ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO

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1 ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO ASSIOMI Lo spazio euclideo è un insieme infinito di elementi (i punti), contiene sottoinsiemi popi ed infiniti (i piani). In ogni piano valgono gli assiomi del piano euclideo. Ogni punto appatiene ad infinite ette dello spazio (stella di ette). Ogni punto appatiene ad infiniti piani (stella di piani). Ogni etta appatiene ad infiniti piani (fascio popio di piani); è detta asse del fascio. STELLA DI PIANI FASCIO PROPRIO DI PIANI Punti - ette - piani Pe te punti non allineati passa un solo piano. Se due punti di una etta appatengono a un piano, essa giace inteamente sul piano. Se due piani distinti hanno in comune un punto, essi hanno in comune un intea etta. Ogni piano α divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti (semispazi apeti) tali che pe ogni coppia di punti P e Q non appatenenti ad α si ha uno solo dei due seguenti casi: - il segmento PQ non inteseca il piano: P e Q appatengono allo stesso semispazio - il segmento PQ inteseca il piano: P e Q appatengono a semispazi opposti. POSIZIONI RECIPROCHE etta - etta Due ette nello spazio possono essee : - complanai: appatengono allo stesso piano e sono o incidenti o paallele, - sghembe : non appatengono allo stesso piano etta piano Una etta e un piano nello spazio possono essee : - incidenti: hanno un solo punto in comune (in paticolae possono essee pependicolai) - paalleli: non hanno punti in comune, oppue se li hanno tutti e la etta giace sul piano. Se una etta è paallela ad una etta di un piano, essa è paallela al piano. piano piano Due piani nello spazio possono essee : - incidenti se hanno una etta in comune: tale etta si chiama intesezione dei due piani. - paalleli se non hanno punti in comune oppue se hanno tutti i punti in comune. Le intesezioni di piani paalleli con un piano incidente sono ette paallele. Pe un punto esteno ad un piano si può condue un solo piano paallelo al piano dato. Pof. Vanda Riboldi pag. 1

2 Teoema di Talete nello spazio Un fascio di piani paalleli detemina su due ette tasvesali due insiemi di segmenti diettamente popozionali. Retta e piano pependicolai Una etta e un piano si dicono pependicolai quando la etta inteseca il piano ed è pependicolae a tutte le ette del piano che passano pe il punto di intesezione, detto piede della pependicolae. Pe stabilie se una etta è pependicolae a un piano è sufficiente accetasi che essa sia pependicolae a due ette del piano passanti pe il punto di intesezione; questo in vitù del seguente Teoema - Se una etta è pependicolae a due ette che passano pe un suo punto, è pue pependicolae a tutte le alte ette passanti pe quel punto e giacenti nel piano individuato dalle pime due. Siano a e b due ette pependicolai alla etta nel suo punto P e sia α il piano da esse individuato. Sia c una qualunque alta etta appatenente al piano α e passante pe P. a A c H P C K B b α Hp : Tesi : a b c DIMOSTRAZIONE Si pendano su due punti H e K appatenenti a semispazi opposti ispetto ad α e tali che sia PH = PK. Si pendano, ispettivamente su a e su b, due punti A e B distinti da P. Essendo a l asse del segmento HK, saà AH = AK e analogamente BH = BK. I tiangoli HAB e KAB isultano uguali pe il 3 citeio e quindi HAB = KAB. Pof. Vanda Riboldi pag. 2

3 Si indichi con C il punto di intesezione della etta AB con la etta c. I tiangoli HAC e KAC isultano uguali peché hanno due lati e l angolo compeso ispettivamente uguali, quindi, in paticolae, HC = KC. Il tiangolo HCK è peciò isoscele e in esso CP, che è mediana elativa alla base, saà anche altezza, quindi è pependicolae a c. Inolte Dati un punto e un piano, esiste una sola etta passante pe il punto e pependicolae al piano. Dati un punto e una etta, esiste un solo piano passante pe il punto e pependicolae alla etta. Piani pependicolai alla stessa etta sono paalleli ta loo. Pof. Vanda Riboldi pag. 3

