INDICE UNITÀ 1 UNITÀ 2 I RADICALI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. 1. La radice n-esima aritmetica... 55

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1 INDICE UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. Le equazioni lineari in due incognite... Applica la teoria.... I sistemi di equazioni.... I princìpi di equivalenza dei sistemi I sistemi lineari di due equazioni in due incognite.... Il metodo di sostituzione.... Il metodo del confronto Il metodo di riduzione Il metodo di Cramer... 9 Applica la teoria I sistemi lineari fratti.... I sistemi lineari letterali... 4 Applica la teoria I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite Risolvere i problemi con i sistemi... 0 Approfondimento Il metodo di Cramer per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite... Esercizi... 4 Scheda di autovalutazione... 4 UNITÀ I RADICALI. La radice n-esima aritmetica... Applica la teoria La proprietà invariantiva dei radicali La semplificazione dei radicali La riduzione dei radicali allo stesso indice... 6 Applica la teoria La moltiplicazione e la divisione dei radicali La moltiplicazione dei radicali La divisione dei radicali Il trasporto di un fattore sotto radice Il trasporto di un fattore fuori radice Applica la teoria La potenza di un radicale La radice di un radicale L addizione e la sottrazione dei radicali 74 Applica la teoria La razionalizzazione dei denominatori delle frazioni Applica la teoria I radicali quadratici doppi Espressioni irrazionali, equazioni, disequazioni e sistemi con coefficienti irrazionali Le potenze con esponente frazionario... 8.I radicali algebrici Esercizi Scheda di autovalutazione...0 III

2 INDICE UNITÀ IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA. Il sistema di riferimento cartesiano... Applica la teoria.... La distanza fra due punti...4. Le coordinate del punto medio di un segmento...6 Applica la teoria La rappresentazione grafica delle funzioni...8. L equazione della retta...0 Applica la teoria Il coefficiente angolare di una retta Le rette parallele Le rette perpendicolari...4 Applica la teoria L equazione della retta di coefficiente angolare assegnato e passante per un punto L equazione della retta passante per due punti...46.le coordinate del punto di intersezione di due rette La distanza di un punto da una retta...49 Applica la teoria...0 Approfondimento La risoluzione grafica delle disequazioni lineari... Esercizi... Scheda di autovalutazione...79 UNITÀ 4 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Che cos è un equazione di secondo grado La risoluzione delle equazioni incomplete...8. Le equazioni pure...8. Le equazioni spurie...8. Le equazioni monomie...8 Applica la teoria La risoluzione delle equazioni complete...8. La formula risolutiva ridotta...88 Applica la teoria Le equazioni letterali...9 Applica la teoria...9. Le relazioni fra soluzioni e coefficienti La scomposizione di trinomi di secondo grado...99 Applica la teoria Le equazioni parametriche...0 Applica la teoria La regola dei segni di Cartesio...06 Approfondimento L insieme dei numeri complessi...08 Esercizi... Scheda di autovalutazione... UNITÀ LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO. Le equazioni di grado superiore al secondo...4. Le equazioni che si risolvono per scomposizione... Applica la teoria...7. Le equazioni binomie Le equazioni trinomie...60 Applica la teoria...6. Le equazioni reciproche...6. Le equazioni reciproche di terzo grado di prima specie...6. Le equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie...6. Le equazioni reciproche di quarto grado di prima specie Le equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie...6. Le equazioni reciproche di quinto grado...66 Applica la teoria...67 Esercizi...68 Scheda di autovalutazione...8 IV

3 INDICE UNITÀ 6 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E DI GRADO SUPERIORE. I sistemi di secondo grado in due incognite...8. I sistemi di secondo grado in più incognite...86 Applica la teoria I sistemi simmetrici Sistemi simmetrici di secondo grado Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo Sistemi riconducibili a sistemi simmetrici...9 Applica la teoria I sistemi omogenei...9. I sistemi generici di grado superiore al secondo...98 Esercizi...00 Scheda di autovalutazione...7 UNITÀ 7 LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado...8 Applica la teoria.... Le disequazioni di secondo grado... Applica la teoria...6. I sistemi di disequazioni...7 Applica la teoria Le disequazioni letterali di secondo grado...4. Le disequazioni frazionarie di secondo grado...4 Applica la teoria Le disequazioni di grado superiore al secondo...46 Applica la teoria...48 Esercizi...49 Scheda di autovalutazione...70 UNITÀ 8 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI E CON VALORI ASSOLUTI. Le equazioni irrazionali...7. Le equazioni irrazionali con radici quadrate...7. La risoluzione di un equazione irrazionale mediante la ricerca delle condizioni di accettabilità delle soluzioni...74 Applica la teoria Le equazioni irrazionali con radici cubiche Altri tipi di equazioni irrazionali...80 Applica la teoria...8. Le disequazioni irrazionali...8 Applica la teoria Il valore assoluto di un espressione algebrica Le equazioni con i valori assoluti Le disequazioni con i valori assoluti...9 Applica la teoria...97 Esercizi...98 Scheda di autovalutazione...40 UNITÀ 9 GEOMETRIA ANALITICA: LA PARABOLA. La parabola...4. L equazione di una parabola in posizione normale...4 Applica la teoria L equazione di una parabola con asse parallelo all asse y Come si scrive l equazione di una parabola...4. Come si disegna una parabola...4 Applica la teoria...4. Le intersezioni di una parabola e una retta Le rette tangenti a una parabola...48 Applica la teoria V

4 INDICE 4. Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado utilizzando la parabola...44 Applica la teoria La risoluzione delle disequazioni di secondo grado utilizzando la parabola Esercizi Scheda di autovalutazione UNITÀ 0 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA. Il calcolo delle probabilità La definizione classica di probabilità L evento complementare...47 Applica la teoria Gli eventi composti La probabilità totale La probabilità composta Applica la teoria Probabilità e grafi ad albero La probabilità sperimentale o statistica UNITÀ ELEMENTI DI STATISTICA. La statistica Le indagini statistiche...0 Applica la teoria La raccolta dei dati L organizzazione dei dati...08 Applica la teoria...0. Il calcolo della frequenza L elaborazione dei dati Gli indici di posizione centrale Gli indici di variabilità...0 Esercizi... Scheda di autovalutazione...8 UNITÀ IL CALCOLO COMBINATORIO. Che cos è il calcolo combinatorio...9. Le permutazioni di n elementi Le proprietà dei fattoriali...4. Le disposizioni di n elementi...4. Le disposizioni con ripetizione Le combinazioni di n elementi I coefficienti binomiali Le potenze di un binomio...48 Applica la teoria...0. Il calcolo combinatorio e la probabilità... Esercizi...4 Scheda di autovalutazione...6 Esercizi Scheda di autovalutazione...0 SOLUZIONI 64 VI

