Lezione 5. Gli anelli

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1 Lezioe 5 Prerequisiti: Lezioe, Lezioe 3. Gli aelli I questa lezioe diamo il secodo esempio di struttura algebrica astratta, che si aggiuge a quella di gruppo, defiita ella Lezioe. Questa uova struttura, detta aello, iclude quella di gruppo, ed è costituita da u isieme dotato di due operazioi. Storicamete, il cocetto di aello ha origie dagli studi compiuti dai matematici tedeschi Richard Dedekid (83-96) e Erst Eduard Kummer (80-893) itoro a particolari sottoisiemi del campo complesso. Defiizioe 5. Si dice aello ogi tera ordiata ( A, +, ), ove A è u isieme o vuoto, e +, soo operazioi su A verificati le segueti codizioi: (a) ( A, + ) è u gruppo abeliao; (b) per ogi a, b, c A, a ( b c) = ( a b) c ( è associativa); (c) per ogi a, b, c A, a ( b + c) = a b + a c, ( b + c) a = b a + c a ( è distributiva rispetto a +). L'operazioe si dice prodotto o moltiplicazioe; l'operazioe + si dice somma o addizioe. Il gruppo ( A, + ) è detto gruppo additivo dell'aello A. Il suo elemeto eutro viee deotato 0 A (o, più semplicemete, 0) ed è detto zero (talvolta ache elemeto ullo). L'aello si dice commutativo se il prodotto è commutativo. L'aello si dice uitario se esiste u elemeto eutro del prodotto. I tal caso questo viee deotato A (o, più semplicemete, ed è detto uo. Nota Nel seguito, ove o sia ecessario precisare le operazioi, scriveremo semplicemete A al posto di ( A, +, ). Salvo avviso cotrario, la somma sarà sempre idicata co + ed il prodotto co. Per semplicità, spesso il simbolo si omette e si scrive ab al posto di a b. Scriveremo ache a b al posto di a + ( b). Proposizioe 5. (Proprietà dello zero, degli opposti i u aello. Uicità dell'uo.) Sia A u aello. (a) Per ogi a A, a0 = 0a = 0. (b) Per ogi a, b A, ( a) b = a( b) = ab, ( a)( b) = ab. (c) Se l'aello A è uitario, allora l'elemeto uo è uico. Dimostrazioe: (a) Per ogi a A, a0 = a(0 + 0) = a0 + a0,

2 ove la prima uguagliaza segue dal fatto che 0 è idempotete rispetto alla somma (vedi Esercizio.0) e la secoda dalla proprietà distributiva. Segue che a 0 è u elemeto idempotete del gruppo additivo di A, e quidi, per l'esercizio.0, coicide co l'elemeto eutro, ossia a 0 = 0. I maiera aaloga si prova che 0a = 0. (b) Per ogi a, b A, ( a) b + ab = ( a + a) b = 0b = 0, dove abbiamo usato la proprietà distributiva e la parte (a) della Proposizioe. Ciò prova che ( a) b è l'opposto di ab el gruppo ( A, + ). Aalogamete si prova che a( b) è l'opposto di ab. Segue, i particolare, che, per ogi a, b A, ( a)( b) è l'opposto di ( a) b. Ma questo, come abbiamo appea visto, ha come opposto ab. Quidi, per l'uicità dell'opposto, ( a)( b) = ab. (c) Siao,' elemeti eutri del prodotto dell'aello uitario A. Allora = ' = '. Nota L'euciato della Proposizioe 5. (a) si può riassumere affermado che lo zero è elemeto assoluto dell'aello. Esempio 5.3 (a) Soo aelli commutativi uitari gli isiemi ZQRC,,, rispetto alle usuali operazioi di somma e prodotto. (b) Sia X = { x}. L'isieme X può essere dotato di ua struttura di aello (commutativo e uitario) scegliedo come somma e come prodotto l'uica operazioe biaria defiita su X, ossia poedo x + x = x, x x = x. L'aello così otteuto si dice aello baale (o aello ullo). L'uico suo elemeto è, cotemporaeamete, elemeto zero ed elemeto uo. Viceversa, u aello A i cui 0 = è ecessariamete baale. Ifatti, per ogi a A, si ha, i base alla Proposizioe 5. (a), a = a = a0 = 0. Quidi 0 è l'uico elemeto dell'aello A. Diamo, di seguito, alcue defiizioi e proprietà che idividuao particolari