TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI

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1 TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI Ing. Cristian Secchi Tel Rappresentazioni Equivalenti Introducendo il concetto di stato, abbiamo detto che NON esiste un modo unico di scegliere le variabili di stato per rappresentare un sistema dinamico. Consideriamo un sistema LTI. Una volta scelta una base per X=R n, U=R m e Y=R p e scelte le variabili di stato, esso è rappresentato da: Consideriamo una matrice n x n T costante e non singolare e mediante un cambio di variabili definiamo un nuovo vettore di stato x come: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 2

2 Rappresentazioni Equivalenti Sostituendo nelle equazioni di partenza si ottiene: Il sistema LTI rappresentato da queste equazioni è equivalente al sistema LTI di partenza nel senso che per un ingresso u(t), t 0, e due stati iniziali legati dalla condizione i movimenti dello stato x(t) e sono legati dalla relazione e le uscite sono identiche. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 3 Rappresentazioni Equivalenti I comportamenti descritti dai due sistemi di equazioni sono gli stessi e sono legati mediante la matrice non singolare T. Quindi le quadruple di matrici (A,B,C,D) e sono semplicemente due modi diversi di rappresentare matematicamente lo stesso sistema. Le matrici A e sono simili. Spesso è utile fare un cambio di variabile per portare le equazioni che descrivono un sistema LTI in una forma particolare in cui, ad esempio, sono immediatamente visibili certe proprietà oppure in cui i conti risultano semplificati. Ovviamente noi siamo interessati alle proprietà intrinseche del sistema, cioè quelle che NON variano al variare della rappresentazione matematica Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 4

3 Esempio k u 1 u m 1 m 2 2 Due carrelli di massa m 1 e m 2 sono collegati ad una molla di rigidezza k e sono sospinti rispettivamente dalle forze u 1 e u 2. Siano x 1 e x 2 le posizioni del carrello di massa m 1 e di quello di massa m 2 e x 3 e x 4 le rispettive velocità. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 5 Esempio Le equazioni che rappresentano il sistema sono (trovarle come esercizio!): dove si è assunto che l elongazione della molla sia x 2 -x 1 Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 6

4 Esempio Supponiamo di voler rappresentare il sistema rispetto alle seguenti variabili Si ha che Le nuove equazioni del sistema sono: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 7 Autovalori e Autovettori Sia dato uno spazio vettoriale V su cui sia definita una trasformazione lineare T:V V rappresentata da una matrice quadrata A di ordine n. Se esistono un vettore non nullo v V e uno scalare λ R tali che: allora: 1) Lo scalare λ è un autovalore della matrice A 2) Ogni vettore v che verifica tale relazione è un autovettore di A relativo all autovalore λ. L insieme di tutti gli autovettori associati ad un certo autovalore λ è uno spazio vettoriale detto autospazio U λ. La dimensione µ di U λ è la molteplicità geometrica dell autovalore λ 3) L insieme degli autovalori di A è detto lo spettro di A Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 8

5 Autovalori e Autovettori Proprietà 1: L autospazio U λ è invariante rispetto ad A, cioè ogni elemento di U λ viene trasformato dalla matrice A in un elemento appartenente ancora a U λ Proprietà 2: Ad autovalori λ 1,, λ t distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti v 1,, v t. Per questo motivo gli autospazi U λj e U λi relativi ad autovalori distinti λ i e λ j sono disgiunti Proprietà 3: Non sempre l unione di tutti gli autospazio U λ coincide con l intero spazio vettoriale V. Quando questo accade, esiste sempre una base di V esprimibile come combinazione lineare degli autovettori di A e, quindi, esiste una trasformazione T che consente di esprimere la matrice A in forma diagonale. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 9 Determinazione degli autovalori Le soluzioni λ i dell equazione: sono tutti e soli gli autovalori della matrice A 1) Il polinomio det(λ I-A) è detto polinomio caratteristico della matrice A. Inoltre, la molteplicità η dell autovalore λ come soluzione dell equazione caratteristica det(λ I-A)=0 è detta molteplicità algebrica dell autovalore. In generale, la molteplicità algebrica non coincide con quella geometrica. 2) Se λ è un autovalore, la soluzione del seguente sistema nelle incognite v 1,, v n fornisce l insieme di tutti gli autovettori relativi all autovalore λ, cioè determina l autospazio U λ Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 10