5 PRESENTAZIONE La nuova edizione di L ora della matematica è rivolta ai bienni della scuola secondaria di secondo grado che svolgono il programma forte di matematica. Il Corso è composto dai seguenti volumi: Algebra Algebra Geometria o Elementi di geometria Rispetto alla vecchia edizione sono state introdotte alcune modifiche. Innanzitutto si è ridotto il numero complessivo di volumi che costituiscono l opera, incorporando alcuni argomenti del vecchio volume Complementi in Algebra. Si è riorganizzato l indice di Algebra e Algebra proponendo nel primo volume la trattazione completa dei numeri, dai naturali ai reali, prima di affrontare l algebra. Le equazioni e le disequazioni di primo grado sono state inserite nel volume per il primo anno lasciando i sistemi di primo grado nel secondo volume insieme a tutto il secondo grado. Oltre ai cambiamenti strutturali si è potenziato l apparato didattico introducendo nelle unità nuove schede di lavoro (Matematica oltre confine, Scheda di autovalutazione) e si è fatto un leggero aggiornamento degli esercizi, soprattutto quelli relativi alla conoscenza e al linguaggio. Infine per ottemperare ai nuovi decreti legislativi si sono spostate on-line alcune sezioni: Il laboratorio (Cabri, Excel e Derive), le unità Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano e Primi elementi di trigonometria, argomenti raramente trattati ma che completano la proposta didattica. La struttura del testo Ogni volume del corso è articolato in Unità, ciascuna delle quali è costituita dalla teoria e dai relativi esercizi. Gli argomenti che costituiscono la teoria sono suddivisi in paragrafi: al termine di ciascuno di essi è proposta una scheda operativa, intitolata Applica la teoria, che fornisce esercizi di primo livello riguardanti i contenuti del paragrafo, per verificare con immediatezza la comprensione dei concetti e la capacità di applicazione delle tecniche operative appena studiate. Al fondo della scheda è riportato il rimando di pagina alla corrispondente sezione di esercizi, per migliorare la fruibilità del testo. VII

6 Caratteristiche principali della trattazione teorica sono: il linguaggio rigoroso ma semplice, per cui ne risulta un esposizione di facile lettura, che favorisce la comprensione; la trattazione sintetica ma completa e rigorosa; gli esempi molto numerosi, allo scopo di chiarire e spiegare le tecniche operative esposte e guidare lo studente alla risoluzione degli esercizi dello stesso tipo; la grafica essenziale e piacevole, utilizzata come strumento didattico, per metter in risalto le diverse parti del testo. La sezione Esercizi si apre con una Sintesi della teoria. Gli esercizi sono molto numerosi, graduali e organizzati, per differenti tipologie, in tre parti: Conoscenza e linguaggio, in cui sono proposti esercizi (quesiti, vero/falso, scelta multipla) per verificare le conoscenze teoriche; Applicazioni, in cui sono proposti esercizi per sviluppare la capacità di calcolo e acquisire abilità nell esecuzione delle tecniche e dei procedimenti; Esercizi di riepilogo, con esercizi riassuntivi più articolati e complessi. Nelle Applicazioni sono presenti esercizi svolti, allo scopo di fornire dei modelli per l esecuzione degli esercizi proposti. Tutti gli esercizi hanno la soluzione riportata a fianco, dove possibile, o a fine volume. In alcune unità sono proposte schede interdisciplinari che si chiamano Matematica oltre confine. Hanno la funzione di mettere in relazione la matematica con il modo esterno: per questo vengono proposte selezioni di libri, film, opere pittoriche, spettacoli teatrali che in qualche modo possano avere un aggancio con l argomento dell unità o più in generale con la matematica. È solo un suggerimento che può fornire da stimolo per indurre gli studenti a guardare oltre il libro e la mera applicazione dei concetti studiati. In fondo molte sono le connessioni della matematica con la vita reale anche se spesso non se ne coglie l esistenza continuando a pensare che sia una disciplina arida e fine a se stessa. Certe scelte presentate nelle schede talvolta possono sembrare forzate e poco inerenti. Sia dia spazio alla fantasia e alla voglia di arricchire il proprio bagaglio culturale! Sempre all interno di queste schede si dedica una piccola sezione alla matematica in inglese, per cominciare a famigliarizzare con i termini specifici più comuni che potrebbero ricorrere negli studi futuri. Al fondo di ciascuna unità si trovano le schede di autovalutazione che propongono una prova tipo da superare in vista di una verifica in classe. Come già accennato le schede di Laboratorio sono state spostate on-line. Si ringraziano anticipatamente tutti coloro che, con suggerimenti e osservazioni, intenderanno contribuire al miglioramento dell opera per le future edizioni e soprattutto buon lavoro a tutti gli insegnanti e gli studenti che utilizzeranno questo Corso. Gli Autori VIII

7 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO OBIETTIVI Conoscere i metodi per risolvere i sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite. Saper risolvere i sistemi di primo grado letterali e frazionari. Saper risolvere i sistemi di primo grado di tre equazioni in tre incognite. Saper formalizzare e risolvere i problemi utilizzando i sistemi. LE EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE Forma normale di una equazione lineare in due incognite Dopo aver studiato le equazioni lineari in una sola incognita, occupiamoci delle equazioni lineari in due incognite, cioè delle equazioni in cui le incognite sono due e compaiono solo al primo grado. Ogni equazione lineare in due incognite x e y, se si spostano tutti i termini al primo membro, si può scrivere nella forma: ax by c 0 con a, b, c, R che si dice forma normale dell equazione. L equazione si può anche esplicitare rispetto a una delle due incognite, se si ricava quella incognita. Ad esempio, data l equazione x y 6 0 se si ricava l incognita x, si ottiene la forma esplicita rispetto a x, che è: x y 6 mentre, se si ricava l incognita y, si ottiene la forma esplicita rispetto a y, che è: y x 6 Consideriamo una qualsiasi equazione lineare in due incognite definita in R, ad esempio: x y 0 Se si sostituisce all incognita x il valore e all incognita y il valore 7, si ottiene: e quindi l equazione è verificata: pertanto la coppia ordinata di numeri ( ; 7) è una soluzione dell equazione. Per trovare altre soluzioni dell equazione basta esplicitarla rispetto a una incognita, ad esempio rispetto a y: y x e poi attribuire dei valori reali qualsiasi a x e ricavare i valori corrispondenti di y.

