio proprio di rette è caratterizzato dal punto P 0, centro del fascio e non dalle rette r ed r'. Infatti note le coordinate del punto P 0 si può sempre determinare l'equazione del fascio, considerando due rette qualsiasi passanti per P 0. Ad esempio possiamo scegliere, per semplicità le rette x = x y = y 0 0 y y = y 0 x = x 0 P 0 O x L'equazione del fascio sarà quindi λ ( x x0 ) + µ ( y y0) Per cui il centro del fascio P 0 costituisce l'elemento base del fascio. Fascio improprio Sussiste il seguente teorema : Teorema - Siano r e r' due rette di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c'

4 Geometria analitica del piano pag 15 Adolfo Scimone p21 il fascio improprio individuato da r ed r' è la totalità di tutte e sole le rette parallele ad r e r'. Dimostrazione - Ricordiamo che le rette r e r' individuano un fascio improprio se r r' =. Consideriamo l'equazione del fascio γ : essendo r ed r' parallele, per la condizione di parallelismo si ha a b a' = b' = ρ e quindi a = ρ a' b = ρ b' Sostituendo nell'equazione del fascio otteniamo γ : λ ( ρ a' x + ρ b' y + c) + µ ( a' x + b' y + c') ( λ ρ + µ ) a' x + ( λ ρ + µ ) b' y + λ c + µ c' Dividendo ambo i membri dell'equazione per ( λ ρ + µ ) otteniamo l'equazione a' x + b' y + k ( 1 ) dove risulta k λ c + µ c' = λ ρ + µ L'equazione ( 1 ) rappresenta una generica parallela a r' e quindi ad r, per cui tutte le rette del fascio risultano parallele ad r ed r'. In generale l'equazione di un fascio improprio è una equazione della forma ax + by + k con k parametro variabile. Condizione di appartenenza a un fascio di rette Siano r, r' ed r'' tre rette di R 2 di equazione rispettivamente r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' r' ': a'' x + b'' y + c'' Condizione necessaria e sufficiente affinché r, r', r'' appartengano allo stesso fascio è che si abbia : a b c a' b' c' a' ' b'' c''

5 Geometria analitica del piano pag 16 Adolfo Scimone Dimostrazione - Dimostriamo che la condizione è necessaria, supponiamo che r, r', r'' appartengano allo stesso fascio e proviamo che il determinante del terzo ordine le cui righe sono formate dai coefficienti delle equazioni delle tre rette è nullo. Poiché r, r', r'' appartengono allo stesso fascio una di tali rette apparterrà al fascio individuato dalle altre due, quindi indicando con γ il fascio individuato dalle rette r, r' di equazione γ : supponiamo che r' ' γ, esisteranno quindi dei valori λ, µ tali che l'equazione di r'' si può scrivere come combinazione lineare delle equazioni di r e r' λ, µ : a'' x + b'' y + c' ' = λ ( ax + by + c) + µ ( a' x + b' y + c ') = = ( λ a + µ a') x + ( λ b + µ b') y + λ c + µ c' Si avrà quindi a'' = λ a + µ a' b'' = λ b + µ b' c' ' = λ c + µ c' Da queste uguaglianze si vede che la terza riga della matrice a b c a' b' c' a'' b' ' c'' è combinazione lineare delle prime due secondo i parametri λ, µ, per cui, per una proprietà dei determinanti, risulta a b c a' b' c' a' ' b'' c'' La condizione è anche sufficiente. Infatti, supposto che sia a b c a' b' c' a' ' b'' c'' esisterà una riga combinazione lineare delle altre. Supponendo che tale riga sia la terza si ha : λ, µ R : ( a, b, c) = λ ( a', b', c') + µ ( a', b', c ') cioè

