Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica

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1 Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Umberto Massari Anno accademico 3-4 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme Sia f n : A R ( dove A R e n N ) una successione di funzioni e f : A R una data funzione, diremo che la successione f n converge puntualmente alla funzione f (nell insieme A) se x A risulta: lim f n(x) = f(x) n ossia usando la ε-definizione di limite: ε >, x A n ε, x tale che n > n ε, x risulta f n (x) f(x) < ε () Da notare che nella definizione () di convergenza puntuale, l indice n ε, x oltre il quale vale la disaguaglianza richiesta, dipende sia da ε che dal punto x A in cui si calcolano le funzioni e puó variare al variare di x A (pur mantenendo fisso ε). Diremo invece che la successione f n converge uniformemente alla funzione f sull insieme A, se ε > n ε tale che n > n ε risulta f n (x) f(x) < ε x A () Da notare che nella definizione () di convergenza uniforme, l indice n ε oltre il quale vale la disaguaglianza richiesta, dipende solo da ε ed é quindi lo stesso qualunque sia x A. Dalla () deriva pure subito che la successione f n converge uniformemente ad f su A se e solo se, posto α n = sup{ f n (x) f(x), x A} (3)

2 risulta lim α n = (4) n Ovviamente la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ( su di uno stesso insieme A), mentre il viceversa in generale é falso: ossia la convergenza di una successione di funzioni puó essere puntuale ma non uniforme. Un esempio interessante è la seguente successione Per ogni x (, ) risulta f n (x) = x n x A = (, ) lim n xn = e quindi la successione f n converge puntualmente alla funzione identicamente nulla in (, ) ( che indichiamo qui con f ). Usando la ε-definizione di limite, otteniamo che se x (, ) e ε > f n (x) f(x) = x n < ε n > log ε log x = n ε, x D altra parte la convergenza di f n ad f non è uniforme come si puó notare o osservando che oppure osservando che, in questo caso: lim n ε, x = + x α n = sup{ f n (x) f((x), x (, )} = sup{x n, x (, )} = n N e pertanto la richiesta (4) non è verificata. Osserviamo infine che la definizione di convergenza uniforme puó essere scritta anche nel seguente modo: ε > n ε tale che n > n ε risulta f(x) ε < f n (x) < f(x) + ε x A in altre parole n > n ε il grafico della funzione f n deve essere compreso tra i grafici delle funzioni f ε e f + ε, come viene visualizzato dalla seguente figura: graf f+ε graf f graf f n graf f-ε Concludiamo il paragrafo considerando alcuni esempi.

3 . Sia f n (x) = n x e n x x. Risulta x lim f n(x) = n Pertanto la successione considerata converge puntualmente alla funzione f identicamente nulla. Per vedere se la convergenza è uniforme, calcoliamo la successione α n definita in (3). Nel caso che stiamo considerando risulta α n = max{f n (x), x } Essendo f n(x) = n e n x ( n x) il segno della derivata è positivo se e solo se x < n. Il punto x = n massimo (assoluto) per la funzione f n e risulta : è quindi il punto di α n = f n ( n ) = e = e Possiamo quindi concludere che la convergenza di f n a f non è uniforme. Riportiamo qui ( a titolo indicativo ) il grafico di alcune delle funzioni f n (per esempio per n =,, 3 ). 3. Sia f n (x) = x n ( x) x [, ]. Anche in questo caso risulta lim f n(x) = x [, ] n Per vedere se la convergenza è uniforme, dobbiamo calcolare il valore massimo di f n. Risulta f n(x) = n x n ( x) x n = x n (n (n + ) x) La funzione assume dunque il suo valore massimo nel punto x = α n = ( ) n ( n n ) n + n + n n+ e risulta Pertanto si ha lim α n = ( ) = n e 3

4 La convergenza di f n a zero risulta in questo secondo caso uniforme. Riportiamo anche quì ( a titolo indicativo ) il grafico di alcune delle funzioni f n (per esempio per n =,, 3 ) Sia Anche in questo caso risulta f n (x) = n + x n + n x + x, x R. lim f n(x) = x R n Per vedere se la convergenza è uniforme, dobbiamo calcolare il valore massimo di f n. Risulta f n(x) = n + n x + x (n + x)(n + x) x ( n + x) (n + n x + x ) = (n + n x + x ) La funzione risulta pertanto crescente nell intervallo ( n, ). Risulta pertanto: α n = max{ f n (x), x R} = max{ f n ( n), f n ()} = n Pertanto la convergenza di f n a zero risulta uniforme. Riportiamo anche quì ( a titolo indicativo ) il grafico di f n (per esempio per n = ). n 4. Sia In questo caso risulta ( f n (x) = n log + x ), x. n lim f n(x) = f(x) = x x n 4

5 Per vedere se la convergenza è uniforme, dobbiamo calcolare il valore massimo di g n, dove g n (x) = x log ( + x n) Risulta g n(x) = n ( + x/n) n = n n + x = x n + x x La funzione g n risulta pertanto crescente nell intervallo [, + ). Risulta quindi: α n = sup{g n (x), x } = lim g n(x) = + x + Pertanto la convergenza di f n a f non é uniforme. Osserviamo infine che se consideriamo come insieme di definizione di f n l insieme B = [, b] con b >, otteniamo, in questo secondo caso ( α n = max{g n (x), x B} = b n log + b ) n e α n tende a zero per n che tende all infinito. Pertanto la convergenza di f n ad f su B risulta uniforme.. Alcuni teoremi sulla convergenza uniforme Enunciamo ora alcuni importanti teoremi relativi alla convergenza uniforme.. Teorema sull inversione dei limiti Supponiamo che f n : A R, n N ed f : A R siano funzioni tali che i) f n converge uniformemente ad f su A, ii) n N esiste il limite: Allora: lim f n (x) = L n x x dove x è un punto di accumulazione di A fissato. a) esiste il limite b) esiste il limite di f(x) per x x e risulta: lim L n = L, n lim f(x) = L. x x Da notare che la tesi può essere espressa in maniera più diretta scrivendo: ( ) ( ) lim lim f n (x) = lim lim f n(x) n x x x x n (5) ossia i due limiti per n e per x x si possono scambiare. 5

6 Dimostrazione Per provare la parte a) della tesi, proviamo che la successione {L n } n N è una successione di Cauchy. Dalla definizione () di convergenza uniforme, risulta che: ε > n ε tale che n > n ε si ha f n (x) f(x) < ε x A Ne deriva quindi che se n, m > n ε : f n (x) f m (x) f n (x) f(x) + f(x) f m (x) < ε x A Facendo ora tendere x x, nella relazione precedente, si ottiene: L n L m ε La successione {L n } n N è quindi una successione di Cauchy e pertanto esiste il lim L n = L n Per provare la parte b) della tesi osserviamo che fissato ε >, possiamo scegliere m = m ε N tale che f m (x) f(x) < ε x A (6) L m L < ε (7) Siccome per l ipotesi ii) f m (x) L m per x x, possiamo infine scegliere δ = δ ε >, tale che f m (x) L m < ε x A con < x x < δ (8) Dalle relazioni (6), (7) e (8), possiamo infine ottenere che se x A e < x x < δ: e quindi vale la tesi b). f(x) L f(x) f m (x) + f m (x) L m + L m L < 3 ε. Teorema sulla continuità del limite Supponiamo che f n : A R, n N ed f : A R siano funzioni tali che i) f n converge uniformemente ad f su A, ii) n N la funzione f n è continua in A. Allora anche la funzione limite f è continua in A. ( La convergenza uniforme preserva la proprietá di essere continua ). Dimostrazione Farla per esercizio come corollario immediato del teorema precedente. Osservazione Se la convergenza di f n ad f non é uniforme, allora i due teoremi precedenti in generale non sono veri. Un esempio può essere la seguente successione: f n (x) = e n x x A = [, ] Infatti risulta: { se x (, ] lim f n(x) = f(x) = n se x = 6