8 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Ad esempio: per x 0 y 0 e quindi (0 ; ) è una soluzione dell equazione; per x 4 y 4 e quindi (4 ; ) è una soluzione dell equazione; per x y 0 e quindi ; 0 è una soluzione dell equazione. Le soluzioni di un equazione lineare in due incognite sono infinite È evidente che, potendo attribuire infiniti valori reali a x, si ottengono infinite soluzioni dell equazione: ciò significa che ogni equazione lineare in due incognite, definita in R, ha infinite soluzioni. APPLICA LA TEORIA Le equazioni lineari in due incognite Scrivi ciascuna delle seguenti equazioni lineari in due incognite in forma normale e in forma esplicita prima rispetto all incognita x poi rispetto all incognita y: x y forma normale:... rispetto a x:... rispetto a y:... y x forma normale:... rispetto a x:... rispetto a y:... y 7x forma normale:... rispetto a x:... rispetto a y:... 4 Indica quali delle seguenti coppie di numeri sono soluzione dell equazione x y 0: ( ; ) (0 ; ) (0 ; ) ( ; ) ( ; ) alla pagina altri esercizi

9 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI Consideriamo due qualsiasi equazioni nelle incognite x e y definite in R, ad esempio: x y e x y 6 ciascuna delle quali ha infinite soluzioni, che sono delle coppie ordinate di numeri reali. Se vogliamo stabilire quali particolari coppie sono contemporaneamente soluzioni di entrambe le equazioni, scriviamo le due equazioni riunendole in una parentesi graffa: x y x y 6 in una scrittura che si dice sistema delle due equazioni. Sistema di equazioni DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente, allo scopo di determinare le loro soluzioni comuni. Risolvere un sistema di equazioni significa quindi determinare le soluzioni che verificano tutte le equazioni che lo compongono e perciò l insieme delle soluzioni di un sistema è l intersezione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna delle sue equazioni. Un sistema di equazioni può essere: determinato, se ha un numero finito di soluzioni; indeterminato, se ha infinite soluzioni; impossibile, se non ha alcuna soluzione. Grado di un sistema DEFINIZIONE Si dice grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Ad esempio il sistema di due equazioni in due incognite: x x 6 x y è di sesto grado, perché la prima equazione è di terzo grado e la seconda equazione è di secondo grado. Sistemi equivalenti DEFINIZIONE Due sistemi di equazioni nelle stesse incognite che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti. I procedimenti di risoluzione dei sistemi di equazioni, che sono diversi e che studieremo in seguito, consistono tutti, come nel caso delle equazioni, nel trasformare il sistema da risolvere in sistemi equivalenti più semplici, composti cioè da equazioni più semplici, fino a ottenere un sistema così semplificato da poter stabilire agevolmente l insieme delle sue soluzioni.

10 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. I PRINCÌPI DI EQUIVALENZA DEI SISTEMI La trasformazione di un sistema di equazioni in un sistema equivalente si effettua utilizzando i princìpi di equivalenza delle equazioni, che già conosciamo, e due teoremi, il principio di sostituzione e il principio di riduzione, che sono detti princìpi di equivalenza dei sistemi. Principio di sostituzione PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE Se in un sistema si ricava una incognita in un equazione e si sostituisce nelle altre equazioni, si ottiene un sistema equivalente. Ad esempio, dato il sistema: x y x y se si ricava l incognita y nella prima equazione e poi si sostituisce nella seconda equazione: y x x y si ottiene un sistema equivalente a quello dato, ma più semplice, perché la seconda equazione ha ora la sola incognita x: y x y x x ( x) x Principio di riduzione PRINCIPIO DI RIDUZIONE Se in un sistema si addizionano o si sottraggono membro a membro due o più equazioni e si sostituisce l equazione così ottenuta a un equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente. Ad esempio, dato il sistema: x y x y se si addizionano membro a membro le due equazioni: x y x y 8x // e poi si sostituisce l equazione ottenuta a una delle equazioni del sistema, ad esempio alla seconda: x y 8x si ottiene un sistema equivalente a quello dato, ma più semplice. 4

11 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ I SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Forma normale I sistemi di equazioni possono essere costituiti da più equazioni di grado diverso in più incognite, ma in questa Unità ci occuperemo solo dei sistemi lineari, cioè dei sistemi di primo grado, costituiti da equazioni di primo grado. In questo paragrafo studiamo i sistemi lineari di due equazioni in due incognite e in un paragrafo successivo studieremo i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Un sistema lineare di due equazioni nelle incognite x e y definite in R si può sempre scrivere nella forma: ax by c ax by c che si dice forma normale e nella quale a, b, c, a, b, c sono numeri reali. Ogni sistema lineare di due equazioni in due incognite può avere una sola soluzione, costituita da una coppia ordinata di numeri reali, oppure può essere indeterminato (infinite soluzioni) o impossibile (nessuna soluzione). Dopo aver ridotto un sistema in forma normale, eseguendo gli eventuali calcoli e applicando i princìpi di equivalenza, è possibile risolverlo con quattro diversi metodi algebrici: il metodo di sostituzione, di confronto, di riduzione e di Cramer. Fra i quattro metodi occorre volta per volta scegliere quello che si ritiene più opportuno per le caratteristiche del sistema e che è di più semplice applicazione.. IL METODO DI SOSTITUZIONE Metodo di sostituzione Dopo aver ridotto il sistema in forma normale, il metodo di sostituzione consiste nell esplicitare una delle due equazioni, quella che appare più semplice, rispetto a una qualsiasi incognita, ad esempio x, e sostituire l espressione trovata nell altra equazione, al posto di x (principio di sostituzione). Così si ottiene un equazione nella sola incognita y, che si può risolvere: il valore di y ottenuto si sostituisce nell espressione di x e si calcola anche il valore di x. ESEMPI x y x y Si riduce il sistema in forma normale: x y x y x y x y Si ricava x nella prima equazione e si sostituisce l espressione ottenuta nella seconda equazione: x y x y x y ( y) y

