Il teorema di Lusin (versione )

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1 G.Gorni 7/8 Il teorema di Lusin versione 8-6-). Distanza da un insieme Deinizione. Dato uno spazio metrico X, d), un sottinsieme non vuoto A X e un punto x X deiniamo distanza ra x e A il numero distx, A) := in dx, y). y A Dati due sottinsiemi non vuoti A, B X, la distanza ra loro è deinita da x d x, y d x, A dista, B) := in dx, y). x A,y B È chiaro che queste distanze sono numeri in [, + [, e che distx, A) = d{x}, A). Se poi x A allora ovviamente distx, A) =. Proposizione. La unzione x distx, A) y A è continua, anzi, lipschitziana di costante. Dimostrazione. Siano dati x, x X e sia ε >. Per deinizione di estremo ineriore e di distanza da un insieme, esiste y A tale che dx, y) distx, A) + ε, dx, y) distx, A). Per la disuguaglianza triangolare x x d x, x d x, A d x, A y Ε dx, y) dx, x ) + dx, y). Mettendo insieme si ricava che distx, A) distx, A) dx, y) dx, y) + ε dx, x ) + ε. Essendo ε > arbitrario, deduciamo che distx, A) distx, A) dx, x ). A Scambiando i ruoli ra x e x otteniamo distx, A) distx, A) dx, x ) = = dx, x ). Esercizio. Mostrare che dista, B) = in x A distx, B). Combinando le ultime due disuguaglianze ricaviamo distx, A) distx, A) dx, x ), che è la lipschitzianità richiesta. Esercizio. Sia A un insieme non vuoto di indici, e α : X [, + [ una amiglia non vuota di unzioni lipschitziane della stessa costante M. Dimostrare che allora anche la unzione gx) := in α α x) è lipschitziana di costante M. Dedurre da questo risultato la proposizione precedente. La tesi vale anche se non si richiede che le α abbiano valori, ma più in generale abbiano valori reali di segno qualsiasi, purché gx) abbia valore inito per almeno un punto x X.

2 G.Gorni Teorema di Lusin 7/8 Esercizio. dx, A) = se e solo se x è nella chiusura di A. La chiusura dell insieme {x : dx, A) < c} è contenuta, ma non necessariamente coincide, con l insieme {x : dx, A) c}, che è chiuso. Esercizio. Nel caso X = R la unzione x distx, A) è necessariamente derivabile in ogni punto? È derivabile almeno in tutti i punti esterni ad A? Proposizione. Sia X, d) uno spazio metrico,, C due sottinsiemi non vuoti disgiunti, con compatto e C chiuso. Allora dist, C) >. x dist x, A A C Dimostrazione. Poiché C = e C è chiuso, per ogni punto x esiste un ε x > tale che la palla aperta Bx, ε x ) non interseca C. Il compatto è ricoperto dalle palle aperte Bx, ε x /) al variare di x. Quindi esistono x,..., x n tali che y Bx, ε x /)... Bx n, ε xn /). ε k Siano ora x, y C. Esiste un k {,..., n} tale che dx, x k ) < ε xk / e dy, x k ) ε xk. Quindi dist C, x x k dy, x) dy, x k ) dx k, x) ε xk ε x k = ε x k ε xj min j=,...,n. L ultimo membro della disuguaglianza è > e non dipende da x, y. Quindi d, C) = in dx, y) min ε xj x,y C j=,...,n >. Esercizio. Si può dimostrare che un compatto e un chiuso non vuoti e disgiunti hanno distanza > anche usando la compattezza per successioni: dati x n, y n C tali che dx n, y n ) dist, C) estrarre sottosuccessioni convergenti... Oppure usando il atto che la unzione x distx, C) è continua ed ha valori > sul compatto... Esercizio. Due chiusi disgiunti in uno spazio metrico possono avere distanza nulla.. Lemma di Urysohn Deinizione. Dato uno spazio topologico X e una unzione g: X R, diremo supporto di g l insieme g supp g := {x X : gx) } La linea indica la chiusura nella g topologia di X). La unzione g supp g si dice a supporto compatto se supp g è compatto. Indicheremo con C c X) l insieme delle unzioni g: X R che sono continue e a supporto compatto.