7 e quindi f non è continua in x =. Da notare che risulta: ( ) lim lim f n(x) = n x + ) lim lim f n(x) = n x + ( 3. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale Supponiamo che f n : [a, b] R ed f : [a, b] R siano funzioni tali che i) f n converge uniformemente ad f su [a, b], ii) f n é continua in [a, b] n N ; Allora si ha che b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx (9) Si possono quindi scambiare i due simboli di integrale e di limite, infatti la formula precedente puó anche essere scritta nel modo b a ( ) lim f n(x) n Dimostrazione Viene lasciata per esercizio. dx = lim n b a f n (x) dx. Osserviamo che se la convergenza di f n ad f non è uniforme, il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, in generale, non vale. Consideriamo infatti la successione Risulta che D altra parte f n (x) = n x e n x x [, ] lim f n(x) = f(x) = x [, ] n f n(x) = n e n x ( n x ) Pertanto la funzione assume il suo valore massimo nell intervallo [, ], nel punto x = n e risulta n α n = f n ( ) = n e / Ne deriva quindi che lim α n = + n La convergenza di f n a f risulta quindi essere non uniforme. Notiamo infine che risulta x e n f n (x) dx = = ( e n ) 7

8 ossia D altra parte lim n Pertanto in questo caso non vale la (9). f(x) dx = f n (x) dx = dx = Osserviamo infine che è possibile enunciare un teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale con ipotesi più deboli di quelle da noi considerate. Infatti l ipotesi ii) può essere sostituita dell ipotesi: ii ) f n è Riemann-integrabile su [a, b] n N. Allora si può provare che anche f è Riemann-integrabile e vale la (9). 4. Teorema di passaggio al limite per le derivate Supponiamo che f n : [a, b] R, f : [a, b] R e g : [a, b] R siano funzioni tali che i) f n converge uniformemente ad f su [a, b], ii) f n é derivabile in [a, b] con derivata prima continua in [a, b] n N, iii) f n converge uniformemente ad g su [a, b] Allora la funzione f risulta derivabile in [a, b] e vale l uguaglianza f (x) = g(x) x [a, b]. In altre parole si possono scambiare i simboli di limite e di derivata, infatti la relazione f (x) = g(x) può anche essere scritta come ( ) lim f n (x) = lim f n(x) () n n Dimostrazione Usando la formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo scrivere x [a, b]: f n (x) = f n (a) + x a f n(t) dt () Passando al limite in () per n e ricordando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, si ottiene: f(x) = f(a) + x a g(t) dt Siccome la funzione g è continua in [a, b] essendo il limite uniforme di una successione di funzioni continue, dal teorema fondamentale del calcolo integrale si ricava che f (x) = g(x) x [a, b]. Osserviamo che nel teorema precedente, si suppone, oltre alla convergenza uniforme di f n a f, anche la convergenza uniforme di f n a g. Se questa seconda ipotesi non è verificata, il teorema in generale, non vale. Consideriamo ad esempio la successione f n (x) = x + n x [, ] 8

9 Risulta x [, ] lim f n(x) = f(x) = x = x n Inoltre la convergenza è uniforme. Infatti, posto h n (x) = x + n x otteniamo una funzione pari. Se x si ha : h n (x) = x + n x e quindi h x n(x) = < x [, ] x + n Pertanto il massimo valore della funzione h n nell intervallo [, ] è assunto nel punto x = e quindi α n = h n () = n Allora f n converge ad f uniformemente. Osserviamo ora che e quindi f n(x) x = x + n lim f n(x) = g(x) = n x [, ] se x (, ] se x = se x [, ) Essendo f n continua nell intervallo [, ] e g discontinua nello stesso intervallo, per il teorema sulla continuità del limite, la convergenza di f n a g non può essere uniforme. Il teorema non vale, in questo caso, in quanto la funzione limite f non è derivabile nel punto x =. Osserviamo infine che il teorema precedente sul passaggio al limite per le derivate può essere dimostrato senza l ipotesi che le derivate prime f n siano continue, ma in questo caso la dimostrazione risulta più laboriosa..3 Serie di funzioni Data una successione di funzioni f n : A R, possiamo definire la serie di funzioni f n (x) () n= 9

10 considerando, come nel caso delle serie numeriche, la nuova successione (di funzioni): s n : A R, definita da: n s n (x) = f j (x) = f (x) + f (x) f n (x) x A j= La successione {s n } n N viene chiamata serie (di funzioni) o successione delle somme parziali della serie (). Tutte le definizioni ed i teoremi, che avete visti per le serie numeriche, si possono estendere al caso di serie di funzioni ( basta pensare ad x A come ad un parametro fissato ). In particolare, per esempio, diremo che: i) la serie () converge puntualmente in A se converge puntualmente in A la successione di funzioni s n, ii) la serie () converge uniformemente in A se converge uniformemente in A la successione di funzioni s n, iii) la serie () converge assolutamente in A se converge in A la serie di funzioni: f n (x) n= In particolare i teoremi visti nel paragrafo precedente per le successioni di funzioni si possono enunciare anche per le serie di funzioni. Abbiamo quindi: a) Continuitá della somma Supponiamo che f n : A R ed s : A R siano funzioni tali che i) f n é continua in A n N ; ii) la serie () converge uniformemente ad s su A. Allora la funzione s è continua in A. b) Integrazione per serie Supponiamo che f n : [a, b] R ed s : [a, b] R siano funzioni tali che i) f n è continua in [a, b] n N ; ii) la serie () converge uniformemente ad s su [a, b]. Allora si ha che b a s(x) dx = n= b a f n (x) dx Ossia si possono scambiare i due simboli di integrale e di serie, infatti la formula precedente può anche essere scritta nel modo seguente ( b ) b f n (x) dx = f n (x) dx (3) a n= c) Teorema di derivazione per serie Supponiamo che f n : [a, b] R, s : [a, b] R e g : [a, b] R siano funzioni tali che n= a

11 i) f n è derivabile in [a, b] con derivata prima continua in [a, b] n N ; ii) la serie () converge uniformemente ad s su [a, b] ; iii) la serie delle derivate f n converge uniformemente ad g su [a, b] Allora la funzione s risulta derivabile in [a.b] e vale l uguaglianza s (x) = g(x) x [a, b]. In altre parole si possono scambiare i simboli di serie e di derivata, infatti la relazione s (x) = g(x) puó anche essere scritta nel modo seguente: ( ) f n (x) = f n(x) (4) n= Per le serie di funzioni si può definire un ulteriore tipo di convergenza che viene chiamata convergenza totale. In particolare diremo che la serie di funzioni () converge totalmente sull insieme A se, indicato con β n = sup{ f n (x) ; x A} (5) risulta convergente la serie a termini positivi n= β n n= L importanza della definizione precedente deriva dal seguente Teorema Se una serie di funzioni è totalmente convergente, allora è anche uniformemente convergente. Dimostrazione Poniamo: σ n = Risulta x A e n, m N, n < m s n (x) s m (x) = n j= m β j j=n+ e σ = lim n σ n f j (x) m j=n+ β j = σ m σ n Passando al limite per m nella relazione precedente, si ottiene x A e n N : s n (x) s(x) σ σ n Siccome σ n σ, ε > n ε tale che n > n ε s n (x) s(x) < ε x A. Pertanto la serie considerata converge uniformemente. Notiamo che il viceversa del teorema precedente non vale; ossia una serie di funzioni può essere uniformemente convergente senza essere totalmente convergente. Un esempio è dato dalla successione f n : [, ] R, n N il cui grafico è indicato in figura:

