GEOMETRIA 1 Corso di Geometria 1 (prima parte)

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1 GEOMETRIA 1 Corso di Geometria 1 (prima parte) Maria Dedò e Cristina Turrini 2011/2012 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 1 / 109

2 index Vettori 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 2 / 109

3 Vettori Richiami: vettori geometrici Un vettore applicato v, (sulla retta, o nel piano, o nello spazio) è un segmento orientato. Se il segmento orientato è di estremi A e B ed il verso è da A verso B, si scrive anche v = AB, oppure v = B A. A viene detto punto di applicazione o punto di partenza, mentre B viene detto punto di arrivo A AB B La retta di applicazione di AB è la retta per A e B Il verso di AB è uno dei due possibili orientamenti per la retta per A e B. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 3 / 109

4 Vettori Tra i vettori applicati vanno anche considerati i vettori nulli v = AA, di estremi coincidenti. Nell insieme dei vettori applicati si può considerare la seguente relazione di equivalenza: i vettori AB e CD si dicono equipollenti se 1 sono entrambe nulli (ovvero A = B e C = D), oppure 2 hanno la stessa retta di applicazione, la stessa lunghezza (rispetto ad un unità di misura prefissata) e lo stesso verso, oppure 3 ABDC, (in quest ordine!) è un parallelogrammo di cui AB e CD sono lati opposti. B D A C OSSERVAZIONE - Se AB e CD sono due vettori equipollenti come in figura, ABCD, in quest ordine, non è un parallelogrammo. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 4 / 109

5 Vettori ESERCIZIO: verificare che la relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza di vettori applicati vengono dette vettori, o vettori liberi. Si scrive anche v = [ AB], per denotare il vettore libero v rappresentato dal vettore applicato AB. Si può parlare di direzione e verso di un vettore libero. La direzione di un vettore libero è la classe di equivalenza per parallelismo individuata dalla retta di applicazione di uno dei suoi rappresentanti. Il vettore libero [ AA] viene denotato con 0 e detto vettore nullo o vettore zero. Non si parla di direzione e verso per il vettore nullo. OSSERVAZIONE - Dati un vettore libero v ed un punto P (della retta, o del piano, o dello spazio) esiste un unico (punto Q e quindi un unico) vettore applicato PQ tale che v = [ PQ], (si dice che PQ è ottenuto applicando v in P). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 5 / 109

6 Vettori Tra i vettori liberi considereremo le seguenti operazioni. SOMMA DI VETTORI La somma u + v del vettore u = [ AB] e del vettore v = [ CD] è il vettore libero u + v = [ AQ], dove Q è il punto di arrivo del vettore che si ottiene applicando v in B. Q u A B v C D regola del parallelogrammo OSSERVAZIONE - La definizione di somma è ben posta (indipendente dai rappresentanti). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 6 / 109

7 Vettori PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE Il prodotto λv del numero reale λ (detto scalare) per il vettore v = [ AB] è il vettore libero λv = [ AQ], dove, se λ 0, allora AQ è il vettore che ha la stessa direzione di v, verso uguale o opposto a quello di v a seconda che λ sia positivo o negativo ed inoltre tale che il rapporto tra la misura del segmento AQ e quella del segmento AB (rispetto ad una fissata unità di misura) sia λ ; se λ = 0, allora AQ è il vettore nullo (ovvero A = Q). Q λ = 2 A B A A Q λ = 2 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 7 / 109

8 Vettori OSSERVAZIONE - La definizione di prodotto di uno scalare per un vettore è ben posta. PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI u, v, w (vettori liberi) e λ, µ (numeri reali) si ha 1 (proprietà commutativa) u + v = v + u 2 (proprietà associativa) u + (v + w) = (u + v) + w 3 (esistenza dell elemento neutro) v + 0 = v 4 (esistenza dell opposto di un qualsiasi dato vettore a) b tale che a + b = 0 5 λ(u + v) = λu + λv 6 (λ + µ)v = λv + µv 7 (λµ)v = λ(µv) 8 1v = v. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 8 / 109

9 Vettori Dipendenza e indipendenza lineare Dati h vettori v 1,..., v h ed h scalari α 1,..., α h, si dice combinazione lineare di v 1,..., v h con coefficienti α 1,..., α h, il vettore v così ottenuto: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α h v h = h α i v i. Consideriamo un insieme di vettori S = {v 1,..., v n }. Se n > 1, si dice che S è linearmente dipendente (o equivalentemente si dice che i vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti) se almeno uno dei vettori v i può essere scritto come combinazione lineare degli altri, ovvero se (a meno di ordinare i vettori) esistono scalari β 1,... β n 1 tali che si abbia v n = n 1 i=1 β iv i. Linearmente indipendente significa "non linearmente dipendente". Se n = 1, si dice che S = {v 1 } è linearmente dipendente se v 1 = 0, linearmente indipendente se v 1 0, cioè un vettore è linearmente dipendente se e solo se è il vettore nullo. i=1 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 9 / 109

10 Vettori ESERCIZIO: Dare un esempio di 3 vettori v 1, v 2, v 3 linearmente dipendenti, ma tali che v 3 non sia combinazione lineare di v 1 e v 2. ESERCIZIO: Dati tre vettori indipendenti u = [ OX], v = [ OY] e w = [ OZ], si stabilisca qual è la posizione del punto P tale che u + v + w = [ OP]. ESERCIZIO: Dimostrare che due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta applicati nello stesso punto, risultano allineati tre vettori nel piano sono sempre linearmente dipendenti tre vettori nello spazio sono linearmente dipendenti se e solo se, una volta applicati nello stesso punto, risultano complanari quattro vettori (nel piano o nello spazio) sono sempre linearmente dipendenti. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 10 / 109

11 index Retta, piano e spazio affini 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 11 / 109

12 Retta, piano e spazio affini Richiami: sistemi di riferimento nella retta e nel piano Consideriamo una retta orientata r e un segmento U da assumersi come unità di misura. Sia poi dato su r un segmento orientato AB. U A AB B r Si dice misura con segno del segmento orientato AB il numero reale il cui valore assoluto è la misura di AB rispetto a U e il cui segno è + se AB è orientato concordemente al verso di r, se AB è discorde col verso di r. Per convenzione, indichiamo con AB la misura con segno di AB. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 12 / 109

13 Retta, piano e spazio affini Proprietà della misura con segno (identità segmentarie fondamentali): 1 AB + BA = 0 A, B r 2 AB + BC + CA = 0 A, B, C r La prima identità segue dalla definizione. Per la seconda identità, assumiamo che A preceda C e C preceda B. Abbiamo AB = AC + CB, che, a causa dell ordine assunto, vuol dire AB = AC + CB. Quindi AB AC CB = 0, ovvero AB + CA + BC = 0. Il ragionamento è analogo per gli altri possibili ordinamenti di A, B e C. r A C B Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 13 / 109

14 Retta, piano e spazio affini Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una terna R = {O, verso, U}, dove O r è un punto detto origine del riferimento), il verso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (unità di misura): O X U r R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l insieme R dei numeri reali: r R X x = OX Il numero reale x viene detto ascissa di X. Per dire che il punto X ha ascissa x si scrive anche X (x). Una retta r dotata di un sistema di riferimento R = {O, verso, U} viene anche detta retta affine e indicata con A 1 = (r, R). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 14 / 109

15 Retta, piano e spazio affini r r U U O Un sistema di riferimento R su un piano π è dato da: due rette incidenti che si intersecano in un punto O detto origine del piano; un orientazione su ciascuna delle due rette; un unità di misura su ciascuna delle due rette. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 15 / 109

16 Retta, piano e spazio affini (π, R riferimento) = A 2 piano affine asse y Y O X P asse x Fissato un qualunque punto P, si manda per P la retta parallela all asse x che taglia l asse y in Y e retta parallela all asse y che taglia l asse x in X. È possibile così instaurare una corrispondenza biunivoca: A 2 R 2 = R R P (x, y) x = OX (ascissa di P), y = OY (ordinata di P) Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 16 / 109

17 Retta, piano e spazio affini Lo spazio affine A 3 Un sistema di riferimento R nello spazio è costituito da 3 rette, non complanari, passanti tutte e tre per un punto O che verrà detto origine del riferimento; un orientazione su ciascuna retta; un unità di misura su ciascuna retta. III O I II Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 17 / 109

18 Retta, piano e spazio affini (Spazio, R) = A 3 spazio affine Un sistema di riferimento R permette di istituire una corrispondenza biunivoca: A 3 R 3, nel seguente modo. Dato un punto P, si considerino: il piano per P parallelo al piano(x, y), che interseca l asse z in Z; il piano per P parallelo al piano(x, z), che interseca l asse y in Y; il piano per P parallelo al piano(y, z), che interseca l asse x in X. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 18 / 109

19 Retta, piano e spazio affini O X asse x P La corrispondenza sopra citata associa a P la terna di numeri reali (x, y, z), dove x = OX (ascissa di P) y = OY (ordinata di P) z = OZ (quota di P) (x, y, z) vengono dette coordinate di P e si scrive P (x, y, z). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 19 / 109

