Statistica Descrittiva ed Inferenziale

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1 Statstca Descrttva ed Inferenzale 1 Why Statstcs? A? A B Descrpton and Predcton Samples Analyss A1 A A B C Pared Samples Analyss MultSamples Analyss 1

2 Why Statstcs? Formal defnton of Probablty σ-feld 3 Why Statstcs? p functon A Equal p=0.3 B Descrpton and Predcton Samples Analyss A1 Equal p=0. A A B Equal p=0.9 C Samples Analyss MultSamples Analyss 4

3 3

4 4

5 Statstca Descrttva d un CAMPIONE (SAMPLE) d dat 9 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 Obettvo: Descrzone d un Istogramma 19 Indc d descrzone statstca d un campone d poszone MODA MEDIANA MEDIA INDICI d dspersone SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIANZA RANGE d forma ASIMMETRIA (SKEWNESS) CURTOSI ( KURTOSIS) 10

11 Centro d una dstrbuzone dato un nseme d n element {x1, x,... xn} S dce meda artmetca semplce d N numer l numero che s ottene dvdendo la loro somma per N. x = x + x + L + x 1 N N 11

12 dato un nseme d m element {x1, x,... x m }, e dato un nseme d m d numer real {p1, p,... p m } S dce meda artmetca pesata x p + x p x p x= p + p p 1 1 m m 1 m che utlzza un peso p j o la frequenza d ogn dato x j per j=1,,m 1

13 Esempo d meda pesata La meda della lunghezza d un gruppo d f 1 = 7 neonat ð m 1 =48.0 cm e d altr f = 3 neonat ð m =49.5 cm. Per calcolare la meda delle lunghezze dell'nseme totale d 10 neonat pur senza avere la conoscenza de valor delle lunghezze ndvdual, s utlzzano le propretà della meda artmetca : la somma delle lunghezze de prm 7 è = la somma delle lunghezze de second 3 è = la somma delle lunghezze d tutt 10 è = La meda della lunghezza d tutt 10 neonat è = 484.5/10 = Ovvero Meda = (f 1 m 1 + f m )/(f 1 + f ) Meda = ( )/(7+3) esempo d meda artmetca Lunghezza(cm) n un campone d 60 neonat la meda artmetca de prm 6 valor d lunghezza d 6 neonat è: x = ( )/6 = 305./6 = la meda artmetca d tutt 60 valor d lunghezza è: x = ( )/60 = /60 = La meda artmetca d N dat dstnt è x = N = 1 N x 13

14 MEDIA per dat raggruppat n class ALTEZZA(cm) d un campone d 60 neonat. lmt d classe x f(x j ) x f(x j ) S Nell'esempo del campone d 60 msure d lunghezza de neonat: x = = = m f(x j )=N j=1 La meda per dat raggruppat n m class è dove m è l numero d class e, oppure se f(x ) ndca le frequenze assolute, m j= 1 f(x ) = 1 j x= m j=1 m x f(x ) j=1 j f(x ) se f(x ) ndca le frequenze relatve. j j meda artmetca e medana S consder un campone d valor d VES (veloctà d ertrosedmen-tazone, mm/ora) msurat n 7 pazent {8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} x In questo caso, la meda ( = 10 mm/ora) non è un valore tpco della dstrbuzone: soltanto un valore su 7 è superore alla meda! Convene usare come ndce del centro la medana, defnta come quel valore che dvde a metà la dstrbuzone, scché l'nseme de valor è per metà mnore e per metà maggore della medana. Per calcolare la medana s dspongono dat n ordne crescente: ordne orgnale: {8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} ordne crescente: {4, 5, 5, 6, 7, 8, 35} 14

15 medana Se n è dspar, la medana è l valore che occupa la poszone (n+1)/ nell'nseme ordnato. Nell'esempo, poché (n+1)/=4, la medana è 6 mm/ora, ed è tpca nel senso che s avvcna a buona parte de valor del campone. Se n è par, la medana è la meda de valor che occupano le poszon (n/) ed [(n/)+1] nell'nseme ordnato de numer. Se, nell'esempo, s esclude l valore pù alto, s ottene l' nseme ordnato {4, 5, 5, 6, 7, 8}, (n/)=3 e [(n/)+1]=4, e la medana vale (5+6)/=5.5. Frattl d una dstrbuzone Una dstrbuzone può essere descrtta per mezzo de suo frattl. S dce frattle (snonm: centle, percentle e quantle) p-esmo d una dstrbuzone quel valore xp tale che la frequenza relatva cumulata F(x p )= p. Ad esempo, l 50 centle d una dstrbuzone è l valore che, sull'asse de numer real, ha alla sua snstra l 50% de valor della dstrbuzone, e concde con la medana. Il10 centle è l valore che ha alla snstra l 10% della dstrbuzone. 15

