Associazione tra due variabili quantitative

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1 Esempo (1) Assocazoe tra due varabl quattatve Suppoamo che u professore vogla dmostrare che eserctars a casa aut gl studet el superameto dell esame. esame. A tal fe regstra la votazoe de compt a casa e degl esam e l rappreseta grafcamete su u dagramma cartesao (votazo espresse 0-esm). (x, y ) x = Compto a casa y = Esame Esempo () Assocazoe I rsultat cofermao l opoe l del docete secodo cu ch fa bee gl esercz è caddato a superare a pe vot l esame? l S parla d assocazoe quado s studa la relazoe esstete tra due varabl quattatve. L obettvo è quello d valutare come s comporta ua varable al varare dell altra. Gl studet co alte votazo el compto a casa tedoo ad avere alte votazo all esame. L adameto fra le due varabl sembra essere leare. Ad esempo: 1) Peso del eoato vs Cosumo alcolc della madre ) Cosumo d utella vs Peso 3)..

2 Assocazoe - esemp Assocazoe - esemp Relazoe leare versa Relazoe leare dretta Relazoe d dpedeza Relazoe o leare Tp d Assocazoe Dstrbuzoe campoara coguta d due varabl Tra due varabl quattatve può esstere ua relazoe: leare o leare d dpedeza proporzoaltà versa proporzoaltà dretta S cosder u seme d coppe (x, y ) d valor d urcema, msurat co due metod (X ed Y) u gruppo d uom aza. Cascu prelevo d sague (uo per soggetto) è stato rpartto due alquote, ua aalzzata co l metodo X e l'altra co l metodo Y. Soggett Metodo X Y

3 Grafco d dspersoe I dat possoo essere rappresetat u dagramma cartesao: og puto è rappreseta ua coppa (x, y ). Metodo Y (mg/dl) Metodo X (mg/dl) Meda delle msurazo otteute co l metodo Y ( y ) Meda delle msurazo otteute co l metodo X ( x ) cotua URICEMIA (mg/dl): Metodo Y 7 x- / y+ x+ / y+ x+ / y- x- / y URICEMIA (mg/dl): Metodo X X - = ( x x ) < 0 X + = ( x x ) > 0 (scart dalla meda egatv) (scart dalla meda postv) x Osservazoe Idc d Covarazoe - Codevaza I preseza d ua relazoe leare dretta,, c s attede che se ua msura x è maggore della meda, ache la corrspodete msura y sa maggore della meda. e che: x + y + x - y - x+ / y- x- / y URICEMIA (mg/dl): Metodo X I put (x,y ) soo addesat el prmo e el terzo quadrate. Le due varabl X e Y possoo essere descrtte da ua legge del tpo: Y = a+bx. URICEMIA (mg/dl): Metodo Y 7 x- / y+ x+ / y+ La codevaza è la somma de prodott degl scart: C = ( x x )( y y ) XY = 1 Se C XY >0 le coppe d scart cocord (+/+ o -/-) prevalgoo su quelle d scart dscord (+/- o -/+); Se C XY <0 le coppe d scart dscord (+/- o -/+) prevalgoo su quelle d scart cocord (+/+ o -/-)) ; Se C XY =0 le coppe cocord e dscord s equvalgoo.

