Liceo Galilei - ROMA 27 maggio 2010

Transcript

1 Liceo Galilei - ROMA 27 maggio 2010 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

2 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza 27 maggio 2010 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

3 La serie a termini di segno alterno (1) 4 é convergente: la sua somma é nota, vale log(2). Essa fornisce l esempio fondamentale della perdita, nell ambito delle serie, della proprietá commutativa della somma. É infatti possibile riconoscere che ordinamenti diversi degli addendi della serie (??) producano serie convergenti a somme diverse. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

4 La somma di una serie é il limite delle somme parziali S = lim n a k n k=1 Ordinando diversamente gli addendi cambia la successione {S n } delle corrispondenti somme parziali. Se ordinassimo la (??) mettendo lunghi gruppi di addendi positivi intercalati da pochi addendi negativi che successione di somme parziali si otterrebbero...? L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

5 Consideriamo la serie e consideriamo il suo riordinamento consistente nel mettere tre addendi positivi ogni addendo negativo... L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

6 Le somme parziali delle due serie sono le seguenti: serie originale: 1., 0.5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , serie riordinata: 1., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

7 Una verifica non empirica: Indicati con a n = ( 1)n+1, n = 1, 2, 3,... n gli addendi della (??) indichiamo con {b k } la successione B 2m = B = { 2m n=1 b 2n = 1 2 a n, b 2n 1 = 0 b n = 1 2 b n = 1 2 n=1 m a n = 1 2 A m n=1 a n = 1 2 A n=1 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

8 Posto c n = a n + b n riesce Ma c 2n 1 = a 2n 1 C = c 2n = a 2n a n = c n = 3 2 A n=1 { an se n pari 0 se n dispari ovvero gli unici c k 0 sono quelli di indice dispari e quelli pari con indice multiplo di 4: c 2n 1 = 1 2n 1 c 4n = 1 2n L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

9 Si riconosce quindi come, al variare di n, gli addendi c n producano gli stessi addendi che producevano gli a n : tutt al più con un riordinamento Quindi, se il riordinamento non incidesse, in altri termini se per le serie convergenti valesse la proprietà commutativa della somma, allora dovrebbe riuscire c n = A n=1 invece... dalla c n = a n + b n si ha c n = n=1 (a n + b n ) = A A = 3 2 A A n=1 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

10 Lemma Per una serie a termini positivi vale la proprietà commutativa: se {a nk } è un riordinamento della successione {a n } allora a n = n=1 k=1 intendendo con ciò che se la serie a n converge allora converge anche la a nk k=1 n=1 a nk e ha la stessa somma, e se non converge la prima, non converge neanche la seconda. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

11 Dimostrazione. Indicate con {A m } e con {B m } rispettivamente le successioni crescenti delle somme parziali della prima e della seconda serie riesce lim A m = sup{a m }, m m n : A m B n n m : B m A n Ne segue pertanto che lim B m = sup{b m } m sup{a m } = sup{b n } lim m A m = lim m B m L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

12 Proposizione Per una serie a k assolutamente convergente vale la proprietà k=0 commutativa: se {a nk } è un riordinamento della successione {a n } allora a n = n=1 k=1 a nk L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

13 Introdotte le funzioni parte positiva e parte negativa [x] + = x + x, [x] = x x 2 2 riesce [x] + x [x] x pertanto, se la serie a k è assolutamente convergente allora le k=0 due serie a termini positivi [a k ] +, k=0 [a k ] k=0 sono entrambe assolutamente convergenti. Posto m m m A m = a k, P m = [a k ] +, Q m = [a k ] k=0 riesce A m = P m Q m k=0 k=0 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

14 E quindi dette A, P, Q rispettivamente le somme delle tre serie si ha A = P Q Qualunque sia il riordinamento k=0 a nk che si applichi alla serie continuerà a valere per esso la corrispondente relazione A m = P m Q m E quindi dette A, P, Q rispettivamente le somme delle tre serie si ha A = P Q ne deriva che, essendo P = P, Q = Q A = A L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

15 La favola dell onesto commerciante, della bilancia e dei tanti pesetti L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

16 Un onesto commerciante possiede una bilancia a due piatti corredata di una fila molto lunga di pesi, via via piú piccoli, rossi e blu, da usare con lo strano criterio di caricare i rossi sempre e solo sul piatto di sinistra e i blu su quello di destra. L onesto commerciante si fa un obbligo di pesare la merce in vendita con assoluta onestá, pesandola con grande precisione sulla sua bilancia a due piatti. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