16 ALTEZZA(cm) d un campone d 60 neonat. lmt d classe x f(x j ) x f(x j ) S Ne grafc cumulat, valor rportat sull'asse vertcale ndcano la frequenza delle rlevazon con valore par o mnore a valor n corrspondenza sull'asse orzzontale

17 La Moda Pù d rado s ncontra una terza msura d poszone, la moda; è l valore che s verfca pù spesso (frequenza assoluta pù elevata); la modaltà della varable n cu s regstra l maggor numero d cas. Quanto sono usualmente lungh bmb alla nascta? Guardando dat a nostra dsposzone, è subto evdente maggor nume ro (16) d bmb è lungo tra 50.3 cm e 51.7 cm. la classe modale è dunque Se la dstrbuzone ha pù d due valor massm o se la frequenza pù alta rscontrata nell nseme consderato non supera d molto le altre la moda non è un buon ndcatore d tendenza centrale. La moda Lunghezza supna (cm) n un campone d 60 neonat. Valor ottenut con l'nfantometro Harpenden. Estrem Valore Freq Semplc Freq cumulate d classe Centrale n % n % Nella classe , pu 1, ,5+ = 50,583 vcno alla casse con freq=

18 quale msura d poszone usare? A quale msura d tendenza centrale c rferamo? Il propretaro d una dtta afferma "Lo stpendo medo nella nostra dtta è.700 euro" Il sndacato de lavorator dce che lo stpendo mensle è d euro. L'agente delle tasse dce che lo stpendo è stato quas sempre d.00 euro. Queste rsposte dverse sono state ottenute tutte da dat della seguente tabella. Meda artmetca= lre.700 Medana = lre.00 Moda = lre Stpendo mensle N d lavorator nterpretazone delle msure d poszone La meda artmetca ndca che, se l denaro fosse dstrbuto n modo che cascuno rcevesse la stessa somma, cascun dpendente avrebbe avuto.700 euro La moda c dce che la paga mensle pù comune è d euro La moda s consdera spesso come l valore tpco dell'nseme d dat poché è quello che s presenta pù spesso. Non tene però conto degl altr valor e spesso n un nseme d dat v è pù d un valore che corrsponde alla defnzone d moda. La medana ndca che crca metà degl addett pe rcepscono meno d.00.euro, e metà d pù. La medana non è nfluenzata da valor estrem eventualmente prese nt ma solo dal fatto che ess sano sotto o sopra l centro dell'nseme de dat. 18

19 Statstca Descrttva Intervallo d varazone Devanza Varanza Devazone Standard Intervallo nterquartle dspersone d una dstrbuzone 0 16 frequenza relatva dspersone poszone cm 37 Meda e varanza: Meda uguale Devazone Standard Dversa Istogramma Istogramma Frequenza Frequenza Frequenza Frequenza Classe Classe Meda= Varanza=1.33 Meda= Varanza=

20 dspersone d una dstrbuzone Numero d ore d sonno frequenza Masch Femmne Damo un'occhata alla dstrbuzone d frequenza delle ORE DI SONNO ndotte da un sonnfero, dormte da 40 masch e 40 femmne. 39 dspersone d una dstrbuzone La msura della varabltà, permette d descrvere n modo pù completo la dstrbuzone d una varable. Le msure d tendenza centrale: meda, medana e moda ndvduano l'elemento centrale della dstrbuzone. Damo, d nuovo, un'occhata alla dstrbuzone d frequenza delle ORE DI SONNO de 40 soggett. üla meda è d 5 ore ma uno sguardo alla tabella mostra che un buon numero d pazent sono molto dvers tra loro. üalcun presentano un perodo d sonno pù breve ed altr pù lungo della meda. La meda non dce n che msura dat sano dspers attorno al valore centrale. 40 0

