Figura 11.1: Rappresentazione della risposta in frequenza di un filtro passa basso. La banda a -3 db del filtro è pari a f c. H(f)

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1 apitolo Filtri a microonde apitolo Filtri a microonde B. Neri, F. Baronti Un filtro è solitamente un quadripolo, con una risposta in frequenza che dipende fortemente dalla frequenza. Alle alte frequenze è molto difficile realizzare amplificatori operazionali, per cui non sono realizzati filtri attivi. Si usano invece solo elementi passivi, a parametri concentrati o a parametri distribuiti. Nelle figure.,.,.3 e.4 sono mostrati gli andamenti delle risposte in frequenza di un filtro passa basso, un filtro passa alto, un filtro passa banda e un filtro elimina banda. (f) 3 db f c f Figura.: Rappresentazione della risposta in frequenza di un filtro passa basso. a banda a -3 db del filtro è pari a f c. (f) 3 db f c f Figura.: Rappresentazione della risposta in frequenza di un filtro passa alto. a banda a -3 db del filtro è pari a f c.

2 apitolo Filtri a microonde (f) B 3 db f f f f Figura.3: Rappresentazione della risposta in frequenza di un filtro passa banda. a frequenza centrale del filtro è pari a f. a banda del filtro è pari a B. (f) f B 3 db f Figura.4: Rappresentazione della risposta in frequenza di un filtro elimina banda. a frequenza centrale del filtro è pari a f. a banda del filtro è pari a B. Di seguito è mostrata una procedura che permette, partendo dalle specifiche, di realizzare il filtro, a parametri concentrati o distribuiti. I filtri che saranno analizzati sono privi di perdite; alle alte frequenze è molto difficile raggiungere elevate amplificazioni, per cui i filtri devono introdurre le minor perdite possibili.. Sintesi di un filtro passa basso a risposta in frequenza di un filtro è definita come il rapporto fra i fasori della tensione di uscita e della tensione di ingresso, al variare della frequenza del segnale in ingresso. A radio frequenza si preferisce parlare di rapporto fra potenze piuttosto che fra tensioni. insertion loss (I ) è così definito: I P G P AIN T

3 apitolo Filtri a microonde P AIN I log db P I ( Z Z, Z Z ) S S Solitamente l insertion loss viene dato in db e con Z S Z Z. In figura.5 viene mostrato l andamento dell insertion loss di un filtro passa basso senza perdite. I (db) f Figura.5: Rappresentazione dell insertion loss di un filtro passa basso in decibel. i sono varie tipologie di filtro passa-basso: le più conosciute sono i filtri di Butterworth, detti anche a risposta massimamente piatta, e i filtri di hebyshev. I filtri di Butterworth hanno una risposta in frequenza piatta in banda passante, e con pendenza pari a N db/decade fuori dalla banda (N è l ordine del filtro). I filtri di hebyshev hanno un po di ripple nella banda passante, tuttavia hanno una risposta in frequenza pendenza molto più ripida fuori banda. Il primo passo nella realizzazione di un filtro consiste nella progettazione di un prototipo di filtro passa basso, che è normalizzato in termini di frequenza e di impedenza di carico. Un filtro passa basso realizzato con elementi passivi è costituito da un certo numero di squadre in cascata (figura.6). Z 3 5 V S + _ 4 6 Z Figura.6: Schema di un filtro passa basso del sesto ordine. 3

4 apitolo Filtri a microonde Per dimensionare le induttanze e le capacità del circuito di figura.6 sono disponibili in letteratura delle tabelle, che permettono di progettare filtri di Butterworth, di hebyshev e di altri tipi. In queste tabelle sono contenuti i valori di induttanze e capacità che permettono di realizzare il prototipo del filtro passa basso: questi valori g (tabelle.,. e.3) sono dimensionati per filtri con una pulsazione di taglio ω rad/s, e per impedenze di sorgente Z S Ω e di carico Z g N+, dove g N+ vale sempre ad eccezione del filtro di hebyshev di ordine pari [.]. N g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g g Tabella.: Valori dei componenti per un prototipo di filtro passa basso a risposta massimamente piatta [.]. N g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g g Tabella. Valori dei componenti per un prototipo di filtro passa basso di hebyshev, con ripple di.5 db [.]. N g g g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g g