3 G.Gorni Teorema di Lusin 7/8 Esercizi. Se g C c X) allora g è limitata. Se g, g C c X) e c, c R allora anche c g +c g, g g, g, g, max{g, g }, min{g, g } sono in C c X); in particolare, C c X) è uno spazio vettoriale su R. Se X è compatto tutte le unzioni reali sono a supporto compatto. Se X non è compatto, una unzione a supporto compatto si annulla necessariamente da qualche parte. Se X è connesso e non compatto una g C c X) si annulla necessariamente in un punto del supporto precisamente, in tutti i punti di rontiera del supporto). Una unzione R n R ha supporto compatto se e solo se è nulla al di uori di un insieme limitato. Nessun polinomio, o più in generale nessuna unzione analitica su R è a supporto compatto, con l unica eccezione della unzione costante. Dire se la unzione gx) := max{ x, } è in C c R) e trovarne il supporto. Una g C c R) è necessariamente nei punti interni del supporto? Χ g Χ Χ g Χ Proposizione Lemma di Urysohn in R n ). In R n siano un compatto e un aperto tali che. Allora esiste una unzione g C c R n ) tale che supp g e [, ] per ogni x R n, gx) = per ogni x, = per ogni x R n \. Pavel Samuilovich Urysohn Urysòn), matematico russo 898 9). Dimostrazione. Se = basta prendere g. Supponiamo quindi che non sia vuoto. Dico che esiste ε > tale che se dx, ) ε allora x. Questo è vero ovviamente se = R n. Altrimenti, R n \ è un chiuso non vuoto disgiunto dal compatto, e quindi dist, R n \ ) >. Basta prendere ε = dist, Rn \ ), giacché dx, ) ε x t.c. dx, x) < ε = dist, R n \ ) = in { dz, w) : z, w R n \ } x / R n \ x.

4 G.Gorni Teorema di Lusin 7/8 Possiamo porre gx) := max {, distx, )/ε }. eriichiamo che g ha le proprietà richieste. Innanzitutto g è continua perché composta di unzioni continue. È ovviamente compresa ra e, e su vale. Inoltre { } { } { } { } x : gx) = x : distx, )/ε < = x : distx, ) < ε x : distx, ) ε. L insieme {x : distx, ) ε} è chiuso perché la unzione x distx, ) è continua. Quindi il supporto di g è contenuto in : supp g = { x : gx) } { x : distx, ) ε }. L insieme {x : distx, ) ε} è anche limitato perché è limitato in quanto compatto), e quindi è compatto. Il supporto di g è sottinsieme chiuso di un compatto e quindi è compatto. Dal atto che supp g segue inine che g è nulla uori da. Le proprietà della g del lemma di Urysohn si possono anche scrivere così: g C c R n ), supp g, χ g χ. In particolare la g può essere vista come un approssimante per eccesso di χ e per dietto di χ. Il lemma di Urysohn vale anche se al posto di R n si mette uno spazio topologico non necessariamente metrico) di Hausdor e localmente compatto. La dimostrazione è tutta diversa in tal caso, e sensibilmente più complicata. Proposizione. In R N sia un compatto e un aperto tali che R N. Allora esiste un aperto la cui chiusura è compatta e tale che. Dimostrazione. Sia g C c R N ) come nel lemma di Urysohn, e poniamo g := g ], + [ ). è aperto perché g è continua. Inoltre è contenuto in supp g, che è compatto ed è contenuto in. Quindi la chiusura di è compatta e contenuta in.. Il teorema di Lusin Proposizione. Sia X, M) uno spazio misurabile e : S [, + [ una unzione misurabile. Allora esistono degli insiemi E n M tali che = n χ E n, dove la serie converge puntualmente. Inoltre se è limitata superiormente allora E n = per ogni n < log sup. Dimostrazione. Dato un t [, + [ e n Z sia d n x) l n-esima cira dell espansione binaria di t, a destra della virgola se n e a sinistra se n. Sappiamo che e che t = + d t) + d t) + d t) + d t) + d t) + = d n t) n d n t) = n t n t = { se = n t cade ra un numero pari compreso) e l intero successivo escluso), se n t cade ra un numero dispari compreso) e l intero successivo escluso).

5 G.Gorni Teorema di Lusin 7/ E 5 E 5 E E 5 E 5 E Inoltre se n < log t allora n < log t = /t, per cui n t < e d n t) = La unzione d n : [, + [ {, } non è continua ma è boreliana. Possiamo porre E n := { x X : d n x) ) = } = dn ) {}). Inatti E n M perché d n è boreliana e è misurabile. Si ha chiaramente x) = ) d n x) n = n = n = n χ E n x). d nx))= x E n 5