20 Retta, piano e spazio affini Componenti di un vettore in A 3 Consideriamo lo spazio affine A 3, in cui si è fissato un sistema di riferimento R ed un vettore v = [ AB] = [ OP]. Con le notazioni introdotte in precedenza si ha: OP = OX + OY + OZ. Le coordinate (x, y, z) = (OX, OY, OZ) di P vengono anche dette componenti del vettore v nel sistema di riferimento R. Posto A (x A, y A, y A ) e B (x B, y B, z B ), si ha (x, y, z) = (x B x A, y B y A, z B z A ). Pertanto le componenti del vettore v = [ AB] nel riferimento R sono (x B x A, y B y A, z B z A ). OSSERVAZIONE - Due vettori non nulli u = [ AB] e v = [ CD] sono linearmente dipendenti (ovvero AB e CD sono paralleli) se e solo se hanno componenti proporzionali, ovvero se e solo se esiste un numero reale λ tale che sia (x B x A, y B y A, z B z A ) = λ(x D x C, y D y C, z D z C ) (dimostrarlo per ESERCIZIO: un ingrediente fondamentale è il teorema di Talete). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 20 / 109

21 index Retta e piano proiettivi 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 21 / 109

22 Retta e piano proiettivi La retta proiettiva Consideriamo il piano R 2, con coordinate (x 0, x 1 ), e poniamo X = R 2 \ {0, 0}. Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza: Si dice che (x 0, x 1 ), (y 0, y 1 ) X sono equivalenti, e si scrive (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ), se λ (R \ {0}) tale che sia (y 0, y 1 ) = λ(x 0, x 1 ), ovvero y 0 = λx 0 e y 1 = λx 1. Quindi, ad esempio, (1, 3) (1/5, 3/5) e (2, 3) ( 2 2, 3 2). Esercizio: verificare che è una relazione di equivalenza. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 22 / 109

23 Retta e piano proiettivi L insieme quoziente Se x 0 0, (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ) vuol dire x 1 /x 0 = y 1 /y 0. Se x 0 = 0, (0, x 1 ) (0, y 1 ) x 1, y 1 0. Dunque la relazione identifica tra loro tutti i punti (diversi dall origine) che appartengono ad una stessa retta per l origine. Sia (x 0, x 1 ) X; si denota con [(x 0, x 1 )], o anche con (x 0 : x 1 ), la classe di equivalenza di (x 0, x 1 ), pertanto [(x 0, x 1 )] = (x 0 : x 1 ) = {(y 0, y 1 ) X (y 0, y 1 ) (x 0, x 1 )} è una retta per l origine (privata dell origine) e l insieme quoziente, ovvero l insieme delle classi di equivalenza, X/ = {(x 0 : x 1 )} rappresenta l insieme di tutte e sole le rette per l origine, ovvero il fascio di rette per l origine (ciascuna privata dell origine). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 23 / 109

24 Retta e piano proiettivi Le coordinate omogenee sulla retta X/ viene detto retta proiettiva e indicato con P 1. Sia l una retta per l origine e sia (x 0 : x 1 ) = l \(0, 0). Se (a 0, a 1 ) l \(0, 0), (a 0, a 1 ) viene detta una coppia di coordinate omogenee di l. Le coordinate omogenee non sono mai contemporaneamente nulle e sono definite a meno di un fattore di proporzionalità λ (R \ {0}). (a 0 : a 1 ) viene detto punto di P 1. P 1 fascio di rette per (0, 0) nel piano Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 24 / 109

25 Retta e piano proiettivi La retta proiettiva come ampliamento della retta affine Fissiamo la retta r di equazione x 0 = 1. l (0, 0) (diversa dall asse x 1 ), l taglia la retta r nel punto di coordinate (1, a 1 /a 0 ), dove (a 0, a 1 ) è un punto di l \(0, 0). Si è così definita una corrispondenza biunivoca fascio \ { asse x 1 } r l (1, a 1 /a 0 ) ovvero, ricordando che l asse x 1 ha coordinate omogenee (0, 1), P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 (1 : a) a (a 0, a 1 ) coordinate omogenee, a coordinata affine Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 25 / 109

26 Retta e piano proiettivi P 1 come quoziente e come ampliamento Quando la retta l del fascio "tende" all asse x 1, il punto (a 0 : a 1 ) "tende" a (0 : 1) e il rapporto a 1 /a 0. Possiamo allora, in qualche senso, interpretare P 1 come A 1 { }. Quindi, da una parte P 1 è un quoziente del piano bucato (R 2 \ {(0, 0)})/ e dall altra è un ampliamento della retta affine, ovvero A 1 { }. Più esplicitamente osserviamo che la corrispondenza biunivoca P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 si estende a una corrispondenza biunivoca P 1 A 1 { } a 1 /a 0 se a 0 0 (a 0 : a 1 ) se a 0 = 0 che si inverte così a (1 : a), se a, e (0 : 1). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 26 / 109

27 Retta e piano proiettivi Modello intuitivo di P 1 Un modello di P 1, che per ora resta a livello intuitivo e verrà reso rigoroso con l introduzione della topologia, è la circonferenza. Consideriamo la circonferenza γ e la retta r in figura. Per proiezione da N si instaura una corrispondenza biunivoca γ \ {N} r = A 1 P < NP > r, ove < NP > denota la retta per N e P. che si può estendere a una corrispondenza biunivoca γ P 1 ponendo N. Punti che si "avvicinano" a N si proiettano su punti che "vanno all infinito" Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 27 / 109

28 Retta e piano proiettivi Alcune "asimmetrie" del piano affine Nel piano affine A 2, si hanno le seguenti proprietà di incidenza. 1 P, Q A 2, con P e Q punti distinti tra loro,! retta l A 2 tale che P, Q l 2 l, l A 2, con l ed l rette distinte tra loro, e non parallele tra loro,! punto P A 2 tale che P l l. Nel piano affine A 2 si hanno due diversi tipi di fasci di rette. I fasci propri, le cui rette sono parametrizzate da R { }. Ad esempio, le rette del fascio per P 0 (1, 3) non parallele all asse y, hanno equazioni della forma y 3 = m(x 1), con m R. La retta del fascio parallela all asse y ha equazione x = 1 e si ottiene per m. I fasci impropri, le cui rette sono parametrizzate da R. Ad esempio, le rette parallele alla retta di equazione y = 5x sono tutte e sole quelle di equazione y = 5x + q, con q R. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 28 / 109

29 Il piano esteso Retta e piano proiettivi Per eliminare queste "asimmetrie" si introducono nuovi "punti" rappresentativi delle direzioni delle rette del piano. Questi nuovi punti verranno detti punti impropri o punti all infinito (e gli usuali punti del piano A 2 si diranno allora punti propri o al finito). Si dice allora piano esteso o piano ampliato l insieme A 2 = A 2 { direzioni delle rette di A 2 }. Se l è una retta di A 2, si denota con P (l) o con dir(l) la direzione di l, ovvero il punto improprio di l. l ed l sono parallele (l l ) se e solo se P (l) = P (l ). Indichiamo con P, Q,... i punti di A 2. P può essere un punto proprio (P = P A 2 ), oppure una direzione (P = P (l)). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 29 / 109

30 I nuovi assiomi Retta e piano proiettivi Nel piano ampliato A 2 si chiamano ancora rette i sottoinsiemi l = l P (l) ove l è una retta di A 2. Vediamo se con queste nuove nozioni di punto e di retta si è ristabilita la simmetria tra gli assiomi 1 e 2, ovvero vediamo se valgono gli assiomi seguenti. 1 P, Q A 2, con P Q,! retta l tale che P, Q l 2 l, l A 2, con l l,! punto P tale che P l l. Per verificare la 1 dobbiamo distinguere tre casi. P, Q propri P proprio e Q improprio (o viceversa) P, Q impropri Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 30 / 109

31 Retta e piano proiettivi La retta impropria Nel caso P = P, Q = Q entrambe propri, l unica retta per P e Q è la retta l, con l P, Q. Nel caso P = P proprio e Q = P (r) improprio, l unica retta per P e Q è la retta l, con l passante per P e parallela a r. Nel caso P = P (r), Q = P (s) entrambe impropri non vi è nessuna retta l per P e Q (una tale l sarebbe infatti una retta con due direzioni). Per soddisfare la proprietà occorre che esista un altra retta in A 2. Questa nuova retta r non dovrà contenere alcun punto proprio (altrimenti per quel punto passerebbe una retta con due direzioni diverse), inoltre r dovrà contenere tutti i punti impropri (consideriamo infatti un punto improprio P (s), se si vuole che anche la proprietà 2 sia soddisfatta, s r deve essere un punto che non può essere proprio, e pertanto è l unico punto improprio di s, ovvero P (s). In conclusione è necessario definire retta anche l insieme r = r di tutti e soli i punti impropri. Tale retta viene detta retta impropria. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 31 / 109

32 Retta e piano proiettivi Rette e punti nel piano esteso Con l introduzione della retta impropria tra le rette del piano esteso, sia l assioma 1 che l assioma 2 sono soddisfatti. Anche i fasci di rette nel piano esteso si comportano in modo "simmetrico". Infatti anche i fasci impropri (che contengono in più la retta impropria) si possono caratterizzare come insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto (che in questo caso sarà un punto improprio). Riassumendo, in A 2 : propri punti = impropri rette del piano affine completate con il punto improprio rette = retta impropria = insieme dei punti impropri Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 32 / 109