6 Geometria analitica del piano pag 17 Adolfo Scimone a'' = λ a + µ a' b'' = λ b + µ b' c' ' = λ c + µ c' Consideriamo l'equazione della retta r'' r' ': a'' x + b' ' y + c'' sostituendo i valori a'', b'', c'' otteniamo : a' ' x + b' ' y + c' ' = ( λ a + µ a') x + ( λ b + µ b') y + λ c + µ c' = = λ a x + µ a' x + λ b y + µ b' y + λ c + µ c' = λ ( ax + by + c) + ( µ ( a' x + b' y + c' ) risulta pertanto r' ' : Cioè l'equazione della retta r'' si può esprimere come combinazione lineare delle equazioni delle rette r ed r'. Ciò equivale a dire che r'' appartiene al fascio individuato da r ed r', ovvero r, r', r'' appartengono allo stesso fascio PROPIETA' METRICHE Coseni direttori di una retta orientata Ricordiamo che fissare un orientamento su una retta r equivale a fissare un vettore v parallelo alla retta stessa. Possiamo considerare una retta orientata su cui sia definito un versore che individua direzione e verso della retta stessa. Consideriamo un sistema cartesiano ortogonale O x y di versori fondamentali i, j ed una qualunque retta r il cui orientamento è definito da un versore r(α,β). Si ha la seguente Definizione - I coseni direttori della retta orientata r sono i coseni degli angoli che la retta forma. con gli assi coordinati x e y, cioè cos xr, cos yr y r yr r(α,β) j xr O i x

7 Geometria analitica del piano pag 18 Adolfo Scimone Gli angoli xr, yr sono gli angoli che il versore r forma rispettivamente con i versori i e j, cioè si ha : xr = ir yr = jr Ricordando la definizione di prodotto scalare tra due vettori si ha cos xr = cosir = i r cos yr = cosjr = j r Infatti si ha i r = i r cos ir essendo i i r = cos ir Analogamente si ha = r = 1 avremo j r = j r cos jr = cos jr Esprimendo il prodotto scalare mediante le componenti dei versori si ha i r = 1 α + 0 β = α j r α + 1 β = β in definitiva si ha cos xr = α cos yr = β Pertanto il versore r ha per componenti i coseni direttori della retta r, cioè si ha r(cos xr, cos yr) Legami tra parametri direttori e coseni direttori Determiniamo una relazione che lega i parametri direttori di una retta con i coseni direttori. Sia r una retta ed r(α,β) il versore che individua l'orientamento, siano inoltre cos xr, cos yr i coseni direttori della retta. Si ha quindi r(cos xr, cos yr).

8 Geometria analitica del piano pag 19 Adolfo Scimone y v(l,m) r yr r(α,β) j xr O i x Sia v(l, m) un vettore parallelo alla retta r, esso sarà parallelo al versore r, per cui v ed r sono proporzionali v = ρ r dove ρ è un coefficiente di proporzionalità non nullo. Considerando le componenti avremo l = ρ cos xr m = ρ cos yr Essendo r = cos xr+ cos yr ed inoltre r = 1 avremo cos xr+ cos yr = 1 cos xr+ cos yr = 1 Dalle relazioni l = ρ cos xr m = ρ cos yr elevando ambo i membri al quadrato e sommando membro a membro le due relazioni si ha l + m = ρ cos xr+ ρ cos yr cioè 2 l + m = ρ (cos xr+ cos yr) e quindi l + m = ρ 2 ρ = ± l + m Avremo pertanto

9 Geometria analitica del piano pag 20 Adolfo Scimone l cos xr = ± l + m m cos yr = ± l + m ( 1 ) Le ( 1 ) legano i coseni direttori ai parametri direttori della retta r, il segno dipende dal verso dei vettori v ed r, cioè secondo che v ed r abbiano verso concorde o discorde. Osservazioni : 1) La relazione cos 2 xr+ cos 2 yr = 1 prende il nome di relazione fondamentale tra i coseni direttori di una retta orientata. 2) ρ = ± l + m è detto fattore normalizzante. Se l'equazione della retta è data in forma cartesiana r: ax + by + c, possiamo assumere come parametri direttori b, a, avremo quindi ( l, m) = ( b, a) Otteniamo b cos xr = ± a + b a cos yr = ± a + b ( 2 ) Le ( 2 ) consentono di determinare i coseni direttori della retta, nota l'equazione cartesiana della retta stessa. Consideriamo adesso l'equazione della retta r in forma esplicita r: y = kx + p dove k è il coefficiente direttivo di r a m k = = b l tenendo conto delle ( 1 ) o delle ( 2 ) avremo cos yr k = cos xr Angolo di due rette Consideriamo due rette orientate e ed r' rispettivamente di equazioni r: ax + by + c

10 Geometria analitica del piano pag 21 Adolfo Scimone r': a' x + b' y + c' e siano r ed r' i due versori orientati concordemente alle rette stesse, sapendo che tali versori hanno come componenti i coseni direttori delle rette, risulta r(cos xr, cos yr) r'(cos xr', cos yr') Definizione - Definiamo angolo di due rette orientate r, r', l'angolo di cui deve ruotare, nel verso positivo definito in R 2, una retta per sovrapporsi all'altra. Y r' r' rr' r j r O i x Per cui, se consideriamo come verso positivo delle rotazioni il verso antiorario, l'angolo fra le due. rette sarà rr' Per determinare l'angolo rr' formato dalle due rette consideriamo la funzione cos rr ' cos rr' = cos rr' = r r ' = cosxr cos xr' + cos yr cos yr' ricordando che b cos xr = ± a + b si ha a cos yr = ± 2 a + 2 b cos rr' = cos xr cos xr' + cos yr cos yr' = aa' + bb' ± a + b a' + b' In definitiva avremo b b' ± a + b ± a' + b' a a' + = ± a + b ± a + b

11 Geometria analitica del piano pag 22 Adolfo Scimone aa' + bb' cos rr' = ± a + b a' + b' Condizione di ortogonalità di due rette In base a quanto abbiamo detto, si ottiene facilmente la condizione di ortogonalità di due rette r e r', basta che sia nullo il coseno del loro angolo. Siano r ed r' due rette di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' si ha Condizione necessaria e sufficiente affinché le rette r e r' siano ortogonali è che sia nullo il coseno del loro angolo r r' cos rr' tenendo presente la relazione che consente di trovare l'angolo di due rette si ha r r' aa' + bb' Se le equazioni delle due rette sono date in forma esplicita, cioè del tipo r: y = kx + p r': y = k' x + p' avremo r r' k k' = 1 Infatti, ricordando che risulta a a' k = k' = b b' dalla condizione di perpendicolarità, si ha aa' + bb' cioè aa' = bb' Poiché una retta si può scrivere in forma esplicita se non è parallela all'asse y, si ha b 0 b' 0 Dividendo ambo i membri dell'uguaglianza precedente per bb' otteniamo aa' a a' = 1 = 1 bb' b b' a a' a a' Essendo kk' = = b b' b b' avremo k k' = 1 Osservazione - Sia r una retta di equazione

12 Geometria analitica del piano pag 23 Adolfo Scimone r: ax + by + c i parametri direttori saranno b, a quindi il vettore v( b, a ) risulta parallelo alla retta r. Tenendo presente la condizione di perpendicolarità aa' + bb' le rette ortogonali ad r sono tutte e sole le rette aventi equazione del tipo bx + ay + c' (1) al variare di c' Infatti, in tale equazione si ha a'= b b' = a e quindi aa' + bb' = a( b) + ba = ab + ab ed è verificata la condizione di ortogonalità. Per cui i parametri direttori di una retta del tipo (1) sono l = a m = b ed il vettore v( a, b ) è parallelo a tale retta. Il vettore v r ( a, b) è proporzionale al vettore v, per cui risulta v / / r v. Concludendo, avremo che, data la retta di equazione r: ax + by + c il vettore v( b, a ) è parallelo alla retta r, mentre il vettore v r ( a, b) è ortogonale ad r.

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