12 ( n, n ) n+ n n Analiticamente risulta: Posto se n, m N, n < m si ha: f n (x) = ( n + ) ( x ( f n (x) = ( n ) x ) n + ) n f n (x) = se x [, ] s n (x) = ( ) se x n +, n ( ) se x n, n ( ) n +, n n f j (x) x [, ] j= s n (x) s m (x) = m j=n+ f j (x) n + Pertanto la successione s n converge uniformemente alla funzione D altra parte s(x) = β n = f j (x) x [, ] j= sup f n (x) = x [,] n e quindi la serie considerata non converge totalmente. Consideriamo,per concludere, alcuni esempi. a) Studiare la convergenza della serie di funzioni n= x x n 4 x R

13 Osservando che x x x n 4 = x n x4 n 4 si ottiene, dal criterio del confronto, che la serie considerata converge assolutamente x R. D altra parte f n(x) = x4 + 3 n 4 x 4 x 3 (x n 4 ) = 3 (n + x ) (n x ) (x n 4 ) Pertanto f n assume il suo valore massimo per x = n e risulta β n = f n (n) = n n n 4 = 4 n 3 Allora la serie n= β n é convergente e quindi la serie di funzioni considerata é totalmente convergente e quindi uniformemente convergente. b) Studiare la convergenza della serie di funzioni n= ( ) n x + x La serie considerata é una serie geometrica di ragione q = x + x e quindi é convergente se e solo se q <, ossia se e solo se x (, ). Usando la formula: si ottiene che: Pertanto n h= q h = q qn q s(x) s n (x) = q n q, q = x + x sup{ s(x) s n (x), x (, )} = + e la convergenza della serie di funzioni é solo puntuale e non uniforme nella semiretta (, ). Da notare infine che se a < b <, allora { } x + sup x, x [a, b] = k < e quindi s(x) s n (x) kn k Ne deriva che la convergenza della serie di funzioni considerata é totale e quindi uniforme nell intervallo [a, b]. 3

14 .4 Serie di potenze Tra le serie di funzioni hanno particolare interesse le serie di potenze. Una serie di funzioni si chiama una serie di potenze se la successione f n é del tipo: f n (x) = a n (x x ) n Il punto x é un punto fisso che viene chiamato il punto iniziale della serie di potenze; la successione di numeri reali {a n } viene chiamata la successione dei coefficienti della serie di potenze. Noi permetteremo inoltre che n possa assumere anche il valore n = in modo che il primo termine della serie sia la funzione costante f (x) = a (x x ) = a Pertanto una serie di potenze é una serie di funzioni del tipo a n (x x ) n (6) n= Indicheremo con X l insieme dei numeri reali x in cui la serie di potenze converge, ossia in simboli { } X = x R ; a n (x x ) n converge (7) L insieme X viene chiamato insieme di convergenza della serie (6). sempre X in quanto almeno x X. Definiamo ora il raggio di convergenza di una serie di potenze come n= Da notare che risulta r = sup{ x x ; x X} (8) Da notare che puó essere r = e allora la serie di potenze converge solo per x = x ossia X = {x }; oppure puó essere anche r = + e allora l insieme di convergenza X non é superiormente o inferiormente limitato. Molto importante é il seguente: Teorema Sia a n (x x ) n n= una serie di potenze ed r sia il suo raggio di convergenza. Allora : i) se x R e x x < r, la serie di potenze converge assolutamente in x, ii) se x R e x x > r, la serie di potenze non converge in x, iii) se ρ R é tale che < ρ < r, la serie di potenze converge totalmente nell intervallo chiuso [x ρ, x + ρ]. Dimostrazione Sia x R con x x < r. Dalla definizione (8) di raggio di convergenza e per la seconda proprietà caratteristica dell estremo superiore, esiste y X con x x < y x. Siccome y X, la serie a n (y x ) n n= 4

15 converge si ha lim a n(y x ) n =. n Possiamo quindi trovare un numero positivo k R tale che Risulta allora: dove abbiamo posto a n (y x ) n < k n N a n (x x ) n = a n (y x ) n x x y x q = x x y x Siccome q (, ), per il criterio del confronto, si ottiene che la serie a n (x x ) n n= n k q n è convergente. Abbiamo quindi provato la i). La ii) è immediata. Per ottenere la iii), osserviamo che posto x = x + ρ, risulta x x = ρ < r e quindi per la parte i) la serie di potenze converge assolutamente in x e quindi converge la serie: Basta infine osservare che a n (x x ) n = a n ρ n n= Alcune importanti osservazioni sono le seguenti. n= a n ρ n = sup a n (x x ) n = β n x [x ρ,x +ρ] a) L intervallo (x r, x +r) viene chiamato l intervallo di convergenza della serie di potenze. La parte i) del teorema appena enunciato, afferma che la serie di potenze converge ( in veritá converge assolutamente) se x (x r, x + r), mentre la parte ii) afferma che la serie di potenze non converge se x / [x r, x + r]; b) La parte iii) del teorema precedente afferma che la serie di potenze converge totalmente e quindi anche uniformemente in ogni intervallo chiuso del tipo [x ρ, x + ρ], qualunque sia ρ (, r); c) Da notare anche che la serie di potenze, pur avendo la proprietá enunciata al punto iii) del teorema, puó non convergere né uniformemente né totalmente in tutto l intervallo (grande) (x r, x + r); d) Da notare infine che gli estremi x r e x + r dell intervallo di convergenza sono esclusi sia dall enunciato i) che dall enunciato ii) del teorema precedente. Infatti, come vedremo in seguito con alcuni esempi, il comportamento di una serie di potenze in tali punti dipende dai singoli casi che si stanno considerando e puó essere diverso in esempi diversi. 5

16 Uno strumento molto utile per calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze é il seguente Teorema Sia a n (x x ) n n= una serie di potenze. Supponiamo che esista uno dei seguenti due limiti an = L (9) oppure n lim n a n+ lim = L () n a n ( dove L puó essere un numero reale o anche + ). Allora il raggio di convergenza della serie di potenza risulta essere uguale a : L se L R, L r = + se L = () se L = + Dimostrazione Basta applicare il criterio della radice o del rapporto per le serie numeriche, pensando ad x come ad un parametro fissato diverso da x. Consideriamo per concludere alcuni esempi.. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze: n= La serie di potenze considerata viene chiamata la serie esponenziale ( vedremo in seguito perchè). Risulta : a n+ a n = n! (n + )! = n + Pertanto n x n n! lim a n+ a n = Allora r = +, la serie di potenze converge assolutamente quindi x R e converge totalmente in ogni intervallo del tipo [ ρ, ρ] qualunque sia ρ >.. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze: n= x n n In questo caso risulta: a n+ a n = n n + 6

