Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 11 Integrazione numerica

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Gennara Barbato
7 anni fa
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1 Lbortorio di Mtemtic Computzionle A.A Integrzione numeric Lb. 11 Integrzione numeric Un metodo di integrzione numerico consiste in un formul esplicit che permett di pprossimre il vlore di un integrle di un funzione. Le formule di integrzione che prenderemo in esme consisternno tutte nel sostituire l funzione di prtenz un polinomio di interpolzione (globle o trtti) e nel sostituire il clcolo dell integrle di prtenz con quello dell funzione pprossimnte. Nel seguito si frà uso dei seguenti integrli come esempi di riferimento π sin(x)dx = 2 cos(x) exp(sin(x))dx = exp(sin(10)) exp( sin(10)) ( 1 x + exp(x) ) dx = ln(2) + exp(2) exp(1) x2dx = rctn(5) rctn( 5) 1

2 1.1 Metodo del punto medio composito Il metodo del punto medio composito permette di pprossimre il vlore di un integrle ttrverso l seguente formul dove I P M C = H m 1 k=0 f(x k ) H = b m, x k = + (2k + 1) H 2, k = 0,..., m 1 ottenut con interpolzione composit con funzioni costnti trtti. Esercizio Si scriv un funzione che, ricevuti in ingresso l funzione f, gli estremi di integrzione (, b) e il numero di sottointervlli m 1, pprossimi f(x)dx con l formul del punto medio composito Si clcoli il grdo di precisione dell formul: si ricord un formul I h h grdo di precisione n 0 se esso è il più grnde intero tle per cui I h (p) = p(x)dx p P n Nell prtic, grzie ll linerità delle formule di qudrtur, è sufficiente verificre se l formul fornisce l integrle estto per gli elementi di un bse di P n (per esempio 1, x,... x n ) e non per x n+1. Si crei uno script dove si definisc un vettore m di numeri di sottointervlli (per esempio m = 10 i, i = 1,..., 4), si pprossimino gli 2

3 integrli degli esempi di riferimento con l function ppen cret per i vri vlori di m e si clcolino gli errori. Si verifichi quindi che l errore è O(h 2 ). 1.2 Metodo dei trpezi composito Mtlb fornisce come metodo di integrzione l funzione I=trpz(x,y), che, dte le scisse x e le ordinte y di un funzione, restituisce l pprossimzione del suo integrle fr min(x) e mx(x) ottenut con il metodo dei trpezi composito, che si relizz ttrverso interpolzione composit con funzioni lineri trtti. Esercizio Si consideri l funzione dt per punti x y Si clcoli stimi il vlore del suo integrle con l funzione trpz Esercizio Si crei uno script dove si definisc un vettore m di numeri di sottointervlli (per esempio m = 10 i, i = 1,..., 4), si pprossimino gli integrli degli esempi di riferimento con il comndo trpz per i vri vlori di m e si clcolino gli errori. Si verifichi quindi che l errore è O(H 2 ), dove H = (b )/m. (Si ricord che i 3

4 nodi per il metodo dei trpezi sono dti d x k = +kh, k = 0, n) Ci sono differenze tr il comportmento dell errore reltivmente i due metodi (punto medio e trpezi) visti? Esercizio Si scriv un function che, prtendo d un numero di sottointervlli m = 1, pprossimi f(x)dx con l formul dei trpezi composit e itertivmente rddoppi il numero di sottointervlli m 2m fino qundo l errore stimto I 2m I m si minore di un tollernz prefisst (per esempio toll = 1e 4). Si pssi inoltre ll funzione un numero mssimo di suddivisioni mmx (per esempio mmx = 15 che permette fino k = 2 mmx intervlli) per evitre che sino effettute troppe iterzioni, e si pssi nche un mpiezz minim δ (per esempio δ = 1e 10) degli intervlli per evitre che diventino troppo piccoli. L funzione deve restituire si il vlore dell stim dell integrle si il numero m di suddivisioni. Si testi il codice sugli esempi di riferimento e si confronti l errore stimto con l errore rele commesso. 1.3 Metodo di Simpson composito Il metodo di Simpson composito permette di pprossimre il vlore di un integrle ttrverso l seguente formul ( ) I SIM C = H 6 dove f(x 0 ) + 2 m 1 k=1 f(x 2k ) + 4 H = b m, x k = + k H 2 m 1 k=0 f(x 2k+1 ) + f(x 2m ), k = 0,..., 2m 4

5 ottenut con interpolzione composit con funzioni prboliche trtti. Esercizio Si scriv un funzione che, ricevuti in ingresso l funzione f, gli estremi di integrzione (, b) e il numero di sottointervlli m 1, pprossimi f(x)dx con l formul di Simpson composit. Si clcoli il grdo di precisione dell formul. Si crei uno script dove si definisc un vettore m di numeri di sottointervlli (per esempio m = 10 i, i = 1,..., 4), si pprossimino gli integrli degli esempi di riferimento con l function ppen cret per i vri vlori di m e si clcolino gli errori. Si verifichi quindi che l errore è O(h 4 ). Utilizzndo l scl logritmic, si confrontino gli errori ssoluti ottenuti con il metodo dei trpezi composito e di Simpson composito, nel clcolo degli integrli degli esempi di riferimento. 1.4 Formul di Simpson dttiv Mtlb offre il comndo I=qud(f,,b,toll) che implement il metodo di Simpson dttivo, dove il vlore in input toll può essere omesso se si us l tollernz di defult pri 1e 6. In un metodo dttivo l suddivisione dell intervllo di integrzione è costruit dl metodo in modo d cercre fornire un errore inferiore d un stim volut. Esercizio Si pprossimino gli integrli degli esempi di riferimento con il comndo Mtlb qud usndo l precisione di defult e 5

6 successivmente un precisione di 1e 10. Si verifichi qul è l errore relmente commesso. Esercizio Si dt l funzione f(x) = x, il cui integrle su [0, 2] vle 2/3 2 3/2. Si riclcolino gli ordini di precisione dei metodi del punto medio, dei trpezi e di Simpson compositi. Come si può spiegre il risultto? Per vere un stim non solo grfic dell ordine dell errore di qudrtur si può procedere notndo che, dto che in scl bilogritmic il grfico dell errore in funzione di H divent un rett, è possibile con p=polyfit(x,y,1) trovre l rett di migliore pprossimzione per i dti (log(h), log(e(h)), dto che p(1) rppresent proprio l stim di tle ordine. Si provi ripetere l esercizio per l funzione f(x) = x 3/2, cercndo di prevedere il risultto. 6

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