6 G.Gorni Teorema di Lusin 7/8 Inine, se n < log sup allora d n x)) = per ogni x X e quindi E n =. Le igure della pagina precedente mostrano gli insiemi E n e le somme parziali n := k n k χ Ek per una data unzione. Teorema di Lusin. Sia : R N C una unzione misurabile secondo Lebesgue e a supporto compatto, sia ε > e sia un aperto contenente il supporto di. Allora esiste una g ε C c R N ) tale che l insieme {x : x) g ε x)} ha misura di Lebesgue minore di ε e il supporto di g ε è contenuto in. Inoltre possiamo supporre che sup g ε sup. Nikolai Nikolaevich Luzin o Lusin), matematico russo 88 95). Dimostrazione. Sia un aperto contenente il supporto di, e la cui chiusura sia compatta e contenuta in. Distinguiamo diversi casi via via più generali. Caso. La unzione sia una unzione caratteristica: { se x E, x) := χ E x) = se x R n \ E. con E un insieme misurabile secondo Lebesgue. Se E = la tesi vale ponendo banalmente g ε. Supponiamo quindi E. Il supporto di è la chiusura di E, che per ipotesi è compatta e contenuta in. Quindi E ha misura inita. Dalla teoria della misura sappiamo che esistono un compatto ε e un aperto ε tali che ε E ε e µ \ ) < ε. Possiamo anche supporre che ε, eventualmente rimpiazzando ε con ε. Il lemma di Urysohn dice che esiste un g ε C c R n ) tale che supp g ε ε e χ ε g ε χ ε. Questa g ε ha le proprietà richieste. Inatti g ε è continua e a supporto compatto, e il suo supporto è contenuto in. Inoltre se x ε allora = g ε x) = χ ε x) = χ E x), mentre se x R n \ ε allora = g ε x) = χ ε x) = χ E x). Quindi { x : gε x) x) } ε \ ε, da cui µ {x : g ε x) x)} ) µ ε \ ε ) < ε. Inine sup g ε sup χ ε = = sup. Caso. La unzione sia reale, misurabile, limitata e. Allora siano E n R N misurabili secondo Lebesgue tali che = n χ E n puntualmente. n n Su ognuno degli E n la è non nulla. Quindi ognuno degli E n è contenuto nel supporto di, e di conseguenza in. Grazie al caso precedente, per ogni n n esiste una unzione g n,ε C c R N ) tali che Poniamo g n,ε, λ N {gn,ε χ En } ) g ε := n n n g ε,n. ε n n+, supp g n,ε. La unzione g ε è a valori initi e continua, perché la serie di unzioni che deinisce g ε converge totalmente. Inoltre g ε è nulla al di uori di, in quanto ognuno degli addendi lo è. Il supporto di g ε risulta compatto perché è un chiuso contenuto nella chiusura di, che è compatta. Pertanto g ε C c R N ) e supp g ε. Inine notiamo che x) g ε x) n χ E n x) n g ε,nx) n n tale che χ En x) g ε x), n n n n da cui e λ { g ε } ) { g ε } n n λ che è quello che rimaneva da dimostrare. n n {χ En g ε,n }, {χen g ε,n } ) 6 n n ε n n+ = ε < ε,

7 G.Gorni Teorema di Lusin 7/8 Caso. La sia reale, misurabile, positiva, ma non necessariamente limitata. Consideriamo la successione di insiemi E n := { > n}. Questi insiemi sono misurabili, la successione è decrescente e l intersezione è vuota. Inoltre tutti gli E n sono contenuti nel supporto di, che è un compatto, e quindi ha misura inita. Per il passaggio al limite su successioni decrescenti di insiemi, esiste un n ε tale che λ N E ε ) < ε/. Consideriamo la unzione ε := χ Enε. Questa è unzione misurabile positiva, con supporto contenuto nel supporto di, e inoltre è limitata superiormente da n ε. Per il caso precedente esiste g ε C c R N ) tale che supp g ε e λ N {g ε ε }) < ε/. Ma allora { g ε } { ε } { ε g ε } = E nε { ε g ε }, per cui λ N { gε } ) λ N E nε ) + λ N {ε g ε } ) < ε + ε = ε. Caso. Sia reale misurabile. Allora le parti positiva e negativa +, di sono reali, misurabili, positive, e il loro supporto è pure contenuto in. Per il caso precedente esistono g ε,+, g ε, C c R N ) con supporto contenuto in e tali che λ N { + g ε,+ } ) < ε, λ N { g ε, } ) < ε. Se poniamo g ε := g ε,+ g ε,, questa g ε è in C c R N ), il suo supporto è in, e λ N { gε } ) λ N { + g ε,+ } ) + λ N { g ε, } ) < ε. Caso 5. Sia complessa misurabile. Allora si spezza in parte reale più parte immaginaria, e si procede come nel caso precedente. 7