4 Idc d Covarazoe - Covaraza Idce d correlazoe leare (1) La covaraza è la meda de prodott degl scart: 1 1 s = ( x x )( y y ) C XY = XY ( 1) = 1 ( 1) La covaraza, aaloga co quato vsto per la varaza campoara, è defta come l rapporto tra codevaza e -1. La covaraza segue lo stesso adameto della codevaza. Il coeffcete d correlazoe leare è par al rapporto tra la covaraza e l prodotto delle devazo stadard (s x e s y ) delle varabl x e y: r s s s XY = = X Y C XY D D E ua msura: 1) della drezoe ) della forza del legame leare fra due varabl X e Y. X Y Idce d correlazoe leare () Idce d correlazoe leare (3) Il coeffcete d correlazoe leare r: r s s s XY = = X Y C XY D D 1) è u umero puro (admesoale) ) è smmetrco (rmae varato se s scambao le due varabl) 3) è varate rspetto a trasformazo lear (come l cambo d orge o l cambo d scala) X Y ) Il coeffcete d correlazoe leare può assumere valor compres tra -1 e +1. r=-1 legame perfettamete leare (relazoe versa) -1<r<0 0<r<1 r=1 1 r 1 (l sego d r dpede solo dal umeratore) legame tedezalmete leare (relazoe versa) r=0 asseza d correlazoe leare legame tedezalmete leare (relazoe dretta) legame perfettamete leare (relazoe dretta)

5 Calcol dell esempo urcema uom qud Tot x y ( x x ) ( y y )( x x ) ( y y ) ( x x )( y y ) meda devaza codevaza Idce d correlazoe X Y.. uo studete alla prma lezoe 1 r = uo studete alla secoda lezoe 1 r = Eserczo Metodo Y (mg/dl) Metodo Y (mg/dl) Metodo X (mg/dl) uo studete all'ultma lezoe 1 r = Metodo Y (mg/dl) Metodo Y (mg/dl) Metodo X (mg/dl) u aalsta esperto 1 r = Gl esemp qu rportat s rferscoo alla correlazoe tra valor d urcema rlevat, dfferet codzo, co due metod d msura (X e Y) su u campoe d 0 soggett aza. Studet X (vot casa) Y (vot esame) ) Calcolare r r=0.9/(9.7x17.3)=0.7 0 ).e se l professore avesse trovato u valore d r prossmo a 0? 3).e se l professore avesse trovato u valore d r prossmo a -1? Metodo X (mg/dl) Metodo X (mg/dl)

6 Relazoe o leare Lee guda per l terpretazoe del valore d r r=0.15 U valore basso d r o dca asseza d relazoe, ma sgfca macaza d relazoe LINEARE! Y=a+bX Y=a+bX+cX No terpretare ma l valore d r da solo, è sempre meglo costrure u grafco d dspersoe de dat. Valore assoluto d r Gudzo sulla correlazoe Bassssma Bassa Meda Alta Molto alta Retta d regressoe Se esste ua relazoe leare tra X e Y posso terpolare put co ua retta Votazoe all'esame (Y) Votazoe el compto a casa (X) Potre così cercare d predre l voto dell esame (varable dpedete) fuzoe del voto el compto a casa (varable dpedete)! Relazoe determstca vs relazoe statstca BMI=(peso-kg)/(altezza-m) Valutamo l BMI per u seme d valor d altezza che abbamo osservato su u seme d soggett co u partcolare peso: - peso = 0 kg - altezza = da 1. a 1.9 m Relazoe determstca

7 Relazoe determstca vs relazoe statstca Valutamo valor d emogloba (g/dl) d u seme d doe co età varable. - Hb = da a 1.5 g/dl - età da 0 a 70 a Hb=β 0 +β 1 *età +ε I valor d emogloba varao doe co la stessa età Relazoe statstca Modello d regressoe leare semplce La regressoe leare semplce è u modello che studa come ua varable d rsposta Y (var. dpedete) dpeda da ua varable esplcatva X (var. dpedete). La relazoe fra Y e X è rassuta dall equazoe d ua retta: Y = β 0 + β 1 X + ε parte sstematca (segale) parte casuale (rumore) Questo modello potzza che la rsposta y sa l rsultato della somma d: -ua parte sstematca (che è fuzoe leare d x) -ua parte casuale (che essedo puramete accdetale o dpede da x) Modello d regressoe leare semplce Stma della retta d regressoe L dea d base del modello d regressoe e che le mede d Y al varare d x stao su ua lea retta. Y = β 0 + β 1 X Da otare che ell equazoe della retta o compare pù la compoete casuale ε, dato che s assume che meda essa sa ulla e o dpeda da X. y=b 0 + b 1 x La retta d regressoe d popolazoe è u modello co parametr β 0 e β 1 che vegoo stmat da b 0 e b 1 a partre dal campoe d dat osservat. Poché le rette del pao soo fte, dobbamo defre u crtero che permetta d stmare la mglore retta d regressoe per put osservat. Ua scelta ragoevole è quella della retta che passa l pù vco possble all seme d quest put.

