CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA Le curve di probabilità pluviometrica esprimono la relazione fra le altezze di precipitazione h e la loro durata

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1 CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA L curv di probabilità pluviomtrica sprimono la rlazion fra l altzz di prcipitazion h la loro durata t, pr un assgnato valor dl priodo di ritorno T. Tal rlazion vin spsso indicata anch com curva di possibilità climatica o, ancora, lina sgnalatric di probabilità pluviomtrica (LSPP). In pratica non ci si limita mai ad una curva sola, ma si considra un fascio di curv, ciascuna dll quali corrispond ad un valor divrso dl priodo di ritorno. L altzza di prcipitazion h prsa in considrazion è qulla massima annual rlativa alla durat in sam. Divrs formul sono utilizzat pr dscrivr qusta rlazion. In Italia vin gnralmnt utilizzata una lgg di potnza monomia dl tipo: h t,t = a t n () dov h = altzza di prcipitazion; t = durata dlla prcipitazion; a d n sono cofficinti ch dipndono dal priodo di ritorno. Pr la dtrminazion dll suddtt curv ci si basa sull analisi dll curv di frqunza cumulata (CDF), costruit pr l sri storich di massimi annuali dll piogg di durata, 3, 6,, 4 or, adattando a ciascuna di ss, attravrso la stima di paramtri, un prdfinito modllo probabilistico (TCEV, Gumbl, tc.). Dall curv di frqunza, fissato il priodo di ritorno T (tipicamnt 0, 0, 50, 00, 00, 000 anni) pr ogni durata è possibil, quindi, ricavar il valor h t,t. I valori così dtrminati vngono riportati su un diagramma (h, t) d intrpolati mdiant dll curv carattrizzat dalla sprssion (). La lgg di potnza considrata si adotta anch pr l intrpolazion di valori mdi di massimi annuali di prcipitazion di divrsa durata. Pr la stima di paramtri a d n di ciascuna curva convin considrar la trasformata logaritmica di valori dll prcipitazioni dll durat d applicar il mtodo di minimi quadrati. Passando ai logaritmi, in qusto caso di bas 0, la () divnta un sprssion linar: log 0 h = log 0 a + n log 0 t () Ponndo Y = log 0 h ; A = log 0 a d X = log 0 t si ha: Y = A + n X (3) ch è l quazion di una rtta di intrctta A cofficint angolar n.

2 Not M coppi di valori (h,t) rifrit ad uno stsso priodo di ritorno, i cofficinti A d n possono ssr dtrminati approssimando la rtta dll quazion (3) con la rtta di intrpolazion di minimi quadrati. (vdi Schda 9). Tal rtta di intrpolazion è qulla ch minimizza la somma di quadrati dll distanz tra la rtta stssa d i punti individuati dall M coppi di valori noti. I paramtri, dat l M coppi di valori noti (log h, log t), possono ssr stimati attravrso l quazioni normali: M (log t)(log h) logt log h n = M (log t) logt log h (log t) A = M (logt) logt logt (log t)(log h) (4) (5) Una volta stimati i paramtri è possibil ntrar nlla curva di probabilità pluviomtrica carattrizzata da un crto tmpo di ritorno ricavar l altzza di pioggia corrispondnt a durat diffrnti da qull considrat dal srvizio idrografico. Pr durat infriori all ora, in gnr, si ffttua una strapolazion dlla curva ottnuta con la procdura appna dscritta oppur, si procd ad laborazioni analogh a qull dscritt utilizzando

3 anch i dati rlativi a durat infriori ad un ora. In ntrambi casi è comunqu opportuno prvdr l utilizzo di du lggi monomi carattrizzat da divrsi paramtri. Pr durat supriori, invc, si prfrisc ffttuar dll laborazioni analogh a qull illustrat sull bas di dati di prcipitazion giornalira (massimi annuali pr,, 3,.. giorni conscutivi). Esmpio di calcolo dll curv di probabilita pluviomtrica Utilizzando l sri storich di massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata, 3, 6,, 4 or rgistrat nlla stazion di Riac, si vogliono costruir l curv di probabilità pluviomtrica pr i priodi di ritorno 50, 00, 500 anni, considrando il modllo probabilistico di Gumbl. I dati di partnza, riportati nlla tablla, sono l sri storich di massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata, 3, 6,, 4 or rgistrat nl pluviografo di Riac ricavati dalla Tablla III Prcipitazioni di massima intnsità rgistrat ai pluviografi, dlla Part Prima dgli Annali Idrologici, szion Pluviomtria.

4 Tablla Massimi annuali di prcipitazion rgistrati nl pluviografo di Riac ANNO Pora P3or P6or Por P4or A ciascuna sri dv ssr adattato il modllo probabilistico di Gumbl, carattrizzato dalla sgunt sprssion pr la CDF: F X (x) = a( x )

5 in cui d sono paramtri da stimar. La stima di paramtri può ssr ffttuata attravrso il mtodo di momnti o il mtodo dlla massima vrosimiglianza. Alla bas dl primo mtodo sta l ipotsi ch i momnti rlativi al campion siano la miglior stima di corrispondnti momnti dlla popolazion. Nlla tablla sono riportati i valori di paramtri ottnuti con qusto approccio. Tablla - Paramtri stimati con il mtodo di momnti ORA = x =33.37 = s = = =0.08 = = ORE = x =49.06 = s = = =0.07 = = ORE = x =6.74 = s = = =0.04 = =48.86 ORE = x =79.93 = s = = =0.03 = = ORE = x = 0.70 = s = = =0.0 = =78.4 Con il mtodo dlla massima vrosimiglianza, invc, si assumono com valori di paramtri qulli ch rndono massima la funzion di vrosimiglianza, ottnuta com dnsità di probabilità dll N ossrvazioni indipndnti dl campion. Pr la lgg di Gumbl il mtodo fornisc l sgunti sprssioni da cui si ricavano l stim di d : ˆ x ˆ i xi x ˆxi (6)

6 n xi (7) Tablla 3 - Paramtri stimati con il mtodo dlla massima vrosimiglianza ORA =0.07 = ORE = = ORE =0.057 = 5.00 ORE =0.049 = ORE =0.098 = Esmpio di calcolo di paramtri con il mtodo dlla massima vrosimiglianza Si considri la sri rlativa a t = ora. Poiché il paramtro compar sia nl trmin a dstra ch in qullo a sinistra dlla (6) è ncssario risolvr l sprssion in manira itrativa. Com valori iniziali dl paramtro si considri qullo stimato con il mtodo di momnti: =0.08 Sostitundo nl trmin a dstra dlla (6) si ottin un nuovo valor pr A qusto punto si vrifica la condizion di uscita -? x ˆ i xi x ˆxi =0.6 In qusto smpio si considri una tollranza pari a 0.00 S la condizion è soddisfatta allora la procdura trmina, altrimnti si procd alla dtrminazion di un nuovo valor pr lo stimator nlla sgunt manira: s ( < ) 3 = 3 s ( > ) 3 = 3 Poichè risulta =0.036, si calcola il nuovo valor pr ch, ssndo ( < ), risulta pari a 0.09.

7 A qusto punto si procd in manira itrativa fino a quando non risulta soddisfatta la condizion di uscita fissata. itrazion: Si pon = 3 = itrazion: = 3 = = =0.059 (condizion non soddisfatta) 3 = =0.050 = (condizion non soddisfatta) 3= itrazion: = 3 = =0.037 = (condizion non soddisfatta) 3= itrazion: = 3 = 0.0 =0.03 =0.00 (condizion non soddisfatta) 3= itrazion: = 3 = =0.07 =0.00 (condizion soddisfatta) La stima dl paramtro si ottin quindi sostitundo il valor ottnuto pr nll sprssion (7) = 7.0 Nll figur ch sguono, pr ciascuna dll durat considrat, l CDF torich sono confrontat su cartogramma probabilistico doppio sponnzial (o di Gumbl) con la frqunza cumulata campionaria (ovvro la probabilità di non supramnto) ottnuta tramit la plotting position di Wibull: i P P = n in cui i indica il rank occupato dal dato nl campion riordinato in manira crscnt. Il cartogramma probabilistico doppio sponnzial è un diagramma con scala dll ordinat dformata in modo tal ch la funzion di probabilità cumulata di Gumbl sia rapprsntata da una rtta. La variabil ridotta considrata in qusto caso è: y ln( ln( F Y ( y)) Poichè dv valr F Y (y)= F X (x), considrando la lgg di Gumbl si ha: y F Y (y) = (x ) = F X (x) =

8 in cui si vidnzia il lgam linar tra X d Y : y = (x ) Si procd riportando sull ordinat i valori dll Y (variabil ridotta) a scala linar si dtrminano i valori assunti da tal variabil in corrispondnza di assgnati valori di F Y (y): F Y (y)=0.; 0., 0.3; 0.4; ; F Y (y)= F X (x) y CARTA PROBABILISTICA DI GUMBEL O DOPPIO ESPONENZIALE

9 Massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata ora Massimi annuali dll altzza di prcipitazion di durata 3 or 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 0,98 0,95 0,95 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0, plotting position Wibull 0,3 0, massima vrosimiglianza 0, 0,05 0,0 massima vrosimiglianza mtodo di momnti 0, 0,05 0,0 plotting position Wibull mtodo di momnti 0, mm di pioggia 0, mm di pioggia

10 Massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata 6 or Massimi annuali dll altzza di prcipitazion di durata or 0,995 0,995 0,99 0,99 0,98 0,98 0,95 0,95 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,3 0,4 0,3 0, 0, 0,05 massima vrosimiglianza plotting position Wibull 0, 0, 0,05 massima vrosimiglianza plotting position Wibull 0,0 mtodo di momnti 0, mm di pioggia 0, mtodo di momnti mm di pioggia Massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata 4 or 0,995 0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,05 0,0 massima vrosimiglianza plotting position Wibull mtodo di momnti 0, mm di pioggia