4 Teoema delle te pependicolai - Se dal piede di una pependicolae a ad un piano si conduce la pependicolae c ad una etta qualunque del piano, questa isulta pependicolae al piano individuato dalle pime due ette. Hp : a α c Tesi : piano ac DIMOSTRAZIONE La etta a è pependicolae al piano α, dal suo piede H si conduca la etta c pependicolae alla etta del piano α e sia K il punto di intesezione. La etta è pependicolae a c pe ipotesi, quindi basteà dimostae che essa è pue pependicolae a un alta etta del piano ac (vedi teoema pecedente). A tale scopo si pendano su due punti A e B da bande opposte ispetto a K e tali che AK = KB e si congiungano A e B con H e con un alto punto P della etta a. Nel piano α la etta c è asse del segmento AB, quindi AH = HB. I tiangoli ettangoli PHA e PHB sono uguali peché hanno i cateti coispondenti uguali, petanto PA = PB. Ne segue che il tiangolo PAB è isoscele e che PK, che è mediana, è anche altezza. La etta è quindi pependicolae alla etta PK che appatiene al piano ac e, pe il teoema pecedente, si può concludee che è pependicolae al piano ac. Pof. Vanda Riboldi pag. 4

5 PROIEZIONI - ANGOLO DI UNA RETTA CON UN PIANO Poiezione di un punto su un piano è il piede della pependicolae condotta dal punto al piano. Poiezione di una figua su un piano è la figua costituita dalle poiezioni dei suoi punti sul piano. La poiezione di una etta su un piano non pependicolae ad essa è una etta. Se da un punto esteno a un piano si conducono il segmento pependicolae e divesi segmenti obliqui, si ha: il segmento pependicolae è minoe di qualunque segmento obliquo, due segmenti obliqui aventi poiezioni uguali sono uguali e vicevesa, due segmenti obliqui aventi poiezioni disuguali sono disuguali nello stesso veso. Si chiama angolo di una etta con un piano l angolo acuto che la etta foma con la sua poiezione sul piano. DIEDRI - ANGOLOIDI - PRISMI - SOLIDI DI ROTAZIONE Diedi Si definisce diedo la pate infinita di spazio limitata da due semipiani (facce del diedo) che si intesecano in una etta (spigolo del diedo); convesso se, pesi due suoi punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è tutto inteno al diedo; concavo se non è convesso. Sezione nomale di un diedo: l angolo intesezione ta un diedo ed un piano pependicolae allo spigolo del diedo. Le sezioni nomali di uno stesso diedo sono angoli uguali. Diedi uguali hanno sezioni nomali uguali e vicevesa. Ampiezza di un diedo: l ampiezza della sua sezione nomale. In paticolae un diedo la cui ampiezza è un angolo etto si dice diedo etto. Due piani incidenti si dicono pependicolai se fomano quatto diedi etti. Se si associa a un diedo la sua sezione nomale e vicevesa, si ottiene una coispondenza biunivoca; tale coispondenza pemette la tasposizione ai diedi di tutta la teminologia degli angoli (Es: diedi acuti, diedi adiacenti, diedi opposti allo spigolo...) Diedo convesso Diedo concavo Pof. Vanda Riboldi pag. 5

6 Angoloidi Dato un poligono convesso A 1 A 2 A 3...A n e un punto V non appatenente al piano del poligono, si chiama supeficie piamidale indefinita la figua fomata dagli angoli A 1 VA 2, A 2 VA 3..., A n-1 VA n. Il punto V si chiama vetice, le semiette VA 1, VA 2,..., VA n si chiamano spigoli e gli angoli A 1 VA 2, A 2 VA 3,... si chiamano facce. Si chiama angoloide la pate di spazio fomata da una supeficie piamidale indefinita e da tutti i suoi punti inteni. L ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minoe delle somma di tutte le alte. La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minoe di un angolo gio. Tiedo: angoloide con te facce. Citei di uguaglianza dei tiedi : 1. Due tiedi che hanno due facce e diedo compeso uguali sono uguali 2. Due tiedi che hanno due diedi e la faccia compesa uguali sono uguali 3. Due tiedi che hanno le te facce uguali sono uguali 4. Due tiedi che hanno i te diedi uguali sono uguali. Pisma Si chiama pisma indefinito il solido geneato da un poligono che venga fatto taslae in una diezione assegnata non paallela al piano del poligono. Spigoli del pisma : le ette di diezione assegnata che passano pe i vetici del poligono. Gli spigoli sono ette paallele. Ogni lato del poligono, taslando, descive una stiscia di piano che si chiama faccia del pisma. Se il poligono che genea il pisma ha n lati e quindi n vetici, il pisma isulta delimitato da n diedi. Le sezioni di un pisma indefinito con piani paalleli ta loo sono poligoni uguali. Solidi di otazione Dato un semipiano α limitato dalla etta a, sia g una linea qualunque appatenente al semipiano α; uotando il semipiano α di un angolo gio (otazione completa) attono alla etta a, la linea g genea una supeficie di otazione. La pate di spazio costituita dalla supeficie di otazione e da tutti i punti ad essa inteni si chiama solido di otazione. La etta a si chiama asse di otazione e la linea g si chiama geneatice. Ogni punto di g descive una ciconfeenza; tali ciconfeenze si chiamano paalleli della supeficie o sezioni nomali. Un piano passante pe l asse a inteseca la supeficie secondo due geneatici simmetiche ispetto all asse dette meidiani. Pof. Vanda Riboldi pag. 6