elemeti di u aello. Defiizioe 5.4 Sia A u aello uitario. U elemeto a di A si dice ivertibile a destra se esiste u A tale che au =. I tal caso u si dice u iverso destro di A. U elemeto a di A si dice ivertibile a siistra se esiste v A tale che va =. I tal caso v si dice u iverso siistro di A. U elemeto a di A si dice ivertibile se esiste w A tale che aw = wa =. I tal caso w si dice iverso di A. Nota Gli elemeti ivertibili di u aello uitario si chiamao talvolta ache uità. Proposizioe 5.5 (Ivertibilità) I u aello uitario, u elemeto è ivertibile se e solo se è ivertibile sia a destra sia a siistra. I tal caso l'iverso è uico, ed è l'uico iverso destro e l'uico iverso siistro. Dimostrazioe: Sia A u aello uitario e sia a A. Se a è ivertibile, allora, se w è iverso di A, w è ache iverso destro e siistro di A, quidi a è ivertibile a destra e a siistra. Viceversa, suppoiamo che a verifichi quest'ultima codizioe, e siao u u suo iverso destro e v u suo iverso siistro. Allora si ha u = u = ( va) u = v( au) = v = v.

3 Ciò prova che ogi u = v è l'uico iverso destro e l'uico iverso siistro di a, e quidi è l'uico iverso di a. Nota Data l'uicità dell'iverso, per ogi elemeto ivertibile a di u aello uitario, possiamo deotare l'iverso di a co a. Osservazioe 5.6 I u aello commutativo uitario le ozioi di ivertibilità a siistra, ivertibilità a destra ed ivertibilità coicidoo, così come quelle di iverso siistro, iverso destro ed iverso. Ciò o è ecessariamete vero i u aello uitario o commutativo. Esempio 5.7 Nell'aello Z gli uici elemeti ivertibili soo e, che soo oguo iverso di se stesso. Negli aelli QRC,, soo ivertibili tutti gli elemeti diversi da zero. Per il campo complesso si veda, i particolare, la proprietà (f) della Lezioe. Osserviamo che i u aello o ullo lo zero o è mai ivertibile: ifatti, per ogi elemeto a dell'aello si ha che a 0 = 0, e quidi essu elemeto a è iverso di 0. Proposizioe 5.8 (Gruppo delle uità) L'isieme degli elemeti ivertibili di u aello uitario è u gruppo moltiplicativo. Dimostrazioe: Sia A u aello uitario, e sia U l'isieme dei suoi elemeti ivertibili. Allora U è chiuso rispetto al prodotto di A: ifatti, per ogi a, b U, si ha che b a è l'iverso di ab (lo si dimostra come la Proposizioe.8 (b)), e quidi ab U. Quidi il prodotto di A iduce per restrizioe u prodotto su U. Proviamo ora che, rispetto a tale operazioe, U è u gruppo. La proprietà associativa è baalmete verificata, essedo vera per il prodotto di A. L'elemeto eutro è (che appartiee ad U, i quato evidetemete ivertibile). L'esisteza degli iversi è assicurata dalla stessa defiizioe di U. Defiizioe 5.9 L'isieme degli elemeti ivertibili dell'aello A di dice gruppo delle uità di A, ed è deotato U ( A). U ( Z) =, = R, Esempio 5.0 I base a quato visto ell'esempio 5.7, { } U ( Q) = Q, U ( R) = R, U ( C) = C. Defiizioe 5. U aello uitario, o ridotto a u solo elemeto, i cui ogi elemeto o ullo è ivertibile si dice u corpo. U corpo commutativo si dice u campo. I altri termii, u aello (commutativo) uitario A è u corpo (u campo) se U ( A) = A \{0}. Idicheremo A \{0} co A. Esempio 5. L'aello Z o è u campo. Gli aelli QRC,, soo campi. Defiizioe 5.3 Sia A u aello e sia a A, a 0. Allora a si dice u divisore dello zero se esiste b A, b 0 tale che ab = 0 oppure ba = 0. Altrimeti a si dice u elemeto regolare. Nota Alcui autori icludoo lo zero tra i divisori dello zero. Ciò è lecito i base alla Proposizioe 5. (a). Defiizioe 5.4 U aello si dice itegro se è privo di divisori dello zero (equivaletemete, se ogi elemeto diverso dallo zero è regolare).