33 Retta e piano proiettivi La relazione di equivalenza Sia X = R 3 \ {0, 0, 0}. Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza: Si dice che (x 0, x 1, x 2 ), (y 0, y 1, y 2 ) X sono equivalenti (e si scrive (x 0, x 1, x 2 ) (y 0, y 1, y 2 )), se λ (R \ {0}) tale che sia (y 0, y 1, y 2 ) = λ(x 0, x 1, y 2 ), ovvero y 0 = λx 0, y 1 = λx 1 e y 2 = λx 2. Punti equivalenti sono allineati con l origine. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 33 / 109

34 Retta e piano proiettivi L insieme quoziente Sia (x 0, x 1, x 2 ) X; si denota con (x 0 : x 1 : x 2 ), la classe di equivalenza di (x 0, x 1, x 2 ), pertanto (x 0 : x 1 : x 2 ) rappresenta una retta per l origine, privata dell origine. L insieme quoziente, ovvero l insieme delle classi di equivalenza, X/ = {(x 0 : x 1 : x 2 )} rappresenta l insieme di tutte e sole le rette per l origine, ovvero la stella di rette per l origine (ciascuna privata dell origine). X/ viene detto piano proiettivo e indicato con P 2. Le classi (x 0 : x 1 : x 2 ) vengono dette punti di P 2. (x 0, x 1, x 2 ) vengono dette coordinate omogenee del punto P = (x 0 : x 1 : x 2 ). Le coordinate omogenee non sono mai tutte e tre nulle e sono definite a meno di un fattore di proporzionalità. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 34 / 109

35 La carta affine U 0 Retta e piano proiettivi Consideriamo ora il sottoinsieme U 0 = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 : x 0 0} P 2. U 0 è ben definito poiché se (x 0, x 1, x 2 ) (x 0, x 1, x 2 ), è x 0 0 x 0 0. U 0 viene detto carta affine di P 2. U 0 è in corrispondenza biunivoca con A 2 : U 0 A 2, (x 0 : x 1 : x 2 ) ( x 1 x 0, x 2 x 0 ). L applicazione è ben definita, poiché, se (x 0, x 1, x 2 ) (x 0, x 1, x 2 ) e x 0 0, è x 1 x 0 = x 1 x 0 e x 2 = x x 0 2 x 0. La corrispondenza si inverte così U 0 A 2, (1 : x : y) (x, y). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 35 / 109

36 Retta e piano proiettivi Coordinate omogenee nel piano Identifichiamo ora A 2 con U 0, otterremo un identificazione del piano esteso A 2 con P 2. Dato un punto P U 0 = A 2 di coordinate omogenee (x 0, x 1, x 2 ), i numeri x = x 1 x 0, y = x 2 x 0 vengono detti coordinate affini del punto P. Un punto P = (x 0 : x 1 : x 2 ) P 2 verrà detto proprio se x 0 0 (ovvero se P A 2 ), improprio se x 0 = 0. Alcuni testi adottano altre scelte per i "nomi" delle coordinate omogenee e affini. Ad esempio: (x, y, u) come coordinate omogenee e X = x u, Y = y u, come coordinate affini, oppure (x 1, x 2, x 3 ) come coordinate omogenee e x = x 1 x 3, y = x 2 x 3, come coordinate affini. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 36 / 109

37 index Rappresentazione degli enti geometrici lineari 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 37 / 109

38 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Rappresentazione parametrica di una retta in A 3 Nello spazio affine A 3, dotato del sistema di riferimento R, consideriamo un vettore non nullo v, un punto P 0, e la retta r passante per P 0 e parallela a v. Poniamo P (x, y, z) e P 0 (x 0, y 0, z 0 ). Il vettore P 0 P ha componenti (x x 0, y y 0, z z 0 ). Indichiamo con (a, b, c) le componenti del vettore v ((a, b, c) (0, 0, 0)). R O P v P r 0 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 38 / 109

39 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Un punto P A 3 appartiene alla retta r se e solo se il vettore P 0 P è parallelo a v, ovvero se e solo se esiste λ R tale che (x x 0, y y 0, z z 0 ) = λ(a, b, c), ovvero se e solo se esiste λ R tale che ( ) x = x 0 + λa, y = y 0 + λb, z = z 0 + λc. In forma vettoriale le ( ) si scrivono anche così: P = P 0 + λv. P = P 0 + λv, viene detta rappresentazione parametrica della retta r. In tale rappresentazione i punti P di r sono in corrispondenza biunivoca con i valori λ del parametro reale. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 39 / 109

40 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Abbiamo visto che ogni retta dello spazio ammette una rappresentazione parametrica della forma ( ). Viceversa, dati x 0, y 0, z 0, a, b, c R, con (a, b, c) (0, 0, 0), l insieme dei punti dello spazio le cui coordinate si esprimono nella forma ( ), al variare di λ R è una retta (la retta per P 0 (x 0, y 0, z 0 ) parallela a v = (a, b, c)). Ne segue che OSSERVAZIONE: Tutte e sole le rette dello spazio ammettono una rappresentazione parametrica della forma ( ). PROBLEMA: Può accadere che due diverse rappresentazioni della forma ( ) rappresentino la stessa retta? Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 40 / 109

41 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Rappresentazione parametrica di un piano in A 3 Nello spazio affine A 3, dotato del sistema di riferimento R, consideriamo due vettori linearmente indipendenti u e v, un punto P 0, e il piano π passante per P 0 e parallelo a u e v (u e v vengono detti vettori di giacitura di π). Poniamo P 0 (x 0, y 0, z 0 ). Indichiamo con (a, b, c) e con (m, n, p) le componenti dei vettori u e v (rispettivamente). Un punto P (x, y, z) A 3 appartiene al piano π se e solo se il vettore P 0 P è combinazione lineare dei vettori u e v, ovvero se e solo se esistono λ, µ R tali che (x x 0, y y 0, z z 0 ) = λ(a, b, c) + µ(m, n, p) ovvero se e solo se esistono λ, µ R tali che ( ) x = x 0 + λa + µm, y = y 0 + λb + µn, z = z 0 + λc + µp. In forma vettoriale le ( ) si scrivono anche così: P = P 0 + λu + µv. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 41 / 109

42 Rappresentazione degli enti geometrici lineari P = P 0 + λu + µv, viene detta rappresentazione parametrica del piano π. In tale rappresentazione i punti P di π sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate di numeri reali (parametri) (λ, µ). OSSERVAZIONE: Tutti i piani dello spazio ammettono una rappresentazione parametrica della forma ( ) e tutti i sottoinsiemi dello spazio che ammettono una rappresentazione parametrica della forma ( ) sono piani (dimostrazione per ESERCIZIO). PROBLEMA: Quando due diverse rappresentazioni della forma ( ) rappresentano lo stesso piano? Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 42 / 109

43 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Rappresentazione cartesiana di un piano in A 3 Partiamo da un esempio. Consideriamo il piano π di rappresentazione parametrica ( ) x = 2 λ + 3µ, y = 5 + 2λ + µ, z = λ 4µ. Dalla prima relazione si può ricavare λ = 2 + 3µ x e sostituirla nelle altre due: ovvero y = 5 + 2(2 + 3µ x) + µ, z = (2 + 3µ x) 4µ, y = 7µ 2x 1, z = µ x + 2. Dalla seconda si può ricavare µ e sostituirla nella prima ottenendo y = 7( z x + 2) 2x 1, equazione di primo grado in x, y e z in cui si sono "eliminate" λ e µ. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 43 / 109

44 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Questa "eliminazione dei parametri" si può fare in generale, passando così da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana. Infatti, consideriamo un piano π di rappresentazione parametrica ( ) x = x 0 + λa + µm, y = y 0 + λb + µn, z = z 0 + λc + µp. Sappiamo che (a, b, c) (0, 0, 0) (perché?) Supponiamo ad esempio che sia a 0. Dalla prima delle relazioni in ( ) possiamo allora ricavare λ = (x x 0 µm)/a e sostituirlo nelle altre: ( )y = y 0 + (x x 0 µm)b a ovvero + µn, z = z 0 + (x x 0 µm)c a + µp; Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 44 / 109

45 Rappresentazione degli enti geometrici lineari ( )y = y 0 + (x x 0 ) b a mb + µna, z = z 0 + (x x 0 ) c a a mc + µpa ;. a Non può essere contemporaneamente na mb = 0 e pa mc = 0 (perché?) pertanto da una delle relazioni in ( ) possiamo ricavare µ e sostituirlo nell altra ottenendo una relazione in cui le variabili x, y e z compaiono (al più) al primo grado, ovvero una relazione del tipo: ( )Ax + By + Cz + D = 0 che viene detta equazione cartesiana del piano π passante per P 0 ed avente come vettori di giacitura i vettori u e v. Si dice anche che l equazione ( ) è ottenuta da ( ) eliminando i parametri. Tutti e soli i punti del piano π passante per P 0 ed avente come vettori di giacitura i vettori u e v hanno coordinate che verificano la ( ). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 45 / 109