21 dspersone d una dstrbuzone Il numero medo d letture rsulta d 5 ore n entrambe sess Uguale durata del sonno ndotto? Per facltare confront rportamo dat n grafco. frequenza assoluta Masch Femmne DURATA DEL SONNO INDOTTO 41 L'ntervallo d varazone Mentre nmeda le femmne presentano un durata del sonno uguale a masch, alcune d loro hanno un durata del sonno ancora superore a temp pù elevat de masch. Qund le me de non s ono nsuffcent: pe r completa re l quadro occorrono alcune msure d varabltà. L'ntervallo d varazone o range consste semplcemente nella dfferenza tra l valore massmo e l valore mnmo della dstrbuzone. Mn=1 Max = 8 Mn=1 Max15 4 1

22 L'ntervallo d varazone Esempo: Gl nsem d valor d VES {A}: { 8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} {B}: { 11, 8, 10, 9, 17, 8, 7} ma n {A} valor sono pù dspers che n {B}: n {A} valor sono nclus tra 4 e 35 n {B} valor sono nclus tra 7 e 17 La dfferenza tra l massmo e l mnmo valore d un nseme d dat è detto ntervallo d varazone (o range). l range d {A} è R A = 35-4 = 31 l range d {B} è R B = 17-7 = 10 hanno la stessa meda ( =10), x Il range è l pù ntutvo fra gl ndc d dspersone, ha però l dfetto d basars solo su due valor estrem, ne qual s manfesta maggormente la varabltà d camponamento e l'errore d msura. 43 Varanza camponara: La devanza Gl ndc d dspersone d pù largo uso sono basat sugl scart dalla meda: per un campone d dmensone n, {x 1,x,...x n }, sono così defnt Devanza: D = (x-x) D s= n-1 Devazone standard: s= s Coeffcente d varazone: s CV% = 100 x La devanza è la somma de quadrat degl scart tra ogn elemento del campone (x ) e la meda camponara ( ). x 44

23 devanza per dat sngol formule d calcolo della devanza n =1 D= (x -x) devanza per dat raggruppat n class D = (x -x) f(x ) ( x ) = x- n = xf(x) ( xf(x) ) f(x ) 45 calcolo degl ndc d dspersone Nell'esempo de due nsem d valor d VES s ha: {A}: { 8, 5, 7, 6, 35, 5, 4} D = ( ) /7 = =740 s = 740/6 =13.33 s = 13.3 = 11.1 ={-1.1,1.1} CV%= 100 (11.1/10) = 111% {B}: { 11, 8, 10, 9, 17, 8, 7} D = ( ) /7 = = 68 s = 68 / 6=11.33 s= = 3.4 ={6.6, 13.4} CV% = 100 (3.4/10) = 34% In {A} l'ntervallo ± s nclude anche valor negatv d VES, che ovvamente non sono possbl. L'uso d s per esprmere la dspersone dovrebbe essere qund lmtato alle dstrbuzon smmetrche (o quas). 46 3

24 calcolo della devanza ( dat n class ) lmt d classe x f(xj) xf(x j ) S calcolo della devanza ( dat n class ) 5d5 Nell'esempo della lunghezza de neonat: (x x) x f(x) x f(x) ( x x) (x x) f(x ) x f(x ) meda= 30.5 /60= D = ( ) + ( ) ( ) 1 = D = (30.5) /60 = = x Var= /59 =6. Devazone standard =

25 calcolo della varanza ( dat n class ) x f(x ) x x f(x ) x (x x) f(x ) (x x) f(x ) Σ Devanza= 60 ; Varanza=Devanza/(N-1)= 60/79 = Tornamo all esempo delle ORE DI SONNO Devazone standard= l'ntervallo nterquartle Un ndce d dspersone d uso comune è l'ntervallo nterquartle, dato dalla dfferenza tra 3 e 1 quartle (coè tra 75 e 5 centle): tale ntervallo contene la metà de valor nclus nel campone, ndpendentemente dalla forma della dstrbuzone della varable. 5

26 Indc d dspersone: x max -x mn 1 n x - µ 1 n 1 n ( x - µ ) 1 n 1 n ( x - ) 1 x n 1 1 n ( x - ) 1 x n 1 Range (ntrevallo d varazone) Scarto medo assoluto Meda de quadrat degl scart Varanza camponara Devazone standard camponara p_esmo quantle: s consdera np per [ 0 p 1 ] Se np non è ntero, consdero k l ntero successvo e l p_esmo quantle è x k Se np = k è ntero, l p_esmo quantle è (x k + x k+1 )/ Q 1 =prmo quartle =5 percentle Q =secondo quartle =50 percentle =medana Q 3 =terzo quartle =75 percentle 51 Prncpal ndc statstc I grafc fnora analzzat c danno nformazon qualtatve; possamo quantfcarle rcorrendo a seguent ndc. Sano x1, x,..., xn n osservazon numerche d poszone MODA MEDIANA MEDIA INDICI d dspersone SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIANZA RANGE d forma ASIMMETRIA (SKEWNESS) CURTOSI ( KURTOSIS) 5 6