4 U aello commutativo uitario itegro si dice u domiio d'itegrità. Osservazioe 5.5 U aello A è itegro se e solo se i esso vale la legge di aullameto del prodotto, ossia, per ogi a, b A, ab = 0 a= 0 oppure b = 0. U divisore dello zero è u elemeto che viola la legge di aullameto del prodotto. Esempio 5.6 Gli aelli ZQRC,,, soo domii d'itegrità. Più avati coosceremo molti esempi di aelli o itegri. Proposizioe 5.7 I u aello uitario o ullo, ogi elemeto ivertibile è regolare. Dimostrazioe: Sia A u aello uitario o ullo e sia a A u elemeto ivertibile. Allora, per quato osservato ell'esempio 5.7, a 0. Sia b A tale che ab = 0 oppure ba = 0. Nel primo caso 0 = a 0 = a ( ab) = ( a a) b = b = b. Nella prima e ella terza uguagliaza soo state applicate, rispettivamete, la Proposizioe 5. (a) e la proprietà associativa del prodotto. I maiera aaloga si prova che da ba = 0 segue b = 0. Ciò dimostra che o esiste, per a, u elemeto b verificate la codizioe della Defiizioe 5.3. Quidi a è regolare. Corollario 5.8 Ogi corpo è itegro. Ogi campo è u domiio d'itegrità. Dimostrazioe: I u corpo ogi elemeto o ullo è ivertibile, quidi, i base alla Proposizioe 5.7, ogi elemeto o ullo è regolare. Osservazioe 5.9 L'aello Z è u domiio d'itegrità che o è u campo. Quidi o vale il viceversa del Corollario 5.8. Defiizioe 5.0 Sia A u aello e sia a A. Allora a si dice cacellabile a destra se, per ogi x, y A, xa = ya x= y. Si dice cacellabile a siistra se, per ogi x, y A, ax = ay x = y. Si dice cacellabile se è cacellabile a destra e a siistra. Proposizioe 5. I u aello, u elemeto o ullo è regolare se e solo se è cacellabile. Dimostrazioe: Sia A u aello. Sia a A, a 0. Suppoiamo che a sia regolare. Siao x, y A tali che xa = ya. Allora, per la proprietà distributiva e la Proposizioe 5. (b): 0 = xa ya = xa + ( ya) = xa + ( y) a = ( x y) a. Essedo a regolare, segue che x y = 0, ossia x = y. Ciò prova che a è cacellabile a destra. Aalogamete si prova che a è cacellabile a siistra. Viceversa, suppoiamo che a sia cacellabile. Sia b A tale che ab = 0 oppure ba = 0. Nel primo caso, i base alla Proposizioe 5. (a), si ha ab = a0. Essedo a cacellabile a siistra, segue che b = 0. Aalogamete si deduce che ache el secodo caso b = 0. Ciò prova che a è regolare. Passiamo ora a cosiderare le sottostrutture di u aello. Nella prossima defiizioe, le ozioi di sottoisieme chiuso rispetto ad u'operazioe e di operazioe ristretta (per altro già utilizzate ella dimostrazioe della Proposizioe 5.8) soo aaloghe a quelle a suo tempo defiite, ella Lezioe, per i gruppi (vedi la Defiizioe. e la Defiizioe.4).