6 Esempio L equazioni caratteristica è: La molteplicità algebrica dell autovalore è η=2 poiché è una soluzione doppia dell equazione caratteristica. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Per determinare l autospazio relativo a λ=1 occorre risolvere: che è ovviamente soddisfatta per ogni vettore v R 2. Pertanto U λ = R 2 e dim U λ =2 Quindi la molteplicità geometrica dell autovalore λ=1 è µ = 2 Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 12

7 Esempio L equazioni caratteristica è: La molteplicità algebrica dell autovalore è η=2 poiché è una soluzione doppia dell equazione caratteristica. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Per determinare l autospazio relativo a λ=1 occorre risolvere: U λ è costituito da tutti i vettori della forma (v 1,0) T, quindi dim U λ =1. Pertanto la molteplicità geometrica dell autovalore λ=1 è µ=1 Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 14

8 Autovalori e autovettori Proprietà: L insieme degli autovalori di una trasformazione lineare T è indipendente dalla particolare base scelta per rappresentare la trasformazione lineare stessa. L insieme degli autovalori è una proprietà strutturale della trasformazione lineare T definita dalla matrice A ed è quindi un elemento caratteristico del sistema descritto dalla matrice di stato A. Proprietà: Matrici simili hanno lo stesso insieme di autovalori. Pertanto, nell ambito dei sistemi LTI, un cambio di variabile mediante una matrice non singolare T non cambia l insieme degli autovalori della matrice di stato che caratterizza il sistema. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Significato fisico degli autovalori Consideriamo di nuovo il sistema meccanico: 2 m u k y b Sia x la posizione del carrello. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 16

9 Significato fisico degli autovalori Ponendo x 1 =x e x 2 =v e y=x 1 abbiamo anche visto che il sistema può essere rappresentato dalle seguenti equazioni: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Significato fisico degli autovalori Gli autovalori della matrice di stato sono dati dalle soluzioni di: cioè: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 18

10 Significato fisico degli autovalori Usando la legge di Newton, il sistema può essere descritto dalla seguente equazione: Ponendo come uscita x, la posizione della massa, e come ingresso u la forza applicata, possiamo calcolare la funzione di trasferimento Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Significato fisico degli autovalori I poli della funzione di trasferimento sono le soluzioni di: cioè: Gli autovalori della matrice A coincidono con i poli della funzione di trasferimento del sistema dinamico considerato. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 20

11 Forma canonica di Jordan Sia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e siano λ 1,, λ h gli autovalori distinti di A e siano r 1,, r h le loro rispettive molteplicità algebriche. Il polinomio caratteristico può cioè essere decomposto scritto come: Esiste una matrice quadrata di dimensione n non singolare T, tale che la matrice è in una particolare forma, detta forma canonica di Jordan, nella quale sono evidenziati gli autovalori λ i. Siccome A e sono simili, hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Forma canonica di Jordan La forma canonica di Jordan della matrice A è: ad ogni autovalore distinto λ i corrisponde un blocco di Jordan di dimensione r i : dim J i =r i i=1,,h Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 22

12 Forma canonica di Jordan Ogni blocco di Jordan è una matrice diagonale a blocchi ed è formato da q i miniblocchi di Jordan: ognuno dei quali ha dimensione ν i,j e: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Forma canonica di Jordan Come si trova la trasformazione T? 1) Trovare i q i autovettori distinti v i,j associati all autovalore λ i risolvendo: 2) Se q i =r i : e la forma di Jordan è una matrice diagonale. 3) Se q i r i si devono utilizzare metodi più complessi (come gli autovettori generalizzati. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 24

13 Forma canonica di Jordan In Matlab esiste il comando jordan per il calcolo a forma di Jordan di una matrice: Sintassi: >>J=jordan(A) Associa a J la forma di Jordan della matrice A >>[T,J]=jordan(A) Associa a J la forma di Jordan della matrice A e a T la trasformazione per calcolarla. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Sistemi LTI e forma di Jordan Dato un sistema LTI è sempre possibile trovare una matrice non singolare T tale che il cambio di coordinate porti alla seguente rappresentazione equivalente del sistema: dove è nella forma canonica di Jordan. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 26

14 Movimento libero di sistemi LTI Dato un sistema LTI ed uno stato iniziale x(0)=x 0, il movimento libero del sistema è dato da: L utilità della forma di Jordan sta nel fatto che consente di calcolare agevolmente l esponenziale di matrice e, inoltre, consente di legare in maniera molto esplicita le caratteristiche del movimento libero agli autovalori della matrice di stato. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Proprietà dell esponenziale di matrice L esponenziale di matrice gode delle seguenti utili proprietà: Sia T una matrice non singolare; allora: L esponenziale di una matrice diagonale a blocchi è una matrice diagonale a blocchi in cui ciascun blocco è l esponenziale del blocco della matrice di partenza: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 28

15 Movimento libero di sistemi LTI Dato un sistema LTI: e la trasformazione: per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan, abbiamo che il movimento libero x(t) è dato da: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Movimento libero di sistemi LTI Siccome è in forma canonica di Jordan quindi, per calcolare il movimento libero, è sufficiente saper calcolare l esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 30

16 Movimento libero di sistemi LTI E possibile dimostrare che l esponenziale di un generico miniblocco di Jordan di dimensione ν relativo a un autovalore λ è: E, quindi, possibile, a partire dalla forma di Jordan, calcolare l esponenziale di una matrice in maniera piuttosto semplice e, quindi, calcolare il movimento libero di un sistema LTI a partire da un certo stato iniziale in maniera agevole. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Movimento libero di sistemi LTI All espressione quasi diagonale che caratterizza la forma canonica di Jordan, si giunge sempre, anche nel caso vi siano autovalori complessi coniugati. In questo caso, però, i blocchi della forma di Jordan contengono dei termini complessi e, pertanto, il loro utilizzo risulta molto poco intuitivo nell analisi dei sistemi LTI e del loro movimento. Per ovviare questo inconveniente, nel caso di autovalori complessi coniugati, si applica un ulteriore trasformazione nello spazio degli stati che porta la matrice in forma di Jordan ad avere sulla dagonale principale dei blocchi reali di dimensione 2. Si consideri, ad esempio, una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da una coppia di autovalori complessi coniugati λ 1,2 =σ±jω di molteplicità 3. Siano v 1, v 2, v 3 gli autovettori associati a un autovalore e e v 1*, v 2*,v 3* gli autovettori complessi coniugati associati al suo complesso coniugato. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 32

17 Movimento libero di sistemi LTI Applicando la trasformazione di coordinate: Si ottiene la forma di Jordan della matrice A: Si ottengono cioè due blocchi di Jordan ciascuno costituito da un solo miniblocco di dimensione 3 Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Movimento libero di sistemi LTI Si indichi con v i,r e v i,i rispettivamente la parte reale e la parte complessa dell autovettore complesso i-esimo (i=1,2,3). Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate: è possibile trasformare la matrice A nelle seguente forma canonica reale di Jordan: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 34

18 Movimento libero di sistemi LTI In tal modo è possibile esprimere il movimento libero di sistemi LTI come combinazione lineare di soli termini reali. Infatti: occorre però dare una formula per l esponenziale della matrice E possibile mostrare che, nell esempio considerato: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Dato il sistema: A C Calcolare l uscita libera del sistema a partire dallo stato iniziale Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 36