5 apitolo Filtri a microonde Tabella.3 Valori dei componenti per un prototipo di filtro passa basso di hebyshev, con ripple di 3 db [.]. Innanzitutto occorre scegliere l ordine del filtro; tanto più il filtro deve essere selettivo e tanto più alto deve essere il suo ordine. Per scegliere l ordine del filtro è possibile utilizzare grafici come quello di figura.7, che danno l ordine del filtro a frequenza di taglio ω in funzione dell attenuazione che deve avere ad una pulsazione ω. Figura.7: Grafico che dà l attenuazione del filtro in funzione della frequenza normalizzata per un prototipo di filtro a risposta massimamente piatta [.]. 5

6 apitolo Filtri a microonde Figura.8: Grafico che dà l attenuazione in funzione della frequenza normalizzata per un prototipo di filtro di hebyshev con ripple di.5 db [.]. 6 Figura.9: Grafico che dà l attenuazione in funzione della frequenza normalizzata per un prototipo di filtro di hebyshev con ripple di 3 db [.].

7 apitolo Filtri a microonde A questo punto si disegna il prototipo del filtro passa basso, con un numero di componenti pari all ordine N trovato con i grafici come quelli di figura.7,.8 e.9, e di valore pari a quello indicato da tabelle come la tabella. e.. Il filtro così ottenuto ha un limite superiore di banda taglio ω rad/s, ed è realizzato per un impedenza di sorgente e di carico Z Z Ω. A questo punto occorre denormalizzare il filtro per impedenze ZS Z Z : i nuovi valori di induttanze e capacità e ( è l indice del componente) sono trovati a partire da quelli del prototipo in questo modo: S Z Z Adesso occorre denormalizzare il filtro alla frequenza di interesse ω ω. Per cambiare la frequenza di taglio di un prototipo di filtro passa basso, occorre che venga ω scalata la dipendenza in frequenza del filtro di un fattore. Dunque le ω ω reattanze del filtro ottenuto finora dove al posto di ω si deve mettere: ω e ω devono essere sostituite da reattanze ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω dunque: ω Z ω Z ω Z ω ω ω Z È importante sottolineare come dimensionalmente questa equazione non è corretta. Perciò tutte le equazioni per trovare i valori di capacità e di induttanze che saranno mostrate in questo capitolo possono risultare dimensionalmente scorrette; queste equazioni vanno intese con il solo scopo di fornire i valori delle capacità e delle induttanze per realizzare i filtri desiderati. 7

8 apitolo Filtri a microonde Esempio: si supponga di voler realizzare un filtro passa basso a risposta massimamente piatta con limite superiore di frequenza f Gz e una attenuazione pari a db ad una frequenza f Gz; si vuole trovare l ordine N che il filtro deve avere per soddisfare la specifica richiesta. f f Osservando il grafico di figura.7 si può vedere come per soddisfare la specifica di un attenuazione pari ad almeno db deve essere almeno N 4. Adesso occorre scegliere la topologia del filtro; per realizzare un filtro passa basso del quarto ordine si può utilizzare la topologia di figura. o di figura Figura.: Topologia di un filtro passa basso del quarto ordine. 3 4 Figura.: Topologia di un filtro passa basso del quarto ordine. Per la topologia di figura., si trovano i seguenti valori dei componenti del prototipo di filtro passa basso dalla tabella.:.765 F F

9 apitolo Filtri a microonde Per la topologia di figura. invece si trova che:.765 F F.7654 I valori delle capacità e delle induttanze così trovati vanno bene per un carico ed una sorgente di impedenza pari a Ω. Se si vuole che il filtro sia ottimizzato per lavorare con impedenze di sorgente e di carico pari a Z, allora i valori delle capacità e delle induttanze che occorrono per realizzare il filtro devono essere pari a: Z Z Alla pulsazione ω rad/s le capacità hanno una reattanza pari a ω, e le induttanze una reattanza pari a ω. Se si vuole avere i medesimi valori di reattanza ad una pulsazione ω ω, allora i componenti del filtro devono avere valori pari a: Z ω Z ω Dunque, per la topologia di figura., si trovano i seguenti valori dei componenti: pf 9 5 π nf 9 π pf 9 5 π pf 9 π 9