8 Stma della retta d regressoe Nello stablre ua msura d dstaza tra la retta e l seme de put, occorre defre: Y = valore osservato d Y per l utà = b b x = valore prevsto d Y per l utà ŷ e = y ŷ = errore Stma della retta d regressoe S scegle la retta che mmzza la somma de quadrat degl error, ovvero degl scart fra valor osservat d y e quell predett sulla base della retta SS = = 1 e = (y ŷ ) = [y ( b0 + b1x = 1 = 1 )] y b 0 + b 1 x valore osservato y b 0 + b 1 x ŷ e valore prevsto ŷ e errore Stma della retta d regressoe Le stme b 1 e b 0 s ottegoo mmzzado SS: C (x x)(y y) XY = 1 b 1 = = = DX (x x) = 1 b 0 = y- bx Nell esempo: y = 77.1 x = 57. s xy = 0.3 s x = 9.7 b 1 = 0.3/(9.7) = 0. b 0 = = 50.7 s s xy x x Iterpretazoe della retta d regressoe Y = b 0 + b 1 X β 0 = tercetta, coè l puto cu la retta terseca l asse delle Y (valore d Y quado X=0) β 1 = coeffcete agolare o pedeza della retta (varazoe d Y quado X aumeta d ua utà) β 1 < 0 -> proporzoaltà versa β 1 > 0 -> proporzoaltà dretta

9 Iterpretazoe della retta d regressoe Stma della retta d regressoe y = x Iterpretazoe dell tercetta (b 0 =50.7)? Voto d esame d uo studete co votazoe 0 el compto a casa. Iterpretazoe della pedeza (b 1 =0.)? Se l voto del compto a casa mglora d u puto, l voto all esame cresce d crca mezzo puto. Propretà: 1) La retta stmata passa per l barcetro delle osservazo. per x = x ŷ = y ) La somma de resdu è ulla. = 1 e = = 1 y ŷ = 0 3) La somma de valor stmat è uguale alla somma de valor osservat. = 1 ŷ = = 1 y Esempo Dato u campoe d sette dvdu, s vuole valutare la relazoe tra la pressoe arterosa e l età. Esempo - soluzoe Igredet per la stma della retta d regressoe: y = x = 9.3 s x =71. s xy =91.33 ETA (a) PRESSIONE (mmhg) b 1 = 91.33/71. = 1.07 b 0 = = 90. Come vara la pressoe fuzoe dell età? La pressoe aumeta d 1 mmhg per og ao d età.

10 Esempo - quest pressoe = età - Iterpretare l tercetta ed l coeffcete agolare. - D quato vara la pressoe all aumetare dell età d a? all aumetare dell età d a? al dmure dell età d 1 ao? Iterpolazoe vs estrapolazoe Sulla base della relazoe leare fra X e Y, potre tetare delle predzo (ad es. l voto dell esame fuzoe del voto el compto a casa). Attezoe a fare prevso dove o c soo dat! Itervallo rlevate ESTRAPOLAZIONE: prevedere y corrspodeza d u valore d X estero dell tervallo rlevate (m aspetto che u soggetto d a abba ua pressoe toro a 0 mmhg). INTERPOLAZIONE: prevedere y corrspodeza d u valore d X tero dell tervallo rlevate (m aspetto che u soggetto d 0 a abba ua pressoe toro a 150 mmhg).