5 Defiizioe 5. Sia ( A, +, ) u aello, e sia B u sottoisieme o vuoto di A. Allora B si dice u sottoaello di A se (a) B è chiuso rispetto alle operazioi + e ; (b) B è u aello rispetto alle operazioi + e ristrette. Esempio 5.3 (a) Ogi aello è sottoaello di se stesso (sottoaello totale). Dato u aello A, il suo sottoisieme ridotto al solo zero è u sottoaello di A, detto sottoaello baale o ullo: alla luce dell'esempio 5.3 (b), basta osservare che = 0, 0 0 = 0. (b) Z è u sottoaello di Q, che è u sottoaello di R, che è u sottoaello di C. Come i sottogruppi, ache i sottoaelli si possoo caratterizzare attraverso proprietà diverse (e più agevoli da verificare) rispetto a quelle coteute ella defiizioe. Proposizioe 5.4 (Prima caratterizzazioe dei sottoaelli) Sia A u aello, e sia B u sottoisieme o vuoto di A. Allora B è u sottoaello di A se e solo se (i) B è u sottogruppo del gruppo additivo di A; (ii) B è chiuso rispetto al prodotto di A. Dimostrazioe: Proviamo che B soddisfa le codizioi (a) e (b) della Defiizioe 5. se e solo se soddisfa le codizioi (i) e (ii). Suppoiamo che (i) e (ii) siao verificate. Allora B è chiuso rispetto alla somma di A i virtù della (i). Ioltre, i base alla (ii), è chiuso rispetto al prodotto. Duque B soddisfa la codizioe (a) della Defiizioe 5.. Ora il gruppo additivo di A, per defiizioe, è abeliao. I virtù del Corollario.6, segue che B, dotato della somma ristretta, è ach'esso u gruppo abeliao. Ioltre il prodotto ristretto a B è associativo e distributivo rispetto alla somma ristretta ad A (poiché queste proprietà valgoo per il prodotto e la somma di A). Ciò prova che B è u aello rispetto alle operazioi ristrette, ossia B verifica la codizioe (b) della Defiizioe 5.. Viceversa, suppoiamo che B verifichi le codizioi (a) e (b) della Defiizioe 5.. Allora, i virtù della (a), B è chiuso rispetto alla somma di A, e, i virtù della (b), è u gruppo rispetto alla somma ristretta. Per defiizioe di sottogruppo (Defiizioe.6), ciò sigifica che vale la (i). D'altra parte dalla (b) segue immediatamete la (ii). Questa caratterizzazioe e produce u'altra, più semplice. Corollario 5.5 (Secoda caratterizzazioe dei sottoaelli) Sia A u aello, e sia B u sottoisieme o vuoto di A. Allora B è u sottoaello di A se e solo se (I) per ogi a, b B, a b B; (II) B è chiuso rispetto al prodotto di A. Dimostrazioe: I base alla caratterizzazioe dei sottogruppi (Proposizioe.4), per B la codizioe (i) della Proposizioe 5.4 è equivalete alla (I), metre la (ii) della Proposizioe 5.4 è idetica alla (II). Quidi B verifica le codizioi di questo corollario se e solo se verifica le codizioi della proposizioe precedete, il che, i base alla stessa proposizioe, avviee se e solo se B è u sottoaello di A. Esercizio 5.6 Provare che, per ogi umero aturale, l'isieme dei multipli di è u sottoaello di Z.