17 Pertanto lim a n+ a n = lim n n n n + = Allora il raggio di convergenza è r = e quindi la serie converge assolutamente per ogni x (, ). Ora se x =, la serie diventa n= n ed è quindi divergente, mentre se x =, la serie diventa ( ) n n= n e quindi, per il criterio di Leibniz, è convergente. Concludendo l insieme di convergenza della serie considerata è X = [, ). 3. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze: In questo caso risulta: Pertanto n n= x n n a n+ a n = n (n + ) lim a n+ a n = lim n n (n + ) = Allora il raggio di convergenza è r = e quindi la serie converge assolutamente per ogni x (, ). Ora se x =, la serie diventa n= n ed è quindi convergente, mentre se x =, la serie diventa ( ) n n= n che risulta pure convergente ( anche assolutamente ). Concludendo l insieme di convergenza della serie considerata è X = [, ]. 4. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze: In questo caso risulta: Pertanto n n= n x n 3 n + a n+ a n = 3n + 3 n+ + lim a n+ a n = lim Allora il raggio di convergenza è r = 3 x ( 3, 3 ). Ora se x = 3, la serie diventa n 3 n + 3 n+ + = 3 e quindi la serie converge assolutamente per ogni n= 3 n 3 n + ed è quindi divergente ( perché il termine generale non tende a zero ), mentre se x = 3, la serie diventa ( ) n 3 n 3 n + n= che risulta non convergente ( sempre perché il termine generale non tende a zero). Concludendo l insieme di convergenza della serie considerata è X = ( 3, 3 ). 7

18 5. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze: In questo caso risulta: Pertanto n n= a n+ a n lim a n+ a n = lim x n (n + ) log (n + ) = (n + ) log (n + ) (n + ) log (n + 3) n (n + ) log (n + ) (n + ) log (n + 3) = Allora il raggio di convergenza è r = e quindi la serie converge assolutamente per ogni x (, ). Ora se x =, la serie diventa n= (n + ) log (n + ) ed é quindi divergente, mentre se x =, la serie diventa n= ( ) n (n + ) log (n + ) che risulta convergente ( basta applicare il criterio di Leibnitz sulle serie a termini di segno alterno ). Concludendo l insieme di convergenza della serie considerata è X = [, )..5 Serie derivata e regolaritá della somma di una serie di potenze Data una serie di potenze chiameremo serie derivata la serie a n (x x ) n n= n a n (x x ) n () n= cioè la serie di potenze che si ottiene derivando termine a termine la serie di potenze iniziale. Vale il seguente Teorema Una serie di potenze e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza. Dimostrazione Indichiamo rispettivamente con X e X ed r ed r gli insiemi di convergenza e i raggi di convergenza di una serie di potenze e della sua serie derivata e proviamo che deve essere sia r r sia r r. Primo passo r r. Se r = è ovvio che r. Se r >, sia x X {x } e verifichiamo che y R con < y x < x x risulta y X. Infatti: n a n (y x ) n n = y x a n(x x ) n 8 y x x x n

19 Siccome x X, possiamo trovare k > tale che: e quindi posto risulta: a n (x x ) n k, n N q = y x x x n a n (y x ) n k y x n qn Essendo q (, ) la serie n= n qn è convergente e quindi converge pure la serie di termine generale n a n (y x ) n. Ne deriva quindi, per definizione di raggio di convergenza che y x r (3) Siccome la (3) vale y R con y x < x x, si ottiene che vale pure x x r e siccome x è un generico punto di X {x }, si ricava che r r. Secondo passo r r. Se r = è ovvio che r. Se r >, ragionando in maniera simile al passo primo, sia x X {x } e verifichiamo che y R con < y x < x x risulta y X. Infatti: a n (y x ) n n a n (x x ) n n y x y x x x k y x q n Essendo q (, ) la serie n= qn è convergente e quindi converge pure la serie di termine generale a n (y x ) n. Ne deriva quindi, per definizione di raggio di convergenza che y x r (4) Siccome la (4) vale y R con y x < x x, si ottiene che vale pure x x r e siccome x è un generico punto di X {x }, si ricava che r r. Osserviamo ora che se una serie di potenze n= a n (x x ) n ha un raggio di convergenza r positivo, possiamo definire la funzione somma ponendo x (x r, x + r) s(x) = a n (x x ) n n= La funzione somma s risulta derivabile in ogni punto x (x r, x + r). Infatti, fissato un punto x (x r, x + r) e scelto ρ con x x < ρ < r, in vista della convergenza totale nell intervallo [x ρ, x + ρ] sia della serie di potenze considerata che della sua serie derivata, applicando il teorema di derivazione per serie, si ottiene che la somma s é derivabile in x e vale s (x) = n a n (x x ) n Da notare ora che questo ragionamento puó essere ripetuto per ottenere le formule s (x) = n= n (n ) a n (x x ) n n= 9

20 s (x) = n (n ) (n ) a n (x x ) n 3 n=3 e, in generale, per ogni naturale h s (h) (x) = n (n ) (n )... (n h + ) a n (x x ) n h n=h Osserviamo infine che, se nella formula precedente, poniamo x = x, otteniamo s (h) (x ) = h! a h Possiamo quindi concludere tutte queste osservazioni enunciando il seguente: Teorema : Se a n (x x ) n n= é una serie di potenze con raggio di convergenza r positivo, allora la funzione somma s : (x r, x + r) R ha derivata di ogni ordine e x (x r, x + r) e h N vale la formula: s (h) (x) = n (n ) (n )... (n h + ) a n (x x ) n h (5) In particolare n=h s (h) (x ) = h! a h (6).6 Polinomio di Taylor e serie di Taylor In questo paragrafo cercheremo di dare una risposta alla seguente domanda: Data una funzione f : (x r, x + r) R, esiste una serie di potenze tale che f(x) = a n (x x ) n x (x r, x + r)? n= Ossia la funzione f si puó sviluppare in serie di potenze? Dal teorema finale del paragrafo precedente, risulta che condizione necessaria affinché tale serie di potenze esista é che la funzione f abbia derivate di ogni ordine e che tra la funzione f ed i coefficienti {a n } della serie di potenze valgano le relazioni a n = f (n) (x ) n! n N L unica serie di potenze quindi che eventualmente risolve il problema ( di avere come somma la funzione f ) é la seguente serie di potenze n= f (n) (x ) n! (x x ) n

21 Questa serie di potenze viene chiamata la serie di Taylor della funzione f e la somma finita corrispondente, ossia n f (j) (x ) s n (x) = (x x ) j j! j= viene chiamata il polinomio di Taylor di ordine n della funzione f. La differenza f(x) s n (x) viene chiamata resto di Taylor ed indicato col simbolo R n (x, x ), ossia R n (x, x ) = f(x) s n (x) = f(x) n j= f (j) (x ) j! (x x ) j (7) Noi studieremo il comportamento del resto di Taylor sia per x x che per n. In tale studio sarà utile il seguente : Teorema Sia f : (x r, x + r) R una data funzione. Allora: i) se f è derivabilile n volte nell intervallo (x r, x + r), allora: R n (x, x ) lim x x (x x ) n = (8) ii) se f è derivabilile n + volte nell intervallo (x r, x + r) e la derivata (n + )-esima è continua in (x r, x + r), allora il resto si puó esprimere mediante il seguente integrale : R n (x, x ) = ( )n n! j=h x x (t x) n f (n+) (t) dt (9) Dimostrazione Dalla definizione (7), il resto è derivabile n volte in (x r, x + r) e risulta per h n: n R n (h) (x, x ) = f (h) f (j) (x ) (x) j(j )... (j h + )(x x ) j h j! In particolare e R (n ) n (x, x ) = f (n ) (x) R (h) n (x, x ) = h N, h n n j=n f (j) (x ) j! j(j )... (j n + )(x x ) j n+ = = f (n ) (x) f (n ) (x ) f (n) (x )(x x ) Usando pertanto il teorema di De l Hospital, si ottiene: R n (x, x ) lim x x (x x ) n = lim x x R (n ) n (x, x ) = n! (x x ) = ( f (n ) (x) f (n ) ) (x ) lim f (n) (x ) = n! x x (x x )