46 Rappresentazione degli enti geometrici lineari OSSERVAZIONE - Almeno una delle variabili ha coefficiente non nullo in ( ), (cioè si ha (A, B, C) (0, 0, 0)) pertanto ( ) è effettivamente un equazione di primo grado (in tre variabili). OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che ogni piano dello spazio ammette un equazione del tipo ( ), per opportuni A, B, C, D R con (A, B, C) (0, 0, 0). Viceversa il luogo dei punti dello spazio le cui coordinate verificano un equazione del tipo ( ) è un piano, comunque si scelgano A, B, C, D R con (A, B, C) (0, 0, 0). Infatti, se ad esempio è A 0, ( ) rappresenta il piano passante per il punto P 0 ( D/A, 0, 0) e con giacitura data da u ( B/A, 1, 0) e v ( C/A, 0, 1) (ovviamente lo stesso piano potrebbe essere individuato da un altro suo punto e da altri due vettori a lui paralleli). OSSERVAZIONE - Ax + By + Cz + D = 0 e A x + B y + C z + D = 0 definiscono lo stesso piano se e solo se (A, B, C, D) = ρ(a, B, C, D ) per qualche ρ 0. PROBLEMA: Che cosa si può dire di un piano di equazione ( ), se è D = 0? E se invece è A = 0? E se invece è A = B = 0? Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 46 / 109

47 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Rappresentazione cartesiana di una retta in A 3 Consideriamo ora una retta r di rappresentazione parametrica ( ) x = x 0 + λa, y = y 0 + λb, z = z 0 + λc, con (a, b, c) (0, 0, 0). Se, ad esempio, è a 0, si può ricavare λ = x x 0 a dalla prima equazione e sostituirlo nelle altre due, ottenendo così le due equazioni cartesiane ( ) y = y 0 + ( x x 0 )b, z = z 0 + ( x x 0 )c, a a che vengono dette equazioni cartesiane della retta r e che rappresentano due (tra gli infiniti) piani passanti per r (fascio di piani di sostegno r). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 47 / 109

48 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Le equazioni delle rette in P 2 Torniamo ora al piano proiettivo e vediamo se anche in questo caso le rette sono individuate da equazioni di primo grado. Osserviamo preliminarmente che in P 2, con coordinate omogenee (x 0 : x 1 : x 2 ), un equazione del tipo x 1 2 = 0 non avrebbe alcun senso perché (1 : 2 : 1) (2 : 4 : 2), eppure 2 2 = 0 ma Invece un equazione lineare omogenea, ovvero della forma a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 definisce un luogo in P 2 perché è verificata da (x 0, x 1, x 2 ) se e solo se è verificata da (λx 0, λx 1, λx 2 ). Sia ora l A 2 una retta di equazione a 0 + a 1 x + a 2 y = 0 con (a 1, a 2 ) (0, 0). x In coordinate omogenee si ottiene a 0 + a 1 x 1 x 0 + a 2 2 x 0 = 0, ovvero a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0. L equazione a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, verrà detta rappresentazione cartesiana della retta in P 2. In generale, per rappresentare luoghi nel piano proiettivo in coordinate omogenee, si devono utilizzare equazioni omogenee. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 48 / 109

49 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Punti propri e impropri delle rette Quali sono i punti P P 2 che appartengono alla retta di equazione cartesiana a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0? Sia P = (x 0 : x 1 : x 2 ) Se P A 2, ovvero x 0 0, allora, posto x = x 1 x 0, y = x 2 x 0 si ha x a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 a 0 + a 1 x 1 x 0 + a 2 2 x 0 = 0 a 0 + a 1 x + a 2 y = 0. Pertanto P nuova retta P vecchia retta l A 2 di equazione a 0 + a 1 x + a 2 y = 0. Se P / A 2, ovvero x 0 = 0, allora a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 diviene a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, che è soddisfatta dall unico punto P = (0 : a 2 : a 1 ). Scriveremo P = P (l), oppure P = dir(l) e vedremo che effettivamente P (l) rappresenta la direzione di l. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 49 / 109

50 Rappresentazione degli enti geometrici lineari L equazione della retta impropria Si noti che, se l e l sono due rette parallele in A 2, si ha l : a 0 + a 1 x + a 2 y = 0 ed l : b 0 + ka 1 x + ka 2 y = 0 e pertanto P (l ) = (0 : ka 2 : ka 1 ) = (0 : a 2 : a 1 ) = P (l). I punti di P 2 \ A 2, ovvero i punti di coordinate (0 : x 1 : x 2 ), individuano le direzioni delle rette di A 2. L equazione a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 (con (a 0, a 1, a 2 ) (0, 0, 0)) viene detta equazione generale della retta e se (a 1, a 2 ) (0, 0), rappresenta una retta di A 2 con l aggiunta di un punto (il suo punto improprio); se (a 1, a 2 ) = (0, 0), diventa x 0 = 0 e rappresenta la retta impropria r. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 50 / 109

51 Rappresentazione degli enti geometrici lineari Equazione della retta per due punti in P 2 Si può dimostrare che in coordinate omogenee l equazione cartesiana della retta passante per A (a 0 : a 1 : a 2 ) e B (b 0 : b 1 : b 2 ) diviene x 0 x 1 x 2 a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 = 0, mentre una rappresentazione parametrica per tale retta è della forma { x0 = λa 0 + µb 0 x 1 = λa 1 + µb 1 x 2 = λa 2 + µb 2 (λ, µ) (0, 0). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 51 / 109

52 index Questioni metriche 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 52 / 109

53 Questioni metriche Lo spazio euclideo E 3 Consideriamo lo spazio affine A 3, con sistema di riferimento R. Se le 3 rette del riferimento sono a due a due ortogonali, il sistema viene detto ortogonale; se le 3 unità di misura coincidono il sistema viene detto monometrico; un sistema ortogonale e monometrico viene detto ortonormale. (Spazio, R) = A 3 spazio affine (Spazio, R ortonormale) = E 3 spazio euclideo Convenzione per stabilire qual è il primo asse (e il secondo, e il terzo): (1) si fissa arbitrariamente una delle tre rette come terzo asse, (2) si immagina una persona posta in piedi lungo il terzo asse (asse z) con la testa verso la freccia che osserva il piano degli altri due assi Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 53 / 109

54 Questioni metriche (3) il primo asse (asse x) è quello che viene mandato nel secondo asse (asse y) tramite una rotazione di π/2 in verso antiorario. Z P Nello spazio euclideo, come vedremo, si possono trattare questioni di natura metrica, quali le distanza tra punti, o le misure degli angoli, concetti che invece non avrebbero senso in ambito affine. O Y X OSSERVAZIONE - Nel piano E 2, la condizione (3) permette di individuare quale tra i due assi di un sistema di riferimento sia da considersi come primo asse e quale cone secondo. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 54 / 109

55 Questioni metriche Distanza tra due punti, angolo tra due rette in E 3 Se R è ortonormale, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare la distanza dall origine O di un punto P: P O X P OP 2 = PP 2 +OP 2 = PP 2 +XP 2 +OX 2 = OX 2 +OY 2 +OZ 2 = x 2 +y 2 +z 2 E analogamente si può dedurre la distanza tra due punti A = (x A, y A, z A ) e B = (x B, y B, z B ): AB 2 = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 55 / 109

56 Questioni metriche Nel caso dello spazio euclideo si può anche parlare di modulo di un vettore applicato AB (ed anche di un vettore libero) inteso come misura (assoluta) del segmento AB. Il modulo di AB viene denotato con AB, analogamente il modulo di u viene denotato con u. Un vettore di modulo 1 verrà detto versore. Date due rette orientate r e s nello spazio euclideo, si può parlare di angolo tra r e s (anche se queste non sono complanari), nel seguente modo: si fissa un punto Q E 3, si considerano r r per Q, e s s per Q. Le rette r e s sono complanari. Si può allora considerare l angolo ϑ formato da r e s (0 ϑ π), che viene detto angolo tra le rette orientate r e s, e che è indipendente dalla scelta di Q (ESERCIZIO: verificare questo fatto). Non ha invece senso parlare di misura con segno di angoli tra rette nello spazio, ovvero non ha senso parlare nello spazio di verso orario o antiorario delle rotazioni. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 56 / 109

57 Questioni metriche Date due rette orientate r e s nello spazio e due punti A e B su r, consideriamo le proiezioni ortogonali A e B di A e B (rispettivamente) su s: (piano per A s) s = A (piano per B s) s = B. Ha senso parlare delle misure con segno AB e A B dei segmenti orientati AB e A B su r ed s rispettivamente e inoltre (per la definizione di angolo data sopra) risulta: A B = AB cos ϑ, dove ϑ denota l angolo tra r e s. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 57 / 109