7 Cilindo indefinito: la geneatice è una etta paallela all asse di otazione. Cono indefinito: la geneatice è una semietta avente l oigine sull asse di otazione; l ampiezza dell angolo ta la geneatice e l asse di otazione è detta apetua del cono. Cono indefinito a due falde: la geneatice è una etta secante non pependicolae all asse di otazione. Le sezioni di un cono indefinito a due falde con un piano che non passi pe il suo vetice sono cuve piane dette sezioni coniche o semplicemente coniche ( paabola, ellisse, ciconfeenza, ipebole). FIGURE SOLIDE: POLIEDRI E SOLIDI ROTONDI Poliedi Poliedo: solido delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo i lati (spigoli), mente i vetici dei poligoni sono anche vetici del poliedo. Ogni vetice del poligono è vetice di un angoloide che contiene il poliedo. Diagonale di un poliedo: ogni segmento che congiunge due vetici e non appatiene alla supeficie. Poliedo egolae: poliedo in cui tutte le facce sono poligoni egolai e uguali e in cui tutti gli angoloidi sono pue uguali. I poliedi egolai sono solo cinque, le loo facce possono essee soltanto o tiangoli equilatei o quadati o pentagoni egolai. tetaedo esaedo tetaedo: quatto facce tiangolai cubo o esaedo: sei facce quadate ottaedo : otto facce tiangolai dodecaedo: dodici facce pentagonali icosaedo : venti facce tiangolai ottaedo dodecaedo icosaedo Ai poliedi egolai veniva attibuito un caattee magico, fose questo spinse Kepleo a collegali con le obite dei pianeti alloa conosciuti. Piamidi Piamide finita o semplicemente piamide : intesezione ta un angoloide di vetice V e un semispazio che contiene V. La piamide ha quindi un vetice, n facce tiangolai e una base costituita da un poligono di n lati. Secondo il numeo delle facce la piamide si chiama tiangolae, quadangolae,... Altezza di una piamide: segmento di pependicolae condotto dal vetice al piano di base. Piamide etta: ha pe base un poligono cicoscittibile ad una ciconfeenza il cui cento coincide con il piede dell altezza. Pof. Vanda Riboldi pag. 7

8 Teoema - In una piamide etta i segmenti che congiungono il vetice con i punti di tangenza del poligono di base con la ciconfeenza inscitta sono tutti uguali e sono le altezze delle facce lateali. Sia VABCD una piamide etta e siano H e K due punti di tangenza del poligono di base con la ciconfeenza inscitta di cento O. I tiangoli ettangoli VOH e VOK sono uguali pe il pimo citeio e quindi in paticolae VH = VK. Inolte, essendo VO pependicolae alla base (peché altezza della piamide) e OH pependicolae ad AB (peché aggio condotto nel punto di tangenza), pe il teoema delle te pependicolai saà AB pependicolae a VH: petanto VH è altezza della faccia. Analogamente pe le alte facce della piamide etta. In vitù di questo teoema si può definie l apotema di una piamide etta come l altezza delle facce lateali. Piamide egolae: piamide etta che ha pe base un poligono egolae. Tonco di piamide: sezionando una piamide con un piano paallelo alla base, nel semispazio non contenete il vetice si ottiene un tonco di piamide. Nel tonco di piamide i poligoni di base maggioe e minoe sono simili; il appoto di similitudine è uguale al appoto delle distanze dei due piani dal vetice della piamide. Pisma Pisma finito o semplicemente pisma: la pate di pisma indefinito compeso ta due piani paalleli distinti. I due poligoni sezione, situati su piani paalleli, sono le basi del pisma Le basi di un pisma sono uguali. Le facce lateali di un pisma sono paallelogammi. Gli spigoli lateali di un pisma sono uguali. Pisma etto: le facce lateali e quindi gli spigoli sono pependicolai ai piani delle basi. Pisma egolae: pisma etto avente pe basi poligoni egolai (le facce lateali sono ettangoli tutti uguali ta loo) Paallelepipedo: pisma le cui basi sono paallelogammi (un paallelepipedo è quindi limitato da sei paallelogammi). Le facce opposte di un paallelepipedo sono paallele e uguali. Le diagonali di un paallelepipedo si intesecano in uno stesso punto (cento di simmetia del paallelepipedo) Paallelepipedo ettangolo : paallelepipedo etto che ha pe base un ettangolo, quindi tutte le facce sono ettangoli. Le lunghezze dei te spigoli uscenti da un vetice di un paallelepipedo ettangolo si chiamano le te dimensioni del paallelepipedo. Le diagonali sono uguali. Cubo o esaedo: paallelepipedo ettangolo avente le te dimensioni uguali. E un poliedo egolae. Pof. Vanda Riboldi pag. 8