10 apitolo Filtri a microonde. Sintesi di un filtro passa alto In figura. è mostrata una raffigurazione dell andamento dell insertion loss I di un filtro passa alto. I P (db) 3 db f f Figura.: Rappresentazione dell insertion loss di un filtro passa alto. Per un filtro passa alto, si può vedere che: I per f db per f I db Si chiami I l insertion loss del filtro passa alto, e P I l insertion P loss del filtro passa basso. Si ha che: lim I f lim I f P P lim I f lim I f P P ( ) ( ) I f I f P P Si vede che se si sostituisce a f, si ottiene da un filtro passa basso un filtro f passa alto. Dunque sostituendo tutte le capacità con delle induttanze e tutte le induttanze con delle capacità nelle topologie di filtri passa basso visti, si ottiene un filtro passa alto (figura.3).

11 apitolo Filtri a microonde Z 3 5 V S + _ 4 6 Z Figura.3: Schema di un filtro passa alto del sesto ordine. a trasformazione per passare da un filtro passa basso ad un filtro passa alto è la seguente: ω ω ω ω ω ω a procedura per realizzare un filtro passa alto è la seguente.. Realizzare il prototipo di filtro passa basso, rimpiazzando tutte le capacità con delle induttanze;. Invertire tutti i valori g trovati nelle tabelle come la tabella. g 3. Denormalizzare le capacità e le induttanze del prototipo passa alto così ottenuto; g ; gz Z ω gω gzω Esempio: si supponga di voler realizzare un filtro passa alto a risposta massimamente piatta di ordine N 3 con limite superiore di frequenza f Gz. Per prima cosa si deve realizzare il prototipo di filtro passa alto (figura.4). 3 Figura.4: Filtro passa alto del terzo ordine.

12 apitolo Filtri a microonde onsultando la tabella., si trova che: g g g. F g..5 g. F g 3 3 Adesso si denormalizzano i valori delle capacità e delle induttanze del prototipo per un limite superiore di frequenza f Gz e un impedenza di carico e di sorgente Z 5 Ω. 3.8 pf 9 5 π Zω Z nf ω π pf 3 3, ω, Z 9 Zω 5 π.3 Sintesi di filtri passa banda ed elimina banda I filtri passa banda ed elimina banda possono essere realizzati partendo dal prototipo di filtro passa basso descritto nella sezione.. Se ω e ω sono i limiti inferiore e superiore di banda del filtro passa banda, allora la risposta di un filtro passa banda può essere ottenuta in questo modo: al posto delle reattanze che si ottengono per un filtro passa basso, occorrono delle reattanze di valore pari a quello che si ottiene effettuando la sostituzione: ω ω ω Δ ω ω dove Δ è la banda frazionale del passa banda e ω è la frequenza centrale del filtro [.]. ω ω Δ ω ω ωω

13 apitolo Filtri a microonde In figura.5 sono mostrati la risposta in frequenza di un prototipo di filtro passa basso e di un filtro passa banda. a) (ω) b) (ω) B - ω ω ω ω ω Figura.5: Risposte in frequenza di a) un prototipo di filtro passa basso e di b) un filtro passa banda. Quindi la trasformazione mostrata in precedenza mappa la risposta in frequenza del filtro passa banda di figura.5b alla risposta del filtro passa basso di figura.5a. ω ω Per ω ω ; Δ ω ω ω ω ω ω per ω ω ; Δ ω ω ω ω ω ω ω ω per ω ω. Δ ω ω ω ω Al posto delle induttanze del prototipo di filtro passa basso, si metteranno dei bipoli di reattanza pari a: j ω ω ω ω jx j j jω j Δ ω ω Δω Δω ω dunque una induttanza del filtro passa basso induttanza in serie ad una capacità, di valori: deve essere sostituita con una Δ ω Δ ω Invece al posto delle capacità, si metteranno dei bipoli di ammettenza pari a: 3

14 apitolo Filtri a microonde j ω ω ω ω jb j j jω j Δ ω ω Δω Δω ω dunque una capacità del filtro passa basso deve essere sostituita con un bipolo costituito dal parallelo di una capacità e di un induttanza, di valori: Δ ω Δ ω Dunque gli elementi del filtro passa basso sono sostituiti da circuiti risonanti serie e parallelo, con frequenza di risonanza pari a ω. Per realizzare i filtri elimina banda a partire dal filtro passa basso, è utilizzata la trasformazione inversa a quella vista per il filtro passa banda: ω ω ω Δ ω ω dunque gli induttori del filtro passa basso induttanze e capacità di valore pari a: sono stavolta sostituiti da gruppi, con Δ ω Δ ω mentre le capacità valore pari a: sono sostituite da gruppi serie, con induttanze e capacità di Δ ω Δ ω Esempio: si supponga di voler realizzare un filtro passa banda di hebyshev di ordine B N 3, ripple.5 db, Z 5 Ω, Δ. %. f Dalla tabella. si ricavano i valori delle capacità e delle induttanze del prototipo di filtro passa basso mostrato in figura.6: 4

15 apitolo Filtri a microonde 3 Figura.6: Prototipo di filtro passa basso del terzo ordine Adesso si sostituiscano tutte le induttanze con dei gruppi risonanti serie, e tutte le capacità con dei gruppi risonanti parallelo (figura.7). 3 3 Figura.7: Filtro passa banda del terzo ordine. I valori delle induttanze e delle capacità del filtro mostrato in figura.7 sono ricavati così: 5

16 apitolo Filtri a microonde Z n 9 Δ ω. π Δ.. pf ωz π ΔZ 5 7 n ω π pf Δ 5 9 ωz π Z n Δ ω. π Δ.. pf ωz 3 π.4 Sintesi di filtri passa basso con il metodo stepped-impedance Un metodo abbastanza semplice di realizzare filtri passa basso a microstrisce consiste nell alternare tratti di linea ad elevata impedenza caratteristica a tratti di linea a bassa impedenza caratteristica. Si trovino i parametri Z di un tratto di linea di impedenza caratteristica Z e di lunghezza (figura.8). I I + V - Z + V - l Figura.8: inea di trasmissione di impedenza caratteristica Z e lunghezza. 6

17 apitolo Filtri a microonde V Z I + Z I V Z I + Z I ( βl) ( β ) V + jz tg Z Z jz cot l Z Z ( β ) I Z + j tg l I V Z I I Per calcolare Z, si scriva V in funzione dei fasori dell onda incidente e riflessa alla porta. Il coefficiente di riflessione alla porta quando la porta è aperta è pari a: Z Z Z Z + Z + Z Γ ( ) V V + V V +Γ V V jβl V jβl V jβl jβl I e e ( e Γ e ) Z Z Z Quindi: + V cos( βl) + jsin ( βl) cos( βl) + jsin ( βl) Z + V j sin Z ( βl) + V Z Z Z Z j + jv sin l sin l ( β ) ( β ) Si vuole rappresentare il quadripolo linea di trasmissione di figura.5 con un π circuito equivalente come quello di figura.9, per β l < : Z S Z S Z P Figura.9: ircuito equivalente di un tratto di linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z e lunghezza. 7

18 apitolo Filtri a microonde I parametri Z del quadripolo di figura.6 sono: Z ZS + ZP Z Z P Uguagliando i parametri Z della linea di trasmissione e del quadripolo di figura.6: Z ZP Z j sin ( cos( βl) ) ( βl) ( βl) ( βl) Z ( βl) sin ( βl) cos ZS Z ZP jz + j sin βl sin jz jztg Ovvero le impedenze (figura.). Z sono delle induttanze, e l impedenza S Z è una capacità P S S P Figura.: ircuito equivalente della linea di trasmissione per π β l <. Per β l molto piccolo e Z molto elevato si ha che: Z βl l βl ZS jztg jz Z Z l ZP j sin ( βl) Per cui la linea di trasmissione può essere approssimata con il circuito di figura.: 8

19 apitolo Filtri a microonde a) S S b) S Figura.: ircuito equivalente della linea di trasmissione per l e Z. Z β l Z β l S SEQ S ω ω In realtà la condizione Z non è fisicamente realizzabile; al massimo è possibile realizzare microstrisce di impedenza caratteristica massima Z di qualche MAX centinaio di Ohm. Dunque, per realizzare una induttanza serie equivalente si può realizzare una microstriscia lunga l. ZMAX βl EQω EQ l ω βz MAX Nel caso in cui, invece, Z, si ha che: βl Z ZS jztg Z Z Z ZP j j sin βl ( βl) dunque in questo caso la linea di trasmissione è approssimabile con il circuito di figura.: EQ Figura.: ircuito equivalente della linea di trasmissione per Z. 9

20 apitolo Filtri a microonde EQ βl Z ω Anche la condizione Z non è fisicamente realizzabile; al minimo è possibile realizzare microstrisce di impedenza caratteristica Z di una decina di Ohm. min Esempio: si supponga di voler realizzare un filtro passa basso di Butterworth con limite superiore di banda f.5 Gz, attenuazione maggiore di db ad una frequenza f 4 Gz, Z 5 Ω, con il metodo stepped-impedance. Per prima cosa viene scelto l ordine del filtro affinché si abbia l attenuazione richiesta: dal grafico di figura.7 si vede che deve essere N Figura.3: Filtro passa basso del sesto ordine..576 F F F.576 Si considerino dei valori ragionevoli di impedenze caratteristiche minima e massima realizzabili: Z min Ω e Z 5 Ω. Si denormalizzano i valori delle capacità e delle induttanze per e MAX f.5 Gz e Z 5 Ω. Per brevità si valutino solo le capacità (il procedimento è il solito anche per le altre impedenze) pf 9 Zω 5 π.5 Z nf 9 ω π.5 Alla frequenza di.5 Gz:

21 apitolo Filtri a microonde 8 c 3 π λ. m β 6.67π 9 f.5 λ β l Z ω.66 π.5 9 cm 9 min l Zminω β 6.67π Z β l ω 4 π.5 8 cm 9 9 MAX l ω βzmax 6.67π 5 a capacità l induttanza è realizzata con un tratto di linea di trasmissione lungo l, mentre è realizzata con un tratto di linea lungo l (figure.4 e.5). l l l 3 l 4 l 5 l 6 Z Z min Z MAX Z min Z MAX Z min Z MAX Z Figura.4: Filtro del sesto ordine realizzato con linee di trasmissione ad alta e bassa impedenza caratteristica. Figura.5: ayout del Filtro del sesto ordine realizzato con linee di trasmissione ad alta e bassa impedenza caratteristica. (e dimensioni dei tratti di linea non sono in scala). inee guida per la simulazione del filtro con ADS. È conveniente iniziare con la simulazione del circuito a parametri concentrati, per verificare il dimensionamento dei parametri e. o schematico del filtro dimensionato è riportato nella figura seguente, dove sono mostrate anche le terminazioni in ingresso e uscita dal filtro pari a 5 Ω e il controllore della simulazione S-PARAMETERS configurato per calcolare i parametri S del filtro tra.5 Gz e Gz. Dalla simulazione si ottiene, come da specifica, una frequenza di taglio del filtro di.5 Gz e un attenuazione a 4 Gz di circa 5 db.

22 apitolo Filtri a microonde. Una volta verificato il dimensionamento del filtro a parametri concentrati, si può passare al suo progetto a microstrisce con il metodo stepped-impedance. Per fare questo è necessario innanzitutto definire le caratteristiche del substrato con il quale sarà realizzato il circuito a microstrisce. a definizione del substrato avviene attraverso il componente MSub presente nella libreria Tines-Microstrip. onfigurare i parametri di MSub con i valori riportati nella seguente tabella; per i parametri non specificati si usi il valore di default. Name Description Value Substrate thicness 76 µm Er Relative dielectric constant.33 Mur Relative permeability ond onductor conductivity S m - u over height 36 µm (No cover) T onductor thicness 35 µm TanD Dielectric loss tangent.3 o schematico del circuito è riportato nella figura seguente. Nella figura sono visibili le istanze T-T6 (del componente MIN presente nella libreria Tines-Microstrip) corrispondenti ai 6 tratti a microstriscia, che implementano il filtro, la cui larghezza assume alternativamente due valori che corrispondono alle impedenze caratteristiche di Ω e 5 Ω. ingresso e l uscita del filtro sono collegati con due tratti di linea di impedenza pari a 5 Ω e lunghezza 5 mm. a larghezza e la

23 apitolo Filtri a microonde lunghezza di ciascun tratto possono essere dimensionati usando il tool inealc. a figura seguente mostra uno screenshot del tool. È importante che i parametri del substrato coincidano con quelli inseriti nel componente MSub. iò può essere ottenuto automaticamente, selezionando sullo schematico un elemento MIN e invocando il tool inealc con il comando: Send Selected omponent to inealc presente nel sottomenù inealc del menù Tools. Nella finestra di inealc è necessario impostare il valore della frequenza di lavoro. Inserendo i valori desiderati dell impedenza della linea Z e della lunghezza efficace E_Eff è possibile ottenere i corrispondenti valori di larghezza W e lunghezza del tratto di microstriscia, che possono essere copiati nei relativi campi del componente MIN. Una volta dimensionati i 6 tratti di linea è possibile eseguire una simulazione a parametri S come fatto per lo schematico a componenti concentrati. 3. Si può ora procedere al disegno del layout del circuito a microstriscia, sfruttando il comando (Generate/Update ayout) per la generazione automatica del layout a partire dallo schematico, presente nel menù ayout. È conveniente inserire due port all ingresso e uscita del filtro (questa 3

24 apitolo Filtri a microonde operazione evita di dover aggiungere manualmente tali port sul layout). Eseguendo tale comando si apre una nuova finestra con la vista layout del circuito, che in questo caso assume la forma mostrata di seguito. Prima di poter eseguire la simulazione elettromagnetica di questa struttura è necessario compiere alcuni passi preliminari: a. Se non è stato fatto a livello di schematico, vanno inserite manualmente due port all ingresso e uscita del filtro. b. Impostare le caratteristiche del substrato. iò può essere fatto importando i parametri del substrato dallo schematico mediante Momentum >Substrate->Update from schematic. È possibile modificare il substrato o crealo da zero attraverso Momentum >Substrate->reate/Modify. Una volta che il substrato è stato definito, è possibile precalcolare alcuni parametri richiesti per la simulazione elettromagnetica mediante Momentum >Substrate- >Precompute, specificando l intervallo di frequenza desiderato, e salvarli con Momentum >Substrate->Save. c. Il passo successivo è l impostazione della griglia (o Mesh), mediante Momentum >Mesh->Setup e in particolare del valore massimo della frequenza nel parametro Mesh Frequency (gli altri parametri possono essere lasciati al loro valore di default). d. A questo punto è possibile lanciare la simulazione a parametri S con Momentum->Simulation->S-parameters, impostando l intervallo di frequenze desiderato, come mostrato nella figura. Per evitare un eccessivo tempo di simulazione, dovuto alla complessità computazionale della simulazione elettromagnetica, selezionare il metodo Adaptive per lo Sweep Type e limitare il numero dei Sample Points, per esempio a 5. 4

25 apitolo Filtri a microonde e. Una volta che la simulazione è completata, è possibile visualizzarne i risultati e confrontarli con quelli ottenuti con le precedenti simulazioni a livello di schematico e di componenti concentrati. Si nota che la risposta in frequenza del filtro ottenuta mediante la simulazione elettromagnetica (traccia rossa) differisce apprezzabilmente da quella ottenuta a livello di schematico (traccia rosa) e quella del circuito a parametri concentrati (traccia blue) Quest ultime sono pressoché sovrapponibile almeno fino a un ottava oltre la frequenza di taglio di.5 Gz. a simulazione elettromagnetica fornisce invece una frequenza di taglio del filtro pari a. Gz, circa del 5 % inferiore a quella prevista. f. Si può provare ad agire sulle lunghezze dei sei tratti di microstriscia che implementano il filtro per cercare di portare la frequenza di taglio 5