12 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO La seconda equazione contiene solo l incognita y; si risolve e si calcola y (la prima equazione si riscrive ogni volta tale e quale): x y x y x y x y 9 6y y 8y 9 8y 8 y 8 8 Il valore trovato di y si sostituisce nell espressione di x (cioè nella prima equazione) e si calcola il valore di x: x x x y y y La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ). x y x y 4 0 Si riduce il sistema in forma normale: x y x y x y 0 x y Si ricava y nella prima equazione e si sostituisce nella seconda equazione: y x y x x y x (x ) Si calcola x nella seconda equazione: y x y x y x x 6x x x Si sostituisce il valore di x nella prima equazione e si calcola y: y () y 0 y 9 x x x La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; 9).. IL METODO DEL CONFRONTO Metodo del confronto Dopo aver ridotto il sistema in forma normale, il metodo del confronto consiste nell esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita, ad esempio x, e confrontare le due espressioni trovate, uguagliando una all altra. Si ottiene così una equazione nella sola incognita y, che si risolve, calcolando y; sostituendo il valore di y in una qualsiasi delle due espressioni di x, si calcola anche x. 6

13 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ ESEMPI x 7y x 8y Si ricava x in entrambe le equazioni: x 7y x 7y 8y x 8y x Si uguagliano le due espressioni di x così ottenute e si abbina, come seconda equazione, una delle due espressioni di x: 7y 8y 7y x Si risolve la prima equazione, in cui compare solo y, e si calcola il valore di y: (7y ) (8y ) y 6y 6 6 7y 7y x x y 6y 7y x y 7y x 7y x y Si calcola x sostituendo nella seconda equazione il valore di y: y y y 7 () 7 x x x La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ). x y x y Si riduce il sistema in forma normale: x y x y x y x y 7

14 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si ricava y in entrambe le equazioni: y x y x x y x y Si uguagliano le due espressioni ottenute e si abbina, come seconda equazione, la prima espressione di y (che è la più semplice): x x y x Si risolve la prima equazione, in cui compare solo l incognita x: ( x) x 4x x y x y x x 4x x x y x y x y x Si sostituisce il valore di x nella seconda equazione e si calcola il valore di y: x x x y y y La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ).. IL METODO DI RIDUZIONE Metodo di riduzione ESEMPI Dopo aver ridotto il sistema in forma normale, si può applicare il metodo di riduzione, detto anche metodo della combinazione lineare: esso consiste nel rendere uguali (oppure opposti) i coefficienti di una delle due incognite, ad esempio x, moltiplicando ciascuna equazione per il numero opportuno (secondo principio di equivalenza delle equazioni) e poi di sottrarle (oppure addizionarle) membro a membro (principio di riduzione), ottenendo così un equazione nella sola incognita y. Si calcola il valore di y e si sostituisce in una delle due equazioni del sistema, calcolando anche il valore di x. x y x y I coefficienti dell incognita y sono già opposti, quindi addizionando le due equazioni membro a membro si ottiene un equazione nella sola incognita x: x y x y 4x // 4 8

15 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ All equazione trovata si abbina una qualsiasi equazione del sistema: 4x 4 x y Si calcola il valore di x nella prima equazione e si sostituisce nella seconda equazione: x 4 4 x y x y x y La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ). x y 6x y 9x 7y I coefficienti dell incognita x si possono rendere uguali, se si moltiplica la prima equazione per e la seconda equazione per : 6x y 8x y 9 9x 7y 8x 4y 0 Sottraendo le due equazioni membro a membro si ottiene un equazione nella sola incognita y: 8x y 9 8x 4y 0 // y All equazione così ottenuta, che è già risolta, si abbina una delle equazioni iniziali del sistema e poi si risolve, sostituendo il valore di y: y y 6x y 6x () y y y 6x 6x x La soluzione del sistema è la coppia di numeri 4 ;..4 IL METODO DI CRAMER Consideriamo un generico sistema lineare di due equazioni in due incognite, ridotto in forma normale: ax by c ax by c 9

16 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Determinante dei coefficienti Determinante di x Determinante di y Regola di Cramer Si dice determinante dei coefficienti del sistema lo schema: a b a b che ha nella prima colonna i coefficienti di x delle due equazioni del sistema e nella seconda colonna i coefficienti di y. Il valore del determinante dei coefficienti, che si indica con D, è il numero che si ottiene moltiplicando in croce nello schema, a partire dal primo numero in alto a sinistra, e sottraendo i prodotti ottenuti: D a b abba a b Si dice determinante dell incognita x lo schema: c b c b che nella prima colonna ha i termini noti delle due equazioni del sistema e nella seconda colonna i coefficienti di y. Il valore del determinante dell incognita x, che si indica con D x, è il numero che si ottiene moltiplicando in croce nello schema, come nel caso precedente: D x c b cbbc c b Si dice determinante dell incognita y lo schema: a c a c che ha nella prima colonna i coefficienti dell incognita x delle due equazioni del sistema e nella seconda colonna i termini noti. Il valore del determinante dell incognita y, che si indica con D y, è il numero che si ottiene moltiplicando in croce nello schema, come per i determinanti precedenti: D y a c acca a c Utilizzando il determinante dei coefficienti e i determinanti delle due incognite, si può risolvere un qualsiasi sistema lineare di due equazioni in due incognite, applicando il seguente teorema, detto regola di Cramer. TEOREMA Per risolvere un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x e y, ridotto in forma normale, si calcolano i valori del determinante D dei coefficienti e dei determinanti D x e D y delle incognite: ) se D 0 x D x il sistema è determinato e la sua soluzione è: D y D y ) se D 0 D il sistema è indeterminato se D x 0 oppure D y 0; il sistema è impossibile se D x 0 oppure D y 0. La regola di Cramer si può facilmente dimostrare. Se infatti consideriamo il sistema ridotto in forma normale: ax by c ax by c 0

17 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ possiamo risolverlo con il metodo di riduzione, ad esempio moltiplicando la prima equazione per b e la seconda per b ed eliminando così l incognita y, dopo aver sottratto membro a membro: abx bby cb abx bby cb abx abx cbcb da cui si ottiene: (ab ab) x cbcb cb cb x a b ab che altro non è se non la soluzione x D x stabilita dalla regola di Cramer. D Operando in modo analogo sul sistema con il metodo di riduzione si ottiene anche: ac ac y a b ab che è proprio la soluzione y D y stabilita dalla regola di Cramer. D Risolviamo due sistemi lineari di due equazioni in due incognite con il metodo di Cramer. ESEMPI x y 7 (4x y) x Si riduce il sistema in forma normale: x y 7 x y 7 x y 7 8x y x 8x x y x y Si calcola il valore del determinante dei coefficienti: D () Essendo D 0, il sistema è determinato. Si calcolano i valori dei determinanti delle incognite: D x 7 7 () 4 6 D y Si calcola la soluzione del sistema con la regola di Cramer: x D x 6 x D D y D y y 6 La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ).

