Appare evidente che sebbene si tra tti di due infiniti il loro com portam e nto è assai differe nte. Si tratta di ordini di infinito diverso.

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1 Gli ifiiti DEFINIZIO NE Si dice che ua succe ssioe a è u ifiito se a = + Soo ifiiti le se gue ti succe ssioi a =, co 0 a = a, co a log() (log()), co 0! log(log()) log(log(log())) C oside riam o le succe ssioi a = e b = Proviam o a coside rare alcui valo ri: a = b = a =4 b =4 a =5 b =3 5 5 a =00 b = a =400 b = a =400 b Appare evidete che sebbee si tra tti di due ifiiti il loro com portam e to è assai differe te Si tratta di ordii di ifiito diverso La succe ssioe "te de all'ifiito più ve loce m e te" de lla succe ssioe Siam o quidi codotti alla se gue te de fiizioe DEFINIZIONE Siao a e b ifiiti Si dice che a è u ifiito di ordie ife riore rispe tto a b se

2 a =0 + b Scriverem o i que sto caso a b Vedrem o fra poco che effettivam ete per le successioi precedetem ete cosiderate si ha 3 Si ha Ifatti Più i geerale se 0 si ha Si ha 3 Ifatti + = La se gue te proposizioe m ostra che le pote ze soo ifiiti di ordie supe riore rispe tto ai logaritm i PROPOSIZIONE Sia a u ifiito e siao >0 Allora + log a a Sia a = La pre ce de te proposizioe ci dice log() Q uidi i particola re log() e log() Sia ora a = e Per la precedete proposizioe (co = ) otteiam o Più i geerale se si cosidera a = a co a e si vede che a LA GERARCHIA DEGLI INFINITI R iassum e to abbiam o visto che pre si 0 e a abbiam o

3 log() a Q uesta "scala" di ifiiti può essere estesa a piacim e to Ad esem pio osserviam o che poiché log(a ) + a abbiam o log(log(log())) log(log()) log() I m odo sim ile si verifica che a a a a aa C i soo altre due quatità che dobbiam o collocare e lla scala de gli ifiiti:! e Si dim ostra che va le a! a a Pe r studiare il com portam e to di! i alcue situzioe risulta utile la fo rm ula di Stirlig! e Dati due ifiiti a e b suppoiam o di cofrotarlo calcolado il se gue te ite Se il precedete ite + b risulta allora a è u ifiito di ordie supe riore rispe tto a b, risulta 0 allora a è u ifiito di ordie ife riore rispe tto a b, risulta R, allora a e b soo ifiiti de llo ste sso ordie, o e siste, allora gli ifiiti o soo cofrotabili a Siao a b c z ifiti e suppoia m o che a sia u ifiito di ordie supe riore rispe tto a tutti gli altri Allora a + b + c + + z a Q ue sto fatto di im m e diata dim ostra zioe può e sse re utilizzato pe r se m plificare il calcolo di alcui iti Cosideriam o ad esem pio il seguete ite: + + log() + log() + e osse rviam o che poiché e l um e ratore l'ifiito di ordie m aggiore è m e tre a deom iatore è e per quato prece detem ete detto il ite si riduce a + e

4 Poiché tra e e l'ifiito di ordie supe riore è il se codo il ite risulta 0 Esercizio Calcoliam o = = poiché log + elog = e log ( ) = + Esercizio Calcoliam o e si e + Poiché e = abbiam o e 0 si e e e duque e si e + e e = + Esercizio 3 Ve rificare che log( ) log(e + ) Abbiam o log( ) + log(e + ) = log() = + log(e + e ) + Dove si è usato il fatto che log( + e ) 0 log() = + log ( + e ) + log() Esercizio 4 C ofrotare tra di loro a = e e b = e Calcoliam o e = + e + e e = + e Poiché il precedete ite risulta + + E quidi e e

5 Gli ifiitesimi DEFINIZIO NE Si dice che ua succe ssio e a è u ifiitesimo se a + Le segueti succe ssioi soo ifiitesim i a =, co 0 a = a, co 0 a a = co b ifiito b a = log() a =, co (log()) a =! 0 a = a = log(log()) a = log(log(log())) Abbiam o visto che esistoo differeti ordii di ifiito Allo stesso m odo esistoo differeti ordii di ifiitesim o Cosideriam o ad esem pio i iti + log log = + e

6 + = + = + Le successioi, e soo chiaram ete ifiitesim i I pre cedeti log iti m ostrao che tede a zero più velocem ete di e a sua volta log tede a zero più velocem ete delle altre due Q ue sto giustifica la pro ssim a de fiizio e DEFINIZIONE Sia o a e b ifiite sim i Si dice che a è u ifiite sim o di o rdie supe rio re rispe tto a b se a =0 + b Scriverem o i que sto caso a b 3 Si ha Se 0 si ha OSSERVAZIONE Sia o a e b ifiiti ta li che a b Allo ra b a

7 Poiché log a! abbiam o! a log Dati due ifiitesim i a e b suppoiam o di cofrotarli calcolado il seguete ite: a + b Se il precedete ite risulta a llo ra a è u ifiite sim o di o rdie ife rio re rispe tto a b, risulta 0 a llo ra a è u ifiito di o rdie supe rio re risp e tto a b, risulta R, a llo ra a e b so o ifiite sim i de llo ste sso o rdie, o esiste, allora gli ifiitesim i o soo cofrotabili Siao a b c z ifiitesim i e suppoiam o che a sia u ifiite sim o di o rd ie iferiore rispe tto a tutti gli a ltri Allo ra a + b + c + + z a Q uesto fatto di im m ediata dim ostra zioe può essere utilizzato per sem plificare il calcolo di alcui iti Q uesta proprietà risulta m olto com oda per il calcolo dei iti Cosideriam o ad esem pio il seguete ite + si + log log + + Poiché si a um eratore l'ifiitesim o di ordie iferiore è log Il calcolo del prece dete ite si riduce quidi a

8 + log log + = + log = + log = +