6 Svolgimeto: Avevamo già provato, ell'esercizio.7 (a), che questo isieme, allora deotato H, è u sottogruppo del gruppo ( Z, + ). I base alla prima caratterizzazioe di sottoaello, resta da provare che H è chiuso rispetto al prodotto: per ogi a, b Z, si ha ( a)( b) = ( ab) H. Osservazioe 5.7 Per ogi umero aturale, l'aello H o è uitario. Ifatti, per ogi a Z, a o è elemeto eutro del prodotto di H : basta osservare che ( a). Soo ivece uitari H 0 = { 0} e H =Z. Il prossimo euciato si prova come il Corollario.6. Proposizioe 5.8 Ogi sottoaello di u aello commutativo è commutativo. Osservazioe 5.9 No vale l'aalogo della Proposizioe 5.8 per gli aelli uitari: u sottoaello di u aello uitario o è ecessariamete uitario, come abbiamo visto ell'esempio 5.6. Ioltre, se u sottoaello di u aello uitario è uitario, o ha ecessariamete lo stesso elemeto uo: il sottoaello ullo di u aello uitario o ullo ha 0 come elemeto eutro del prodotto, ove, i base all'esempio 5.3 (b), 0. Proposizioe 5.30 Sia A u aello uitario. Se B è u sottoaello di A tale che B, allora U ( B) è u sottogruppo di U ( A). Dimostrazioe: Osserviamo prelimiarmete che U ( B) U ( A) : ifatti ogi elemeto ivertibile i B è ivertibile ache i A, dove ha lo stesso iverso. Ioltre si ha che U ( B), quidi U ( B). I base alla Proposizioe 5.8, U ( B) è u gruppo rispetto al prodotto di B: ma questo è la restrizioe del prodotto di A (e quidi ache la restrizioe del prodotto di U ( A) ). Quidi, i base alla defiizioe di sottogruppo, U ( B) è u sottogruppo di U ( A). Esempio 5.3 Il gruppo U ( Z) = {,} U ( R) = R, che è u sottogruppo di U ( C) = C. è u sottogruppo di U ( Q) = Q, che è u sottogruppo di Defiizioe 5.3 Sia ( K, +, ) u corpo (campo), e sia L u sottoisieme o vuoto di K. Allora L si dice u sottocorpo (sottocampo) di K se (a) L è chiuso rispetto alle operazioi + e ; (b) L è u campo rispetto alle operazioi + e ristrette. Corollario 5.33 Sia K u corpo (campo), e sia L u suo sottocorpo (sottocampo). Allora (a) L è u sottoaello di K; (b) L è u sottogruppo di K. Dimostrazioe: (a) è cosegueza delle Defiizioi 5. e 5.3. L'euciato (b) discede dalla Defiizioe 5. e dalla Proposizioe Diamo ora ua ozioe che corrispode, ell'ambito degli aelli, a quella itrodotta per i gruppi ella Lezioe 3.

