Come già anticipato nella seconda lezione, il modello di Black-Scholes descrive la dinamica di uno stock = +

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1 Il Modello di Black-Scholes La scorsa lezione abbiamo introdotto gli strumenti derivati e abbiamo imparato una semplice strategia l albero binomiale per ottenerne il prezzo. Discutendo i pregi e i difetti di questa strategia si è puntualizzato come il metodo proposto risulti molto veloce ma spesso estremamente grossolano come è lecito aspettarsi da un procedimento per approssimazione quale il binomial tree. La matematica finanziaria ha sviluppato negli ultimi 30 anni una teoria completa (o quasi) per ottenere il prezzo della quasi totalità dei titoli derivati scambiati: il mattone sul quale tutto questo complesso teorico è stato costruito è il modello proposto nel 1970 da Fischer Black e Myron Scholes il cosiddetto modello di Black e Scholes che valse ai due autori il Premio Nobel per l economia nel In queste pagine cercheremo di descrivere il suddetto modello e le sue caratteristiche. Rendimenti logaritmici Come già anticipato nella seconda lezione il modello di Black-Scholes descrive la dinamica di uno stock ( ) tramite un equazione differenziale stocastica: = + In sostanza il modello di Black Scholes descrive le variazioni percentuali del prezzo di uno stock in un intervallo di tempo come la somma di due contributi: Un contributo deterministico pari ad un termine costante moltiplicato per l intervallo di tempo in questione; Un contributo stocastico pari ad una costante per l incremento tra e + di un moto browniano. Questa descrizione cattura le seguenti caratteristiche empiriche degli stock prices: I rendimenti percentuali tra periodi successivi sono indipendenti Il processo ( ) è di Markov: il prezzo dello stock domani dipende unicamente dal livello dello stock oggi non dalla evoluzione del prezzo dello stock nel passato; La volatilità dei rendimenti percentuali non dipende dal livello dello stock; Consideriamo ora un contratto derivato scritto sullo stock : dal momento che il valore di un derivato ad ogni tempo è determinato dall andamento dell asset sottostante descriveremo tale strumento tramite una funzione a due variabili R R ( ) ( ) 1 In realtà Fischer Black morì due anni prima nel 1995 e quindi non ricevette mai il premio.

2 Ad esempio nel caso di un opzione call con maturity e strike avremo ( ) = ( ) Sia quindi ( ) il valore del derivato ad oggi (ricordiamo che che è un valore noto). Vogliamo trovare un metodo per ottenere tale prezzo. Un metodo che potrebbe essere impiegato consiste nello scrivere un equazione differenziale stocastica per e poi risolverla verificando esistenza / unicità di soluzioni. Cominciamo allora a applicare la formula di Ito alla funzione ottenendo = ( ) + ( ) ( ) ( ) Sostituendo il valore di otteniamo = ( ) + ( ) ( ) + ( ) Imitando la costruzione proposta nella scorsa lezione consideriamo un portafoglio Π composto al tempo dai seguenti asset: Una posizione short sul derivato; Una posizione long su ( ) di azioni Π = ( ) + ( ) Vogliamo ora calcolare la variazione di valore del portafoglio: applichiamo quindi nuovamente Ito su Π ottenendo: = + ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( + ) = = ( ) 1 2 ( ) Notiamo subito che il differenziale stocastico è privo del termine nel moto browniano. Questo significa che tale quantità è deterministica: qualsiasi evento accada la variazione di valore del portafoglio in un istante infinitesimo è sempre la stessa. Pertanto la rischiosità del portafoglio è pari a zero: il detentore di Π al tempo sa esattamente quale sarà la il nuovo valore del portafogli al tempo +.