9 Solidi otondi Cilindo etto: pate di cilindo indefinito compesa ta due piani pependicolai all asse di otazione. Cilindo equilateo: cilindo etto in cui l altezza è uguale al diameto di base Cono etto: sezionando un cono indefinito con un piano pependicolae all asse, nel semispazio contenente il vetice, si ottiene un cono etto. Apotema: segmento che congiunge il vetice con un qualunque punto della ciconfeenza di base Cono equilateo: cono etto in cui l apotema è uguale al diameto di base. Sfea: solido ottenuto dalla otazione completa di un semicechio attono al popio diameto; il cento O e il aggio del semicechio sono anche cento e aggio della sfea. Supeficie sfeica: luogo dei punti dello spazio equidistanti dal cento O Ciconfeenza massima: intesezione di una supeficie sfeica con un piano passante pe il cento della sfea Il cento di ogni ciconfeenza massima coincide con il cento della sfea Pe i due estemi di un qualunque diameto di una sfea passano infinite ciconfeenze massime Pe due punti di una supeficie sfeica non allineati con il cento passa una sola ciconfeenza massima La linea di minima distanza ta due punti di una supeficie sfeica è l aco di ciconfeenza massima passante pe essi (linea lossodomica). Un piano α secante una supeficie sfeica la divide in due pati, ciascuna delle quali si chiama calotta sfeica. Un piano secante una sfea la divide in due pati, ciascuna delle quali si chiama segmento sfeico ad una base. L altezza di un segmento sfeico ad una base o di una calotta sfeica è la pate del diameto, pependicolae al piano secante, compesa ta tale piano e la calotta (in figua AC appesenta una delle due altezze) Si chiama settoe sfeico la pate di sfea limitata da una calotta sfeica e dal cono che ha pe vetice il cento O della sfea e pe base quella della calotta Consideiamo due piani paalleli α e β entambi secanti una sfea La pate di supeficie sfeica compesa ta essi si chiama zona sfeica La pate di sfea compesa ta essi si chiama segmento sfeico a due basi Pof. Vanda Riboldi pag. 9

10 Consideiamo due semipiani α e β aventi pe oigine comune la etta di un diameto. La pate di supeficie sfeica compesa ta essi si chiama fuso sfeico. Il diedo ta i due semipiani si chiama angolo del fuso. La pate di sfea compesa ta essi si chiama spicchio sfeico I fusi (o gli spicchi) di uguale aggio sono diettamente popozionali ai coispondenti angoli diedi. MISURA DI SUPERFICI La supeficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numeo finito di tagli, si può distendee completamente su un piano senza defomala. I poliedi, i cilindi, i coni e le loo pati hanno supefici sviluppabili, quindi la misua delle loo supefici si iconduce a un poblema di geometia piana. Né la sfea né alcuna sua pate sono sviluppabili, quindi non si può fae ifeimento a figue piane. La misua della supeficie sfeica si può calcolae come limite della supeficie di un poliedo inscitto (o cicoscitto) nella sfea quando il numeo delle facce tende all infinito. MISURA DI VOLUMI Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione spaziale o semplicemente lo stesso volume. L equivalenza ta solidi gode delle popietà iflessiva, simmetica e tansitiva Solidi equiscomponibili sono equivalenti, ma non vicevesa. Pe calcolae i volumi è utile il seguente pincipio: Pincipio di Cavaliei 1 - Se due solidi si possono dispoe ispetto a un piano dato in modo che le loo sezioni con un piano paallelo a quello dato siano equivalenti, alloa i due solidi sono equivalenti. 1 Bonaventua Cavaliei: discepolo di Galileo, pubblicò nel 1635 la sintesi dei suoi studi sulla teoia degli indivisibili (costituenti elementai delle figue) nel tattato Geometia indivisibilibus continuoum quadam nova atione pomota ( Geometia con l uso degli indivisibili sostenuta da una nuova teoia dei continui ). In questo impotante tattato Cavaliei concepì i solidi come fomati da un numeo molto gande di sottilissimi stati sovapposti, cioè un continuo di supefici piane di spessoe infinitesimo: questa geniale idea costituisce la base concettuale del calcolo integale. Pof. Vanda Riboldi pag. 10