17 Posta la merce da pesare sul piatto di destra la bilancia si squilibra: piatto destro giú, piatto sinistro su! Per eseguire la pesata, cioé per riequilibrare i piatti, l onesto commerciante pone sul piatto di sinistra uno dopo l altro i pesi rossi della fila che possiede: ne mette fino a che il piatto destro va su e quello di sinistra giú. A questo punto comincia a caricare il piatto di destra con i pesi blu della fila: ne mette fino a che il piatto sinistro va su e quello di destra giú. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

18 Di questo passo prosegue, caricando ogni volta il piatto piú in alto fino a farlo diventare il piú basso. Ogni volta la differenza dei pesi di un piatto rispetto a quelli dell altro approssima il peso della merce: l errore é, ogni volta minore dell ultimo pesetto aggiunto per invertire la reciproca posizione dei due piatti. Certo per far fronte a qualsiasi quantitá di merce l onesto commerciante dovrá disporre di tanti pesi rossi... e dovendo riequilibrare ogni volta dovrá disporre anche di... tanti pesi blu. Se la lunga fila di pesi disponibili contiene pesi via via piú piccoli si capisce che le approssimazioni del peso della merce ottenute saranno sempre migliori, e l onesto commerciante si sentirá giustamente con la coscienza a posto. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

19 Le serie convergenti semplicemente Sia a k una serie convergente semplicemente, allora k=1 dall uguaglianza N a k = k=1 si riconosce che N [a k ] + k=1 N [a k ], A N = P N Q N k=1 lim a k = 0 k n lim [a k ] + = + n k=1 lim n k=1 n [a k ] = + Se infatti una delle due somme parziali a secondo membro, P n o Q n convergesse allora, dalla relazione A n = P n Q n L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

20 Teorema Sia a k una serie convergente ma non convergente k=1 assolutamente, allora comunque si scelga un numero reale S esiste un riordinamento {a nk } della successione {a n } tale che riesca k=1 a nk = S L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

21 Figura: Riemann ( ), Dini ( ) L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

22 Supponiamo di aver scelto S 0: indichiamo con {p k } e con {q k } le due successioni dei soli termini a k positivi e dei soli termini a h negativi inclusi nella serie, ordinati con lo stesso ordine con cui comparivano originalmente. Tenuto conto che P m = m p k, Q m = k=1 m k=1 divergono entrambe esisterà un primo m 1 rispetto al quale riesce q k S P m1 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

23 Valutiamo la differenza P m1 S P m1 P m1 1 p m1 Prepariamo pertanto il riordinamento della {a k } ponendo ai primi m 1 posti i primi m 1 termini positivi p 1, p 2,..., p m1 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

24 Consideriamo ora il primo m 2 tale che P m1 Q m2 S Valutiamo la differenza S (P m1 Q m2 ) q m2 Proseguiamo pertanto il riordinamento della {a k } ponendo ai successivi m 2 posti i termini, negativi, che compongono Q m2 p 1, p 2,..., p m1 q 1, q 2,... q m2 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

25 Consideriamo ora le somme P 1 m = m k=m 1 +1 esse differiscono dalle precedenti P m perchè non includono i primi m 1 addendi: tuttavia se divergevano le P m non possono che divergere anche queste P 1 m. Sia pertanto m 3 il primo indice tale che Valutiamo la differenza p k P m1 Q m2 + P 1 m 3 S P m1 Q m2 + P 1 m 3 S p m3 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

26 Proseguiamo pertanto il riordinamento della {a k } ponendo ai successivi m 3 posti i termini, positivi, che compongono P 1 m 3 p 1, p 2,..., p m1 q 1, q 2,... q m2, p m1 +1, p m1 +2,..., p m3 Di blocchetto positivo in blocchetto negativo e viceversa si riordinano tutti i termini {a k }: tale riordinamento produce una serie k=1 a nk della quale conosciamo alcune somme parziali S m1, S m1 +m 2, S m1 +m 2 +m 3,... L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

27 Esse verificano le seguenti disuguaglianze Inoltre per ogni k esistono S S m1 S m1 +m 2 S S m1 +m 2 +m 3 S m1 +m 2 +m 3 S S m1 +m 2 +m 3 +m ν = n n+1 m j, µ = j=1 j=1 m j tali che la somma parziale S k sia compresa tra S ν ed S µ tenuto presente che anche S si trova tra S ν ed S µ riesce S S k S ν S + S S µ a µ + a ν L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

28 Tenuto conto che la successione {a µ }, sottosuccessione della successione infinitesima {a n } è necessariamente infinitesima anch essa risulta provato che lim S k = S k ovvero che il riordinamento realizzato determina una nuova serie convergente e con somma il numero S per altro arbitrario scelto inizialmente. L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza