4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013)

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1 Fsio iproprio di rette prllele r: ipliit risult q r si h: q ; esso in for. onsiderndo he ( ;) q ( q) q e 8 q q q q 6q 6 q ± 6 q 8; q Le tngenti srnno: 8, ; L ironferenz (Polo Urni pri stesur settere ggiornento novere ) Definizione... Equzione... lolo dell equzione dell ironferenz dti entro e rggio... lolo dell equzione dell ironferenz dti entro e un punto P di pssggio... lolo dell equzione dell ironferenz dti estrei del dietro A, B... lolo dell equzione dell ironferenz pssnte per punti non llineti... Intersezioni fr rett e ironferenz...8 lolo di rette tngenti d un ironferenz... Pg. di Pg. di

2 Questo quderno è di ognoe e noe... lsse... Anno solstio... Note... ondizione di tngenz: ( ) ( ) 6, ± Equzioni delle rette tngenti: 8 Proediento :, 8 Equzione del fsio proprio per E: 8 ( ) equzione in for ipliit: 8 Rggio dell ironferenz: r entro dell ironferenz: ( ;) Distnz fr punto e rett generi rggio 8 L equzione si risolve elevndo il tutto l qudrto (sopiono vlore ssoluto e rdie qudrt). 6, ± Equzioni delle rette tngenti: 8, 8 soluzioni: Esepio: Dt l ironferenz di equzione 6 lolre le equzioni delle rette 6 tngenti prllele ll rett r: Pg. di 6 Tle prole ette sepre soluzioni Pg. di

3 Esepio: Dt l ironferenz di equzione lolre l equzione dell rett tngente pssnte per il punto A(;) (punto pprtenente ll ironferenz) Proediento lolo le oordinte del entro : ; lolo il oeffiiente ngolre dell rett A: A Equzione rett tngente (pssnte per A e perpendiolre ll rett A): ( ) ovvero Esepio: Dt l ironferenz di equzione 6 lolre l equzione dell rett tngente pssnte per il punto E(;8) (punto esterno ll ironferenz) Proediento (sonsiglito; in questo esepio risult più seplie in qunto il punto E h ordint) Siste fr eq. ironferenz e rett generi per E 6 equzione risolutiv: ( ) 6 8 ( ) Definizione: Luogo geoetrio dei punti equidistnti d un punto fisso detto entro. Equzione: Indito on ( ; ) il entro dell ironferenz e on P(;) un punto generio dell stess l distnz P è ugule l rggio r: P ( ) ( ) r ( ) ( ) r elevndo l qudrto Equzione in for noni Sviluppndo l for noni si h: e sostituendo r r r si ottiene: Equzione in for lgeri dove ; r un ironferenz). o, eglio, r (ovviente o, eglio,, ltrienti non si trtt di Dto un punto P( ; ) ed un rett l distnz punto-rett si lol oe: d Pg. di In quest for i oeffiienti dei terini di seondo grdo devono essere uguli. Pg. di

4 Relzioni fr i pretri,, e il grfio dell ironferenz: entro sull sse delle entro sull sse delle e entro sull origine Pss per l origine e entro sull sse delle e pss per l origine, dunque tngente e entro sull sse delle e pss per l origine, dunque tngente lolo di rette tngenti d un ironferenz Proediento : ondizione di tngenz (vlido per qulsisi oni) Si ettono siste equzione dell ironferenz e il fsio di rette (proprio o iproprio ); si pone l ondizione di tngenz S ondizione di tngenz. fsio di rette (proprio o iproprio) Tle proediento è sonsiglito nhe perhé i loli possono essere olto oplessi (fsio proprio on punto esterno) S ll sse Prolei sull ironferenz ll sse Per l ironferenz si possono utilizzre proedienti lterntivi onsiderndo he il rggio ondotto verso il punto di tngenz è perpendiolre ll rett tngente. lolo dell equzione dell ironferenz; servono inforzioni, tnte qunti sono i pretri,, o, per l for noni, r., lolo dell equzione dell ironferenz dti entro e rggio Si trtt del so più seplie in qunto le oordinte del entro e il rggio possono essere sostituiti direttente nell for noni; sviluppndo i loli si pss poi ll for lgeri. Esepio: Deterinre l equzione dell ironferenz di entro (;-) e rggio r Utilizzndo l for noni si h: ( ) ( ) i loli di h: 6 Pg. di ; sviluppndo lolo dell equzione dell ironferenz dti entro e un punto P di pssggio Proediento lolre il rggio P e proedere oe il so preedente. Esepio: Deterinre l equzione dell ironferenz di entro (;-) e pssnte per P(;-) r P ( ) ( ) Proediento : Rett perpendiolre l rggio (vlido solo on fsio proprio se il punto pprtiene ll ironferenz) Si lol il oeffiiente ngolre del rggio nel punto di tngenz Si lol l equzione dell rett tngente spendo he è perpendiolre l rggio e pss per il entro Proediento : Distnz rett-entrorggio (sepre vlido; si utilizz on fsio proprio se il punto è esterno ll ironferenz o on fsio iproprio) Si lol l equzione del fsio proprio per il punto in for ipliit Si lolno le oordinte del entro e il rggio dell ironferenz Si pone l distnz fr rett generi e entro dell ironferenz ugule l rggio (forul dell distnz punto-rett ) Fsio proprio: rette pssnti per un punto. Fsio iproprio: rette prllele Pg. di

5 Sviluppndo l for noni si pss ll for lgeri: Intersezioni fr rett e ironferenz Si lolno ettendo siste le equzioni q ( q) ( q) ndo risult un equzione di seondo grdo on pretro piuttosto opless; il segno del S deterinerà il nuero di soluzioni. Due soluzioni ( punti) Rett sente > S Un soluzione ( punto) Rett tngente S Nessun soluzione ( punti) Rett estern < S svilupp Utilizzndo l for noni si h: ( ) ( ) i loli di h: 6 Proediento Siste per il lolo dei pretri,,: 6 pssggio per P 6 ; sviluppndo lolo dell equzione dell ironferenz dti estrei del dietro A, B Si lolno le oordinte del entro, punto edio del dietro, e si proede oe nel so preedente. lolo dell equzione dell ironferenz pssnte per punti non llineti A, B, D Proedienti:. Siste fr le tre ondizioni di pssggio. lolo delle oordinte del entro oe punto di intersezione fr i due ssi dei segenti delle orde AB e AD, lolo del rggio oe distnz fr il entro ed un punto, deterinzione equzione in for noni.. Riordndo he un tringolo rettngolo è insritto in un seiironferenz, se i tre punti sono vertii d un tringolo rettngolo (so fortunto) llor l ipotenus oinide on il dietro; onviene lolre entro (punto edio del dietro) e Pg. 8 di punti ( ; ); P ( ; ); P ( ) P sono llineti se ; Pg. di In un ironferenz il entro è il punto di intersezione fr gli ssi del segento di due orde qulsisi.

6 Pg. 6 di rggio (età del dietro) ed utilizzre l for noni (vedi so preedente) Esepio: Deterinre l equzione dell ironferenz pssnte per i punti A(;), B(-;) D(;-) Proediento : siste fr le ondizioni di pssggio Siste fr le ondizioni di pssggio: 6 fendo l riduzione (differenz) fr l pri equzione on seond e l seond on l terz si h 6 Pg. di 6 infine, ndndo sostituire nell terz equzione del siste di h: Proediento : lolo del iroentro lolo l equzione dell sse del segento AB (rett perpendiolre d AB e pssnte per il punto edio): AB, ; M AB, equzione sse: lolo l equzione dell sse del segento AD (rett perpendiolre d AD e pssnte per il punto edio): AD, ; M AD, equzione sse: ( ) lolo le oordinte del entro ettendo siste le equzioni dei due ssi: ( ) soluzione: ; lolo il rggio oe distnz fr e A: 8 8 A r Equzione ironferenz in for noni: 8

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