22 Per ottenere la (9), ragioniamo per induzione su n. Per n =, si ottiene, integrando per parti: R (x, x ) = f(x) f(x ) f (x )(x x ) = x x f (t) dt f (x )(x x ) = x x = (t x) f (t) t=x t=x (t x) f (t) dt f (x )(x x ) = x (t x) f (t) dt x Supponiamo ora che la formula (9) sia vera per un certo valore di n e verifichiamola per n+. Risulta: n+ R n+ (x, x ) = f(x) j= f (j) (x ) j! (x x ) j = R n (x, x ) f (n+) (x ) (n + )! Usando infine l ipotesi induttiva e una integrazione per parti, otteniamo: x (x x ) n+ R n+ (x, x ) = ( )n (t x) n f (n+) (t) dt f (n+) (x ) (x x ) n+ = n! x (n + )! ( = ( )n (t x) n+ t=x f (n+) (t) n! n + ) x (t x) n+ f (n+) (t) dt t=x n + x f (n+) (x ) (n + )! (x x ) n+ = ( )n+ (n + )! Dalla formula (9) deriva il seguente importante: x x (t x) n+ f (n+) (t) dt Teorema Supponiamo che la funzione f : (x r, x + r) R abbia derivate di ogni ordine e che esistano due numeri positivi M ed L tali f (n) (x) M L n n N e x (x r, x + r) (3) allora la funzione f risulta sviluppabile in serie di Taylor nell intervallo (x r, x + r) ossia f(x) = n= f (n) (x ) n! Dimostrazione Dalla (9) e dall ipotesi (3), si ottiene: Ne segue quindi che R n (x, x ) (x x ) n x (x r, x + r) (n + )! M Ln+ x x n+ lim R n(x, x ) = x (x r, x + r) n Osserviamo che una funzione puó essere derivabile infinite volte senza essere sviluppabile in serie di Taylor. Consideriamo infatti la funzione definita da f() = e f(x) = e x se x

23 Questa funzione é derivabile infinite volte e risulta: Ne deriva quindi che n= f (n) () = n N f (n) () n! x n = x R mentre f(x) > x. Pertanto la funzione f non é la somma della sua serie di Taylor. Verifichiamo, ad esempio, che risulta f () = f () =. Infatti: f f(x) f() () = lim = lim x x Ora, facendo la sostituzione x = y, si ottiene: Analogamente si ottiene e x lim x + x e quindi f () =. D altra parte, se x : x e x = lim y y = lim = y + e y y + e y e x lim = x x x Ragionando come prima si ottiene pure f (x) = e x x 3 f () = lim x e x x 4 = Concludiamo il paragrafo, scrivendo lo sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni elementari..7 Alcuni sviluppi in serie di Taylor. La serie geometrica x (, ) abbiamo x = x n (3). Dalla serie geometrica, con semplici varianti, si ottengono i seguenti sviluppi in serie, sempre validi se x (, ) + x = ( ) n x n (3) n= n= + x = ( ) n x n (33) n= 3

24 3. Integrando per serie gli sviluppi (3) e (33) si ottengono i seguenti sviluppi in serie validi sempre per x (, ) relativi alle funzioni logaritmo ed arcotangente: log ( + x) = arctan x = n= ( ) n= ( ) n xn+ n + n x n+ n + (34) (35) 4. La serie esponenziale Per ogni x R vale : e x = n= x n n! (36) 5. Le funzioni trigonometriche Risultano validi x R i seguenti sviluppi in serie di Taylor : n+ n x sin x = ( ) ( n + )! (37) cos x = n= n= ( ) n x n ( n)! 6. Serie binomiale Se x (, ) e α R, vale il seguente sviluppo in serie di Taylor : (38) ( ) ( + x) α α = x n (39) n n= dove ( α n ) = α (α )(α )... (α n + ) n! Verifichiamo che vale lo sviluppo in serie (39), il meno immediato degli sviluppi in serie ottenuti sopra, che non si può ottenere dal teorema generale sugli sviluppi in serie in quanto le stime richieste sulle derivate successive della funzione f(x) = ( + x) α non valgono. Infatti: e quindi se h > α. f (h) (x) = α (α ) (α ) (α h + )( + x) α h lim f (h) (x) = + x + Osserviamo in primo luogo che la serie di potenze che sta a secondo membro della (39) ha raggio di convergenza r = ( verificarlo per esercizio ) e quindi, se poniamo: s(x) = n= ( α n ) x n x (, ) otteniamo una funzione derivabile infinite volte in (, ). Se indichiamo infine con g(x) = ( + x) α s(x) x (, ) 4

25 Risulta: g (x) = ( + x) α [( + x) s (x) α s(x)] D altra parte, derivando per serie, si ottiene se x (, ): ( ) ( + x) s α ( ) (x) = n x n α + n n n n= e ponendo nelle due somme precedenti rispettivamente h = n e h = n si ottiene: ( ) ( + x) s α [ ( ) ( )] α α (x) = + (h + ) + h x h h + h Osserviamo infine che: ( α (h + ) h + ) + h = ( α h h= ) = (h + ) α (α ) (α h + ) h! n= α (α ) (α h) (h + )! x n α (α ) (α h + ) + h = h! ( ) α [α h + h] = α h Ne possimo concludere che ( + x) s (x) = α s(x) e quindi g (x) = x (, ). Pertanto g(x) = g() = x (, ) e vale la (39)..8 Alcuni esercizi in cui si usa il Polinomio di Taylor. Calcolare il seguente limite lim x Usando la formula di Taylor, possiamo scrivere Si ottiene quindi x sin x x arctan x sin x = x x3 6 + R 3(x) arctan x = x x3 3 + R 3(x) x x sin x x arctan x = 6 R 3(x) x 3 3 R 3(x) = 3 6 R 3(x) x 3 3 R 3(x) x 3 e ricordando la prima proprietá del resto nella formula di Taylor, si ha che lim x x sin x x arctan x = 3 6 =. Calcolare il seguente limite Ricordando le formule di Taylor e x x sin x x lim x cos x e x = + x + x + R (x) 5

26 si ottiene Pertanto e x x sin x x cos x cos x = x + R (x) = e x x sin x x lim x cos x 3 x + R (x) R 3(x) x x R (x) = Determinare a R ( se esiste ), tale che il seguente limite esista finito : Usando la formula lim x (a x) sin x x x 4 ( + y) / = + y 8 y + R (y) e la formula per il seno con un termine in piú, ossia si ottiene : sin x = x x3 6 + x5 5! + R 5(x) (a x) sin x x = a x 8 a4 x 4 + R (a x ) + x 6 x4 5! R 5(x) = x = ( ) ( 3 a x 8 a4 + ) x 4 + 5! R (a x ) + R 5(x) x Deve quindi essere a = 3. In tal caso il limite risulta lim x (a x) sin x x x 4 ( = 7 + ) 4. Trovare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(x) = arcsin x x (, ). Osserviamo che risulta e quindi dalla serie binomiale, ottengo f (x) = Integrando per serie si ottiene infine f (x) = n= f(x) = arcsin x = x ( n n= ( n ) ( ) n x n ) n+ n x ( ) n + 6