58 Questioni metriche Misura degli angoli in E 3 Consideriamo i tre versori i [(1, 0, 0)], j [(0, 1, 0)] e k [(0, 0, 1)] di E 3 applicati in O e diretti come gli assi. Ogni vettore v [(a, b, c)] si può scrivere come combinazione lineare di questi tre: v = ai + bj + ck. Introduciamo un operazione, prodotto scalare, che associa a una coppia ordinata di vettori (u, v) un numero reale < u, v > definito nel seguente modo: < u, v >= 0, se almeno uno tra u e v è il vettore nullo, < u, v >= u v cos(α) (dove α denota l angolo tra i vettori u e v), altrimenti PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE Comunque scelti tre vettori u, v e w, e comunque scelto lo scalare h R, si ha: < u, v >=< v, u > < u + w, v >=< u, v > + < w, v > < hu, v >= h < u, v > Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 58 / 109

59 Questioni metriche Consideriamo due vettori non nulli u = ai + bj + ck e v = a i + b j + c k. Il coseno dell angolo α formato tra i vettori u e v può essere determinato così: cos(α) = <u,v> u v = <ai+bj+ck,a i+b j+c k> (a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 = aa +bb +cc (a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 L ultima uguaglianza segue dalle proprietà del prodotto scalare e dal fatto che: < i, i >=< j, j >=< k, k >= 1, < i, j >=< j, k >=< k, i >= 0. In particolare u = ai + bj + ck e v = a i + b j + c k sono ortogonali se e solo se aa + bb + cc = 0. Si noti che, con questa osservazione, stiamo implicitamente dicendo che il vettore nullo è da considerarsi ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 59 / 109

60 Questioni metriche Parametri direttori di un piano in E 3 Dati in E 3 un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ed un vettore non nullo w = (A, B, C), il piano π passante per P 0 e ortogonale a w è l insieme dei punti P (x, y, z) dello spazio tali che P 0 P sia perpendicolare a w. P 0 w Per quanto visto in precedenza la condizione w P 0 P si traduce in ( ) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. L espressione ( ) è l equazione cartesiana del piano π; pertanto, nello spazio euclideo, i coefficienti A, B, C dell equazione cartesiana di un piano sono le componenti di un vettore ortogonale al piano. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 60 / 109

61 Questioni metriche Coseni direttori di una retta orientata in E 3 Consideriamo ora in E 3 una retta r rappresentata in forma parametrica dalle relazioni ( ) x = x 0 + λa, y = y 0 + λb, z = z 0 + λc. Scegliamo su r una (delle due possibili) orientazioni e consideriamo gli angoli α, β e γ che tale retta orientata forma rispettivamente con gli assi (orientati) x, y e z. Con le consuete notazioni, il vettore X 0 X è la proiezione ortogonale sull asse x del vettore P 0 P quindi, indicata con t = P 0 P la misura con segno di P 0 P, si ha x x 0 = tcos(α) e analogamente y y 0 = tcos(β) e z z 0 = tcos(γ). Pertanto x = x 0 + tcos(α), y = y 0 + tcos(β), z = z 0 + tcos(γ) è una rappresentazione parametrica della retta (orientata) r. I tre numeri reali cos(α), cos(β), cos(γ) vengono detti coseni direttori della retta orientata r. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 61 / 109

62 Questioni metriche Poiché t = P 0 P, si ha: t 2 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = t 2 (cos 2 (α) + cos 2 (β) + cos 2 (γ)) da cui si ricava: Se cos 2 (α) + cos 2 (β) + cos 2 (γ) = 1 ( ) x = x 0 + λa, y = y 0 + λb, z = z 0 + λc, con (a, b, c) (0, 0, 0), è un altra rappresentazione parametrica della retta r, allora i vettori di componenti (a, b, c) e (cos(α), cos(β), cos(γ)) individuano la stessa retta e pertanto sono proporzionali. Ovvero: OSSERVAZIONE: I parametri direttori di una retta sono proporzionali ai coseni direttori della medesima (come retta orientata). PROBLEMA: Come cambiano i coseni direttori se si inverte l orientazione della retta? RICHIAMO: Una retta nel piano può essere rappresentata in forma parametrica (in modo analogo a quanto avviene nello spazio) o in forma cartesiana (con una sola equazione). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 62 / 109

63 Questioni metriche Distanza tra un punto e un piano in E 3 Partiamo da un esempio. Siano P 0 (1, 1, 1) e π il piano di E 3 di equazione cartesiana x 2y + z 3 = 0. Vogliamo calcolare la distanza δ tra P 0 e π. Si ha δ = P 0 H, dove H è il piede della perpendicolare condotta da P 0 a π. La retta n passante per P 0 e ortogonale a π è parallela al vettore v (1, 2, 1), e quindi può essere rappresentata in forma parametrica da x = 1 + λ, y = 1 2λ, z = 1 + λ. Il punto H = n π corrisponde al valore del parametro t H per cui x 2y + z 3 = (1+t) 2(1 2t)+(1+t) 3 = 0, cioè t = 1/2. Quindi n P 0 H H (3/2, 0, 3/2) e δ = (1/ /4) 1/2 = 6 2. In modo analogo si procede in generale per determinare la distanza tra un punto e un piano generici. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 63 / 109

64 Questioni metriche Siano infatti P 0 (x 0, y 0, z 0 ) un punto e π il piano di E 3 di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0. Per calcolare la distanza δ = P 0 H tra P 0 e π, si considera la retta orientata n passante per P 0 e ortogonale a π (in cui si è fissata una orientazione a piacere). I coseni direttori (cos(α), cos(β), cos(γ)) di n sono proporzionali a (a, b, c), ovvero si ha 1 (cos(α), cos(β), cos(γ)) = ± (a 2 + b 2 + c 2 (a, b, c) ) 1/2 (si ricordi che (cos(α), cos(β), cos(γ)) è un versore). n P 0 H Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 64 / 109

65 Questioni metriche L equazione cartesiana di π si può allora anche scrivere nella forma: ( ) cos(α)x + cos(β)y + cos(γ)z + d 0 = 0, d dove d 0 = ±. Una rappresentazione parametrica per n è della (a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 forma ( ) x = x 0 + tcos(α), y = y 0 + tcos(β), z = z 0 + tcos(γ), con t = P 0 P. Il punto H = n π corrisponde al valore del parametro t H che si ottiene sostituendo le ( ) nella ( ). Si ha cioè cos(α)(x 0 + t H cos(α)) + cos(β)(y 0 + t H cos(β))+ +cos(γ)(z 0 + t H cos(γ)) + d 0 = 0, ovvero x 0 cos(α) + y 0 cos(β) + z 0 cos(γ) + d 0 + t H = 0. Ne segue che è δ = t H = x 0 cos(α) + y 0 cos(β) + z 0 cos(γ) + d 0, o equivalentemente δ = ax 0 + by 0 + cz 0 + d (a 2 + b 2 + c 2 ) 1/2. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 65 / 109

66 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo index 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 66 / 109

67 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo stesso punto avrà coordinate P (x, y, z ) in R. Vogliamo trovare la relazione tra (x, y, z) e (x, y, z ). I caso R e R differiscono solo per l origine: stessa direzione e stesso verso degli assi, U = U. Siano (a, b, c) le coordinate dell origine O (del sistema di riferimento R ) rispetto al sistema di riferimento R O = (a, b, c) in R P (x, y, z), x = OX, y = OY, z = OZ P (x, y, z ), x = O X, y = O Y, z = O Z Indichiamo con Q il punto dell asse x proiezione di O parallelamente al piano degli assi y e z. Si ha OQ = a. Per le identità segmentarie fondamentali si ha allora x = OX = OQ + QX = a + x (si ha infatti QX = O X, perché si tratta di segmenti tagliati dagli stessi due piani paralleli su rette parallele) e con conto analogo y = b + y, z = c + z x = x a; y = y b z = z c Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 67 / 109

68 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo II caso R e R differiscono solo per il verso di uno o più assi: stessa direzione e stessa origine, U = U. In questo caso si può verificare che, se ad esempio si cambia il verso degli x e y, risulta x = x; y = y; z = z. Si noti che, perché sia R che R verifichino la convenzione adottata sulla scelta dell ordinamento degli assi, un cambiamento nel verso deve avvenire necessariamente su un numero pari (zero o due) di assi. III caso R e R differiscono solo per le unità di misura: stessa direzione, stesso verso e stessa origine. Supponiamo che sia U = ku, con k > 0. In tal caso è x = OX (misurata rispetto a U ) pertanto il segmento OX di estremi O e X è tale che OX = x U. Inoltre x = OX (misurata rispetto a U) pertanto il segmento OX di estremi O e X è tale che OX = x U. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 68 / 109

69 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo Ma nel nostro caso (stessa origine e stessi assi, quindi stessi punti proiezione) è X = X e anche OX = OX. Ne segue che x U = OX = OX = x U = x ku e quindi x = k x. Siccome però i versi dei due riferimenti sono uguali, x e x sono concordi, da cui x = kx. IV caso R e R differiscono solo per la direzione degli assi: stessa origine, U = U. Indichiamo con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R e con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R. Si ha e anche ( ) OP = xi + yj + zk, OP = x i + y j + z k, Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 69 / 109

70 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo Si avrà anche i = a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, j = a 1,2 i + a 2,2 j + a 3,2 k, k = a 1,3 i + a 2,3 j + a 3,3 k, per opportuni a p,q R, con 1 p, q 3. Allora OP = xi + yj + zk = x(a 1,1 i +a 2,1 j +a 3,1 k )+y(a 1,2 i +a 2,2 j +a 3,2 k )+z(a 1,3 i +a 2,3 j +a 3,3 k ) = (a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z)i + (a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z)j + (a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z)k. Dal confronto con la ( ) si ricava allora x = a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z y = a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z z = a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 70 / 109

71 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo ovvero, ( in notazioni matriciali x ) ( a1,1 a 1,2 a 1,3 y = a 2,1 a 2,2 a 2,3 z a 3,1 a 3,2 a 3,3 ) ( xy PROPRIETÀ DELLA MATRICE A = z ). ( a1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 Poiché (i, j, k) è una terna di versori mutuamente ortogonali (e così anche (i, j, k )), si ha 1 =< i, i >=< a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k >= = a 2 1,1 + a2 2,1 + a2 3,1 e analogamente 1 =< j, j >= a 2 1,2 + a2 2,2 + a2 3,2 1 =< k, k >= a 2 1,3 + a2 2,3 + a2 3,3 0 =< i, j >=< a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, a 1,2 i + a 2,2 j + a 3,2 k >= = a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 + a 3,1 a 3,2 e analogamente 0 =< i, k >= a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 + a 3,1 a 3,3 0 =< j, k >= a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 + a 3,2 a 3,3. ). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 71 / 109

72 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo ( ) a1,1 a 2,1 a 3,1 In altri termini, indicata con A T = a 1,2 a 2,2 a 3,2 la matrice trasposta ( ) a 1,3 a 2,3 a 3, di A, e con I = la matrice identità, si ha AA T = I Si dice allora che A è una matrice ortogonale. Più avanti vedremo che ad ogni matrice quadrata M si può associare un numero reale det(m) detto determinante di M e che tutte le matrici ortogonali hanno determinante ±1. Inoltre si potrebbe dimostrare che, poichè tanto R quanto R devono soddisfare la convenzione sulla scelta di ordinamento tra gli assi, per la matrice A del cambiamento di sistema di riferimento si ha in realtà det(a) = 1 (matrice ortogonale speciale). ESERCIZIO - Determinare tutte le matrici ortogonali di ordine 2. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 72 / 109

73 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo caso generale Il cambiamento di sistema di riferimento più generale in E 3 si ottiene componendo i quattro casi sopra descritti (si noti peraltro che il caso II risulta un caso particolare del IV), pertanto risulterà descritto da un legame del tipo x = ρ(a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z) + α y = ρ(a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z) + β z = ρ(a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z) + γ, ( ) a1,1 a 1,2 a 1,3 con ρ, α, β, γ R, ρ > 0 e A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 matrice ortogonale a 3,1 a 3,2 a 3,3 speciale (cioè con AA T = I e det(a) ( = 1). ) ( xy x ) ( ) αβ Con notazioni matriciali, posto x =, x = y, v =, si z z γ scrive ( ) x = ρax + v. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 73 / 109

74 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo Cambiamento del sistema di riferimento in A 3 Consideriamo ora due sistemi di riferimento affini R ed R e vediamo in questo caso come siano legate le coordinate (x, y, z) e (x, y, z ) che uno stesso punto P ha nei due riferimenti. Consideriamo tre vettori non nulli a, b, c rispettivamente sugli assi x, y e z ed altri tre vettori non nulli a, b, c sugli assi x, y e z. Ripetiamo nel caso affine le considerazioni fatte sopra nel caso euclideo sostituendo (a, b, c) al posto di (i, j, k) e (a, b, c ) al posto di (i, j, k ). Tutti gli argomenti esposti continuano a valere salvo che quando si utilizza il fatto che (i, j, k) e (i, j, k ) sono terne di versori mutuamente ortogonali. Ne ricaviamo che il più generale cambiamento di sistema di riferimento affine è della forma ( ) x = Mx + v, Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 74 / 109

75 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo dove M è una matrice 3 3, v è un vettore a 3 componenti e inoltre si potrebbe dimostrare che det(m) 0 (vedremo più avanti che quest ultima condizione equivale a dire che le colonne di M sono linearmente indipendenti e questo a sua volta, per come M è costruita, equivale al fatto che i vettori (a, b, c) sono linearmente indipendenti). ESERCIZIO - Si consideri una matrice in cui le colonne sono linearmente dipendenti, ad esempio, ( ) e l applicazione f di E 3 in sè definita da x = Mx. Si verifichi che f non è biunivoca e quindi x = Mx non può rappresentare un cambiamento di sistema di riferimento. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 75 / 109

76 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea index 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 76 / 109

77 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Trasformazioni geometriche in A 3 Consideriamo ora A 3 con un sistema di riferimento fissato. L equazione matriciale ( ) x = Mx + v, con det(m) 0, può essere interpretata come una trasformazione (corrispondenza biunivoca) α : A 3 A 3 ; vediamo come. Dato P (x, y, z) si può considerare P (x, y, z ), e definire α(p) = P. Vedremo più avanti che la condizione det(m) 0 garantisce l invertibilità della α. Le trasformazioni α : A 3 A 3 definite come sopra verranno dette affinità. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 77 / 109

78 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Denotiamo con Aff (3) l insieme delle affinità di A 3 in sè. OSSERVAZIONE - Aff (3) è un gruppo rispetto alla composizione. Cenno di dimostrazione - La composizione della trasformazione α di espressione x = Ax + a con la trasformazione β di espressione x = Bx + b, è la trasformazione γ = β α data da x = BAx + Ba + b, dove BA è il prodotto riga per colonna di B per A (A Ax + a B(Ax + a) + b = BAx + Ba + b, per le proprietà del prodotto tra matrici). La composizione di trasformazione è associativa. L applicazione identica è un affinità (di espressione x = Ix + 0.) L inversa dell affinità α espressa da x = Ax + a è l affinità α 1 data da x = A 1 x A 1 a, dove A 1 denota la matrice inversa della matrice A. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 78 / 109

79 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Geometria affine OSSERVAZIONE - È naturale considerare equivalenti in A 3 due sottoinsiemi dello spazio che si ottengano l uno dall altro con un affinità: infatti in questa situazione si può anche pensare alle due figure come la stessa figura vista da sistemi di riferimento diversi. PROPRIETÀ DELLE AFFINITÀ α Aff (3), si ha 1 α è biunivoca; 2 α è continua; 3 α trasforma piani in piani (e conseguentemente rette in rette); 4 α trasforma piani paralleli in piani paralleli (e conseguentemente rette parallele in rette parallele); 5 α conserva i rapporti tra le misure con segno di segmenti allineati. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 79 / 109

80 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Cenno di dimostrazione 1 La continuità segue dal fatto che le coordinate x, y e z sono espresse come polinomi (di primo grado) nelle coordinate x, y e z. 2 Il piano di equazione P = P 0 + λu + µv, viene mandato dall affinità di equazione x = Ax + b nel piano di equazione P = AP 0 + Aλu + Aµv + b = (AP 0 + b) + λu + µv che passa per Q 0 = AP 0 + b ed è parallelo ai vettori u e v. 3 Siano π e σ due piani paralleli, e consideriamo i piani α(π) e α(σ). Se α(π) e α(σ) non fossero paralleli esisterebbe un punto P α(π) α(σ), ma allora si avrebbe P = α 1 (P ) π σ. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 80 / 109

81 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 4 Consideriamo la retta r rappresentata in forma parametrica da P = P 0 + λv. λ esprime la misura con segno del segmento P 0 P, sulla retta affine r in cui v individua tanto l unità di misura quanto il verso. Consideriamo poi l affinità α di espressione x = Ax + a. Il punto P 0 è trasformato da α in P 0 = AP 0 + a, e il generico punto P di r è trasformato in P = A(P 0 + λv) + a = AP 0 + Aλv + a = Aλv + AP 0 + a = P 0 + λav. La retta α(r) risulta così individuata come la retta passante per P 0 e parallela al vettore Av. λ esprime quindi anche la misura con segno del segmento P 0P, sulla retta affine α(r) in cui Av individua tanto l unità di misura quanto il verso. Allora se AB e CD sono segmenti orientati su r, il rapporto tra le misure con segno di AB e CD su r è uguale al rapporto tra le misure con segno di α(a)α(b) e α(c)α(d) su α(r). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 81 / 109

82 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Siano dati tre punti A, B e C in A 3 appartenti ad una stessa retta r e si consideri un sistema di riferimento affine su r. Si dice rapporto semplice della terna (A, B, C) (in quest ordine) il numero reale (ABC) = AC BC, ottenuto come rapporto tra le misure con segno dei segmenti orientati AC e BC. Ad esempio, se C è il punto medio tra A e B, risulta (ABC) = AC BC = AC AC = 1. La proprietà 4 delle affinità può essere riscritta nel seguente modo 4 α conserva i rapporti semplici di terne di punti allineati. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 82 / 109

83 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea OSSERVAZIONE - Le proprietà 1, 2, 3 e 4 (o 4 ) caratterizzano le affinità, ovvero si può dimostrare che una trasformazione di A 3 che verifichi 1, 2, 3 e 4 (o 4 ) è necessariamente un affinità. ESERCIZIO - Dare un esempio di affinità che NON conserva le misure degli angoli. ESERCIZIO - Mostrare con un esempio che in generale le affinità non conservano i rapporti tra le misure di segmenti non allineati. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 83 / 109