18 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO (x y ) 6 x y 0 Si riduce il sistema in forma normale: x y 6 6 x y 0 x y 0 x y x y x y Si calcola il valore del determinante dei coefficienti: D () 0 Essendo D 0 il sistema non è determinato. Si calcola il valore del determinante dell incognita x: D x 0 0 () Essendo D 0 e D x 0, applicando la regola di Cramer, il sistema risulta impossibile. APPLICA LA TEORIA I sistemi lineari di due equazioni in due incognite Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo di sostituzione: 4x y 0 x y 0 x y 6 x y 0 Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo del confronto: x y 4 x y 4 x y y 7x 7 0 Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo di riduzione: 7x 6y x 4y 9 6 (x y) y x 4 4 y 6 x y Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo di Cramer: 7 x 7y x 6y 7 8 x y x y y x y alla pagina 7 altri esercizi

19 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ 4 I SISTEMI LINEARI FRATTI Sistemi lineari fratti I sistemi lineari fratti sono i sistemi lineari in cui almeno una delle incognite compare a denominatore, in almeno una delle equazioni. Un sistema lineare fratto, quando si riduce in forma normale, si trasforma in un sistema lineare intero: nel momento in cui si eliminano i denominatori delle equazioni è però necessario stabilire le condizioni di accettabilità delle soluzioni, cioè quali sono i valori che rendono nulli i denominatori e che quindi la soluzione non può assumere. Al termine del sistema occorre verificare che l eventuale soluzione trovata sia compatibile con le condizioni di accettabilità delle soluzioni. ESEMPIO x 0 y y 0 0 x Le condizioni di accettabilità delle soluzioni sono y 0 e x 0. Si riduce il sistema in forma normale: x y 0 x y y x y 0 0 x y 0 x Si risolve il sistema con il metodo di sostituzione, ricavando l incognita x nella prima equazione e sostituendola nella seconda: x y x y x y x y 0 ( y) y 0 6 y y 0 x y x y x y 6y 0 6 6y 6 6 y 6 x () x x y y y La soluzione del sistema è la coppia di numeri ( ; ) ed è accettabile, perché compatibile con le condizioni di accettabilità delle soluzioni.

20 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO I SISTEMI LINEARI LETTERALI Sistemi lineari letterali ESEMPI I sistemi lineari letterali sono i sistemi nelle cui equazioni, oltre alle incognite, compaiono altre lettere (parametri) che rappresentano dei numeri. Un sistema lineare letterale si risolve con i metodi consueti, ma, come nel caso delle equazioni letterali, occorre escludere per i parametri i valori eventuali che fanno perdere significato alle equazioni del sistema (condizioni di esistenza delle equazioni) e inoltre stabilire, con una discussione, per quali particolari valori dei parametri il sistema risulta indeterminato o impossibile. x y a ax (a ) y a Il sistema è già ridotto in forma normale e quindi si può risolvere, ad esempio con il metodo di Cramer. Si calcolano il determinante dei coefficienti e i determinanti delle incognite: D a a a a a D x a a (a ) a a a a a a a a a a a D y a a Il determinante dei coefficienti dipende dal parametro e quindi occorre una discussione: ) Se D 0, cioè a 0 e quindi a il sistema è determinato. Risolvendolo si ottiene: x y D x D D y D a a a ( a) a a a a a a ( a) a a a Soluzione del sistema è la coppia di valori (a ; a). ) Se D 0, cioè a : D x a a 4 0 D y a a 0 4 e quindi il sistema risulta indeterminato. Conclusione: per a il sistema è indeterminato in tutti gli altri casi la soluzione è (a ; a) 4

21 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ x y a (x ) ax ( a) a y y È un sistema letterale fratto, perché ha le incognite nei denominatori. Condizioni di esistenza: a 0 Condizioni di accettabilità delle soluzioni: x e y Si riduce il sistema in forma normale: x y a ( x ) a (x) a ( x) ax y ay a ( y) y y x y ax a ax y ay a ay ax y a x ax y a ax y a ( a) x y a Si risolve il sistema con il metodo di sostituzione, ricavando y nella seconda equazione e sostituendo nella prima: ( a) x y a y a ax x ax a ax a y a ax ( a) x a y a ax ( a) x (a ax) a y a ax x ax a a y a ax Si discute la prima equazione letterale nella sola incognita x: ) se a 0 cioè a la soluzione dell equazione è x a, a che non è accettabile, perché incompatibile con le C.A. Il sistema risulta perciò impossibile; ) se a 0 cioè a l equazione è indeterminata. Il sistema risulta anch esso indeterminato. Conclusione: per a il sistema è indeterminato in tutti gli altri casi il sistema è impossibile

22 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO (a ) x y a a y x a a Condizioni di esistenza: a e a Si riduce il sistema in forma normale: (a ) x y a x (a ) (a ) a (a ) (a ) (a ) y ( a ) (a ) (a ) (a ) x y a x (a a ) a a (a ) y 0 (a ) x y a (a a 4) x (a ) y a a Si risolve il sistema con il metodo di sostituzione, calcolando y nella prima equazione e sostituendo nella seconda: y a ax x (a a 4) x (a ) (a ax x) a a y a ax x a x ax 4x a a x ax a ax 4x a a y a ax x a x 6ax a a a a y a ax x a (a ) x a y a ax x a x 6ax a Si discute la seconda equazione, che ha la sola incognita x: ) se a 0 e a (che è già una condizione di esistenza) la soluzione dell equazione è: a x a (a ) a Sostituendo nella prima equazione del sistema, si ottiene il valore di y: a y a ax x y a a a x a x a y a a y a a x a x a 6