27 Da notare che se n risulta: ( ) ( ) n ( ) ( 3) ( 5)... ( n + ) ( n ) = n n = n! n n! Vale pertanto la seguente formula di Taylor per la funzione arcoseno.9 Alcuni esercizi di ripasso arcsin x = x + x x5 + R 5 (x). Studiare la convergenza uniforme della seguente successione di funzioni: Risulta : f n (x) = n x n ( x 4) x [, ] lim f n(x) = x [, ] n Per vedere se la convergenza a zero é uniforme, dobbiamo trovare il massimo valore di f n in [, ]. Risulta: f n(x) = n [ n x n ( x 4) 4 x n x 3] = n x n ( n (n + 4)x 4) Il punto di massimo é quindi x n = 4 n n+4 e il valore massimo di f n é dato da Ne deriva quindi che ( ) n/4 ( n α n = f n (x n ) = n n ) ( = + 4 ) n/4 4 n n + 4 n + 4 n n + 4 lim α n = + n Allora la convergenza di f n a zero non é uniforme.. Studiare la convergenza della serie di funzioni n= n x n 3 + x 3 x [, + ) Usando il criterio del confronto, si ottiene se x > ( ) n x n 3 + x 3 = x n + x3 n 3 La serie si comporta quindi come la serie n= pertanto risulta convergente x [, + ). Per vericare se la convergenza é totale, indichiamo con f n (x) = n x n 3 + x 3 7 n

28 e osserviamo che: f n(x) = n x(n3 + x 3 ) n x 3 x (n 3 + x 3 ) = n4 x n x 4 (n 3 + x 3 ) = n x( n3 x 3 ) (n 3 + x 3 ) Ne possiamo concludere che la funzione f n assume il suo massimo valore nell intervallo [, + ) nel punto x = n 3 e tale valore massimo vale f n (n 3 ) = n n n 3 + n 3 = Ne deriva quindi che la convergenza non é totale su [, + ). Notiamo peró che se x [, b] dove b é un qualunque numero positivo, allora se n é sufficientemente grande il modo che la funzione f n sia crescente nell intervallo [, b] allora il valore massimo di f n viene assunto in x = b e risulta f n (b) = n b n 3 + b 3 e quindi la convergenza risulta totale ( e quindi uniforme ) su [, b]. 3. Trovare l insieme di convergenza della serie di potenze Essendo n= a n+ lim = lim n a n n n x n n log (n + ) n n + log (n + ) log (n + ) = il raggio di convergenza della serie di potenze considerata é r =. Inoltre se x =, la serie diventa n log (n + ) n= che risulta essere divergente. Infine se x = la serie diventa ( ) n n log (n + ) n= che risulta convergente per il criterio di convergenza per le serie a termini di segno alterno. 4. Trovare l insieme di convergenza delle serie di potenze i) iii) n= n= x n n log (n + ) ii) (n + )x n n= n! x n n + 5 n iv) x n n + log (n + ) In ogni caso, indichiamo con a n i coefficienti delle serie di potenze che considereremo. Per la prima serie, risulta quindi: n= a n+ n log (n + ) lim = lim n a n n n+ log (n + ) = lim log (n + ) n log (n + ) = 8

29 il raggio di convergenza della serie i) é quindi r =. Inoltre se x =, la serie diventa che diverge essendo Infine se x = la serie diventa n= log (n + ) log (n + ) > n + n= ( ) n log (n + ) che risulta convergente per il criterio di convergenza per le serie a termini di segno alterno. L insieme di convergenza della serie i) é quindi [, ). Per la seconda serie, si ha: a n+ lim = lim n a n n n + (n + )! Pertanto r = + e la serie ii) converge x R. Per la terza serie, si ha: a n+ lim = lim n a n n n! n + = lim n n + 5 n n+ + 5 n+ = 5 lim n n + (n + ) = ( ) n 5 + ( ) n+ = Pertanto r = 5. Inoltre se x = 5 e x = 5 si ottengono rispettivamente le due serie n= 5 n n + 5 n e n= ( ) n 5 n n + 5 n e nessuna di queste due serie converge perché il termine generale non tende a zero. L insieme di convergenza della serie iii) é quindi ( 5, 5). Infine per la quarta serie, risulta quindi: a n+ n + log (n + ) lim = lim = n a n n n + log (n + ) e il raggio di convergenza della serie iv) é quindi r =. Inoltre se x =, la serie diventa n= che diverge. Infine se x = la serie diventa n= n + log (n + ) ( ) n n + log (n + ) che risulta convergente per il criterio di convergenza per le serie a termini di segno alterno. L insieme di convergenza della serie vi) é quindi [, ). 9

30 5. Calcolare i seguenti limiti: x tan x i) lim x x ( cos x) Per calcolare il primo limite, usiamo i polinomi di Taylor: Si ottiene allora: Pertanto ii) ( log ) + x log ( + x) lim x x 3 tan x = x + x3 3 + R 3(x) cos x = x + R (x) x tan x x ( cos x) = 3 x3 R 3 (x) x ( x R (x) ) lim x x tan x x ( cos x) = 3 Per calcolare il secondo limite, usiamo il polinomio di Taylor: Si ottiene allora: log ( + x) = x x + R (x) Pertanto log ( + x ) log ( + x) = x x4 + R (x ) ) (x x + R (x) = x x4 + R (x ) (x + x4 4 + R (x) x 3 + x R (x) x R (x) = x x4 + R (x ) R (x) x R (x) + x R (x) log ( + x ) log ( + x) lim x x 3 = 6. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine quattro della funzione Risulta f(x) = e sin x f (x) = e sin x cos x, f (x) = e sin x ( cos x sin x ) f (x) = e sin x ( cos 3 x sin x cos x sin x cos x cos x ) = = e sin x ( cos 3 x 3 sin x cos x cos x ) ) = f (4) (x) = e sin x ( cos 4 x 3 sin x cos x cos x 3 sin x cos x 3 cos x+ 3 sin x + sin x ) = e sin x ( cos 4 x 6 sin x cos x 4 cos x + 3 sin x + sin x ) Possiamo quindi scrivere e sin x = + x + x x4 8 + R 4(x) 3