7 Defiizioe 5.34 Siao ( A, +, ) aelli. U'applicazioe f : A A si dice u omomorfismo (di aelli) se, per ogi a, b A, f ( a + b) = f ( a) + f ( b) ; ( f ( a b) = f ( a) f ( b). () S, + = ( A, +, ), f si dice edomorfismo. U omomorfismo bigettivo si dice isomorfismo. U edomorfismo bigettivo si dice automorfismo. Ioltre, u omomorfismo iiettivo si dice moomorfismo, ed u omomorfismo suriettivo si dice epimorfismo. I altri termii, u omomorfismo è u'applicazioe tra aelli che rispetta etrambe le operazioi di aello, sia la somma, sia il prodotto. Esempio 5.35 (a) Sia ( A, +, ) u aello. Se B è u sottoaello di A, l'applicazioe di iclusioe isiemistica i : B A è u moomorfismo di aelli. I particolare, l'applicazioe idetica id A di G è u automorfismo dell'aello A. (b) Siao ( A, +, ) aelli, e sia 0 l'elemeto zero di A. Allora l'applicazioe costate f : A A defiita da f ( a ) = 0 per ogi a A è u omomorfismo di aelli. Ifatti, per ogi a, b A, f ( a + b) = 0 = = f ( a) + f ( b); f ( a b) = 0 = 0 0 = f ( a) f ( b). Questo omomorfismo si dice omomorfismo baale o ullo. Osservazioe 5.36 Dalla codizioe ( della Defiizioe 5.34 si evice che ogi omomorfismo di aelli è u omomorfismo di gruppi tra i gruppi additivi degli stessi aelli. Questa costatazioe è utile alle dimostrazioi dei prossimi euciati. Proposizioe 5.37 (Proprietà di coservazioe degli omomorfismi di aelli) Siao ( A e ( A, +, ) aelli e sia f : A A u omomorfismo di aelli. Allora valgoo le segueti proprietà. (a) Se B è u sottoaello di A, allora f ( B è u sottoaello di A. (b) Se B è u sottoaello di A, allora f ( B ) è u sottoaello di A. Dimostrazioe: Proviamo solo (a). I base alla Proposizioe 3.3 (c), f ( B è u sottogruppo del gruppo additivo di A. Ioltre è chiuso rispetto al prodotto: ifatti, per ogi a, b B, ab B (poiché B è u sottoaello di A ), e quidi f ( a) f ( b) = f ( a b) f ( B ). La tesi segue allora dalla prima caratterizzazioe dei sottoaelli. La dimostrazioe di (b) è lasciata per esercizio. Esercizio 5.38 Sia N e sia f : se f è u omomorfismo di aelli. Z Z l'applicazioe defiita da a a per ogi a Z. Dire Svolgimeto: Abbiamo già provato, ell'esempio 3.9, che f è u omomorfismo di gruppi, ossia soddisfa la codizioe ( della Defiizioe Resta da verificare se soddisfa la codizioe ().

8 Si ha, per ogi a, b Z, f ( ab) = ab, metre f ( a) f ( b) = ab. Duque f0( ab) = f0( a) f0( b) = 0, e f( ab) = f( a) f( b) = ab, per cui la codizioe () è soddisfatta quado = 0 oppure =. No è soddisfatta, ivece, quado. I tal caso, ifatti, essa è violata, ad esempio, per a = b =, poiché f ( =, metre f ( f ( =. I coclusioe, f è u omomorfismo di aelli se e solo f è l'automorfismo idetico di Z. se { 0, }: f 0 è l'edomorfismo ullo di, Z Defiizioe 5.39 Siao ( A, +, ) aelli e sia f : A A u omomorfismo di aelli. Allora si dice ucleo di f l'isieme ove 0 è l'elemeto zero di A. Si dice immagie di f l'isieme ({ } ) { } f = f = a A f a = Ker 0 ( ) 0, ( { } Im f = f A = f ( a) a A. I altri termii, il ucleo e l'immagie di u omomorfismo di aelli f soo il ucleo e l'immagie di f come omomorfismo di gruppi. Dalla Proposizioe 5.37 segue immediatamete il prossimo euciato. Corollario 5.40 Siao ( A, +, ) aelli e sia f : A A u omomorfismo di aelli. Allora Ker f è u sottoaello di A ed Im f è u sottoaello di A. Il seguete risultato è ua semplice trascrizioe della Proposizioe 3.8: Proposizioe 5.4 (Caratterizzazioe di moomorfismi ed epimorfismi di aelli) Siao ( A e ( A, +, ) aelli e sia f : A A u omomorfismo di aelli. Allora (a) f è u moomorfismo se e solo se il ucleo di f è il sottoaello baale di A ; (b) f è u epimorfismo se e solo se l'immagie di f è il sottoaello totale di A. Proposizioe 5.4 (Epimorfismi di aelli ed elemeti uo) Siao ( A, +, ) aelli e sia f : A A u epimorfismo di aelli. Allora, se A è uitario, ache A è uitario, e f ( ) =. Ioltre, se a A è ivertibile, ache f ( a ) è ivertibile e f ( a) = f ( a ). A A Dimostrazioe: Sia a A. Poiché f è suriettivo, esiste b A tale che f ( b) = a. Allora a = f ( b) = f ( b ) = f ( b) f ( ) = af ( ), A A A a = f ( b) = f ( b) = f ( ) f ( b) = f ( ) a. A A A Ciò dimostra la prima parte dell'euciato. La secoda parte è lasciata per esercizio.