19 Esempio L uscita libera è data da: Per poter calcolare l esponenziale di matrice, porto la matrice di stato nella forma canonica di Jordan. Gli autovalori della matrice di stato sono le soluzioni di: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Gli autovettori corrispondenti all autovalore λ 1 =1 si determinano risolvendo: Si trovano due autovettori indipendenti: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 38

20 Esempio Gli autovettori corrispondenti all autovalore λ 2 =-1 si determinano risolvendo: Si trova un solo autovettore: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio La matrice T che trasforma A nella sua forma di Jordan è: Facendo il cambio di variabile: Le matrici A e C vengono trasformate in: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 40

21 Esempio Forma canonica di Jordan di A Il movimento libero del sistema è dato da: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Utilizzando i dati del problema: e Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 42

22 Esempio E quindi l uscita libera vale: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Matrice di trasferimento E possibile utilizzare la trasformata di Laplace alle equazioni nello spazio degli stati di un sistema LTI. Questo consente di ottenere una rappresentazione dei sistemi LTI MIMO che è l analogo della funzione di trasferimento: la matrice di trasferimento. Se f(t) è una generica funzione del tempo: E vale la seguente proprietà: Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace della derivata Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 44

23 Matrice di Trasferimento Applicando la trasformata di Laplace al modello di un sistema LTI: e, quindi: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Matrice di Trasferimento Quando u(t)=0 t 0 si ha l evoluzione libera: da cui si ricava che: Quando x 0 =0 si ha l evoluzione forzata: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 46

24 Matrice di Trasferimento Inversa di una matrice: L inversa di una matrice quadrata non singolare di orine n è definita da: dove la matrice aggiunta aggm è la matrice trasposta (coniugata trasposta) dei complementi algebrici M i,j della matrice M. Il complemento algebrico M i,j è dato da (-1) i+j volte il determinante della matrice (n -1 ) (n-1) che si ottiene eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice M. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Matrice di Trasferimento Analogamente a quanto si fa con la funzione di trasferimento nel caso SISO, è possibile, anche nel caso MIMO, legare la trasformata di Laplace dell ingresso alla trasformata di Laplace dell uscita forzata. La matrice di trasferimento H(s) è una matrice razionale propria di dimensione p m tale che: quindi: Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 48

25 Matrice di Trasferimento det(si-a) è un polinomio di grado n. Le sue radici sono gli autovalori della matrice di stato A C(sI-A) -1 B è una matrice di ordine p m i cui elementi sono polinomi in s che hanno al massimo grado n-1 La matrice di trasferimento è, quindi, una matrice di funzioni razionali fratte. Il generico elemento H i,j è la funzione di trasferimento che lega l uscita forzata i-esima all ingresso j-esimo. Pertanto, la matrice di trasferimento H(s) può essere considerata una generalizzazione al caso MIMO della funzione di trasferimento. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Matrice di Trasferimento I poli di ciascun elemento di H(s) sono gli autovalori della matrice di stato. Questo ribadisce ulteriormente il ruolo fondamentale degli autovalori della matrice di stato nella determinazione del comportamento del sistema. Siccome l ingresso determina solo la componente forzata dell uscita, la matrice di trasferimento non dà alcuna informazione sull uscita libera. Per ottenere l uscita complessiva, occorre sommare il contributo dell uscita libera. Se le condizioni iniziali sono nulle, allora l uscita coincide con l uscita forzata e, quindi, è possibile utilizzare la matrice di trasferimento per calcolare l uscita del sistema. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 50

26 Esempio Dato il sistema LTI: dove: Trovare la matrice di trasferimento del sistema. Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI Esempio Il sistema ha n=2 stati, m=3 ingressi e p=2 uscite e, quindi, la matrice di trasferimento H(s) è una matrice p m = 2 3 Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI -- 52

27 Esempio Cristian Secchi Teoria dei Sistemi Analisi dei sistemi LTI TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI Ing. Cristian Secchi Tel