26 apitolo Filtri a microonde al valore desiderato. Riducendo del % tutte le lunghezze, si riesce a ottenere una frequenza di taglia di circa.5 Gz..5 e identità di Kuroda Si consideri un tratto di linea di trasmissione di impedenza Z con l uscita aperta. impedenza di ingresso del tratto di linea è pari a: ( β ) ( β ) tg( β ) + jtg l Z ZINopen Z j Z + j tg l l Se invece il tratto di linea ha l uscita chiusa in corto circuito, l impedenza di ingresso è pari a: + jtg( βl) ZINcc Z jztg( βl) Z + j tg βl ( ) Se il tratto di linea è lungo λ /8 allora: πλ π βl λ 8 4 Z jz INopen λ /8 ωeq Z jz jω INcc λ /8 EQ j I valori dell induttanza equivalente di tratto di linea è lungo λ /8 chiuso in corto circuito e di uno aperto sono: EQ EQ ω Z Z ω Dunque se si volesse realizzare con linee di trasmissione un circuito equivalente a quello di figura., si potrebbe pensare di realizzare le induttanze serie mediante stub serie chiusi in corto circuito, e la capacità parallelo con uno stub parallelo aperto (figura.6). 6

27 apitolo Filtri a microonde λ/8 EQ EQ EQ λ/8 Figura.6: ircuito di figura. dove le induttanze sono realizzate con degli stub serie e la capacità con uno stub parallelo. Nei circuiti a microstriscia tuttavia non è possibile realizzare gli stub serie: per questo sono di aiuto le identità di Kuroda. e identità di Kuroda utilizzano tratti di linea ridondanti per rendere realizzabile fisicamente un filtro. I tratti di linea ridondanti sono tratti linea lunghi λ /8 e sono detti unit element. uso delle identità di Kuroda svincola dall uso di stub serie: una induttanza serie viene sostituita da una capacità parallelo. In figura.7 sono mostrate le quattro equivalenze di Kuroda, dove ogni box rappresenta una unit element, di impedenza caratteristica pari a quella indicata e di lunghezza λ /8 a pulsazione ω, e dove: n + Z Z 7

28 apitolo Filtri a microonde Z a) n Z Z n Z Z Z b) n Z n Z Z Z Z Z c) n n :n Z Z n Z d) n Z :n Figura.7: e quattro equivalenze di Kuroda. Esempio: Si voglia realizzare un filtro passa basso di hebyshev, con limite superiore di banda f 4 Gz, ripple 3 db, ordine N 3, Z 5 Ω. o schema del prototipo di filtro passa basso è mostrato in figura.6. Dalla tabella.3 si trova che: Il prototipo di figura.6 è equivalente al circuito di figura.8, dove in ingresso e in uscita sono stati aggiunti dei tratti di linea di impedenza caratteristica pari a Ω. 8

29 apitolo Filtri a microonde 3 Z Ω Z Ω Figura.8: Equivalente del prototipo di figura.3. ω rad/s Z ω 3 n Z Z Usando l equivalenza di Kuroda di figura.7b, si ottiene dal circuito di figura.7 il circuito di figura n n Z 4.35 Ω Z 4.35 Ω.77 n Z n Z Figura.9: Equivalente del prototipo di figura.3, dopo aver applicato l equivalenza di uroda di figura.4b. In questo modo il filtro è realizzabile con tre stub parallelo per realizzare le tre capacità, di impedenza caratteristica: Z EQ.3 ω.77 EQ per le due capacità esterne, e di impedenza caratteristica: Z.4 ω.77 9

30 apitolo Filtri a microonde e due tratti di linea di impedenza caratteristica nz lunghi /8 funzionare il filtro con impedenze di carico e di sorgente di Z 5 frequenza λ a 4 Ghz. Per far f 4 Gz basta moltiplicare le impedenze caratteristiche per 5 Ω. Il filtro risultante è mostrato in figura.3. Ω, e per una 5 Ω λ/8 λ/8 7 Ω 7 Ω 5 Ω λ/8 65 Ω λ/8 7 Ω λ/8 65 Ω Figura.6: Filtro realizzato a microstrisce ottenuto applicando le equivalenze di Kuroda.. Disegno non in scala. [. ] Microwave Engineering - Second Edition David M. Pozar University of Massachussetts at Amherst John Wiley & Sons, Inc. 3