11 A titolo di smpio, alla sola sri di massimi annuali di prcipitazion di durata pari a or rgistrati nlla stazion di Riac, è stato adattato il modllo probabilistico TCEV, pr cui la funzion di probabilità cumulata la funzion dnsità di probabilità sono: F X x xp x x 0 xp x xp df ( x) f x F ( x) F ( x) ( x) / * X x / * x / * X X X dx * in cui,, sono i quattro paramtri ch carattrizzano il modllo. In qusto caso sono stati considrati solo il primo d il scondo livllo di rgionalizzazion. Al livllo di rgionalizzazion pr i du paramtri di forma dl modllo,, si può assumr un valor costant all intrno di ampi zon omogn. Dall analisi condott sull piogg giornalir in Calabria pr tali paramtri sono stati stimati di valori costanti nll intra rgion pari a: * * = 0.48 * =.54 E stato, inoltr, dimostrato ch nl caso dlla Calabria è lcito assumr invarianti con la durata dlla pioggia i valori di, prtanto, considrar tali valori anch nl caso di piogg orari. I paramtri possono ssr quindi dsunti dalla singola sri applicando il mtodo dlla massima vrosimiglianza. Si dfinisca la funzion di vrosimiglianza com: n n n ln L ln f ( x ) ln F ( x ) ln ( x ) X i X i * i i i i con n numro di valori dlla singola sri. L formul risolutiv pr la stima di paramtri sono l sgunti (da non imparar a mmoria!): ln L 0 x n xi / / * n xi / * i * i i *( xi ) * i *( xi ) n / * n n xi / / * n xi / * xi / * xi / * * xi xi i * i i *( xi ) * i *( xi ) x

12 ln L 0 n xi / / * n xi / * * i *( xi ) * i *( xi ) n / * n xi / * xi / * i * i Pr la sri in sam si ottngono l sgunti stim: = = Al livllo di rgionalizzazion, oltr ai valori costanti di paramtri nll zon omogn, all intrno di qust è possibil idntificar sottozon omogn, ntro cui si può ritnr costant anch il paramtro di scala. In total quindi pr qusto livllo di analisi sono tr i paramtri di cui si può assumr a priori un valor rgional. Pr la rgion Calabria sono stat individuat tr sottozon omogn: tirrnica, cntral ionica. Pr la sottozona ionica, in cui ricad la stazion di Riac, è stato stimato: = Anch in qusto caso è possibil considrar alla scala oraria il valor dtrminato dall analisi dll piogg giornalir. Dalla singola sri vin stimato, quindi, solo il paramtro con il mtodo dlla massima vrosimiglianza utilizzando l sprssion fornita prcdntmnt pr il livllo. Pr il caso in sam si ottin: =.079

13 Massimi annuali dll altzz di prcipitazion di durata or 0,995 0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,05 0,0 massima vrosimiglianza plotting position Wibull mtodo di momnti TCEV LIV TCEV LIV mm di pioggia

14 Com dtto, pr il calcolo dll curv di probabilità pluviomtrica si ci basa sull intrpolazion di valori h t,t. individuati, pr un fissato il priodo di ritorno T, sulla bas dll curv di frqunza costruit pr l sri storich di massimi annuali dll piogg di durata, 3, 6,, 4 or. Pr ciascuna durata sono stati, quindi, dtrminati i valori mdi d i frattili corrispondnti ai priodi di ritorno fissati (Tab.4), considrando il modllo di Gumbl d i paramtri stimati con il mtodo dlla massima vrosimiglianza. Tablla 4 Valori mdi frattili corrispondnti ai priodi di ritorno fissati T F X (x) t = ora t = 3 or t = 6 or t = or t = 4 or hmdia A qusto punto pr la stima di paramtri dlla lgg di potnza h t,t = a t n, si considra la trasformata logaritmica di valori dll prcipitazioni dll durat (Tab.5) si applica il mtodo di minimi quadrati. Pr i valori mdi pr ogni priodo di ritorno considrato, quindi, bisogna stimar i paramtri dlla gnrica rtta: Y = A + n X in cui Y = log 0 h ; A = log 0 a d X = log 0 t. Tablla 5 Logaritmi dll durat di frattili considrati Log h Log t mdia T=50 T=00 T= I valori di cofficinti A d n ottnuti pr i valori mdi di massimi annuali pr ciascun priodo di ritorno (Tab. 6) sono stati stimati attravrso l cosiddtt quazioni normali, sprssioni (4) (5). Infin, si è dtrminato il valor dl paramtro a=0 A.

15 Tablla 6- Paramtri stimati con il mtodo dlla massima vrosimiglianza mdia T=50 T=00 T=500 Intrctta Coff.ang a n

16 h (mm)

17 h (mm)

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