27 La dstrbuzone normale Johann Carl Fredrch Gauss ( ) LA FORMA DELLA DISTRIBUZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA All'aumentare del numero d msure, valor tendono ad accentrars attorno alla loro meda e l'stogramma assume una forma a campana sempre pù regolare, che può essere approssmata con una funzone reale nota come funzone d gauss/ funzone normale. Standard Devaton σ Mean μ Johann Carl Fredrch Gauss ( ) 7

28 0.15 n= n= n= n= n= n= n= n= n= La funzone d Gauss (3) f(x) massmo 0.09 flesso flesso 0.06 σ 0.03 µ x = concentrazone d glucoso (mg/dl) f ( x) = 1 1 π σ e x µ σ ( ) dove: sè la devazone standard della totaltà delle msure; µ è la meda della totaltà delle msure; e = base de logartm natural ( e = ). pè l rapporto tra crconferenza e dametro p= ); 8

29 La funzone d Gauss () f(x) 0.09 µ 0.06 ±1 devazone standard 0.03 ± devazon standard x = concentrazone d glucoso (mg/dl) La funzone d Gauss (1) Gl error casual d msura. consderat nel loro complesso, mostrano un comportamento tpco che può essere così descrtto: Gl error pccol sono pù frequent d quell grand; Gl error d segno negatvo tendono a manfestars con la stessa frequenza d quell con segno postvo; All'aumentare del numero delle msure s ha che crca /3 de valor tendono ad essere nclus nell'ntervallo meda +/- 1 devazone standard Il 95% de valor tende ad essere ncluso nell'ntervallo meda +/- devazon standard 9

30 Qual sono I mglor descrttor statstc per un campone? Dat estratt da pdf Gaussana: Meda +/- Devazone Std Skewness 60 30

31 CURTOSI: leptocurtca 61 CURTOSI: dstrbuzone platcurtca 6 31

32 Skewness Indc d forma INDICE DI ASIMMETRIA >0 coda a destra <0 coda a snstra =0 smmetrca g Kurtoss n 1 4 n ( x x) m 4 = 1 = = n m 1 n ( x x) = 1 Per la dstrbuzone gaussana γ=0 Msura quanto la dstrbuzone è appuntta >3 poco appuntta =3 caso della dstrbuzone normale <3 molto appuntta Per la dstrbuzone gaussana g =3 63 Coeffcent d skewness d Pearson Karl Pearson ha suggerto calcol pù semplc come una msura d asmmetra: La modaltà d asmmetra d Pearson, defnto da (meda - Moda) / devazone standard, Asmmetra prmo coeffcente d Pearson, defnta da 3 (meda - moda) / devazone standard, Asmmetra secondo coeffcente d Pearson, defnto da 3 (meda - medana) / devazone standard. 64 3

33 Qual sono mglor descrttor statstc per un campone? Dat estratt da pdf Gaussana: Meda +/- Devazone Std Dat estratt da pdf Non-Gaussana: [Medana +/- Int. Interq, 3 msura] (range, skewness, kurtoss, etc) Applcazon La smmetra ha benefc n molt settor. In molt modell è semplcstco supporre che dat abbano una dstrbuzone [normale] smmetrca ntorno alla meda. La dstrbuzone normale ha una asmmetra d zero. Ma n realtà, spesso punt dat non sono perfettamente smmetrc. La comprensone dell asmmetra della sere d dat real ndca che le devazon dalla meda stanno pù nel verso postvo o pù nel verso negatvo. Il test K (D'Agostno) è un Goodness-of-ft test d normaltà basato sulla asmmetra e curtos camponara

34 d poszone d dspersone d d forma Indc: Schema rassuntvo x meda: x = N moda: punto d max della dstrbuzone medana: valore sotto al quale cadono la metà de valor camponar. S dspongono dat n ordne crescente e s prende quello che occupa la poszone centrale (N dspar) o la meda de valor n poszone centrale (N par) varanza devazone standard range s = skewness (coeff. d asmmetra) ( x ) x N 1 curtos: msura quanto la dstrbuzone è appuntta s R = x max x mn x x σ N >3 poco appuntta <3 molto appuntta 3 x x σ N >0 coda a ds <0 coda a sn =0 smmetrca