31 7. Studiare il comportamento della successione di funzioni: f n (x) = n x3 x 4 + n, x Ovviamente la successione ha limite puntuale zero x. Per vedere se la convergenza a zero é uniforme, dobbiamo trovare il valore massimo di f n. Si ottiene: f n(x) = n 3 ( x x 4 + n ) ( x 3 4 x 3 (x 4 + n ) = n x 3 n x 4) (x 4 + n ) Pertanto il punto di massimo é x n = 4 3 n. Come valore massimo otteniamo allora Pertanto e la convergenza di f n a zero non é uniforme. α n = n ( 3 n ) 3/4 3 n + n = (3)3/4 n 4 lim α n = + n. Serie di Fourier Viene chiamata serie di Fourier ( o serie trigonometrica ) una serie di funzioni del tipo a + (a n cos n x + b n sin n x) n= Consideremo anche in questo caso, in analogia con quanto fatto per le serie di potenze, il problema della sviluppabilitá in serie ( di Fourier ) di una data funzione, ossia il seguente problema: Data una funzione f : R R, esiste una serie di Fourier tale che f(x) = a + (a n cos n x + b n sin n x) x R? n= Osserviamo in primo luogo che, siccome le funzioni che intervengono nella definizione di serie di Fourier sono funzioni periodiche ( di periodo π), la funzione f deve essere anch essa periodica di periodo π, ossia f(x) = f(x + π) x R Notiamo che, anche per le serie di Fourier, esiste una relazione tra la funzione f, somma della serie, e i coefficienti {a n } e {b n } della serie di Fourier. Infatti supponiamo che valga l uguaglianza f(x) = a + (a n cos n x + b n sin n x) x R n= 3

32 e che la serie di Fourier a secondo membro converga uniformemente in modo che sia possibile integrare per serie. Risulta allora integrando nell intervallo ( π, π): (Abbiamo usato il fatto che π Ossia π π cos n x dx = π π f(x) dx = π a π a = π sin n x dx = n N ) π π f(x) dx D altra parte, se moltiplichiamo entrambi i membri della uguaglianza f(x) = a + (a n cos n x + b n sin n x) n= per cos h x ( h N numero fissato ) e integriamo per serie sull intervallo ( π, π), otteniamo : + Usando ora la formula π π f(x) cos h x dx = a π π cos h x dx+ π π ) (a n cos n x cos h x dx + b n sin n x cos h x dx π π n= cos n x cos h x = [cos (n + h) x + cos (n h) x] si ottiene subito che: Usando invece la formula: π π { se n h cos n x cos h x dx = π se n = h (4) sin n x cos h x = [sin (n + h) x + sin (n h) x] si ottiene invece che Ne deriva quindi che: ossia π sin n x cos h x dx = n, h N (4) π π π a h = π f(x) cos h x dx = π a h π π f(x) cos h x dx 3

33 Con un ragionamento simile, moltiplicando l uguaglianza f(x) = a + (a n cos n x + b n sin n x) n= per sin h x e integrando per serie e ricordando che: π π { se n h sin n x sin h x dx = π se n = h (4) si ottiene b h = π π Le due successioni {a h } e {b h } cosí ottenute, ossia: π f(x) sin h x dx a = π π π f(x) dx (43) a h = π b h = π π π π π f(x) cos h x dx (44) f(x) sin h x dx (45) vengono chiamati i coefficienti di Fourier della funzione f. Ne deriva quindi che l unica serie di Fourier che eventualmente ha la funzione f come somma é la serie di Fourier i cui coefficienti sono i coefficienti di Fourier di f. Tale serie viene chiamata la serie di Fourier della funzione f. Per studiare il problema della sviluppabilità in serie di Fourier di una funzione periodica ( di periodo π ), avremo bisogno di alcuni risultati preliminari, che ora esporremo. Cominciamo col seguente: Teorema (diseguaglianza di Bessel ) Sia f : [ π, π] R una funzione Riemann integrabile nell intervallo [ π, π] e siano {a n } e {b n } i coefficienti di Fourier di f, allora vale la disuguaglianza, nota col nome di diseguaglianza di Bessel: a + ( a n + b π n) f (x) dx (46) π π n= Una conseguenza importante della diseguaglianza di Bessel é che, essendo il secondo membro della (46) finito, ne deriva che la serie dei quadrati dei coefficienti di Fourier di f é convergente e quindi risulta che lim a n = lim b n = (47) n n ossia, in modo esplicito, π lim n π π f(x) cos n x dx = lim f(x) sin n x dx = (48) n π 33

34 Dimostrazione Indichiamo con e osserviamo che risulta s n (x) = a n + a h cos h x + b h sin h x h= f (x) f(x) s n (x) + s n(x) = (f(x) s n (x)) Integrando sull intervallo [ π, π], ottengo allora: Osserviamo ora che: e quindi D altra parte π π f(x) s n (x) dx π π s n(x) dx π π f (x) dx f(x) s n (x) = a n f(x) + [a h f(x) cos h x + b h f(x) sin h x] + π π h= ( ) a n f(x) s n (x) dx = π + (a h + b h) s n(x) = a 4 + a n h,k= h= n (a h cos h x + b h sin h x)+ h= (a h cos h x + b h sin h x) (a k cos k x + b k sin k x) e quindi integrando e ricordando le relazioni (4), (4) e (4), si ottiene: ( ) π s a n n(x) dx = π + (a h + b h) Risulta quindi π ( ) a n π + (a h + b h) h= h= π π f (x) dx e la disuguaglianza di Bessel si ottiene per n tendente all infinito. Avremo bisogno anche della seguente: Teorema ( Identitá trigonometrica) x R e n N, vale l eguaglianza: ( x ) ( ) n sin + [( cos k x = sin n + ) ] x k= Dimostrazione Ragioniamo per induzione su n N, ricordando che α, β R vale: (49) sin(α + β) + sin(α β) = sin(α) cos(β) 34

35 Se n = si ha: ( x ) ( sin = sin ) + cos x ( x ) + sin ( x ) ( x ) = sin + sin cos x = ( ) 3 x ( x ) sin = sin ( ) 3 x e quindi la (49) vale. Supponiamo ora che l identità valga per un certo numero naturale n. Ottengo: ( x ) ( ) n+ sin + cos k x = ( x ) ( ) n = sin + ( x ) cos k x + sin cos(n + ) x = k= [( = sin n + ) ] ( x ) x + sin cos(n + ) x = [( = sin n + ) ] [( x + sin n + + ) ] [( x sin n + ) ] [( x = sin n + + ) ] x k= Siamo ora in grado di enunciare il teorema di sviluppabilità in serie di Fourier di una funzione periodica. Cominciamo col dare la definizione di funzione regolare a tratti nell intervallo [ π, π]. Diremo che una funzione f : [ π, π] R è regolare a tratti se esiste un numero finito di punti a = π < a < a <... < a n = π tali che in ogni intervallo aperto (a i, a i ) i =,,..., n la funzione f ha derivata prima continua ed inoltre si suppone che esistano finiti i limiti lim x a + i f(x) = f(a i +), lim x a + i f (x) = f (a i +), i =,,..., n Vale il seguente lim x a i f (x) = f (a i ), lim x a i f(x) = f(a i ), i =,,..., n Teorema di sviluppabilitá in serie di Fourier Sia f : R R una funzione periodica di periodo π. Supponiamo inoltre che f sia regolare a tratti nell intervallo [ π, π] ed indichiamo con s(x) = ( ) lim f(x + h) + lim f(x + h) = (f(x+) + f(x )) (5) h + h Allora i) la serie di Fourier di f converge puntualmente x R e risulta s(x) = a + (a n cos n x + b n sin n x) (5) n= 35