9 I prossimi euciati soo aaloghi di proposizioi viste ella Lezioe 3. Simili soo, di cosegueza, ache le dimostrazioi, che, pertato, omettiamo. Proposizioe 5.43 (Composizioe di omomorfismi di aelli) Siao ( A, ( A, +, ) 3, + 3, 3) aelli e siao f : A A e g : A A3 omomorfismi di aelli. Allora g f : A A3 è u omomorfismo di aelli. Proposizioe 5.44 (Isomorfismi iversi) L'applicazioe iversa di u isomorfismo di aelli è u isomorfismo di aelli. Defiizioe 5.45 Si dice che l'aello ( A è isomorfo all'aello ( A, +, ) se esiste u isomorfismo di aelli f : A A. I tal caso si scrive A A. Scriveremo ache A A, quado vorremo specificare l'isomorfismo. La precedete defiizioe itroduce, ella classe degli aelli, ua relazioe biaria, detta di isomorfismo. Questa, i realtà, è ua relazioe di equivaleza. Proposizioe 5.46 (Relazioe di isomorfismo) La relazioe di isomorfismo per gli aelli è riflessiva, simmetrica e trasitiva. Come el caso dei gruppi, la relazioe di isomorfismo sigifica idetità di struttura, che, i questo caso, si riferisce a due operazioi: aelli isomorfi soo aelli per i quali soo uguali le tavole di composizioe della somma e le tavole di composizioe del prodotto. I particolare si ha il seguete euciato. Proposizioe 5.47 (Commutatività, uitarietà e isomorfismo di aelli) Siao ( A e ( A, +, ) aelli isomorfi. Allora (a) A è commutativo se e solo se A è commutativo. (b) A è uitario se e solo se A è uitario. Dimostrazioe: (a) si dimostra come la Proposizioe 3.6. Proviamo (b). Per ipotesi esiste u isomorfismo di aelli f : A A, che, i particolare, è u epimorfismo. Se A è uitario, lo è ache A i virtù della Proposizioe 5.4. L'implicazioe cotraria si prova scambiado i ruoli di A e A, e sostituedo f co f. Osservazioe 5.48 Nell'Esempio 3.9 abbiamo visto che il gruppo ( Z, + ) è isomorfo al suo sottogruppo H. Però l'aello (uitario) ( Z, +, ) o è isomorfo al suo sottoaello H, poiché quest'ultimo o è uitario. Ciò si estede a tutti gli H co (vedi Osservazioe 5.7). Esercizio 5.49 Siao ( A, +, ) aelli uitari, e sia f : A A u isomorfismo di aelli. Provare che f ( U ( A )) = U ( A ) e che f iduce per restrizioe u isomorfismo di gruppi f ': U ( A ) U ( A ). f

10 Esercizio 5.50 (a) Provare che l'applicazioe f : C C defiita da z z per ogi z C è u isomorfismo di aelli. (b) Provare che l'isieme H { a b a, b } = + Q è u sottoaello di R. Dire se l'applicazioe f : H C defiita da a + b a + bi per ogi a, b Q è u omomorfismo di aelli. (c) Provare che l'isieme Z[ i] = { a + bi a, b } campo. Dire se è u aello isomorfo a Z. Z è u sottoaello uitario di C. Dire se è u