3 Chiediamoci allora: esiste un modo alternativo per esprimere la suddetta variazione? La risposta deriva immediatamente dall applicazione del principio di non arbitraggio:se il valore del portafogli al tempo è pari a Π e se la variazione di valore tra e + è deterministica allora il nuovo valore in + è il valore capitalizzato di Π al tempo +. Quindi la variazione risulta anche pari a = Il perché di questo fatto è semplice: per definizione un asset che paga un importo fissato in tutti gli stati del mondo è risk-free e il tasso di interesse è la misura dell apprezzamento percentuale annuo per tali asset. Uguagliando le due espressioni per la variazione di valore del portafogli otteniamo: ( ) 1 2 ( ) = ( ) + ( ) Ricordando il significato integrale di questa espressione è facile vedere che ciò implica ( ) ( ) + ( ) = ( ) L equazione differenziale che abbiamo ottenuto è detta equazione di Black Scholes ed è indubbiamente lo strumento più potente di cui possiamo disporre per il pricing di un derivato. Infatti non abbiamo messo limitazioni riguardo ad ma ci siamo limitati a supporre che il valore di dipendesse dallo stock sottostante. L equazione di Black Scholes descrive quindi la dinamica di un qualsiasi derivato non è un metodo ad hoc per una specifica classe di contratti. Viceversa ogni derivato deve soddisfare tale equazione. Inoltre la derivazione stessa dell equazione di Black Scholes impone che il prezzo finale ( ) sia quel valore che garantisce l assenza di possibilità di arbitraggio: nel procedimento sopra il derivato è stato replicato da un portafoglio riskless e si è imposto che il rendimento di tale portafoglio fosse pari al tasso di interesse corrente. Quindi ogni soluzione dell equazione di Black Scholes rappresenta il prezzo arbitrage free del corrispondente contratto. E opportuno infine ricordare che l equazione di Black Scholes è stata derivata fondandosi su alcune assunzioni: 1. La dinamica dell azione sottostante è descritta da = + ; 2. E possibile fare short selling (vedi lezione 3) 3. Non ci sono costi di transazioni e tutti i titoli commerciati sono infinitamente divisibili; 4. L azione sottostante non paga dividendi; 5. Lo scambio di titoli avviene in modo continuo; 6. Non esistono possibilità di arbitraggio; 7. Il tasso di interesse è unico per tutte le scadenze e costante nel tempo Alcune delle ipotesi di sopra possono comunque essere rilassate (come la 4) mentre altre (come la 6 e 7) sono fondamentali.

4 Si è detto che l equazione di Black Scholes vale per tutti i contratti finanziari il cui valore dipende da uno stock sottostante ossia tutti i derivati. A seconda delle condizioni al contorno che vengono imposte le soluzioni forniscono il valore (prezzo) dei derivati in analisi. Il setting delle condizioni al contorno è abbastanza delicato: sappiamo dalla teoria delle PDE che le boundary conditions condizionano esistenza e unicità delle equazioni differenziali. Senza entrare nel dettaglio tecnico cerchiamo di procedere per analogia utilizzando come paragone un altra equazione differenziale dotate delle stesse caratteristiche di BS. L equazione di Black Scholes è una PDE parabolica lineare e la classica PDE parabolica è l equazione del calore: = Per tale equazione si limita solitamente l analisi all insieme ( ) R 2 ( ) [0+ ] [0 ] In altre parole la dimensione spaziale è finita e si considerano solo tempi positivi (si immagini ad esempio di voler descrivere la dinamica del calore all interno di una sbarra collocata in 0 e lunga ). Si procede quindi assegnando una configurazione iniziale di calore alla sbarra ossia (0 ) = ( ) [0 ] Infine si suppone che la temperatura agli estremi della sbarra sia ad esempio mantenuta costante nel tempo ( 0) = ( ) =0 [0+ ] Quali condizioni al contorno possiamo utilizzare per descrivere ad esempio la dinamica di una opzione call? Prima di tutto è bene definire il dominio di soluzione: nel caso dell equazione di Black Scholes sia i prezzi dello stock sia la variabile temporale possono assumere solo valori positivi. Quindi il dominio sarà: ( ) R 2 ( ) [0 ] [0+ ] Per identificare univocamente il nostro contratto derivato imporremo anche la condizione seguente: ( ) = ( ) Imitando quanto descritto per l equazione del calore introduciamo anche due condizioni relative al valore del derivato nel caso di valori estremi per lo stock ossia 0 e + : ( 0) =0 [0+ ] lim ( ) =+ [0+ ] La prima condizione segue dall osservare che nel caso lo stock sottostante raggiunga valore 0 resterà pari a zero per ogni tempo successivo: utilizzando il modello lognormale di Black Scholes = ( + )