84 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Trasformazioni geometriche in E 3 Analogamente a quanto fatto in A 3, possiamo considerare in E 3 un sistema di riferimento (ortonormale) fissato ed interpretare le equazioni di un cambiamento di sistema di riferimento come rappresentative di una trasformazione di E 3 in sè. Le trasformazioni ε : E 3 E 3 definite da ( )x = ρax + v, con A matrice ortogonale speciale, ρ > 0, e v vettore colonna a 3 componenti, vengono dette similitudini dirette. In particolare, vengono dette congruenze dirette o isometrie dirette se ρ = 1. Il numero reale ρ viene detto rapporto di similitudine. OSSERVAZIONE - L insieme delle similitudini dirette Sim + (3) (e anche l insieme delle congruenze dirette Iso + (3)) è un gruppo rispetto alla composizione. Più precisamente si ha un inclusione di sottogruppi Iso + (3) Sim + (3) Aff (3). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 84 / 109

85 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Geometria euclidea simile e geometria euclidea metrica Le similitudini dirette sono le trasformazioni che corrispondono ad un cambiamento di sistema di riferimento da R ortonormale a R ortonormale, per cui, quando si trattano problemi che "hanno a che fare" con la forma è naturale considerare "equivalenti" due figure di E 3 che si ottengano l una dall altra con una similitudine diretta (geometria euclidea simile). Nel caso delle congruenze dirette inoltre queste corrispondono a cambiamenti di sistema di riferimento in cui non viene alterata l unità di misura, pertanto, quando si vogliano fare considerazioni di natura metrica, risulta naturale considerare equivalenti due figure di E 3 che si ottengano l una dall altra con una congruenza diretta (geometria euclidea metrica). Se nella definizione di similitudine (risp. di congruenza) diretta si sostituisce la condizione ρ > 0 con la condizione ρ 0 si ottiene la nozione di similitudine (risp. di congruenza). In questo caso il rapporto di similitudine è il numero reale ρ. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 85 / 109

86 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Anche l insieme Sim(3) delle similitudini (e l insieme Iso(3) delle congruenze) è un gruppo. Le similitudini (e analogamente le congruenze) corrispondono a cambiamenti nel sistema di riferimento euclideo quando non si tenga conto della convenzione sulla scelta dell ordinamento degli assi. Le similitudini (e anche le congruenze) che non sono dirette vengono dette inverse. OSSERVAZIONE - Quanto detto finora a proposito di geometria affine ed euclidea, di cambiamenti di sistema di riferimento, di trasformazioni, ecc., continua a valere con ovvi cambiamenti (semplificazioni) nel caso del piano. Si parlerà quindi anche di affinità in A 2 come trasformazioni che corrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento, di similitudini e congruenze in E 2 (nel caso cioè di sistemi di riferimento ortonormali), ecc., di congruenze e similitudini dirette e inverse. Hanno ovvio significato i simboli Aff (2), Sim(2), ecc. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 86 / 109

87 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea PROPRIETÀ DELLE SIMILITUDINI I Tutte quelle delle affinità. II Conservano i rapporti tra le misure assolute di segmenti (anche non allineati). III Conservano le misure degli angoli. PROPRIETÀ DELLE CONGRUENZE i Tutte quelle delle similitudini. ii Conservano le misure (in valore assoluto) dei segmenti. OSSERVAZIONE - Si può dimostrare che la proprietà II caratterizza le similitudini, nel senso che una trasformazione di E 3 che conserva i rapporti tra le misure (in valore assoluto) dei segmenti è necessariamente una similitudine. Si può dimostrare che la proprietà ii caratterizza le congruenze, nel senso che una trasformazione di E 3 che conserva le misure assolute dei segmenti è necessariamente una congruenza. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 87 / 109

88 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Esempi di similitudini e congruenze in E 2 e E 3 TRASLAZIONE Dato un vettore v, la traslazione τ v è la trasformazione che associa ad un punto P quell unico punto P = τ v (P) tale che [ PP ] = v. OSSERVAZIONI 1 L espressione della traslazione τ v in coordinate è data da τ v (x) = x = x + v. 2 La stessa definizione "funziona" sia in E 2 che in E 3. 3 La traslazione è un isometria diretta. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 88 / 109

89 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea RIFLESSIONE Nel piano, fissata una retta r, la riflessione rispetto a r è la trasformazione σ r che associa al punto P quell unico punto P = σ r (P) tale che P = P, se P r, r è l asse del segmento PP, se P / r. Quindi la retta s per P e P è ortogonale a r e H = r s è il punto medio di PP. Nello spazio, fissato un piano α, la riflessione rispetto a α è la trasformazione σ α che associa al punto P quell unico punto P = σ α (P) tale che P = P, se P α, α è il piano assiale del segmento PP, se P / α. Quindi la retta s per P e P è ortogonale a α e H = α s è il punto medio di PP. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 89 / 109

90 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea OSSERVAZIONE - La riflessione è una congruenza inversa. ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da ( ) ( ) x ( ) cos(θ) sen(θ) xy y =, sen(θ) cos(θ) è la riflessione rispetto alla retta per l origine che forma un angolo di θ/2 con l asse x. ESERCIZIO - Scrivere le equazioni della riflessione rispetto alla retta di equazione x y + 2 = 0. ROTAZIONE Nel piano, fissato un punto C e un angolo θ, con 0 θ < 2π, si dice rotazione ρ (C,θ) di centro C e angolo θ la trasformazione che associa al punto P( C) quell unico punto P = ρ (C,θ) (P) tale che la misura del segmento CP sia uguale alla misura del segmento CP, e l angolo PCP sia di ampiezza θ. Il trasformato di C è C stesso. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 90 / 109

91 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Nello spazio, fissata una retta orientata r ed un numero reale θ, con 0 θ < 2π, si dice rotazione di asse r e ampiezza θ la trasformazione ρ (r,θ) che associa al punto P quell unico punto P = ρ (r,θ) (P) tale che: P appartiene al piano α passante per P e ortogonale a r P è il punto trasformato di P rispetto alla rotazione, nel piano α, di centro il punto C = α r e angolo θ (in senso antiorario se osservato dalla semiretta positiva dell asse r). OSSERVAZIONE - Se P r, allora ρ (r,θ) (P) = P. OSSERVAZIONE - La rotazione è una congruenza diretta. ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da ( ) ( ) x ( ) cos(θ) sen(θ) xy y =, sen(θ) cos(θ) è la rotazione di angolo θ intorno all origine. ESERCIZIO - Scrivere l equazione della rotazione di centro (1, 2) e angolo π/4. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 91 / 109

92 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea OMOTETIE Fissato un punto C ed un numero reale λ 0, l omotetia di centro C e rapporto λ è la trasformazione ω (C,λ) che associa al punto P( P 0 ) il punto P = ω (C,λ) (P) che giace sulla retta per C e P e tale che sia CP = λ CP. Se P = C, si ha, in modo naturale, P = P. OSSERVAZIONE - 1 Un omotetia di rapporto λ è una similitudine di rapporto λ 2 L espressione in coordinate di una omotetia di centro l origine è x = λx. 3 Quanto detto "funziona" sia nel piano che nello spazio. 4 Nel piano le omotetie sono sempre dirette, nello spazio sono dirette se e solo se λ > 0. ESERCIZIO - Come si può descrivere in altro modo un omotetia di rapporto 1? Qual è l espressione in coordinate dell omotetia di centro (1, 2) e rapporto 3? Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 92 / 109

93 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea Classificazione delle isometrie in E 2 e in E 3 PROBLEMA - Ci sono altre isometrie o similitudini (oltre a quelle prima descritte)? Risposta: poche altre. TEOREMA 1- Nel piano una qualunque isometria rientra in una delle seguenti quattro tipologie: a rotazione b riflessione c traslazione d glissoriflessione dove, fissata una retta r e un vettore v, con v r, la glissoriflessione γ (r,v) di asse r e vettore v è la trasformazione che si ottiene componendo la riflessione di asse r con la traslazione di vettore v. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 93 / 109

94 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea TEOREMA 2- Nello spazio una qualunque isometria rientra in una delle seguenti sei tipologie: a rotazione b riflessione c traslazione d glissoriflessione (composizione di una riflessione rispetto a un piano α e di una traslazione rispetto a un vettore v, con v α) e rotoriflessione (composizione di una rotazione di asse r e di una riflessione rispetto a un piano α r) f avvitamento (composizione di una rotazione di asse r e di una traslazione rispetto a un vettore v, con v r). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 94 / 109

95 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea TEOREMA 3 - (Sia nel piano che nello spazio) Una qualunque similitudine è la composizione di una isometria e di una omotetia. Il teorema 3 si dimostra facilmente (ESERCIZIO - Suggerimento: componendo una similitudine di rapporto k con una omotetia di rapporto 1/k si ottiene una similitudine di rapporto 1, cioè... ) I teoremi 1 e 2 sono conseguenza del seguente risultato. TEOREMA - Ogni isometria del piano (rispett. dello spazio) è composizione di al più 3 (rispett. 4) riflessioni. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 95 / 109

96 index Geometria proiettiva 1 Vettori 2 Retta, piano e spazio affini 3 Retta e piano proiettivi 4 Rappresentazione degli enti geometrici lineari 5 Questioni metriche 6 Cambiamenti di sistema di riferimento affine o euclideo 7 Geometria affine, geometria simile, geometria euclidea 8 Geometria proiettiva Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 96 / 109

97 Geometria proiettiva Proiettività tra rette Una proiettività di P 1 in sè è una trasformazione ω : P 1 P 1 che, in coordinate omogenee, si esprime nella forma ω((x 0 : x 1 )) = (x 0 : x 1 ), con { ρx 0 = a 00 x 0 + a 01 x 1 ove a 00, a 01, a 10, a 11 R e ρx 1 = a 10x 0 + a 11 x 1 a 00 a 11 a 01 a La condizione a 00 a 11 a 01 a 10 0 si scrive anche a 00 a 01 a 10 a 0 e 11 garantisce l invertibilità della corrispondenza (si veda dopo). In coordinate affini x = x 1 /x 0 e x = x 1 /x 0, ω si esprime nella forma x = a 10+a 11 x a 00 +a 01 x. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 97 / 109

98 Geometria proiettiva La definizione è ben posta Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa ai quozienti : P 1 = R 2 \ {0.0} P 1 = R 2 \ {0.0}. In effetti, nell assegnare una corrispondenza η : P 1 P 1 tramite coordinate omogenee, bisogna sincerarsi che η dia lo stesso punto immagine di P 1 quando viene calcolata su coordinate omogenee diverse ma corrispondenti allo stesso punto di P 1. Non avrebbe alcun senso considerare una corrispondenza η : P 1 P 1 definita da η(x 0 : x 1 ) = (x 0 : x 1 + 1), dal momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3), con (1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) (2 : 3). Invece per ω si ha ω(λx 0 : λx 1 ) = ω(x 0 : x 1 ), λ R \ 0. Infatti ω(x 0 : x 1 ) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 11 x 1 ) e ω(λx 0 : λx 1 ) = (a 00 λx 0 + a 01 λx 1 : a 10 λx 0 + a 11 λx 1 ) = (λ(a 00 x 0 + a 01 x 1 ) : λ(a 10 x 0 + a 11 x 1 )) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 11 x 1 ) = ω(x 0 : x 1 ) Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 98 / 109

99 Geometria proiettiva Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra rette Si consideri la proiettività ω : P 1 P 1, che, in coordinate affini, si esprime nella forma x = l+mx h+kx, con h l m k 0. L immagine tramite ω del punto all infinito P 1 è ω( ) = m/k, infatti in coordinate omogenee si ha ω(x 0 : x 1 ) = (hx 0 + kx 1 : lx 0 + mx 1 ), e quindi ω(0 : 1) = (k : m). Viceversa, il punto di P 1 che viene trasformato in è h/k, cioè ω( h/k) =, infatti ω(k : h) = (hk kh : lk mh) = (0 : 1). Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma in (la verifica è lasciata per esercizio). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA 1 99 / 109

100 Birapporto Geometria proiettiva Dati quattro punti A, B, C e D di P 1, distinti a due a due, se sono tutti punti al finito (cioè se A, B, C, D A 1 ), si dice birapporto di A, B, C, D (in quest ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) ovvero il numero reale (ABCD) = (ABC) (ABD) = AC BC AD BD = AC BD AD BC = (c a)(d b) (d a)(c b) = (c 1a 0 a 1 c 0 ) (d 1 b 0 b 1 d 0 ) (d 1 a 0 a 1 d 0 ) (c 1 b 0 b 1 c 0 ), ove a, b, c, d denotano rispettivamente le coordinate affini e (a 0, a 1 ), (b 0, b 1 ), (c 0, c 1 ), (d 0, d 1 ) le coordinate omogenee dei punti A, B, C, D. La definizione data attraverso le coordinate omogenee si estende anche al caso in cui uno dei punti è. ESEMPIO - Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora (ABCD) = 4/3. (ABCD) = AC/BC AD/BD = 2/1 3/2 = 4/3 Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti sulla retta, ovvero per una proiettività si ha (ω(a)ω(b)ω(c)ω(d)) = (ABCD). Per provarlo si può fare una verifica diretta(esercizio). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

101 Geometria proiettiva Sono equidistanti? Possiamo stabilire se nella realtà i birilli qui fotografati sono disposti a intervalli regolari lungo una retta? Per rispondere dobbiamo fare una digressione. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

102 Prospettività Geometria proiettiva La definizione di proiettività di una retta in sè si estende in modo ovvio a proiettività tra rette distinte. Esempi significativi di proiettività tra rette (complanari) sono le prospettività. Dati nel piano due rette r ed r ed un punto V fuori da esse, si può definire un applicazione da P 1 = r { } a P 1 = r { }, per proiezione da V, come in figura. Il punto di intersezione di r con la parallela a r mandata da V viene trasformato nel punto improprio di r. Il punto improprio di r viene trasformato nel punto di intersezione di r con la parallela a r per V. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

103 Geometria proiettiva Un esempio di prospettività Le prospettività sono proiettività. Verifichiamo questa asserzione su un esempio. Supponiamo che le rette r ed r siano rispettivamente l asse delle ordinate e l asse delle ascisse, e che il centro di proiezione sia il punto V ( 1, 1). La prospettività di centro V associa al punto P (0, t) il punto P (t, 0), tale che sia t = t 1 t La prospettività è pertanto la proiettività di equazione x = x 1 x. Si può dimostrare che una qualsiasi proiettività può essere ottenuta come composizione di prospettività. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

104 Geometria proiettiva Quattro punti allineati La corrispondenza che sussiste tra i quattro punti allineati A, B, C, D e le loro immagini A, B, C, D sul quadro è la prospettività di centro V nel piano che contiene V ed i punti A, B, C, D, A, B, C, D. Abbiamo già visto che, se i quattro punti sono equidistanziati, il birapporto (ABCD) è 4/3. Quindi anche il birapporto (A B C D ) deve essere 4/3 (il birapporto è un invariante proiettivo). Il nostro cervello è abituato a riconoscere immagini di oggetti disposti in modo regolare, cioè a "calcolare birapporti". Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

105 Geometria proiettiva Affinità tra piani in coordinate omogenee Avevamo definito affinità : A 2 A 2 una trasformazione di equazioni { x ( ) = a 11 x + a 12 y + a y = a 21 x + a 22 y + b a 11 a 12 a 21 a Utilizzando la notazione matriciale, le relazioni ( ) si possono anche riscrivere così: ( ) ( ) ( ) x ( ) x = a a 11 a 12 a a 11 a 12 y b a 21 a 22 y b a 21 a Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

106 Geometria proiettiva Proiettività tra piani Una proiettività ω : P 2 P 2 è, per definizione, una corrispondenza che associa al punto P (x 0 : x 1 : x 2 ) il punto P (x 0 : x 1 : x 2 ) tale che { ρx 0 = a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 ρx 1 = a a 00 a 01 a 02 10x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 a 10 a 11 a 12 ρx 2 = a 20x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 a 20 a 21 a 22 0, ovvero ρ ( x ) 0 x 1 = A x 2 ( x0 x 1 x 2 ) con det A 0, ( a00 a 01 ) a 02 dove A = a 10 a 20 a 11 a 21 a 12 a 22. La matrice A è definita a meno di una costante moltiplicativa 0. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

107 Geometria proiettiva Caratterizzazione delle affinità tra le proiettività tra piani Se a 01 = a 02 = 0, ω diviene un affinità in A 2 = U 0 = {(x 0 : x 1 : x 2 ) : x 0 0}. Infatti risulta necessariamente a 00 0 e si può quindi porre a 00 = 1, per cui ω assume la forma ( ). La proiettività ω, in coordinate affini x = x 1 x 0 e y = x 2 x 0, si esprime così: { x = a 10+a 11 x+a 12 y a 00 +a 01 x+a 02 y y = a 20+a 21 x+a 22 y a 00 +a 01 x+a 02 y Una proiettività è un affinità se e solo se trasforma tutti i punti impropri in punti impropri (la verifica è lasciata per esercizio). Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

108 Geometria proiettiva Prospettività tra piani La definizione data di proiettività di un piano in sè si estende in modo ovvio al caso di proiettività tra piani distinti. Esempi significativi di proiettività tra piani (immersi nello spazio) sono le prospettività. Dati nello spazio due piani π ed π (non paralleli tra loro) ed un punto V fuori da essi, si considerino la retta r di intersezione di π con il piano per V parallelo a π e la retta r di intersezione di π con il piano per V parallelo a π. Si può definire un applicazione da π \ r a π \ r, per proiezione da V, come in figura. Tale applicazione si estende ad una applicazione (detta prospettività di centro V) ω V : P 2 P 2 Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109

109 Punti di fuga Geometria proiettiva Si può dimostrare che una prospettività è una proiettività. La prospettività ω V trasforma i punti impropri del piano π nei punti della retta r (i punti di fuga). I punti all infinito del piano π sono "visti" su una retta. Maria Dedò e Cristina Turrini (2011/2012) GEOMETRIA / 109