23 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ ) se a 0 l equazione diventa 0x 0 e quindi è indeterminata. Il sistema risulta anch esso indeterminato. Conclusione: per a e a la seconda equazione perde significato per a 0 il sistema è indeterminato x negli altri casi la soluzione del sistema è a y a APPLICA LA TEORIA I sistemi lineari fratti e letterali Risolvi i seguenti sistemi lineari fratti: y x x 0 y x y 0 x yx y Risolvi i seguenti sistemi lineari letterali: ax y 0 ax y 6 4 x y b 6x y b Risolvi i seguenti sistemi lineari letterali fratti: x ay 0 x a 4 y 0 a 6 x y (a ) y 8 a a alla pagina 7 altri esercizi 7

24 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 6 I SISTEMI LINEARI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite Un sistema può essere costituito da più di due equazioni e ciascuna equazione può avere più di due incognite. In generale, affinché un sistema lineare sia determinato, cioè abbia un numero finito di soluzioni, occorre che il numero delle sue equazioni (tra loro indipendenti) sia uguale al numero delle incognite che in esse compaiono; se il numero delle equazioni supera quello delle incognite, il sistema risulta impossibile, se il numero delle equazioni è inferiore a quello delle incognite, il sistema risulta indeterminato. In questo paragrafo ci occupiamo dei sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, che si risolvono con gli stessi metodi già visti per i sistemi con due incognite: quasi sempre però si utilizzano il metodo di sostituzione e quello di riduzione, mentre per poter applicare il metodo di Cramer occorre saper calcolare i determinanti con nove termini (di cui ci occupiamo nella scheda di Approfondimento). Se un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite è determinato, la sua soluzione è una terna ordinata di numeri. ESEMPI x y z x y z y z 4 Il sistema è già ridotto in forma normale; si risolve con il metodo di sostituzione, ricavando y nella terza equazione e sostituendola nelle altre due equazioni: x y z x (4 z) z x y z x (4 z) z y 4 z y 4 z Si risolve separatamente (per praticità) il sistema formato dalle prime due equazioni nelle sole incognite x e z: x 8 z z x z x 4 z z x z Si usa il metodo di sostituzione: x z x z x z (z ) z z 0 z z 8 z z z x z x x

25 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ Si torna al sistema di tre equazioni, inserendo nella soluzione trovata la terza equazione: z z y y 4 z y 4 z x x x La soluzione del sistema è la terna di numeri ( ; ; ). a b c 9 a b c 9a b c Si usa il metodo di sostituzione, ricavando a nella seconda equazione e sostituendo nelle altre due equazioni: a b c a b c a b c 9 b c b c 9 9a b c 9 (b c ) b c Si considera separatamente il sistema formato dalle due equazioni nelle incognite b e c: b 8 9b 9c 9 b c b 4 6b 8c 8 Si risolve con il metodo di sostituzione: b 4 b 4 b c 8 4 8c 8 8c 8 4 b 4 b 4 8c c 4 Si torna al sistema di tre equazioni: a b c a 4 4 a b 4 b 4 b 4 c 4 c 4 c 4 La soluzione del sistema è la terna di numeri ( ; 4 ; 4). 9

26 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 7 RISOLVERE I PROBLEMI CON I SISTEMI Molti problemi si possono risolvere utilizzando i sistemi di equazioni. Il procedimento è identico a quello descritto nel caso delle equazioni: si scelgono le incognite; si traducono in equazioni lineari le informazioni del problema; si imposta un sistema lineare in più equazioni con più incognite e lo si risolve; si verifica se la soluzione trovata è accettabile. Affinché un problema sia risolvibile con un sistema lineare è comunque necessario che il numero delle relazioni fra le incognite (cioè delle equazioni indipendenti che si possono scrivere) sia uguale al numero delle incognite. Vediamo alcuni esempi di problemi risolti con i sistemi lineari. ESEMPI Trova due numeri la cui somma è 4 e la cui differenza è. Se si indicano con x e y i due numeri, le relazioni espresse dal problema sono: x y 4 e x y per cui si ottiene il sistema di due equazioni in due incognite: x y 4 x y che si può risolvere, ad esempio, con il metodo del confronto: x 4 y 4 y y y y 4 x y x y x y y y 6 y 6 x y x y x 9 I due numeri sono 9 e 6. 0 La somma di due numeri è 4 e il doppio del primo supera di 4 il triplo del secondo. Trova i due numeri. Se si indicano con x e y i due numeri, le informazioni del problema consentono di scrivere il sistema: x y 4 x y 4 Si riduce il sistema in forma normale e si risolve con il metodo di sostituzione: x y 4 x 4 y x y 4 (4 y) y 4

27 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ x 4 y x 4 y 84 y y 4 y y 6 x 4 y x 4 6 x 6 I due numeri sono 6 e 6. y 6 y 6 Il perimetro di un triangolo isoscele è 0 cm e la base misura cm meno della somma dei lati obliqui. Calcola l area del triangolo. Se si indica con x la misura della base e con y la misura del lato obliquo, con le informazioni del problema si può scrivere il sistema: x y 0 x y Si riduce il sistema in forma normale e si risolve con il metodo di riduzione: x y 0 x y x // 48 x 48 x 4 x 4 x y 0 4 y 0 y 0 4 x 4 x 4 y 6 y La base misura 4 cm, il lato obliquo misura cm. Per ottenere la misura dell altezza si applica il teorema di Pitagora: h cm Si calcola l area del triangolo: A b h 4 60 cm h x y 4 La somma di tre numeri è 70: il primo è del terzo e il secondo supera di 4 il doppio del primo. Trova i tre numeri. Se si indicano i tre numeri con x, y, t si ottiene il sistema: x t y x 4 x y t 70 Risolvendo il sistema con il metodo di sostituzione, si ottiene la soluzione x, y 8 e z 0.