5 è facile vedere che se =0 allora =0 per ogni tempo >. Riassumendo il prezzo di una call option con strike e maturity si può ottenere risolvendo la il problema differenziale: ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( 0) =0 [0+ ] lim ( ) =+ [0+ ] La soluzione di questo problema è data dalla seguente formula: ( ) = ( ) ( ) ( ) dove è la funzione cumulativa di probabilità di una normale standard e la quantità sono fornite da ln ( ) = ln + 2 ( ) = = (Il valore di una put si ricava velocemente tramite la put call parity) Derivazione alternativa della formula per opzioni europee: valutazione risk neutral Sostituendo la funzione proposta nell equazione di Black e Scholes si può verificare la correttezza della nostra ansatz. Tuttavia questo procedimento non è istruttivo : la soluzione sembra caduta dal cielo mentre invece può essere derivata con qualche ragionamento. Ricordiamo insieme quanto detto per l albero binomiale: calcolare il prezzo arbitrage free di un derivato vuole dire calcolarne il valore atteso dei payoff finali e scontare tale valore alla data presente. Inoltre la misura secondo la quale si calcola il valore atteso è quella risk free e non quella del mondo reale. Proviamo allora ad applicare questo ragionamento ma questa volta nel caso continuo: in altre parole cerchiamo di capire che tipo di variabile aleatoria può descrivere i payoff a maturity del nostro derivato secondo la misura risk neutral. Intanto osserviamo che i payoff di una call con strike e maturity sono descritti da una funzione deterministica di (ossia da ( ) ). Quindi una volta descritta la dinamica risk neutral della variabile aleatoria saremmo in grado di calcolare il valore atteso di ( ). La dinamica dello stock secondo la misura di probabilità del mondo reale è descritta dall equazione differenziale = +. Come possiamo passare alla dinamica risk free? Un importante risultato di teoria della misura il teorema di Girsanov permette di passare da una SDE secondo una misura

6 di probabilità a un altra SDE secondo una seconda probabilità (nel nostro caso quella risk neutral). Operativamente il Teorema di Girsanov afferma che passando da misura real world a misura risk neutral l equazione differenziale stocastica varia unicamente nel parametro mantenendo intatta la struttura generale. La nuova dinamica si ottiene considerando l equazione: = + dove è il tasso di interesse annuo. Sfruttando quanto visto nella seconda lezione sappiamo che la soluzione a tale SDE è: = exp ( ) Continuando come descritto precedentemente calcoliamo il valore atteso dei payoff a maturity: [( ) ] = exp = = ( ) ( ) Scontando tramite il fattore otteniamo la formula di Black Scholes per una call.

7 Metodi risolutivi per l equazione di Black Scholes Si è visto come nel caso di derivati semplici come le opzioni europee l equazione differenziale di Black e Scholes possa essere risolta in forma esplicita. In generale trovare una soluzione in forma chiusa per un qualsiasi set di condizioni al contorno è impossibile: pertanto la soluzione dell equazione viene affrontata numericamente. Gli approcci possibili sono solitamente due: utilizzare i cosiddetti metodi alle differenze finite oppure sfruttare tecniche di analisi di Fourier. Nel seguito vedremo brevemente due possibili soluzioni che appartengono alla prima categoria. L idea di fondo degli schemi a differenze finite è quella di trasformare le derivate parziali in una PDE in rapporti incrementali sfruttando lo sviluppo di Taylor ossia sostituire ( ) con ( ) ( ). Analogamente possiamo approssimare l derivate di ordine superiore: ad esempio è facile verificare che sotto opportune condizioni di regolarità vale che ( ) = ( + h) 2 ( ) + ( h) h + (h ) Per applicare queste idee alla nostra equazione è conveniente richiamare il dominio di soluzione ossia = ( ) R 2 ( ) [0 ] [0+ ] Dovendo implementare numericamente uno schema risolutivo dobbiamo limitarci in pratica al dominio = ( ) R 2 ( ) [0 ] [0 ] dove max è un valore molto maggiore del livello attuale dello stock dominio di soluzione considerando i punti appartenenti a della forma = ( ) dove e sono step da fissarsi in seguito. Se definiamo poi = ( ). Procediamo quindi a discretizzare il possiamo tradurre in differenze finite una qualsiasi equazione differenziale: ad esempio l equazione di Black Scholes diventa: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = Precisamente la derivata prima nello spazio è approssimata con una differenza centrale mentre quella nel tempo è approssimata con una differenza backward.