36 ii) se f è continua, allora s(x) = f(x) e la convergenza della serie di Fourier a secondo membro di (5) è uniforme su tutto R. Dimostrazione Parte i) Ricordando l espressione analitica dei coefficienti di Fourier di una funzione (vedi (43), (44) e (45) ), si ottiene: = π π π s n (x) = a n + (a k cos kx + b k sin kx) = π k= [ ] n f(t) + (cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = k= = [ ] π n f(t) π + cos k(t x) dt E, usando la sostituzione t x = s, si ottiene: s n (x) = [ ] π+x n f(x + s) π + cos ks ds π x Usiamo ora il seguente semplice risultato la cui verifica viene lasciata per esercizio: se g : R R é una funzione periodica e regolare a tratti in [ π, π], allora a R: π+a π a k= g(t) dt = π π k= g(t) dt ossia l integrale di g é lo stesso su ogni intervallo di lunghezza π. Posso scrivere pertanto: s n (x) = [ ] π n f(x + s) π + cos ks ds Osservando infine che: π π k= π [ ] n + cos ks ds = π Ed usando l identitá trigonometrica, ottengo: Infine, se poniamo: s n (x) s(x) = π + π π G(x, s) = G(x, s) = π π k= [f(x + s) f(x )] [f(x + s) f(x+)] f(x + s) f(x ) sin(s/) f(x + s) f(x+) sin(s/) 36 [ ] n + cos ks ds = k= sin (n + /)s sin(s/) sin (n + /)s sin(s/) ds se s ( π, ) se s (, π) ds+

37 possiamo esprimere la differenza s n s come: = π π π s n (x) s(x) = π π π ( G(x, s) sin n + ) s ds = ( s G(x, s) cos sin ns ds + ) π ( s G(x, s) sin cos ns ds = A n + B n π π ) Essendo f una funzione regolare a tratti, si ha che la funzione G(x, ) é continua a tratti in ( π, π) e limitata. Infatti risulta, per esempio: lim s + G(x, s) = lim f(x + s) f(x+) s + sin ( ) s = lim f (x + s) = f (x+) R s + Possiamo in conclusione applicare la relazione (48) e ottenere: lim s n(x) s(x) = lim (A n + B n ) = x R n n Parte ii) Se f é continua, risulta s(x) = f(x) x R. Inoltre, indicando con α n, β n rispettivamente i coefficienti di Fourier di f e osservando che, essendo f continua, si puó integrare per parti, si ottiene n N n : a n = [ π f(x) cos nx dx = π sin nx f(x) π π π n ] π f (x) sin nx dx = π n π Analogamente si ottiene pure: = π f (x) sin nx dx = n π π n β n b n = n α n N n Possiamo quindi concludere, usando la diseguaglianza: a b ( a + b ) valida a, b R, che (α n + β n + n ) a n + b n = n ( α n + β n ) Per la diseguaglianza di Bessel, applicata alla funzione f, possiamo pertanto concludere che la serie ( a n + b n ) n= é convergente e questo implica che la serie di Fourier di f é totalmente convergente e quindi anche uniformemente convergente. 37

38 . Esempi di serie di Fourier Negli esempi che consideremo in seguito, nella maggior parte dei casi, definiremo esplicitamente la funzione f solo nell intervallo [ π, π) ed useremo la notazione f per indicare l etensione di f ottenuta per periodicità: ossia f : R R è l unica funzione definita su tutto R, periodica di periodo π tale che f (x) = f(x) x [π, π). Un osservazione utile prima di considerare i casi numerici, è la seguente : Osservazione importante Se f : [π, π] R è una funzione dispari, cioé se f( x) = f(x), allora a = a n = n e b n = π π f(x) sin n x dx Verifichiamo per esempio la proprietá per a n quando n. Per la proprietá additiva dell integrale, risulta: a n = ( π ) f(x) cos n x dx + f(x) cos n x dx π π Ora, usando la sostituzione x = t nel primo integrale, si ottiene: π f(x) cos n x dx = π f( t) cos ( n t) dt = π f(t) cos n t dt Analogamente si puó verificare che se f è pari, ossia se f(x) = f( x), allora b n = n e. Sia a n = π a = π π π f(x) dx f(x) cos n x dx se x (, π) f(x) = se x =, π, π se x ( π, ) π π La funzione considerata é dispari e quindi basta calcolare i coefficienti {b n }. Risulta b n = π π f(x) sin n x dx = π 38 π sin n x dx =

39 Essendo cos n π = ( ) n, si ottiene = ( cos n x π ) π n b n = 4 π n = ( cos n π) π n se n é dispari se n é pari Otteniamo quindi il seguente sviluppo in serie di Fourier s(x) = f (x+) + f (x ) = 4 π n= sin ( n + ) x n + Da notare che dalla relazione precedente, per x = π, osservando che f( π ) = e che [ sin ( n + ) π ] = sin n π cos π + sin π cos n π = ( )n si ottiene π 4 = ( ) n n + n=. Sia f(x) = x x [ π, π] In questo caso la funzione é pari, pertanto basta calcolare i coefficienti {a n }. π π Si ottiene : a = π a n = π = [ π sin n x x π n n Ne segue quindi che π π π f(x) dx = a = π π f(x) cos n x dx = a n = π ] sin n x dx = [ n π { a n = x dx = π π cos n x n se n é pari se n é dispari 4 n π π = π x cos n x dx = ] π = n ( cos n π) π 39

40 Si ottiene quindi il seguente sviluppo f (x) = π 4 π n= cos ( n + ) x ( n + ) Da notare che la serie a secondo membro é totalmente convergente su tutto R e quindi anche uniformemente convergente. 3. Sia f(x) = x x [ π, π). π π La funzione é dispari e quindi = π [ cos n x n x π b n = π + n π π π f(x) sin n x dx = x sin n x dx = π ] cos n x dx = [ π ( )n + sin n x π n n n Si ottiene quindi il seguente sviluppo in serie n+ sin n x s(x) = ( ) n n= Da notare che se x = π, s(π) = mentre f(π) = π. 4. Sia f(x) = x x [ π, π]. π ] = ( ) n+ n π π 4

41 Si ha Lo sviluppo in serie é π a = x dx = π 3 π π 3 = 3 π a n = π x cos n x dx = [ sin n x π x π ] x sin n x dx = π π n n = 4 [ cos n x x π + π ] cos n x dx = 4( )n n π n n n f (x) = 4( ) n 3 π + cos n x n= Osserviamo infine che per x =, otteniamo la formula π = n= n ( ) n+ Concludiamo il paragrafo sulle serie di Fourier con le seguenti osservazioni: n i) Se f é una funzione periodica regolare a tratti, allora ala serie di Fourier di f converge uniformemente in ogni intervallo [a, b] in cui f é continua. Riportiamo quí la dimostrazione per completezza ( Non verrá esposta a lezione né chiesta all esame) Consideriamo in primo luogo la funzione considerata nell esempio 3): cioé la funzione g che prolunga con periodicitá π la funzione g(x) = x, x [ π, π). Abbiamo visto che risulta g ( ) n+ (x) = n n= sin (n x) (5) Verifichiamo ora che la convergenza della serie di Fourier (5) é uniforme in ogni intervallo del tipo [ a, a], con a (, π). Infatti se m > n: m s m (x) s n (x) = k=n+ ( ) k+ k sin (k x) e, moltiplicando per cos(x/) ed usando la formula sin α cos β = sin(α + β) + sin(α β), si ottiene: m ( ) k+ m ( ) k+ [s m (x) s n (x)] cos(x/) = sin [(k + /) x] + sin [(k /) x] k k k=n+ k=n+ Sostiuendo infine h = k nella prima somma e h = k nella seconda somma, si ottiene : m [s m (x) s n (x)] cos(x/) = h=n+ ( ) h+ h m sin [(h+/) x]+ h=n ( ) h+ h + sin [(h+/) x] = 4

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