28 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO APPROFONDIMENTO Il metodo di Cramer per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite si risolvono quasi sempre con il metodo di sostituzione o con il metodo di riduzione; è però possibile risolverli con il metodo di Cramer (metodo dei determinanti), purché si sappiano calcolare i determinanti con 9 elementi: infatti in questi sistemi i coefficienti delle incognite sono 9 ( per ciascuna incognita) e quindi il determinante dei coefficienti e i tre determinanti delle incognite sono costituiti da tre righe e tre colonne. Vediamo perciò come si calcola il valore di un generico determinante con 9 elementi, ad esempio: a b c A a b c a b c Il procedimento è il seguente: ) si riscrivono la prima e la seconda colonna a destra della terza colonna: a b c a b a b c a b a b c a b ) si moltiplicano i tre termini che stanno su ciascuna delle tre diagonali principali (blu) e si addizionano i prodotti ottenuti: a b c b c a c a b ) si moltiplicano i tre termini che stanno su ciascuna delle tre diagonali secondarie (nere) e si addizionano i prodotti ottenuti: a b c b c a c a b 4) si sottraggono le somme ottenute: A (a b c b c a c a b ) (a b c b c a c a b ) ESEMPIO x y z 4x y z x y z Si calcola il valore del determinante dei coefficienti: D (4 4) ( 8)

29 I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ Si calcolano i valori dei determinanti delle tre incognite (che si ottengono sostituendo la colonna dei coefficienti di ciascuna incognita con i termini noti) riscrivendo ogni volta la prima e la seconda colonna a destra della terza colonna: D x ( ) ( 0) 4 D y (0 0) ( 0 8) 4 D z (0 4) ( 0 0) Applicando la regola di Cramer la soluzione del sistema è: y z x D x D 4 D y D D z D e quindi nel nostro caso: 4 4 x x 4 y y z z Prova a risolvere con il metodo di Cramer questi sistemi: x y 4z x y z x y z x z 0 x y x y z 6 [; ; ] [; 0; ]

30 ESERCIZI UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO SINTESI DELLA TEORIA EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE Le equazioni lineari in due incognite sono le e- quazioni di primo grado in cui compaiono due incognite. La loro forma normale è: ax by c 0 che si può rendere esplicita rispetto a ciascuna incognita. Ad esempio: x y 0 y x forma esplicita rispetto a y x y forma esplicita rispetto a x Ogni equazione lineare in due incognite ha infinite soluzioni, che si ottengono attribuendo a una incognita valori nell insieme Q e ricavando i corrispondenti valori dell altra incognita. Ogni coppia di numeri soluzione di un equazione lineare in due incognite può essere considerata la coppia di coordinate di un punto nel piano cartesiano: quindi l insieme delle soluzioni è rappresentato nel piano cartesiano da una retta. SISTEMA DI EQUAZIONI Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente allo scopo di determinare le loro soluzioni comuni. Risolvere un sistema significa perciò determinare tutte le soluzioni comuni alle equazioni che lo compongono. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo formano. Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Come le equazioni, così anche i sistemi si risolvono trasformandoli in sistemi equivalenti più semplici: queste trasformazioni si realizzano applicando due principi di equivalenza. Primo principio o principio di sostituzione: se in un equazione si ricava un incognita e il suo valore si sostituisce nelle altre equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente. Secondo principio o principio di riduzione: se si addizionano o si sottraggono membro a membro due o più equazioni e si sostituisce l equazione ottenuta a un equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente. SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE I sistemi lineari di due equazioni in due incognite hanno la forma normale: ax by c a'x b'y c' in cui a, b, c, a', b', c' sono numeri appartenenti all insieme Q. I metodi di risoluzione sono quattro: a) metodo di sostituzione che consiste nel ricavare una delle incognite in un equazione e sostituire il suo valore nell altra equazione; b) metodo del confronto che consiste nel ricavare in ciascuna equazione la stessa incognita e uguagliare le due espressioni ottenute; c) metodo di riduzione che consiste nel rendere uguali i coefficienti di una stessa incognita nelle due equazioni, per poi addizionare le due equazioni e ottenere un equazione senza quella incognita; d) metodo di Cramer che consiste nel calcolare i valori dei determinanti dei coefficienti D e delle due incognite D x e D y e da essi ottenere le soluzioni applicando la regola di Cramer. 4

31 ESERCIZI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ LA CONOSCENZA E IL LINGUAGGIO Che cos è la forma normale di un equazione? In che cosa consiste il metodo del confronto? 4 Un equazione lineare in due incognite è un equazione di primo grado in cui compaiono due incognite. V F Quante soluzioni ha un equazione lineare in due incognite? Che cos è un sistema di equazioni? Che cosa significa risolvere un sistema? 4 6 In che cosa consiste il metodo di riduzione? Il metodo di riduzione per la risoluzione di un sistema è anche detto metodo della combinazione lineare V F In un generico sistema lineare ridotto in forma normale: ax by c ax by c 6 Quando un sistema di equazioni si dice determinato? Quando indeterminato? E quando impossibile? qual è il determinante dei coefficienti? E il determinante dell incognita x? E quello dell incognita y? 7 Come definisci il grado di un sistema? 7 In che cosa consiste il metodo di Cramer? 8 Due sistemi di equazioni nelle stesse incognite che hanno le stesse soluzioni si dicono: A equivalenti C equipollenti B simili D indeterminati 8 9 Un sistema lineare fratto è un sistema in cui tutte le incognite compaiono a denominatore. Che cosa sono i sistemi lineari letterali? V F 9 0 Che cosa afferma il principio di sostituzione di un sistema? E il principio di riduzione? Un sistema lineare è un sistema che contiene equazioni di primo grado. V F Quanti e quali metodi conosci per risolvere un sistema? In che cosa consiste il metodo di sostituzione? 0 Un sistema in cui il numero delle equazioni supera il numero delle incognite è: A B determinato indeterminato impossibile simmetrico Un sistema in cui il numero delle equazioni è inferiore al numero delle incognite è: A determinato C impossibile B indeterminato D simmetrico C D LE APPLICAZIONI. Le equazioni lineari in due incognite (teoria pag. ) Scrivi le seguenti equazioni lineari in due incognite in forma normale e in forma esplicita prima rispetto all incognita x e poi rispetto all incognita y: ESERCIZIO SVOLTO x 4 y La forma normale di un equazione si ottiene spostando tutti i termini al primo membro. Quindi si ha: x y 4 0 x y 0

32 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI La forma esplicita rispetto a x si ottiene dall equazione in forma normale ricavando l incognita x: x y x y Analogamente per l incognita y: y x y x x y y x x y y x x y 0; x 4y 6; y 4 x x y 0; x y 9 ; y x x y 0; x y ; y x x y 0; x y ; y x 4 y x x y 0; x y ; y x Stabilisci quali delle coppie di numeri indicate sono soluzioni dell equazione proposta: x y 0 a) (0 ; ) b) (0 ; ) c) ( ; ) d) ( ; ) e) ; x y 0 a) (0 ; ) b) ; 0 c) ; 0 d) ( ; ) e) ; 4 x y 0 a) ( ; ) b) (0 ; ) c) ( ; 0) d) ( ; 6) e) ( ; ) Date le seguenti equazioni lineari in due incognite inserisci al posto dei puntini il valore mancante in modo che la coppia di valori verifichi l equazione: x y 0 x x... x 0 y... y 0 y... x y 0 x 0 x x 6 y... y... y... x y 0 x x... x... y... y y 0 4 x y 0 x... x x 0 y 0 y... y... 6

33 ESERCIZI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ. I sistemi di equazioni (teoria pag. ) Determina il grado dei seguenti sistemi: 6x y 0 x 4xy 0 [ grado] 8 y 0 x y x 0 [ grado] 6 7 x y 0 xy y 0 y 0 x y xy y 0 [0 grado] [4 grado] 9 x 6 xy xy 0 x y xy xy 0 [8 grado]. I sistemi lineari di due equazioni in due incognite (teoria pag. ) Riduci in forma normale i seguenti sistemi: x y 0 x y x y (y x) x (x y) y 4 (x y) y (x y) 7x (x y) ( x) 7x y x (y x) (x y) 6x (6x ) x y x y x y x y x y 8x y 6 4x 4y 0 6x 4y 6 44 (x 4y) y x 9 x 4 (xy y ) x x y y x 7 (x y) x y x y 9x 8y Il metodo di sostituzione (teoria pag. ) Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo di sostituzione: 4 ESERCIZIO SVOLTO x y 0 x y 0 Il metodo di sostituzione consiste nell esplicitare una delle due equazioni (quella più semplice) rispetto a un incognita e sostituire l espressione trovata nell altra equazione che si riduce a un equazione a un incognita. 7

34 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI Riduciamo il sistema in forma normale: x y 0 x y Ricaviamo y nella prima equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione: y x y x y x x (x) x 4x x Il valore trovato di x si sostituisce nella prima equazione: y y x x La soluzione del sistema è pertanto la coppia ;. 46 x 4y 8 x y [( ; )] 0 4x 4y 6 0 x y 4 0 [indeterminato] 47 x y 4 x y [( ; 6)] x y x y 7 [( ; )] 48 y x 4x y 4 [( ; 4)] x y 0 y 6 ( x) [indeterminato] 49 y x 4 7x y [( ; )] 4x 6y 0 4y x [( ; )] 4 ESERCIZIO SVOLTO x y 4 0 x y 7 0 Il metodo grafico consiste nel tracciare nel piano cartesiano le due rette che rappresentano gli insiemi delle soluzioni delle due equazioni del sistema e nel verificare se sono incidenti, parallele o coincidenti. Esplicitiamo ciascuna equazione rispetto all incognita y: y x 4 y 7 x Costruiamo per ciascuna equazione una tabella di valori: x 0 4 y x 4 y 0 4 y 4 4 y 4 0 A (0 ; 4) B (4 ; 0) x 0 y 7 x y 7 0 y 7 y 7 C (0 ; 7) D ( ; ) 8

35 ESERCIZI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ Rappresentiamo nel piano cartesiano i punti A e B e tracciamo la retta r, e i punti C e D e tracciamo la retta s: s u y r C A P B 0 D x Le due rette si incontrano nel punto P di coordinate ( ; ). La soluzione del sistema è pertanto la coppia di numeri ( ; ). x y 00x 60y 80 [impossibile] 60 y 9x 4 x (x 4y ) 7 4 ; 6 x 6y y x 0 0 ; x y 8 8 x y 8 x 6 7 [( ; )] 7 x y (x y) x y [(4 ; )] 6 8y x y y x [( ; )] 8 (x y) 7 4 4y x y 7 ; 4 6 x y x x 4x 6y [( ; )] 9 y x y x x y 4 x y 4 7 ; 0 9

36 UNITÀ I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI Il metodo del confronto (teoria pag. 6) Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo del confronto: 64 ESERCIZIO SVOLTO x y 8 y 6 x Il metodo del confronto consiste nell esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita e nel confrontarle uguagliando una all altra. Si ottiene così un equazione in una sola incognita. Ricaviamo x in entrambe le equazioni: x y 8 x y 8 y x 6 y x Uguagliamo le due espressioni di x così ottenute e abbiniamo come seconda equazione del sistema la prima: y y y 8 y 6y 0 y x y 8 x y 8 x y 8 y 0 y y x y 8 x () 8 x La soluzione del sistema è pertanto la coppia ( ; ). 6 x y 6 6y 4 x 4 ; 4 7 x y 0 x y [( ; 4)] x y 0 4x y 4x y 0 x y 9 0 [( ; )] [( ; 0)] 7 9x 4 y y 4x [( ; )] 68 y x 7 x y 8 [( ; )] (x y) 7 0 (x y) [(4 ; )] x y 4 y x x y x y 9 0 0,4x 0,y, 0,x 0, 0,y [( ; )] [( ; )] [( ; )] 7 76 x y 4 (x y) x y x 4 y 4 [indeterminato] [( ; 8)] 0

37 ESERCIZI I SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO UNITÀ 77 x y (x ) (y ) x 4 8 ; y x 6 6 x 8y 7 x x 6y 6y 7x (4 6x y) x 8 y 4 4 ; [( ; 0)] 80 4 y 4x 6 4 (7y 4) 8 x [( ; 0)] Il metodo di riduzione (teoria pag. 8) Risolvi i seguenti sistemi utilizzando il metodo di riduzione: 8 ESERCIZIO SVOLTO x 6y 0 0 x y 4 Il metodo di riduzione consiste nel rendere uguali (o opposti) i coefficienti di una delle due incognite e poi nel sottrarre (o addizionare) le due equazioni ottenendo un equazione in una sola incognita. Riduciamo il sistema in forma normale: x 6y 0 x y 4 I coefficienti dell incognita x sono già uguali quindi sottraiamo le due equazioni: x 6y 0 x y 4 // y 4 All equazione trovata abbiniamo la prima equazione: y 4 y 4 4 x 6y 0 x 6 La soluzione del sistema è pertanto la coppia 6 ; 4. y 4 y 4 0 x 8 0 x 6