8 Impostato il problema possiamo riscrivere = + + = 1 2 ( ) =1 ( + ) = 1 2 ( + ) Abbiamo così espresso il valore del derivato al tempo in funzione del valore al tempo. Notiamo ora che le condizioni al contorno che dobbiamo soddisfare sono settate al tempo : a tale data sappiamo quale è il valore del derivato (ossia semplicemente i suoi payoff). Pertanto possiamo risolvere l equazione di sopra in maniera ricorsiva partendo dal tempo dove i valori di sono noti. Il metodo proposto è detto schema esplicito: ad ogni tempo funzione dei valori noti in che descriviamo brevemente nel seguito. possiamo calcolare il valore del derivato in. Il principale svantaggio di questo sistema di risoluzione è la non stabilità Si è detto che i metodi alle differenze finite prendono origine dallo sviluppo di Taylor: sembra quindi lecito aspettarsi che riducendo gli step e la soluzione risulti sempre più precisa: in realtà questo non accade anzi per particolari scelte degli step la soluzione trovata può esplodere divergendo a più infinito. A tale proposito qui sotto è riportato il grafico del valore di una call option contro il valore iniziale dello stock calcolato utilizzando il codice in appendice. Nell esempio proposto abbiamo settato =50 =40 =1 =0.01 =0.2 =50.

9 Dividendo l intervallo di [0 ] in o 100 parti la soluzione risulta sempre più regolare; aumentando però la risoluzione con 200 step il valore ottenuto diverge. Questa caratteristica può essere studiata in modo rigoroso tramite la cosiddetta analisi di stabilità (se avanzerà tempo lo tratteremo brevemente). A noi basterà sapere che il metodo a schema esplicito è facile a spiegarsi ma presenta complicazioni di natura applicativa che non lo rendono molto affidabile. Una possibile strategia per aggirare questa difficoltà è contrariamente a quanto suggerirebbe l intuizione utilizzare uno schema implicito. Lo schema esplicito esprime i valori della soluzione al tempo 1 in funzione di quelli al tempo che sono noti in quanto il procedimento va applicato a partire dalla data di maturity per poi muoversi indietro nel tempo. Lo schema implicito esprime invece i valori al tempo in funzione di quelli al tempo 1. Più precisamente otteniamo uno schema completamente implicito approssimando la derivata prima temporale nell equazione di Black e Scholes con un incremento forward ossia ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = Otteniamo quindi la seguente relazione: + + = dove le quantità sono date da = =1+ + = Abbiamo quindi una relazione che lega tre incognite (ossia e ) ad un valore noto (ossia ). Siano e il numero di step in cui sono rispettivamente divisi gli intervalli [0 ] e [0 ]. Ricordando che il valore del derivato nei punti del tipo ( 0) e ( ) è già fissato dalle condizioni al contorno ad ogni time step dovremo risolvere il seguente sistema lineare

10 = 0 0 La matrice dei coefficienti risulta tridiagonale permettendo di applicare il metodo di fattorizzazione LU per migliorare l efficienza del codice. Il principale vantaggio del metodo implicito come si è detto risiede nella sua stabilità: anche stringendo le reti della griglia ossia diminuendo gli step temporali e spaziali non si presentano i problemi che insorgono con il metodo esplicito.

11 Appendice r=0.01; sigma=0.2; T=1; S_max=100; S_0=50; K=40; N=500; M=200; delta_t=t/n; delta_x=s_max/m; effe=zeros(nm); a=zeros(m1); b=zeros(m1); c=zeros(m1); effe(n:)=max(linspace(0s_maxm)'-k0); effe(:1)=zeros(n1); effe(:m)=s_max-k*exp(-r*linspace(0tn)); for i=1:m a(i)=0.5*delta_t*(sigma^2*i^2-r*i); b(i)=1-delta_t*(sigma^2*i^2+r); c(i)=0.5*delta_t*(sigma^2*i^2+r*i); end for i=n:-1:2 for j=2:m-1 effe(i-1j)=a(j)*effe(ij-1)+b(j)*effe(ij)+c(j)*effe(ij+1); end end